我们从第一节的 `n` 元向量的线性相关性入手, 在第二节引入矩阵的秩, 最终在第三节得出结论.
仅考虑加法和数乘时, 我们不区分 `n` 元列向量与它的转置, 将 `n` 元列向量与 `n` 元行向量统称为 `bm n` 元向量. 数域 `bbb F` 上 `n` 元向量的全体记为 `bbb F^n`, 把 `bbb F^n` 连同其上的加法和数乘 `(bbb F^n, +, *)` 称为 `bbb F` 上的 `bm n` 元向量空间. 特别 `bbb F = RR (CC)` 时, 称为 `bm n` 元实 (复) 向量空间.
`n` 元向量空间是后面更一般的线性空间的一个例子. 事实上, `bbb F` 上的任意 `n` 维线性空间同构于 `bbb F^n`, 因此本章中许多 `bbb F^n` 中的概念, 如向量的线性相关性, 向量组的秩等, 都可以平行推广到线性空间中.
设 `bm beta, bm alpha_1, cdots, bm alpha_s in bbb F^n`, `s ge 1`. 若存在 `k_1, cdots, k_s in bbb F`, 使得 `sum_(i=1)^s k_i bm alpha_i = bm beta`, 则称 `bm beta` 可被 `bm alpha_1, cdots, bm alpha_s` 线性表出, 或 `bm beta` 为 `bm alpha_1, cdots, bm alpha_s` 的线性组合. 将 `bbb F^n` 中全体可被 `bm alpha_1, cdots, bm alpha_s` 线性表出的向量记为 `"span"[bm alpha_1, cdots, bm alpha_s]`, 则 `bm beta in "span"[bm alpha_1, cdots, bm alpha_s]`.
设 `s ge 1`, 称向量组 `bm alpha_1, cdots, bm alpha_s in bbb F^n` 线性相关, 如果存在不全为零的 `s` 个数 `k_1, cdots, k_s in bbb F`, 使得零向量为该向量组的线性组合, 即 `sum_(i=1)^s k_i bm alpha_i = bm theta`. 否则, 称该向量组线性无关, 即, 如果有 `s` 个数 `k_1, cdots, k_s in bbb F` 使得上式成立, 则 `k_1 = cdots = k_s = 0`.
设 `bm beta in bbb F^n` 可被 `bm alpha_1, cdots, bm alpha_s in bbb F^n` 线性表出, 则向量组 `bm alpha_1, cdots, bm alpha_s` 线性无关当且仅当该表出方式唯一.
上述定理可以作为线性相关 (无关) 的等价定义. 事实上, 我们正是以零向量被一个向量组线性表出方式的唯一性 (不唯一性) 来定义该向量组的线性无关 (相关) 的 (零向量是能被任意向量表示的向量).
设 `S, T sube bbb F^n` 是两个向量族
(这里的 `S, T` 未必只有有限个向量, 且与集合定义不同,
我们允许向量族中的元素重复).
如果 `S` 中每一向量可被 `T` 中的向量线性表出, 即 `S sube "span"[T]`,
则称向量族 `S` 可被 `T` 线性表出.
显然若 `S sube T`, 则 `S sube "span"[T]`.
如果恰有 `S = "span"[T]`, 则称 `T` 为 `S` 的生成集;
特别当 `T` 只有有限个向量时, 称为 `S` 的生成向量组.
称两向量族等价, 如果它们可以互相表出.
向量族的等价是一等价关系, 向量族之间的线性表出是一偏序关系.
在替换定理中取 `"II"` 为 `n` 元单位向量组, 得到: `bbb F^n` 中任意线性无关向量组含向量的个数不超过 `n`.
设 `bm alpha_1, cdots, bm alpha_s in bbb F^n` 和 `bm beta_1, cdots, bm beta_t in bbb F^n` 等价且各自线性无关, 则 `s = t`.
设 `bm alpha_1, cdots, bm alpha_r in S sube bbb F^n`. 称 `bm alpha_1, cdots, bm alpha_r` 为向量族 `S` 的一个极大线性无关组, 或简称极大无关组, 如果它线性无关, 且与 `S` 等价. 即极大线性无关组是能够表出 `S` 中任意向量的无关向量组.
