[来自 杨树森的系列专栏]

张量 (tensor) 是向量、矩阵的自然推广. 粗略地说, 向量是一阶张量, 矩阵是二阶张量. 一般地, `n` 阶张量是一个 `n` 重线性函数 `f: (V^ast)^p xx V^q to RR`,
`(u_1, cdots, u_p, v^1, cdots, v^q) mapsto x`, 其中 `p+q=n`, `v^1, cdots, v^q` 是线性空间 `V` 中的元素, 而 `u_1, cdots, u_p` 是对偶空间 `V^ast` 中的元素.

多维数组

多维数组的概念可以参考 C 语言之类的编程语言. 一个形状为 `N_1 xx cdots xx N_n` 的多维数组写作 `a[N_1]cdots[N_n]`, 它可以看作一个 `n` 元函数 `a(i_1, cdots, i_n)`, 其中第 `k` 个下标 `i_k` 的取值范围是 `1, cdots, N_k`. 设有多维数组 `a[N_1]cdots[N_n]` 和 `b[M_1]cdots[M_m]`, 规定它们之间的乘法 (张量积) 如下: `a : b = c[N_1]cdots[N_n][M_1]cdots[M_m]`, 其中 `c(i_1, cdots, i_n, j_1, cdots, j_m) = a(i_1, cdots, i_n) b(j_1, cdots, j_m)`. 这就是说, `n` 维数组和 `m` 维数组的乘积是一个 `n+m` 维数组, 且这个数组 `c` 的前 `n` 个下标由 `a` 贡献, 后 `m` 个下标由 `b` 贡献.

1. 两个一维数组 `[1, 2]` 与 `[3, 4]` 的乘积.
2. 三个一维数组 `[1, 2]`, `[3, 4]`, `[5, 6, 7]` 的乘积.

1. [
     1*[3, 4],
     2*[3, 4]
   ]
   = [
     [1*3, 1*4],
     [2*3, 2*4]
   ]
   = [
     [3, 4],
     [6, 8]
   ].
   

2. [
     [3, 4],
     [6, 8]
   ] : [5, 6, 7]
   = [
     [3, 4] : [5, 6, 7],
     [6, 8] : [5, 6, 7]
   ]
   = [
     [
       [3*5, 3*6, 3*7],
       [4*5, 4*6, 4*7],
     ],
     [
       [6*5, 6*6, 6*7],
       [8*5, 8*6, 8*7]
     ]
   ].
   

特别地, 两个一维数组的乘积又称为并矢. 如 `bm a = (a_1, a_2, a_3)`, `bm b = (b_1, b_2, b_3)`, 则 `bm a : bm b` `= [a_1; a_2; a_3] [b_1, b_2, b_3]` `= [a_1 b_1, a_1 b_2, a_1 b_3; a_2 b_1, a_2 b_2, a_2 b_3; a_3 b_1, a_3 b_2, a_3 b_3 ]`. 注意这里的矩阵记号 `[a, b; c, d]` 是多维数组 [[a, b], [c, d]] 的简写. 不引起混淆的情况下, 并矢也可以简记为 `bm a bm b`.

张量的定义

下面讨论的线性空间默认为 `RR` 上的有限维空间.

对偶空间

线性空间 `V` 上全体线性函数构成一个线性空间, 称为 `V` 的对偶空间 `V^ast`. 对偶空间中加法与数乘的定义是 `(f + g)(x) = f(x) + g(x)`,
`(k f)(x) = k f(x)`.

对偶空间与原空间具有相同维数.

设 `e_1, cdots, e_n` 是 `V` 的一组基, 则线性函数 `f_1, cdots, f_n` 是 `V^ast` 的一组基, 其中 `f_i(e_j) = delta_(i j)`, 且任意 `f in V^ast` 在这组基下的坐标为 `(f(e_1), cdots, f(e_n))`.

自然同构 对偶空间的对偶空间与原空间同构.

