矩阵的定义及其运算

矩阵的线性运算, 矩阵的乘法

令 `bbb P` 为一数域, `bbb P` 上 `m` 行 `n` 列矩阵的全体记为 `bbb P^(m xx n)`, `bbb P` 称为矩阵的基础数域. 如果 `m xx n` 矩阵 `bm A = (a_(i j))` 和 `bm B = (b_(i j))` 满足 `a_(i j) = b_(i j)`, `quad i = 1, cdots, m,` `quad j = 1, cdots, n`, 则称它们相等, 记为 `bm A = bm B`.

    矩阵的线性运算 设 `c in bbb P`, `bm A = (a_(i j))_(m xx n)`, `bm B = (b_(i j))_(m xx n)`.
  1. 数乘. 定义 `c bm A := (c_(i j))_(m xx n)`, 其中 `c_(i j) = c a_(i j)`, `quad i = 1, cdots, m,` `quad j = 1, cdots, n`. 即矩阵与 `c` 数乘, 相当于把每一元素都乘以 `c`.
  2. 加法. 定义 `bm (A+B) := (s_(i j))_(m xx n)`, 其中 `s_(i j) = a_(i j) + b_(i j)`, `quad i = 1, cdots, m,` `quad j = 1, cdots, n`. 即两矩阵相加, 相当于把对应元素相加.

矩阵乘法 令 `bm A = (a_(i j))_(m xx r)`, `bm B = (b_(i j))_(r xx n)`. 定义 `bm (A B) := (c_(i j))_(m xx n)`, 其中 `c_(i j) = sum_(k=1)^r a_(i k) b_(k j)`, `quad i = 1, cdots, m,` `quad j = 1, cdots, n`. 这一乘法法则称为 "左行乘右列", 即矩阵 `bm (A B)` 的 `i j` 元由 `bm A` 的第 `i` 行与 `bm B` 的第 `j` 列作向量的一般内积得到: `{: {::}, [, b_(1 j), ; vdots, vdots, vdots; , b_(r j), ; ]; [, cdots, ; a_(i 1), cdots, a_(i r); , cdots, ; ], [*, *, *; *, c_(i j), *; *, *, *; ] :}`

为何这样定义矩阵乘法呢, 考虑两个线性函数组 `y_k = sum_(j=1)^n b_(k j) x_j`, `quad k = 1, cdots, r`,
`z_i = sum_(k=1)^r a_(i k) y_k`, `quad i = 1, cdots, m`. 代入得 `z_i = sum_(k=1)^r a_(i k) sum_(j=1)^n b_(k j) x_j` `= sum_(j=1)^n x_j sum_(k=1)^r a_(i k) b_(k j)` `= sum_(j=1)^n c_(i j) x_j`. 从而, 矩阵乘法反映了线性函数组的复合.