由, `S` 中任意向量被它的极大无关组线性表示的方式是唯一的.
极大无关组具有传递性. 若 `"I"` 为 `"II"` 的极大无关组, 而 `"II"` 为向量族 `S` 的极大无关组, 则 `"I"` 也是 `S` 的极大无关组.
设 `"I": bm alpha_1, cdots, bm alpha_s` 线性无关, 则 `bm alpha_1, cdots, bm alpha_(s+1)` 线性无关当且仅当 `bm alpha_(s+1)` 不是 `"I"` 的线性组合. 从而由数学归纳法知道, `bm alpha_1, cdots, bm alpha_s in bbb F^n` 线性无关当且仅当 `bm alpha_1 != bm theta`, 且对任意 `i = 2, 3, cdots, s`, `bm alpha_i` 不是 `bm alpha_1, cdots, bm alpha_(i-1)` 的线性组合.
`rArr`: 由显然. `lArr`: 设存在 `k_i in bbb F^n`, `i = 1, 2, cdots, s+1` 使得 `sum_(i=1)^(s+1) k_i bm alpha_i = bm theta`. 由 `bm alpha_(s+1)` 不是 `"I"` 的线性组合知 `k_(s+1) = 0`. 再由 `"I"` 线性无关, `k_1 = cdots = k_s = 0`. 于是 `bm alpha_1, cdots, bm alpha_(s+1)` 线性无关.
扩充定理 令 `"I": bm alpha_1, cdots, bm alpha_s in bbb F^n`, 若 `{bm alpha_i}_(i=1)^h` 线性无关, 但不构成 `"I"` 的极大无关组, 则可以从余下的 `s-h` 个向量 `bm alpha_(h+1), cdots, bm alpha_s` 中选取若干向量, 使 `{bm alpha_i}_(i=1)^h` 与这些向量一起构成 `"I"` 的一个极大线性无关组. 换言之, 任意无关向量组可以扩充为极大线性无关组.
因为 `{bm alpha_i}_(i=1)^h` 线性无关, 但不构成 `"I"` 的极大无关组, 由定义知存在 `bm beta in {bm alpha_(h+1), cdots, bm alpha_s}`, 且 `bm beta` 不能被 `{bm alpha_i}_(i=1)^h` 线性表出. 从而由知 `bm alpha_1, cdots, bm alpha_h, bm beta` 线性无关. 由于 `s` 为有限数, 这一操作不可能无限进行下去, 所以最终我们将获得 `"I"` 的一个极大无关组.
令 `"I": bm alpha_1, cdots, bm alpha_s` 是 `bbb F^n` 中不全为零的向量组. 由扩充定理知, `"I"` 中存在极大无关组. 再由知, `"I"` 中所有极大无关组所含向量个数是相等的. 这个非负整数只与 `"I"` 有关, 而与极大无关组的选取无关, 称为 `"I"` 的秩, 记为 `r("I")` 或 `r({bm alpha_i}_(i=1)^s)`. 约定全由零向量组成的向量组的秩为 `0`.
定理告诉我们, 极大无关组就是最大无关组, 从而给出一个极大无关组的等价定义. 这一定理得出的关于秩的结论是非常对称而优美的.
从 早已知道, `n` 元向量的线性相关性与方程组解的存在性问题密不可分. 现在利用已经得到的向量线性相关性的结论, 回过头来解决方程组解的存在性问题, 即下面的定理:
设 `bm alpha_1, cdots, bm alpha_n, bm beta in bbb F^m`, 则线性方程组 `sum_(i=1)^n x_i bm alpha_i = bm beta` 有解当且仅当 ` r({bm alpha_1, cdots, bm alpha_n}) = r({bm alpha_1, cdots, bm alpha_n, bm beta})`. (3-1) 进一步, 当此方程组有解时, 其解唯一当且仅当 `bm alpha_1, cdots, bm alpha_n` 线性无关, 即 ` r({bm alpha_1, cdots, bm alpha_n}) = r({bm alpha_1, cdots, bm alpha_n, bm beta}) = n`.