我们建立 `V` 到 `V^(ast ast)` 的同构映射. 前面提到 `f_1, cdots, f_n` 是 `V^ast` 的基, 又 `g_1, cdots, g_n` 是 `V^(ast ast)` 的基, 其中 `g_i(f_j) = delta_(i j)`. 可以验证 `varphi: V to V^(ast ast)`
`e_i mapsto g_i`, `i = 1, cdots, n` 是同构.

`V^ast` 中的元素, 即 `V` 上的线性函数称为 `V` 的协变, `V^(ast ast)` 中的元素, 即 `V^ast` 上的线性函数称为 `V` 的逆变或反变. 根据自然同构 `V^(ast ast) cong V`, 也可以认为逆变就是 `V` 中的向量.

今后我们不再区分 `V^(ast ast)` 与 `V`.

对偶基

对偶基 设 `{v_i}_(i=1)^n` 是线性空间 `V` 的一组基, `{v_i^ast}_(i=1)^n` 是其对偶空间 `V^ast` 的一组基. 如果满足 `v_i^ast(v_j) = delta_(i j)`, `quad i, j = 1, cdots, n`, 则称 `{v_i^ast}` 是 `{v_i}` 的对偶基.

坐标的对偶 设 `{alpha_i}`, `{varphi_i}` 是一对对偶基,
1. 对 `AA alpha = sum x_i alpha_i in V`, 有 `varphi_i(alpha) = varphi_i(x_i alpha_i) = x_i`, 即 `alpha = sum varphi_i(alpha) alpha_i`.
2. 对 `AA varphi = sum y_i varphi_i in V^ast`, 有 `varphi(alpha_i) = (sum y_j varphi_j)(alpha_i) = y_i`, 即 `varphi = sum varphi(alpha_i) varphi_i`.
3. 对 `AA alpha in V` 和 `varphi in V^ast`, `varphi(alpha) = (sum_i y_i varphi_i)(sum_j x_j alpha_j)` `= sum_(i, j) x_j y_j varphi_i(alpha_j)` `= sum_i x_i y_i`.
在对偶基下 `varphi(alpha)` 具有简单的坐标表示 `sum_i x_i y_i`.

设 `{u_i}`, `{v_i}` 是 `V` 的两组基, `{u_i^ast}`, `{v_i^ast}` 是相应的对偶基, 线性变换 `cc A, cc B` 满足 `cc A u_i = v_i`, `cc B u_i^ast = v_i^ast`. `cc A, cc B` 在基底 `{u_i}` 下的表示矩阵记为 `bm A, bm B`, 则 `bm B^(sf T) bm A = bm I`.

由对偶基定义, `u_i^ast(u_j) = delta_(i j) = v_i^ast(v_j)`, 由表示矩阵定义, `(v_1, cdots, v_n) = (u_1, cdots, u_n) bm A`,
`(v_1^ast, cdots, v_n^ast) = (u_1^ast, cdots, u_n^ast) bm B`. 用 `a_(i j)`, `b_(i j)` 代表矩阵 `bm A, bm B` 的元素, 计算得 `delta_(i j) = v_i^ast(v_j)` `= (sum_k u_k^ast b_(k i))(sum_l u_l a_(l j))` `= sum_(k, l) b_(k i) a_(l j) delta_(k l)` `= sum_k b_(k i) a_(k j)`, 即 `bm B^(sf T) bm A = bm I`.

多重线性函数

设 `V_1, cdots, V_p` 是 `p` 个线性空间, 维数分别是 `n_1, cdots, n_p`. 如果 `f: V_1 xx cdots xx V_p to RR` 关于它的每个分量都是线性函数, 则称它是多重线性函数. `V_1 xx cdots V_p` 上全体多重线性函数的集合记为 `cc L(V_1, cdots, V_p"; "RR)`, 它是一个线性空间.