  1. 元素全为零的矩阵称为零矩阵, 记为 `bm O`. 矩阵加上零矩阵, 结果不变. 矩阵左乘或右乘零矩阵, 结果为零矩阵.
  2. 矩阵 `bm A` 与 `-1` 数乘的结果记为 `-bm A`. 显然 `bm A + (-bm A) = bm O`. 从而矩阵的减法定义为 `bm (A-B) := bm A + (-bm B)`.
  3. `n xx n` 矩阵称为 `n` 阶方阵; 矩阵的 `i = j` 的 `i j` 元组成它的主对角线: `{a_(i j) | i = j}`. `n` 阶方阵的 `i + j = n+1` 的 `i j` 元组成它的副对角线: `{a_(i j) | i + j = n}`.
  4. 如果方阵的所有满足 `i lt j` 的 `i j` 元均为零, 则称它为 `n` 阶下三角矩阵; 如果方阵的所有满足 `i gt j` 的 `i j` 元均为零, 则称它为 `n` 阶上三角矩阵; 如果上 (下三角矩阵的主对角线元素全为 0, 则称它为严格上 (下) 三角矩阵; 如果上 (下) 三角矩阵的主对角线元素全为 1, 则称它为单位上 (下) 三角矩阵. 显然, (严格, 单位) 上 (下) 三角矩阵的乘积仍为 (严格, 单位) 上 (下) 三角矩阵. 如果我们只关心三角形矩阵的主对角元, 则上三角矩阵可以简记为 `bm U_(a_i)` `= bm U(a_1, a_2, cdots, a_r)` `= [ a_1, , , **; , a_2, , ; , ,ddots, ; , , ,a_r; ]`. 下三角矩阵类似记为 `bm L_(a_i)`.
  5. 如果方阵的主对角线以外的元素均等于零, 即矩阵形如 `[ d_1, , , ; ,d_2, , ; , ,ddots, ; , , ,d_n; ]`, 则称它为 `n` 阶对角矩阵, 记为 `"diag"(d_1, cdots, d_n)` 或 `bm D_(d_k)`. 对角矩阵既是上三角矩阵, 也是下三角矩阵; 对角矩阵相乘, 结果还是对角矩阵. 矩阵左乘 `bm D_(d_k)`, 相当于第 `i` 行每个元素都乘以 `d_i`; 矩阵右乘 `bm D_(d_k)`, 相当于第 `j` 列每个元素都乘以 `d_j`.
  6. 如果方阵的副对角线以外的元素均等于零, 即矩阵形如 `[ , , ,d_1; , ,d_2, ; ,⋰, , ; d_n, , , ; ]` 则称它为 `n` 阶副对角矩阵. 记 `bm K` 是副对角线元全为 1 的副对角矩阵, 则任意矩阵 `bm A` 左乘 `bm K`, 结果是将 `bm A` 的各行倒序排列; 右乘 `bm K`, 结果是将 `bm A` 的各列倒序排列.
  7. 如果 `n` 阶对角阵的每个对角元都等于 `1`, 则称它为 `n` 阶单位矩阵, 记为 `bm I_n` 或 `bm E_n`, 或者省略下标, 简记为 `bm I` 或 `bm E`. 如果引入 Kronecker `delta` 函数 `delta_(i j) = { 1, if i = j; 0, if i != j; :}` 则单位阵的 `i j` 元就是 `delta_(i j)`. 矩阵左乘或右乘单位矩阵, 结果都不变.
  8. 如果 `n` 阶对角阵的每个对角元都等于常数 `c`, 即矩阵等于 `c bm I`, 则称它为 `n` 阶数量矩阵或纯量矩阵. 矩阵左乘或右乘 `c bm I`, 结果相当于与 `c` 作数乘.
    假设下面各式中的加法与乘法都可以进行, 即矩阵具有合适的行, 列数.
  1. 加法交换律. `bm (A + B) = bm (B + A)`.
  2. 加法结合律. `bm ((A+B)+C) = bm (A+(B+C))`.
  3. 乘法结合律. `bm ((A B)C) = bm (A(B C))`.
  4. 乘法对加法的分配律. `bm (A(B+C)) = bm (A B + A C)`, `bm ((B+C)A) = bm (B A + C A)`.
  5. 数乘的穿越. `c(bm(A B)) = (c bm A)bm B = bm A(c bm B)`.
  6. 数乘的结合律. `(c d)bm A = c(d bm A)`.
  7. 数乘的单位元. `1 bm A = bm A`.
  8. 数乘的分配律. `c(bm A + bm B) = c bm A + c bm B`, `(c + d)bm A = c bm A + d bm A`.

矩阵乘法一般不成立交换律, 如 `bm A, bm B` 分别是 `m xx n`, `n xx m` 矩阵, 则 `bm (A B)` 是 `m` 阶方阵, 而 `bm (B A)` 是 `n` 阶方阵, 因此两个矩阵的乘法可交换的必要条件是 `m = n`. 即使有 `m = n`, `bm (A B) = bm (B A)` 也未必成立. 令 `bm A = [1,0;0,0]`, `quad bm B = [0,1;0,0]`, 则 `bm (A B) = bm B`, `bm (B A) = bm O`.
不过, 方阵与数量矩阵 (特别地, 单位阵, 零矩阵) 的乘法可以交换. 两个对角矩阵的乘法可以交换 (事实上, 能与对角矩阵交换的只有对角矩阵). 方阵与自身, 与其伴随矩阵 (第二章), 或者与其逆矩阵 (见下文) 的乘法可以交换.