设 `bm A in bbb F^(m xx n)`, 把 `bm A` 的某 `r` 行某 `s` 列交叉处的 `r xx s` 个元素按原来 "上下左右" 的顺序形成的 `r xx s` 矩阵称为 `bm A` 的子阵, `r = 1, 2, cdots, m`, `s = 1, 2, cdots, n`. 特别 `r = s` 时, 称为 `r` 阶子阵, 其行列式称为 `bm A` 的 `r` 阶子式, `r = 1, 2, cdots, min{m, n}`.
称 `bm A in bbb F^(m xx n)` 的列向量组 `{bm (A epsi)_j}_(j=1)^n` 的秩为 `bm A` 的列秩, 行向量组 `{bm epsi_i^T bm A)}_(i=1)^m` 的秩为 `bm A` 的行秩, 称 `bm A` 的全体非零子式的最大阶数为 `bm A` 的行列式秩. 规定零矩阵的行列式秩为 `0`. 因此, `bm A` 的行秩, 列秩和行列式秩都是非负整数.
|
|
有限次初等变换不改变向量组的秩.
任意 `bm A in bbb F^(m xx n)` 的行秩 = 列秩 = 行列式秩, 简单地称这个数字为 `bm A` 的秩, 记作 `r(bm A)`.
有限次初等变换不改变矩阵的秩.
两个矩阵等价当且仅当它们是具有同样行, 列数的同秩矩阵.
由于可逆矩阵可以写为有限个初等矩阵的乘积, 所以任一矩阵乘以可逆矩阵后, 秩不变.
称方阵 `bm A in bbb F^(n xx n)` 满秩, 如果 `r(bm A) = n`.
设 `bm A in bbb F^(n xx n)`, 则 `bm A` 满秩 `iff bm A` 非奇异 (即行列式非零) `iff` 齐次方程组 `bm (AX) = bb 0` 只有零解 `iff bm A` 可逆.
阶梯形矩阵 ` bm A = [**,a_12,a_13, cdots, a_(1r), cdots, a_(1n); 0,**, a_12, cdots, a_(2r), cdots, a_(2n); 0,0, **, cdots, a_(3r), cdots, a_(3n); vdots, vdots, vdots, , vdots, , vdots; 0,0, 0, cdots, **, cdots, a_(rn); 0,0, 0, cdots, 0, cdots, 0; vdots, vdots, vdots, , vdots, , vdots; 0,0, 0, cdots, 0, cdots, 0]` 的秩为 `r`, 其中 `**` 为非零数.
利用初等变换计算 `[4,-2,1; 1,2,-2; -1,8,-7; 2,14,-13]` 的秩.
作行初等变换: `[4,-2,1; 1,2,-2; -1,8,-7; 2,14,-13]` `overset([1, 2]) rarr` `[1,2,-2; 4,-2,1; -1,8,-7; 2,14,-13]` `underset([3+1(1)][4-1(2)]) overset([2-1(4)]) rarr` `[1,2,-2; 0,-10,9; 0,10,-9; 0,10,-9]` `underset([4+2(1)]) overset([3+2(1)]) rarr` `[1,2,-2; 0,-10,9; 0,0,0; 0,0,0]`. 由上例知原矩阵的秩为 2.
低秩矩阵 方阵 `bm A in bbb F^(n xx n)` 的秩 `le 1` 当且仅当存在 `bm alpha, bm beta in bbb F^(n xx 1)`, 使得 `bm A = bm (alpha beta)^T`. 此时记 `k = bm beta^T bm alpha`, 则 `bm A^2 = k bm A`. 可见低秩矩阵的幂运算是容易进行的.
几何证明. 根据公式 `r(bm A) = dim("Im"bm A)` 和 `n - r(bm A) = dim("Ker"bm A)`, 我们只需证: `dim("Im"bm B) - dim("Ker"bm A) le dim("Im"(bm (A B)))`. 将线性变换 `bm A` 限制于 `"Im" bm B`, 于是它的核为 `"Ker"bm A nn "Im"bm B`, 像为 `"Im"bm (A B)`. `dim("Im"bm B) - dim("Ker"bm A)` `le dim("Im"bm B) - dim("Ker"bm A nn "Im"bm B))` `= dim("Im"(bm (A B)))`. 等号成立当且仅当 `dim("Ker"bm A nn "Im"bm B) = dim("Ker"bm A)` `iff "Ker"bm A sube "Im"bm B`.