任取这 `p` 个线性的空间的基底 `(e_1^((1)), cdots, e_(n_1)^((1)))`,
`cdots`,
`(e_1^((p)), cdots, e_(n_p)^((p)))`. 从集合 `cc L(V_1, cdots, V_p"; "RR)` 中取 `n_1 cdots n_p` 个元素 `f_(i_1 cdots i_p)`, `quad i_k in {1, cdots, n_k}`. 其中 `f_(i_1 cdots i_p)` 将多重基向量 `(e_(i_1)^((1)), cdots, e_(i_p)^((p)))` 映为 `1`, 其它多重基向量映为 `0`. 可以验证这些 `f_(i_1 cdots i_p)` 就构成 `cc L(V_1, cdots, V_p"; "RR)` 的基底.

从以上证明看出, 在有限维的情形, 多重线性函数的坐标就形如多维数组, 它的坐标运算就是多维数组的运算.

张量的定义

线性空间 `V` 上的 `{::}_p^q` 型张量是指如下的 `p+q` 重线性函数: `f: (V^ast)^p xx V^q to RR`, 其中 `p+q` 称为 `f` 的阶数, `p` 称为协变阶数, `q` 称为逆变或反变阶数. `V` 上全体 `{::}_p^q` 型张量的集合记为 `V_p^q`.

1. `{::}_1^0` 型张量是一个协变, 即 `V^ast` 中的元素;
2. `{::}_0^1` 型张量是一个逆变, 根据自然同构, 它就是 `V` 中的向量;
3. `{::}_q^0` 型张量称为 `q` 阶协变张量;
4. `{::}_0^p` 型张量称为 `p` 阶逆变张量.

根据自然同构, `V` 上的 `{::}_p^q` 型张量也可看作 `V^ast` 上的 `{::}_q^p` 型张量, 或者看作 `f: V^q to V^p`.

1. `f: (V^ast)^p xx V^q to RR` 即为 `f: (V^(ast ast))^q xx (V^ast)^p to RR`.
2. 将 `q` 个 `V` 中向量喂给 `f`, 会得到一个函数 `g: (V^ast)^p to RR`, 即 `g in (V^(ast ast))^p`, 换言之 `g in V^p`.

张量的坐标表示 `V` 上的 `{::}_p^q` 型张量在基底下写成 `f = sum_(i_1 cdots i_p j_1 cdots j_q) k_(i_1 cdots i_p)^(j_1 cdots j_q) f_(i_1 cdots i_p)^(j_1 cdots j_q)`. 上式共有 `n^(p+q)` 项相加. 其中系数 `k_(i_1 cdots i_p)^(j_1 cdots j_q)` 称为这个张量的分量; 张量的分量形如一个多维数组. `p+q` 重基函数 `f_(i_1 cdots i_p)^(j_1 cdots j_q)` 将 `q` 重基向量 `(e_(j_1), cdots, e_(j_q))` 映到 `p` 重基向量 `(e_(i_1), cdots, e_(i_p))`, 而将其它 `q` 重基向量映为零 (`p` 重零向量). 特别 `p = 0` 时, `p` 重基向量 `(e_(i_1), cdots, e_(i_p))` 退化为 `1`.

张量观点下欧氏空间的内积运算 在标准正交基 `bm e_1, cdots, bm e_n` 下, 两向量的内积 `bm x * bm y` `= (sum_i x_i bm e_i) * (sum_j y_j bm e_j)` `= sum_(i j) x_i y_j bm e_i * bm e_j` `= sum_(i j) x_i y_j delta_(i j)`. 内积运算 `f(bm x, bm y) = bm x * bm y` 接收两个 `RR^n` 中向量, 输出一个实数, 它是欧氏空间 `RR^n` 上的二阶协变张量. 其分量 `delta_(i j)` 恰为单位矩阵.

张量观点下的线性变换 线性变换 `f(bm x) = cc A bm x` 接收一个向量, 输出一个向量, 它是线性空间 `V` 上的 `{::}_1^1` 型张量, 其分量就是 `cc A` 的系数矩阵.