矩阵的转置

令 `bm A = (a_(i j))_(m xx n)`, 定义 `bm A` 的转置 `bm A^T (或 bm A') := (t_(i j))_(n xx m)`, 其中 `t_(i j) = a_(j i)`, `quad i in [n], j in [m]`. 矩阵的转置即 "行变列, 列变行". 形象地说, 转置就是将矩阵沿主对角线翻转.

  1. `(bm A^T)^T = bm A`.
  2. `(c bm A)^T = c bm A^T`.
  3. `(bm A + bm B)^T = bm A^T+ bm B^T`.
  4. `(bm (A B))^T = bm B^T bm A^T`.
  1. (严格, 单位) 上, 下三角矩阵互为转置.
  2. 如果方阵 `bm A` 满足 `bm A^T = bm A`, 则称它为对称矩阵; 如果方阵 `bm A` 满足 `bm A^T = -bm A`, 则称它为反对称矩阵. 如同任一函数可分解为偶函数与奇函数之和: `f(x) = (f(x) + f(-x))/2 + (f(x) - f(-x))/2`, 任一方阵也可分解为对称矩阵与反对称矩阵之和: `bm A = (bm A + bm A^T)/2 + (bm A - bm A^T)/2`.
  3. 把其他位置都为零, 而第 `j` 个下标处等于 `1` 的单位列向量记作 `bm epsi_j := (overbrace(0,cdots,0,1)^j ,0,cdots,0)^T`; 其他位置都为零, 而第 `i` 行 `j` 列处等于 `1` 的矩阵记作 `bm E_(i j) = (overbrace(bb 0,cdots,bb 0,bm epsi_i)^j,bb 0,cdots, bb 0)`. 分别用 `bm alpha_i`, `bm A_j` 记矩阵 `bm A` 的第 `i` 行和第 `j` 列, 有 `bm (A epsi)_j = bm A_j`, `quad bm epsi_i^T bm A = bm alpha_i`,
    `bm epsi_i^T bm epsi_j = delta_(i j)`, `quad bm epsi_j bm epsi_i^T = bm E_(i j)`.

矩阵的逆

令 `bm A, bm B` 是 `n` 阶方阵, 如果 `bm (A B) = bm I`, 则称 `bm A` 是 `bm B` 的左逆, `bm B` 是 `bm A` 的右逆. 如果 `bm B` 同时是 `bm A` 的左逆和右逆, 即 `bm (A B) = bm (B A) = bm I`, 则称 `bm B` 是 `bm A` 的逆矩阵. 如果 `bm A` 的逆矩阵存在, 则称它是可逆的. 如果 `bm A` 可逆, 则它的逆矩阵必惟一, 记作 `bm A^-1`.

设 `bm B, bm C` 都是 `bm A` 的逆. 则 `bm B = bm (B I) = bm (B(A C))` `= bm ((B A)C) = bm (I C) = bm C`. 因此逆矩阵必惟一.

利用行列式的知识可以证明, 如果 `bm A` 的左逆存在, 则它也是 `bm A` 的右逆, 反之亦然. 因此只要 `bm (A B) = bm I`, 就可以断言 `bm A, bm B` 都可逆, 且它们互逆.
事实上, 由 `bm (A B) = bm I` 有 `|bm A||bm B| = 1`, 从而 `|bm A| != 0`, 即 `bm A` 可逆. 记 `bm A` 的逆为 `bm A^-1`, 于是 `bm B = bm (I B) = bm (A^-1 A B)` `= bm (A^-1 I) = bm A^-1`.

    设 `bm A`, `bm B` 是 `n` 阶可逆方阵. `c in bbb P`, `c != 0`, 则下面各矩阵也可逆, 它们的逆写在等号右边.
  1. `(bm A^-1)^-1 = bm A`.
  2. `(bm(A B))^-1 = bm B^-1 bm A^-1`.
  3. `(bm A^T)^-1 = (bm A^-1)^T`.
  4. `(c bm A)^-1 = c^-1 bm A^-1`.

