[来自 给大一学生的 Lie 代数]
在微积分中, "微分", 或 "求导" 是典型的线性运算: `(k f + l g)' = k f' + l g'`, 它最具特色的性质就是乘积的求导公式 `(f g)' = f'g + f g'`. 我们将 "求导" 运算推广到线性空间中来, 首先要求线性空间中有定义 "乘积". 事实上, 许多常见的线性空间都有定义乘积. 如 `bbb F[x]` 中的多项式乘法, `C^oo(a,b)` 中函数的逐点乘法, `bbb F^(n xx n)` 中的矩阵乘法, 乃至 `"End"V` (`V` 上全体线性变换) 中线性变换间的乘法. 由此给出导子的定义:
设 `V` 是定义了乘法的线性空间, 若 `V` 上线性变换 `D` 满足 `D(f g) = D(f) g + f D(g)`, `quad AA f, g in V`, 则称 `D` 是 `V` 的导子. `V` 中全体导子 `"Der"V` 按线性变换的加法和数乘构成 `"End"V` 的线性子空间.
对于线性空间 `V` 上的乘法, 我们不要求它可交换, 甚至也不要求它具有结合律, 只要求它是满足封闭性的二元运算即可. 这样的二元运算称为一个代数.
若 `A, B in "DerV`, 则 `A B - B A in "Der"V`.
`AA f, g in V`,
`(A B - B A) (f g)`
`= A B(f g) - B A(f g)`
`= A(B(f)g + f B(g)) - B(A(f)g + f A(g))`
`= A B(f)g + B(f)A(g) + A(f)B(g) + f A B(g)`
`quad - B A(f)g - A(f)B(g) - B(f)A(g) - f B A(g)`
`= (A B-B A)(f)g + f(A B-B A)(g)`.
这个 `A B - B A` 如此好用, 以至于有如下定义:
设 `V` 是定义了代数的线性空间, `A, B in V`. 称 `[A, B] := A B - B A` 为 Lie 括积, 简称括积.
4 的证明: `sum_"cyc" (A B-B A)C - C(A B-B A)` `= sum_"cyc" (A B C - C A B) + sum_"cyc" (C B A - B A C)` `= 0 + 0`.
下面的定理将括积和导子再次联系到一起.
在 `V` 上定义 `"ad"_A(B) = [A, B]`, 则 `"ad"_A in "Der"V`; 反之, 对任意 `D in "Der"V`, 存在 `A in V` 使得 `D = "ad"_A`.
今后没有特别说明的情况下, 矩阵构成的线性空间, 如 `CC^(n xx n)` 上面的 Lie 括积统一定义为 `[A, B] = A B - B A`.
指数映射架起了 Lie 群和 Lie 代数之间的桥梁. 通过指数映射, 我们把一个研究弯曲空间 (Lie 群) 的问题, 简化为研究它的切空间 (Lie 代数).
只验证次可加性 (Minkowski 不等式):
`(sqrt(sum |a_(i j)|^2) + sqrt(sum |b_(i j)|^2))^2`
`= sum |a_(i j)|^2 + sum |b_(i j)|^2 + 2 sqrt((sum |a_(i j)|^2)(sum |b_(i j)|^2))`
`ge sum |a_(i j)|^2 + sum |b_(i j)|^2 + 2 sum |a_(i j)| |b_(i j)|` (Cauchy 不等式)
`= sum |a_(i j) + b_(i j)|^2`.
矩阵范数的次可乘性 `|A B| le |A| |B|`. 特别 `|A^n| le |A|^n`.
记 `C = A B`, 使用 Cauchy 不等式, `|C|^2 = sum_(i j) |c_(i j)|^2 = sum_(i j) |sum_k a_(i k) b_(k j)|^2` `le sum_(i j) (sum_k |a_(i k)|^2)(sum_k |b_(k j)|^2)` `= sum_i sum_k |a_(i k)|^2 sum_j sum_k |b_(k j)|^2` `= |A| |B|`.
矩阵指数用级数定义为 `exp(A) = sum_(n ge 0) A^n/n!`, 其中 `A^0 = bb 1` (单位矩阵). 这个级数是绝对收敛的, 其范数可被常数项级数 `sum_(n ge 0) (|A|^n)/n!` 控制.
当 `A B` 可交换时, 有 `exp(A+B) = exp(A) exp(B)`.
只需注意到 `bb i^2 = -bb 1`, `u^2 = -1`, 又级数绝对收敛, 所以重排后就得到 `cos` 和 `sin` 的级数.
反之, 令 `z = a + b bb i`, `a^2 + b^2 = 1`, 因此存在 `theta` 使 `a = cos theta`, `b = sin theta`.
于是 `z = cos theta + bb i sin theta`.
同理令 `q = a + b bb i + c bb j + d bb k`, `a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = 1`, 存在
`theta` 使 `a = cos theta`, `sqrt(b^2 + c^2 + d^2) = sin theta`,
于是 `q = cos theta + u sin theta`, 其中 `u = (b bb i + c bb j + d bb k)/sqrt(b^2 + c^2 + d^2)`.
我们给出切空间的定义.
设 `G` 是矩阵 Lie 群, `A(t)` 是 `G` 中经过单位元 `bb 1` 的可微曲线, `A(0) = bb 1`. 则称 `A'(0)` 是曲线在单位元处的切向量. `G` 在 `bb 1` 处的切空间定义为 `T_(bb 1)(G) = { A'(0): A(t)" 是 "G" 中经过 "bb 1" 的可微曲线 "}`.
Lie 括积的几何意义 设 `u(s), v(t)` 是矩阵 Lie 群 `G` 在 `bb 1` 处的两条可微曲线, `u(0) = v(0) = bb 1`. 记 `w(s, t) = u(s) v(t) u(s)^-1`, 对于每一固定的 `s`, `w(s, t)` 都是一条通过 `bb 1` 的可微曲线. 关于 `t` 在 0 处求导, 就得到它在 `bb 1` 处的切向量 `x(s)`. 再令 `x(s)` 对 `s` 在 0 处求导, 由于矩阵 Lie 群对极限运算封闭, 可知 `x'(0)` 也位于切空间 `T_(bb 1)(G)` 中. 这连续两次求导的结果, 正好就是 Lie 括积: `{:del/(del s)|_(s=0) {:del/(del t)|_(t=0) w(s, t)` `= [u'(0), v'(0)]`. 因此 Lie 括积一定程度上反映了 Lie 群中的共轭运算 `A B A^-1`.
`{:del/(del s)|_(s=0) {:del/(del t)|_(t=0) w(s, t)`
`= {:del/(del s)|_(s=0) u(s) v'(0) u(s)^-1`
`= {:u'(s) v'(0) u(s)^-1 + u(s) v'(0) (-u'(s) u(s)^-2)|_(s=0)`
`= u'(0) v'(0) - v'(0) u'(0)`
`= [u'(0), v'(0)]`.