代数证明.
利用初等变换有
`[bm(A B), ; , bm I_n]`
`~ [bm(A B), ; bm B, bm I_n]`
`~ [, -bm A; bm B, bm I_n]`
`~ [bm A, ; bm I_n, bm B]`.
两边取 rank 有
`r(bm(A B)) + n = r[bm A, ; bm I_n, bm B]` `ge r(bm A) + r(bm B)`.
最后这个不等号是因为, 由于左下 `bm I_n` 的存在, 分块矩阵前 `n` 列的秩是 `n ge r(bm A)`,
从而整个分块矩阵的秩 `ge r(bm A) + r(bm B)`.
再考察等号成立的条件. 2 是显然的, 3 是 2 的推论.
我们只证 4:
`[bm A, ; bm I_n, bm B]`
`~ [bm (P_1 A bm Q_1), ; bm(P_2 Q_1), bm(P_2 B Q_2)]`
`~ [bm I_(r_1); , bm O; bm O, bm O, bm I_(r_2); bm O, bm C, , bm O]`.
可以看出右边矩阵的秩等于 `r_1 + r_2` 当且仅当 `bm C = 0`.
`bm A in bbb F^(r xx r)`, `bm B in bbb F^(r xx n)`,
`r(bm B) = r`, 则
`bm(A B) = bm O rArr bm A = bm O`,
`bm(A B) = bm B rArr bm A = bm I`.
若 `bm(A B) = bm O`, 由 Sylvester 秩不等式立即有 `r(bm A) + r(bm B)
le r`, 但 `r(bm B) = r`, 故 `r(bm A) le 0`, 即 `bm A = bm O`.
若 `bm(A B) = bm B`, 令 `bm B_1` 为 `bm B` 中线性无关的 `r`
列组成的方阵, 于是 `bm B_1` 可逆, 且 `bm(A B_1) = bm B_1`.
两边同时右乘 `bm B_1^-1` 得 `bm A = bm I`.
矩阵的秩因子分解 (rank factorization) 令 `bm A in bbb F^(m xx n)`, `r(bm A) = r`, 则存在 `bm B in bbb F^(m xx r)`, `bm C in bbb F^(r xx n)` 使得 `r(bm B) = r(bm C) = r`, `bm A = bm(B C)`.
`r = 0` 时, `bm A = bm O`, 取 `bm B, bm C` 为零矩阵即可. 下设 `r gt 0`. 记 `bm A = (bm alpha_1, cdots, bm alpha_n)`. 不妨设 `bm A` 的前 `r` 列线性无关, 则后 `n-r` 列可以被前 `r` 列线性表出: `bm alpha_(r+j) = sum_(i=1)^r c_(i j) bm alpha_i`, `quad j = 1,2,cdots,n-r`. 将 `bm A` 的前 `r` 列组成的矩阵记为 `bm B`, 又记 `bm C_1 = (c_(i j))_(r xx (n-r))`, `quad bm C = (bm I_r, bm C_1)`, 可以验证 `r(bm B) = r(bm C) = r`, 且 `bm A = bm(B C)`.
回到线性方程组理论的主线上, 将上节 的结论用矩阵秩的语言叙述如下:
设 `bm A in bbb F^(m xx n)`, `bm B in bbb F^m`. 则方程组 `bm (AX) = bm B` 有解当且仅当 `r(bm A) = r((bm A","bm B))`, 其中分块矩阵 `(bm A, bm B)` 表示方程组的增广矩阵. 进一步, 当此方程组有解时, 其解唯一当且仅当 `r(bm A) = r((bm A","bm B)) = n`.