矩阵运算进阶

几类矩阵可交换的结论

  1. 设 `bm A, bm B` 是同阶对称矩阵, 则 `bm(A B)` 是对称矩阵当且仅当 `bm A, bm B` 可交换.
  2. 如果方阵 `bm A` 满足 `bm A^2 = bm I`, 则称它为对合矩阵. 对合矩阵的逆就是自己. 设 `bm A, bm B` 是同阶对合矩阵, 则 `bm(A B)` 是对合矩阵当且仅当 `bm A, bm B` 可交换.
  3. 如果方阵 `bm A` 满足 `bm A^2 = bm A`, 则称它为幂等矩阵. 所有幂等矩阵中只有单位阵可逆. 设 `bm A, bm B` 是同阶幂等矩阵, 则 `bm(A+B)` 是幂等矩阵当且仅当 `bm (A B) = bm (B A) = bm O`.

或许, 对合矩阵是矩阵家族中的「二次元」.

  1. 设 `bm((A B))^T = bm(A B)`, 即 `bm((A B))^T = bm((B^T A^T))^T = bm((B A))^T`, 即 `bm(A B) = bm(B A)`. 反面的证明是容易的.
  2. 先设 `bm(A B A B) = bm I`, 于是 `bm B^-1 = bm(A B A)`, `bm A^-1 = bm(B A B)`. 因为 `bm A^2 = bm B^2 = bm I`, 有 `bm(A B A B) = bm A^2 bm B^2`, 左边同乘以 `bm A^-1`, 右边同乘以 `bm B^-1` 就得到 `bm(B A) = bm(A B)`. 反之类似.
  3. 先设 `bm((A+B))^2 = bm A + bm B`, 于是 `bm A + bm B` `= bm A^2 + bm(A B + B A) + bm B^2` `= bm A + bm(A B + B A) + bm B`. 比较得 `bm(A B) = -bm(B A)`. 于是 `bm(A B) = bm(A A B)` `= bm(A (-B A)) = -bm((A B)A)` `= bm(B A A) = bm(B A)`. 但 `bm(A B) = -bm(B A)`, 于是 `bm(A B) = bm(B A) = bm O`. 反面的证明的容易的.

正交矩阵

设 `bm A = (a_(i j))_(m xx n)`, 则 `bm bar A = (bar a_(i j))_(m xx n)` 称为 `bm A` 的复共轭矩阵, `bm A^H = bm bar A^T` 称为 `bm A` 的复共轭转置矩阵. 复共轭转置是转置概念的推广.
如果 `bm A in CC^(n xx n)`, `bm A^H = bm A`, 则称 `bm A` 是 Hermite 矩阵 (Hermitian matrix). Hermite 矩阵是对称矩阵概念的推广.

  1. 满足 `bm A^H bm A = bm A bm A^H` 的复方阵 `bm A` 称为正规矩阵, 满足 `bm(A^T A) = bm(A A^T)` 的实方阵 `bm A` 称为实正规矩阵.
  2. 称满足 `bm(T^T T) = bm I` 的实方阵 `bm T` 为正交矩阵 (orthgonal matrix). 正交矩阵的第 `i` 行与第 `j` 行的向量内积等于 `delta_(i j)`.
  3. 称满足 `bm U^H bm U = bm I` 的复方阵 `bm U` 为酉矩阵. 酉矩阵是正交矩阵概念的推广.
  1. `[cos theta,-sin theta;sin theta,cos theta]` 是正交矩阵. 用这个矩阵左乘一个平面向量, 结果恰好将该向量逆时针旋转 `theta` 角.
  2. 对称矩阵 `bm A = [ 1,1,1,1; 1,1,-1,-1; 1,-1,1,-1; 1,-1,-1,1; ]` 满足 `bm A^2 = 4 bm I`, 因此 `1/2 bm A` 是正交矩阵.
  3. 反对称矩阵 `bm B = [ a,b,c,d; -b,a,-d,c; -c,d,a,-b; -d,-c,b,a; ]` 满足 `bm(B^T B) = (a^2+b^2+c^2+d^2) bm I`, 因此 `(a^2+b^2+c^2+d^2)^(-1/2) bm B` 是正交矩阵.
  4. 设 `bm alpha` 是单位列向量, 满足 `bm(alpha^T alpha) = 1`, 则 `bm I - 2 bm(alpha alpha^T)` 是对称的正交矩阵, 称为 Householder 矩阵.