张量积

1. 多重线性函数的张量积 设 `f`, `g` 分别是 `s, t` 重线性函数, 它们的张量积定义为 `(f : g)(x_1, cdots, x_s, y_1, cdots, y_t)` `:= f(x_1, cdots, x_s) g(y_1, cdots, y_t)`. 于是 `f : g` 是 `s + t` 重线性函数. 又, 张量积满足结合律.
2. 线性空间的张量积 设 `U, V` 分别是 `m, n` 维线性空间, 任取 `u in U`, `v in V`, 视它们为张量 (将 `u, v` 分别看作 `U^ast, V^ast` 上的线性函数), 于是 `u : v` 有意义, 线性空间 `U, V` 的张量积定义为 `U : V := {u : v | u in U, v in V}`. 从而 `U : V` 是一个 `m n` 维线性空间.

`V` 上全体 `{::}_p^q` 型张量 `V_p^q` 可以分解为线性空间的张量积: `V_p^q = underbrace(V : cdots : V)_p : underbrace(V^ast : cdots : V^ast)_q`.

张量的记号

指标运算

为便于运算, 我们总是取定一个基底, 然后引入张量的坐标表示. 和矢量一样, 张量与基底的选取无关, 但它的坐标与基底有关. 在不引起混淆的情况下, 我们把张量的坐标表示也称为张量.

• 矢量的基底 我们为欧氏空间 `RR^3` 取定两组基底. 在基底 `{bm e_i}_(i=1)^3` 下, 矢量的坐标是 `x^i`, 称为逆变坐标; 在对偶基底 `{bm e^j}_(j=1)^3` 下, 对偶矢量的坐标是 `x_j`, 称为协变坐标. `{bm e_i}`, `{bm e^j}` 未必是单位、正交矢量, 但要满足 `bm e_i * bm e^j = delta_i^j = {1, if i = j; 0, otherwise:}`.

  "逆天" `rarr` 逆变是上标;
  "鞋" `rarr` 协变是下标.

• 张量的基底 上面取定的两组基底决定了 `RR^3` 上张量的基底: `(bm e_(i_1), cdots, bm e_(i_p), bm e^(j_1), cdots, bm e^(j_q))`, `quad i_1, cdots, i_p, j_1, cdots, j_q in {1, 2, 3}`. 在该基底下, 一个张量可以写成形如 `X_(j_1 cdots j_q)^(i_1 cdots i_p)` 的样子. 张量的上标称为逆变指标, 下标称为协变指标.
• 指标缩并 采用 Einstein 求和约定, 若一个相同指标同时出现在上标和下标中, 则它表示一个求和运算. `x_i y^i = sum_i x_i y^i`, `quad x^i y_i = sum_i x^i y_i`. 缩并的指标 `i` 可以随意地换成其它未在表达式中出现的字母, 它们称为哑指标.
• 对称性 关于两个指标对称是指: `X^(i j) = X^(j i)`. 关于两个指标反对称是指: `X^(i j) = -X^(j i)`. 关于多个指标对称, 是指任意交换任意两个指标而结果相等; 关于多个指标反对称是指任意交换任意两个指标而结果相差一个负号.

对称指标与反对称指标缩并结果为零 例如设 `X^(i j)` 对称, `Y_(i j k)` 反对称, 则 `X^(i j) Y_(i j k)` `= -X^(j i) Y_(j i k)`. 但 `i, j` 是哑指标, 可以随意改写为其它字母, 比如把 `i` 重写成 `j`, 而 `j` 重写成 `i`. 因此上式右边等于 `-X^(i j) Y_(i j k)`. 该结果恰比原式多一个负号, 说明原式为零.