判断下列线性方程组的可解性. `{ x_1 + 2x_2 + 3x_3 + x_4 = 1; x_1 + 4x_2 + 5x_3 + 2x_4 = 2; 2x_1 + 9x_2 + 8x_3 + 3x_4 = 7; 3x_1 + 7x_2 + 7x_3 + 2x_4 = 12; 5x_1 + 7x_2 + 9x_3 + 2x_4 = 20; :}`
只作行初等变换, 同时求出上面方程组系数矩阵与增广矩阵的秩. `[1,2,3,1,1; 1,4,5,2,2; 2,9,8,3,7; 3,7,7,2,12; 5,7,9,2,20]` `underset([4-1(3)][5-1(5)]) overset([3-2(2)][2-1(1)]) rarr` `[1,2,3,1,1; 0,2,2,1,1; 0,1,-2,-1,3; 0,1,-2,-1,9; 0,-3,-6,-3,15]` `underset([4-2(1)][5+2(3)]) overset([2","3][3-2(2)]) rarr` `[1,2,3,1,1; 0,1,-2,-1,3; 0,0,6,3,-5; 0,0,0,0,6; 0,0,-12,-6,24]` `underset([5-4(14/6)]) overset([5+3(2)]) rarr` `[1,2,3,1,1; 0,1,-2,-1,3; 0,0,6,3,-5; 0,0,0,0,6; 0,0,0,0,0]`. 最后的矩阵是增广矩阵在初等变换后的形状, 其中前四列构成系数矩阵在初等变换后的形状. 可见系数矩阵的秩为 3, 而增广矩阵的秩为 4, 方程组无解. 当然, 只要不涉及最后一列, 对矩阵作列的初等变换也是允许的.
本节中假定 `bm A in bbb F^(m xx n)`, `bm X in bbb F^n`, `bm B in bbb F^m`, `bb 0` 是 `m` 元零向量. 我们的讨论对象是非齐次线性方程组 `bm (AX) = bm B` (3-2) 与齐次线性方程组 `bm (AX) = bb 0`. (3-3) 后者称为前者的导出线性方程组.
齐次线性方程组 总是有解的, `n` 元零向量就是一个解; 此推论也可由增广矩阵 `(bm A, bb 0)` 总与其系数矩阵 `bm A` 同秩这一事实得到.
线性叠加原理 设 `bm X_1, cdots, bm X_s` 是齐次线性方程组 的解, 则它们的任意线性组合也是 的解, 这是因为 ` bm A(sum_(i=1)^s k_i bm X_i) = sum_(i=1)^s k_i (bm (AX_i)) = bb 0`. 因此, 若齐次线性方程组有非零解, 它就有无穷多个解.
女装只有 `0` 次或 `oo` 次.
下面的引理给出构造同解线性方程组的一种方法.
若非齐次线性方程组 有解, 且 `bm A` 的前 `r` 行构成 `bm A` 的行向量组的一个极大无关组, 则 与自己的前 `r` 行 `bm A_(r xx n) bm X = bm B_(r xx 1)` 同解. 一般地, 从 `bm A` 的行向量组中选出一个极大无关组, 它们所在的行组成的新方程组与原方程组同解.
因为 `bm A` 的前 `r` 行线性无关, 由 的 2, 增广矩阵 `(bm A, bm B)` 的前 `r` 行也线性无关. 又方程组 `bm (AX) = bm B` 有解, `r = r(bm A) = r((bm A","bm B))`. 因此由 , `(bm A, bm B)` 的前 `r` 行构成其行向量组的极大无关组, 从而 `(bm A, bm B)` 的后 `m-r` 行是前 `r` 行的线性组合. 对增广矩阵施行有限次第二类行初等变换, 就可将它的后 `m-r` 行化为零, 从而这一变换后的方程组 (本质上, 即 `bm A_(r xx n) bm X = bm B_(r xx 1)`) 与原方程组同解.
齐次线性方程组 中, 记 `r(bm A) = r`. 令 `bm A` 左上角的 `r` 阶子式非零, `bm A_(r xx n)` 是 `bm A` 的前 `r` 行组成的矩阵, 若 `r lt n`, 将 `bm A_(r xx n)` 与 `bm X` 分块为 `bm A_(r xx n) = (bm A_1^(r xx r), bm A_2^(r xx (n-r)))`, `quad` `bm X = [bm X_1^(r xx 1); bm X_2^((n-r) xx 1)]`, 则 同解于 ` bm X = [-bm A_1^-1 bm A_2; bm I_(n-r)] bm X_2`. (3-4) 任给定 `bm X_2 in bbb F^(n-r)`, 上式就确定 `bm X in bbb F^n` 的一个对应值, 因此上式实际上确定了一个 `bbb F^(n-r) to bbb F^n` 的显函数, 它由原方程组 `bm (AX) = bb 0` 蕴含的隐函数关系显化得到.