合同与相似

    设 `bm A, bm B` 为方阵,
  1. 如果存在可逆矩阵 `bm T` 使得 `bm B = bm(T^T A T)`, 则称矩阵 `bm A, bm B` 合同或相合. 合同是一等价关系. 与对称矩阵合同的矩阵仍对称. 称方阵 `bm A` 正定, 如果它合同于单位矩阵 `bm I`. 正定矩阵是对称的, 可逆的. 我们将在二次型的章节进一步讨论正定矩阵.
  2. 如果存在可逆矩阵 `bm T` 使得 `bm B = bm(T^-1 A T)`, 则称矩阵 `bm A, bm B` 相似. 相似是一等价关系. 与数量矩阵 `c bm I` 相似的矩阵只有它自己, 特别地, 与单位矩阵 (零矩阵) 相似的矩阵只有自己. 若 `bm T` 是正交矩阵, 则称 `bm A, bm B` 正交相似. 正交相似的两个矩阵既合同, 又相似. 我们将在第七章单独讨论矩阵的相似标准形.
    3. 今后我们将花很大篇幅讨论矩阵的合同标准形和相似标准形, 力求将矩阵化为 (分块) 对角形.

方阵的迹

设 `bm A = (a_(i j))_(n xx n)`, 定义 `bm A` 的迹为它的主对角线上的元素之和, 记为 `"tr"bm A := sum_(i=1)^n a_(i i)`. 方阵的迹满足 `"tr"(c bm A) = c "tr"bm A`, `quad "tr"(bm(A+B)) = "tr"bm A + "tr" bm B`,
`"tr"(bm A^T) = "tr"bm A`. 其中前两条指出, 方阵的迹是线性函数 (第五章). 不论 `bm(A B)`, `bm(B A)` 是否可交换, 它们的迹总是相等 (甚至当它们的尺寸不相等时也是如此): `"tr"(bm (A B)) = "tr"(bm (B A)) = sum_(i j) a_(i j) b_(j i)`,
特别 `"tr"(bm(A^T A)) = sum_(i j) a_(i j)^2`. 任意 `n` 阶方阵可以写成一个迹为零的矩阵与一个数量矩阵之和: 记 `1/n "tr" bm A = t`. `bm A = (bm A - t bm I) + t bm I`.

可以验证, `bm A^H bm A` 是 `n` 阶实对称矩阵, 且 `"tr"(bm A^H bm A)` 等于 `bm A` 的每个元素的模的平方和, 即 `"tr"(bm A^H bm A) = sum_(i=1)^m sum_(j=1)^n |a_(i j)|^2`. 从而 `bm A = bm O` 当且仅当 `"tr"(bm A^H bm A) = 0`.

方阵的幂与多项式

方阵的幂 设 `bm A` 是方阵, `n` 为正整数, 则 `bm A^0 := bm I`, `quad bm A^n := bm (A A)^(n-1)`. 幂运算满足 `bm A^m bm A^n = bm A^(m+n)`, `quad (bm A^m)^n = bm A^(m n)`. 显然 `bm A^m`, `bm A^n` 是可交换的. 当 `bm A, bm B` 可交换时, `bm A^n bm B^n = (bm (A B))^n`.

设 `bm A = (a_(i j))_(n xx n)` 的主对角线的下一条对角线 `i-j = 1` 上的元素全为 1, 其下方元素全为 0, 即 `a_(i j) = { 1, if i-j = 1; 0, if i-j gt 1; :}`,
`bm A = [ **, cdots, cdots,**; 1,ddots, ,vdots; , ddots, ddots, vdots; , , 1, **; ]` 计算可知, 对任意正整数 `k`, `bm A^k = (a_(i j)^((k)))_(n xx n)` 满足 `a_(i j)^((k)) = { 1, if i-j = k; 0, if i-j gt k; :}` 即每升高一次幂, 全为 1 的那条对角线就下移一个位置. 特别地, `(delta_(i,j+1))^k = (delta_(i,j+k))`.