• Kronecker 符号是一个对称 `{::}_1^1` 型张量: `delta_i^j := { 1, if i = j; 0, otherwise :}`
• Levi-Civita 符号是一个反对称 `{::}_3^0` 型张量: `epsi_(1 2 3) = epsi_(2 3 1) = epsi_(3 1 2) = 1`,
  `epsi_(1 3 2) = epsi_(2 1 3) = epsi_(3 2 1) = 1`. 因为它反对称, 所以任意两个指标相同时结果为零, 如 `epsi_(1 1 2) = 0`.
• Eddington 张量 `cc E_(i j k) = bm e_i xx bm e_j * bm e_k`,
  `cc E^(i j k) = bm e^i xx bm e^j * bm e^k`,
  `cc E_i^(j k) = bm e_i xx bm e^j * bm e^k`.

向量的叉乘 笛卡尔坐标系中, 若向量 `C = A xx B`, 我们知道它的 `x` 坐标满足 `C_x = A_y B_z - A_z B_y`, 用 Levi-Civita 符号, 就是 `C_c = epsi_(a b c) A^a B^b`.

以 `x` 坐标为例, `y, z` 同理: `C_x = epsi_(a b x) A^a B^b` `= sum_(a, b in {x, y, z}) epsi_(a b x) A^a B^b` 但由于 `epsi` 的反对称性, `a, b` 相等时, 该项为零; `a, b` 等于 `x` 时该项也为零. 故上式等于 `epsi_(y z x) A^y B^z + epsi_(z y x) A^z B^y` `= A^y B^z - A^z B^y`.

对偶基底的关系 设 `i, j, k` 互不相同且为偶排列, 如 `1, 2, 3`. 由于 `bm e^i * bm e_j = bm e^i * bm e_k = 0`,
`bm e^i * bm e_i = 1 = (bm e_j xx bm e_k * bm e_i)/(bm e_j xx bm e_k * bm e_i)`, 所以 `bm e^i = (bm e_j xx bm e_k)/(bm e_j xx bm e_k * bm e_i)` `= (bm e_j xx bm e_k)/(bm e_1 xx bm e_2 * bm e_3)`.

逆变、协变的由来 设 `x` 是线性空间 `V` 中的向量, `f` 是 `V` 上的线性函数. 取定 `V` 的基底 `alpha_i` 和 `beta_i`, 有 `x = x^i alpha_i = y^i beta_i`,
`f(x) = x^i f(alpha_i) = y^i f(beta_i)`. 设基底间的过渡矩阵为 `A_i^j`, 即 `beta_i = A_i^j alpha_j`, 则 `f(beta_i) = A_i^j f(alpha_j)`. `f(alpha_j)` 到 `f(beta_i)` 间相差的变换与基底的变换一致, 是协变. 又 `x^j alpha_j = y^i beta_i` `= y^i A_i^j alpha_j`,
即 `x^j = A_i^j y^i`, 或 `y^i = (A_i^j)^-1 x^j`. `x^j` 到 `y^i` 间相差的变换与其底的变换相反, 是逆变.

度规

度规 定义为基底与对偶基底间的过渡矩阵: `bm e_i = g_(i j) bm e^j`, `quad bm e^i = g^(i j) bm e_j`. 于是 `bm e_i * bm e_j = g_(i j) bm e^j * bm e_j = g_(i j)`.
同理 `bm e^i * bm e^j = g^(i j)`. 上式也可以作为度规的定义. 度规矩阵的行列式 `g := det(g_(i j))` 称为 Gauss 曲率.

1. `(g_(i j)) = (g^(i j))^-1` (逆矩阵);
2. 由内积的对称性, `g_(i j) = g_(j i)`;

张量的一些例子
1. 线性变换 `A_i^j` 是二阶混合张量 (`{::}_1^1` 型张量). `x^j = A_i^j x^i`.
2. 度规 `g_(i j)` 是二阶协变张量, `g^(i j)` 是二阶逆变张量.
3. 向量 `x_i`, `x^j` 分别是一阶协变、逆变张量, 标量是零阶张量.

标架运动方程

今后我们常在逆变坐标下进行微分. 张量 `A` 对逆变坐标 `x^i` 的微分 `pp A x^i` 用「逗号下标」的方式简记为 `A,_i`.