由引理, 与 `bm A_(r xx n) bm X = bb 0_(r xx 1)` 同解. 把 `bb 0_(r xx 1)` 仍记为 `bb 0`, 上式改写为 `bm A_1 bm X_1 + bm A_2 bm X_2 = bb 0`, 即 (在线性规划理论中, 这一步骤称为用非基变量表出基变量) `bm A_1 bm X_1 = -bm A_2 bm X_2`. 由假设 `|bm A_1| != 0`, 从而同解于 `bm X_1 = -bm A_1^-1 bm A_2 bm X_2` 由于 `bm X_2 = bm I_(n-r) bm X_2` 恒成立, 上式又同解于 ` bm X = [bm X_1; bm X_2] = [-bm A_1^-1 bm A_2; bm I_(n-r)] bm X_2`. 即 .
在 中特别取 `bm X_2 != bb 0`, 则 `bm X != bb 0`. 这说明 `r lt n` 时, 有非零解. 这一结论与 的 2 相符.
若齐次线性方程组 有非零解, 其非零解 `bm X_1, cdots, bm X_s` 构成其解集的极大线性无关组, 则称 `bm X_1, cdots, bm X_s` 为 的一个基础解系, 它们中的每一个称为基础解或基解.
设齐次线性方程组 的基础解系存在, 则它不唯一. 事实上设 `bm X_1, cdots, bm X_s` 是 的一个基础解系, 则由线性叠加原理, `bm X_1, bm X_1 + bm X_2, cdots, sum_(i=1)^s bm X_i` 是 的非零解, 且容易证明是线性无关的.
令齐次线性方程组 系数矩阵的秩 `r(bm A) = r`. 若 `r lt n`, 则 具有由 `n-r` 个基解 `bm X_1, cdots, bm X_(n-r)` 组成的基础解系. 于是 的解集 `S_0` 可以表为 `S_0 = {sum_(i=1)^(n-r) k_i bm X_i: k_i in bbb F, i = 1, 2, cdots, n-r}`. `sum_(i=1)^(n-r) k_i bm X_i` 称为 的通解.
我们给出构造性证明. 仍不妨令 `bm A` 左上角的 `r` 阶子式不等于零. 因为只要调动方程和未知项的顺序就可在等价意义上做到这一点. 由定理3-9, 的解由 给出. 在 中依次取 `bm X_2 = bm epsi_i`, `i = 1, 2, cdots, n-r`, 把得到的解记为 `bm gamma_i = [-bm A_1^-1 bm A_2; bm I_(n-r)] bm epsi_i = bm (C epsi_i)`, `i = 1, 2, cdots, n-r` 则 `bm gamma_i` 为 中系数矩阵 `bm C` 的第 `i` 列, 可改写为 `bm X = sum_(i=1)^(n-r) x_(r+i) bm gamma_i`. 即 的每个解都是 `{bm gamma_i}_(i=1)^(n-r)` 的线性组合. 又 `bm C` 的子式 `|bm I_(n-r)| != 0`, 于是 `r(bm C) = n-r`, `{bm gamma_i}_(i=1)^(n-r)` 线性无关, 它们构成 的一个基础解系.
用线性空间的观点, 齐次线性方程组 `bm(A X) = bb 0` 的解集构成线性空间 `"Ker"bm A`, 称为解空间. 基础解系是解空间的基.
设非齐次线性方程组 有解, 解集为 `S != O/`, 记齐次线性方程组 的解集为 `S_0`, 取 `bm X_0 in S` , 称为 的一个特解. 则 `S = bm X_0 + S_0 := {bm X_0 + bm Y: bm Y in S_0}`. 由定理知道, 要找出非齐次线性方程组的所有解, 只需知道它的一个特解以及齐次线性方程组的所有解即可.
由 `bm X_0 in S`, `bm Y in S_0` 知, ` bm A(bm X_0 + bm Y) = bm (AX_0) + bm (AY) = bm B + bb 0 = bm B`, 故 `bm X_0 + bm Y in S`. 反之令 `bm X in S`, 由 ` bm A(bm X - bm X_0) = bm (AX) - bm (AX_0) = bm B - bm B = bb 0` 知, 存在 `bm Y = bm X - bm X_0 in S_0` 使得 `bm X = bm X_0 + bm Y`.