    `k = 1` 时结论显然成立, 假设结论对 `k-1` 成立, 则 `a_(i j)^((k)) = sum_(l=1)^n a_(i l)^((k-1)) a_(l j)`
  1. `i-j = k` 时: 若 `i-l lt k-1`, 则 `l-j = (i-j)-(i-l) gt 1`, `a_(l j) = 0`; 若 `i-l = k-1`, 则 `l-j = 1`, `a_(i l)^((k-1)) a_(l j) = 1`; 若 `i-l gt k-1`, 则 `a_(i l) = 0`. 从而 `a_(i j)^((k)) = 1`.
  2. `i-j gt k` 时: 若 `i-l le k-1`, 则 `l-j = (i-j)-(i-l) gt 1`, `a_(l j) = 0`; 若 `i-l gt k-1`, 则 `a_(i l) = 0`; 从而 `a_(i j)^((k)) = 0`.

方阵的多项式 令 `f(x) = sum_(k=0)^m c_k x^k`, `a_m != 0` 为一多项式, `bm A = (a_(i j))_(n xx n)`, 则 `f(bm A) = sum_(k=0)^n c_k bm A^k` 有意义, 且 `f(bm A) = (f(a_(i j)))_(n xx n)`. 设 `bm A, bm T` 为方阵, `f, g` 为多项式, 且下面的各运算有意义, 则 `f(bm(T^-1 A T)) = bm T^-1 f(bm A) bm T`, `quad f(bm A^T) = f(bm A)^T`, `quad f(bm A)g(bm A) = g(bm A)f(bm A)`. 关于分块上, 下三角矩阵和分块对角矩阵有 `f(bm U_(bm A_k)) = bm U_(f(bm A_k))`, `quad f(bm L_(bm A_k)) = bm L_(f(bm A_k))`, `quad f(bm D_(bm A_k)) = bm D_(f(bm A_k))`.

设 `bm A` 是 `k` 阶单位上三角矩阵, 则 `bm A = bm(I+B)`, 其中 `bm B` 是 `k` 阶严格上三角矩阵. 由于 `bm B^k = bm O`, 有 `bm A^n = bm((I+B))^n` `= bm I + n bm B + (n(n-1))/2 bm B^2 + cdots` `+ (n;k-1) bm B^(k-1)`.

设 `bm A` 是方阵. 由等式 `bm I - bm A^n = bm((I-A)) sum_(k=0)^(n-1) bm A^k` 知道, 若 `bm A^n = bm O` (如, `bm A` 是 `n` 阶严格上三角矩阵), 则 `bm I - bm A` 可逆, `bm((I-A))^-1 = sum_(k=0)^(n-1) bm A^k`.

方阵逆的一些结论

  1. 分块对角矩阵的逆. 假设每个 `bm A_k` 都可逆, 则 `[ bm A_1, , , ; ,bm A_2, , ; , ,ddots, ; , , ,bm A_n; ]^-1` `= [ bm A_1^-1, , , ; ,bm A_2^-1, , ; , ,ddots, ; , , ,bm A_n^-1; ]`.
  2. 分块副对角矩阵的逆. 假设每个 `bm A_k` 都可逆, 则 `[ , , ,bm A_1; , ,bm A_2, ; ,⋰, , ; bm A_n, , , ; ]^-1` `= [ , , ,bm A_n^-1; , ,⋰, ; ,bm A_2^-1, , ; bm A_1^-1, , , ; ]`.

设 `bm A, bm B` 是 `n` 阶方阵, `bm A, bm B, bm A + bm B` 都可逆, 则 `bm A^-1 + bm B^-1 = bm B^-1(bm B+bm A)bm A^-1` `= bm A^-1(bm B+bm A)bm B^-1`. 容易看出 `bm A^-1 + bm B^-1` 也可逆.