标架运动方程 对空间 `RR^3` 中的每一点 `P(x^1, x^2, x^3)` 都建立一个局部标架 `{P";" bm e_i";" bm e^j}`, `i, j = 1, 2, 3`. 基向量 `bm e_i` 和 `bm e^j` 是 `P` 的坐标 `x^1, x^2, x^3` 的函数, 我们把基向量对坐标求微分, 就得到标架运动方程: `{bm e_(j, i) := Gamma_(i j)^k bm e_k := Gamma_(i j k) bm e^k; bm e_(,i)^j = -Gamma_(i k)^j bm e^k = -Gamma_(i j k) bm e_k:}` 这里 `Gamma_(i j k)` 和 `Gamma_(i j)^k` 分别叫做第一、二类 Christoffel 符号 (克氏符号).

[来自 我是烦人精的近乎幂零群] 这里给出标架运动方程的第二行的证明.
1. 设基底 `{x_i}` 到 `{bm e_i}` 的过渡矩阵为 `(a_j^i)`, 即 `bm e_j = a_j^i x_i`, 又设对偶基底 `{x^i}` 到 `{bm e^i}` 的过渡矩阵为 `(b_i^j)`, 即 `bm e^j = b_i^j x^i`. 由这条推论知道, 矩阵 `(b_i^j)` 等于 `(a_j^i)` 的转置的逆, 于是 `x_i = b_i^j bm e_j`, `x^i = a_j^i bm e^j`. 求导得 `bm e_(j, i) = (a_j^l)_(,i) x_l = (a_j^l)_(,i) b_l^k bm e_k`,
   `bm e_(,i)^j = (b_l^j)_(,i) x^l = color(red)((b_l^j)_(,i) a_k^l) bm e^k`. 记 `Gamma_(i j)^k = (a_j^l)_(,i) b_l^k`, 由于 `a_k^l b_l^j = delta_k^j`, 对 `x^i` 微分得到 `color(blue)((a_k^l)_(,i) b_l^j) + color(red)(a_k^l (b_l^j)_(,i)) = 0`. 于是 `color(red)((b_l^j)_(,i) a_k^l) = - color(blue)((a_k^l)_(,i) b_l^j) = - Gamma_(i k)^j`.
2. ??

1. `Gamma_(i j k) = Gamma_(i j)^l g_(l k)`;
2. `Gamma_(i j)^k = Gamma_(i j l) g^(l k)`.

只证 1. 利用度规定义, `Gamma_(i j k) bm e^k` `= Gamma_(i j)^k bm e_k` `= Gamma_(i j)^k g_(k l) bm e^l` `= Gamma_(i j)^l g_(l k) bm e^k`.

[来自群友 乐正垂星] 澄清: 我们有 `g_(l k) Gamma_(i j)^l = Gamma_(i j)^l g_(l k)`, 因为 `g_(l k)` 和 `Gamma_(i j)^l` 严格说只是张量的分量, 实际就是数字, 它们的乘法是可以随意交换的. 而当我们说矩阵 `A B != B A` 时, 实际上是说 `A^i_k B^k_j != B^i_k A^k_j`, 矩阵次序的交换对应着上下指标的交换.

用度规表示克氏符号 `Gamma_(i k)^l = 1/2 g^(l j) (g_(i j,k) + g_(j k, i) - g_(k i,j))`.

写出 `g_(i j,k) = (bm e_i * bm e_j),_k` `= bm e_(i,k) * bm e_j + bm e_(j,k) * bm e_i`, ① `g_(j k,i) = bm e_(j,i) * bm e_k + bm e_(k,i) * bm e_j`, ② `g_(k i,j) = bm e_(k,j) * bm e_i + bm e_(i,j) * bm e_k`. ③ ①+②-③, `g_(i j,k) + g_(j k,i) - g_(k i,j)` `= 2 bm e_(i,k) * bm e_j` `= 2 Gamma_(i k)^l bm e_l * bm e_j` `= 2 Gamma_(i k)^l g_(l j)`. 两边同乘 `g^(l j)` 即得结论.