设非齐次线性方程组 有解, 则它有唯一解当且仅当其导出的齐次方程组只有零解.
设非齐次线性方程组 有特解 `bm X_0`, `bm X_1, cdots, bm X_(n-r)` 为其导出方程组 的一个基础解系, 则 的解集为 `{bm X_0 + sum_(i=1)^(n-r) k_i bm X_i: k_i in bbb F, i = 1, 2, cdots, n-r}`.
有了上面一段的铺垫, 我们可以对非齐次线性方程组的问题给出圆满解答了.
设有 `bbb F^(n xx 1)` 中的线性无关向量组 `"I" = {bm alpha_i}_(i=1)^r`, `"II" = {bm beta_i}_(i=1)^s`, `r + s = n`, 则 `"II"` 构成方程组 `(bm alpha_1, cdots, bm alpha_r)^T bm X = bb 0` 的基础解系当且仅当 `bm alpha_i^T bm beta_j = 0`, `quad i in [r], j in [s]`, 这当且仅当`"I"` 构成方程组 `(bm beta_1, cdots, bm beta_s)^T bm X = bb 0` 的基础解系.
配平化学方程式 `x_1 P_4 + x_2 P_2 I_4 + x_3 H_2 O == x_4 P H_4 I + x_5 H_3 P O_4`.
按各个元素列出线性方程组: `{ P: 4x_1 + 2x_2 - x_4 - x_5 = 0; I: 4x_2 - x_4 = 0; H: 2x_3 - 4x_4 - 3x_5 = 0; O: x_3 - 4x_5 = 0; :}` 设 `x_5 = 1`, 解得 `(13/32, 5/16, 4, 5/4, 1)` `overset(xx32) rarr (13, 10, 128, 40, 32)`.
3x3 点灯问题 想象一个 3 阶 0-1 矩阵, 每次可以同时翻转一个元素及其上下左右 4 个元素 (翻转意味着 0 变成 1, 1 变成 0). 假如矩阵初始状态是全 0 的, 应该翻转哪些元素使它变成全 1?
注意到点灯结果与先后顺序无关, 我们只需从 9 盏灯中选中若干, 作为每次翻转的中间那盏灯. 9 盏灯对应 9 个未知数 `x_1, cdots, x_9`, 取值 0 表示不翻转, 1 表示需要翻转. 根据题目要求, 最终 9 盏灯全亮, 这对应 9 条方程, 方程右边的常数项为 1. 至于左边的系数, 如果 `i = j` 或者 `x_i`, `x_j` 两灯相邻, 则 `a_(i j) = 1`, 否则 `a_(i j) = 0`. 我们列出线性方程组如下, 这个方程组是 `ZZ//2ZZ` 上的: `[1,1,0,1,0,0,0,0,0,1; 1,1,1,0,1,0,0,0,0,1; 0,1,1,0,0,1,0,0,0,1; 1,0,0,1,1,0,1,0,0,1; 0,1,0,1,1,1,0,1,0,1; 0,0,1,0,1,1,0,0,1,1; 0,0,0,1,0,0,1,1,0,1; 0,0,0,0,1,0,1,1,1,1; 0,0,0,0,0,1,0,1,1,1 ]` 直接在 `QQ` 上求得唯一解 `(3/7,2/7,3/7,2/7,-1/7,2/7,3/7,2/7,3/7)`, 根据分子的奇偶性得到 `ZZ//2ZZ` 上的解 `(1,0,1,0,1,0,1,0,1)`. 因此, 按照下表点灯, 就能将所有灯点亮: `[1,0,1;0,1,0;1,0,1]`.
证明: 对任意 `n` 阶矩阵 `bm A` 有 `r(bm A^n) = r(bm A^(n+1))`.
[来自 fran] 下面这个矩阵的行列式为 2: `[0, 1, 1; 1, 0, 1; 1, 1, 0]` 作为 `ZZ` 上的矩阵, 它的秩是 3, 但作为 `ZZ // 2 ZZ` 上的矩阵, 它的秩是 2: `[0, 1, 1] + [1, 0, 1] -= [1, 1, 0] (mod 2)`.