    设 `bm A, bm B` 是 `n` 阶方阵, 且 `bm (A+B) = bm (A B)`, 则
  1. `bm((A-I)(B-I)) = bm I`, 所以 `bm(A-I)`, `bm(B-I)` 互逆;
  2. 将 `bm((A-I)(B-I)) = bm((B-I)(A-I))` 展开并比较等式两边得, `bm A, bm B` 可交换;
  3. 若 `bm A`, `bm B`, `bm(A+B)` 三者中有一个可逆, 则另外两个也可逆.

只证 3. 若 `bm(A+B)` 可逆, 则 `bm((A+B))^-1 bm(A B)` `= bm((A+B))^-1 bm(B A)` `= bm((A+B))^-1 bm((A+B)) = bm I`. 因此 `bm A`, `bm B` 都可逆.
若 `bm A` 可逆, 则 `bm A^-1(bm A-bm I)bm B` `= bm A^-1(bm(A B)-bm B)` `= bm (A^-1 A) = bm I`. 因此 `bm B` 可逆. 从而 `bm(A+B) = bm(A B)` 可逆.
最后若 `bm B` 可逆, 类似可证 `bm A`, `bm(A+B)` 可逆.

设 `bm I + bm(A B)` 可逆, 证明 `bm I + bm(B A)` 也可逆.

设 `bm X = (bm I + bm(A B))^-1`, 则 `bm(B X A)(bm I + bm(B A))` `= bm(B X)(bm I + bm(A B))bm A` `= bm(B A)`,
`(bm I + bm(B A))bm(B X A)` `= bm B(bm I + bm(A B))bm(X A)` `= bm(B A)`. 故 `bm I - bm(B X A) = (bm I + bm(B A))^-1`.

从形式上计算: `(bm I + bm(B A))^-1` `= bm I + sum_(i=1)^oo bm((-B A))^i` `= bm I - bm B(sum_(i=0)^oo bm((-A B))^i) bm A` `= bm I - bm B(bm I + bm(A B))^-1 bm A`.

设 `bm A = [ 0,1,cdots,1; 1,0,cdots,1; vdots,vdots,,vdots; 1,1,cdots,0; ]_(n xx n)`, 求 `bm A^-1`.

记 `bm B` 是元素全为 `1` 的 `n` 阶矩阵, 则 `bm B^2 = n bm B`. 于是 `(bm B-bm I)(bm B-(n-1)bm I)` `= bm B^2 - n bm B + (n-1) bm I` `= (n-1)bm I`,
`bm A^-1 = bm((B-I))^-1 = 1/(n-1) bm B - bm I`.

设 `bm alpha, bm beta` 是 `n` 元列向量, `bm(alpha^T beta) = bm(beta^T alpha) = c`, 则对任意正整数 `k`, `bm((alpha beta^T))^k = bm alpha bm((beta^T alpha))^(k-1) bm beta^T` `= c^(k-1) bm(alpha beta^T)`. 设 `bm I` 是 `n` 阶单位阵, 考虑 `bm I + x bm(alpha beta^T)` 的逆. 计算 `(bm I + x bm(alpha beta^T))(bm I + y bm(alpha beta^T))` `= bm I + (x+y)bm(alpha beta^T) + c x y bm(alpha beta^T)`. 所以 `bm I + x bm (alpha beta^T)` 可逆当且仅当存在 `y` 使得 `x+y+c x y = 0`, 即 `x = 0` 或 `1+c x != 0`. 此时它的逆就是 `bm I + y bm (alpha beta^T)`.
取 `c = 1`, `x = -1` 可知, `bm I - bm(alpha beta^T)` 不可逆. 事实上 `(bm I - bm (alpha beta^T))^2 = bm I - bm(alpha beta^T)`, 它是幂等矩阵, 但可逆的幂等矩阵只有单位阵, 所以它不可逆.

[来自 ζ(me)=0] 设方阵 `bm A` 满足 `bm A^2 = 2 bm A`, 讨论以下矩阵是否可逆: `bm A-bm I`, `bm A+2bm I`, `bm A - 2bm I`.

  1. `(bm A-bm I)^2 = bm A^2 - 2bm A + bm I = bm I`, 因此 `bm A - bm I` 的逆就是自己;
  2. 设 `(bm A+2bm I)(x bm A + y bm I) = bm I`, 于是 `bm I = x bm A^2 + (2x+y) bm A + 2y bm I` `= (4x+y) bm A + 2y bm I`. 取 `y = 1/2`, `x = -1/8` 即可.
  3. 2 的方法在这里失效: `(bm A - 2 bm I)(x bm A + y bm I)` `x bm A^2 + (y-2x) bm A -2y bm I` `= y (bm A - 2 bm I)`. 事实上, 由 `bm A^2 = 2 bm A` 知道 `bm A` 的零化多项式是 `x^2 - 2x`, 因此 `bm A` 可能的特征值是 0 和 2. 当 `bm A` 有特征值 2 时, `|bm A - 2 bm I| = 0`, 不可逆; 当 `bm A` 的特征值全为 0, 比如 `bm A = bm O` 或 `[0, 1; 0, 0]` 时, `bm A - 2 bm I` 可逆.

矩阵的初等变换

    规定矩阵的三种行初等变换:
  1. 将矩阵第 `i` 行的每个元素都乘以非零常数 `c`, 记作 `[i(c)]`;
  2. 将矩阵第 `j` 行的 `k` 倍加到第 `i` 行上, 记作 `[i+j(k)]`;
  3. 将矩阵第 `i`, `j` 行交换位置, 记作 `[i,j]`.
    4. 类似可规定三种列初等变换, 分别记为 `{i(c)}`, `{i+j(k)}`, `{i,j}`.
    将三种行 (列) 初等变换分别作用于 `n` 阶单位矩阵, 得到 第一类初等矩阵: `[bm I_(i-1), , ; ,c, ; , ,bm I_(n-i)]` `= (epsi_1, cdots, epsi_(i-1), c epsi_i, epsi_(i+1), cdots, epsi_n)`. 第二类初等矩阵: `[bm I_(i-1), , , , ; ,1,cdots,k, ; , ,ddots,vdots, ; , , ,1, ; , , , ,bm I_(n-j)]` `= (epsi_1, cdots, epsi_(j-1), k epsi_i + epsi_j, epsi_(j+1), cdots, epsi_n)`. 和第三类初等矩阵: `[bm I_(i-1), , , , ; ,0,cdots,1, ; ,vdots,bm I_(j-i-1),vdots, ; ,1,cdots,0, ; , , , ,bm I_(n-j)]` `= (epsi_1, cdots, epsi_(i-1), epsi_j, epsi_(i+1), cdots, epsi_(j-1), epsi_i, epsi_(j+1), cdots, epsi_n)`. 容易计算验证, 用第 `i` 类初等矩阵左 (右) 乘一矩阵 `bm A`, 相当于对 `bm A` 施以第 `i` 类初等行 (列) 变换, `i = 1,2,3`. 初等矩阵都是可逆的, 它们的逆分别是同一类的初等矩阵.

如果 `m xx n` 矩阵 `bm A` 可经有限次初等变换化为 `bm B`, 则称 `bm A, bm B` 等价, 记为 `bm A ~ bm B`. 矩阵的等价是一种等价关系.

`m xx n` 阶矩阵 `bm A, bm B` 等价当且仅当存在 `m` 阶初等矩阵 `{bm P_i}_(i=1)^s` 和 `n` 阶初等矩阵 `{bm Q_j}_(j=1)^t`, 使得 `bm B = bm P_s cdots bm P_2 bm P_1 bm A bm Q_1 bm Q_2 cdots bm Q_t`.

任意 `m xx n` 矩阵等价于如下形状的矩阵 `bm overset ~ A = [bm I_r, bm O; bm O, bm O]_(m xx n)`, 称为 `bm A` 的等价标准形, 其中 `0 le r le min{m,n}`.

任意方阵可分解为一可逆矩阵与一对称矩阵的乘积.

设 `bm A = bm(P overset ~ A Q)`, 其中 `bm P, bm Q` 可逆, `bm overset ~A` 是 `bm A` 的等价标准形, 显然 `bm overset ~ A` 对称. 于是 `bm A = bm (P(Q^T)^-1 Q^T overset ~ A Q)`, 其中 `bm(P(Q^T)^-1)` 可逆, `bm (Q^T overset ~ A Q)` 对称.