和角公式
`s(x+y) = s(x) c(y) + c(x) s(y)`,
`c(x+y) = c(x) c(y) - s(x) s(y)`.
于是立即有倍角公式:
`s(2x) = 2 s(x) c(x)`,
`c(2x) = c(x)^2 - s(x)^2`.
直接代入幂级数计算即可. 例如
`s(x) c(y) + c(x) s(y)`
`= (sum_(j ge 0) (-1)^j x^(2j+1)/((2j+1)!))(sum_(k ge 0) (-1)^k y^(2k)/((2k)!))`
`quad + (sum_(j ge 0) (-1)^j x^(2j)/((2j)!))(sum_(k ge 0) (-1)^k y^(2k+1)/((2k+1)!))`
`= sum_(n ge 0) sum_(0 le j le n) (-1)^n (x^(2j+1) y^(2n-2j))/((2j+1)!(2n-2j)!)`
`quad + sum_(n ge 0) sum_(0 le j le n) (-1)^n (x^(2j) y^(2n-2j+1))/((2j)!(2n-2j+1)!)`
`= sum_(n ge 0) (-1)^n/((2n+1)!) sum_(0 le j le n) (2n+1;2j+1) x^(2j+1) y^(2n-2j)`
`quad + sum_(n ge 0) (-1)^n/((2n+1)!) sum_(0 le j le n) (2n+1;2j) x^(2j) y^(2n-2j+1)`
`= sum_(n ge 0) (-1)^n/((2n+1)!) sum_(0 le j le 2n+1) (2n+1;j) x^j y^(2n+1-j)`
`= sum_(n ge 0) (-1)^n/((2n+1)!) (x+y)^(2n+1)`
`= s(x+y)`.
圆周率 `pi` 的定义. 存在最小正实数 `p` 使得 `c(p//2) = 0`, `s(p//2) = 1`; 我们定义 `pi := p`.
我们证明两个不等式: `x ge 0` 时,
`s(x) ge x - x^3/6`,
`c(x) le 1 - x^2/2 + x^4/24`.
事实上, 由 `s(x)^2 + c(x)^2 = 1` 知道 `|s(x)| le 1`, `|c(x)| le 1`.
反复应用求导判断单调性, 有
`s(0) = 0`, `s'(x) = c(x) le 1`
`rArr s(x) le x`;
`c(0) = 1`, `c'(x) = -s(x) ge -x`
`rArr c(x) ge 1 - x^2/2`;
`s(0) = 0`, `s'(x) = c(x) ge 1 - x^2/2`
`rArr s(x) ge x - x^3/6`;
`c(0) = 1`, `c'(x) = -s(x) le -x + x^3/6`
`rArr c(x) le 1 - x^2/2 + x^4/24`.
现在利用 `c(0) = 1` 和
`c(2) le 1 - 2^2/2 + 2^4/24 lt 0`
知道, `c(x)` 在 `[0, 2]` 上存在一个零点.
又由 `x in [0, 2]` 时
`c'(x) = -s(x) le -x + x^3/6 lt 0`,
知道 `c(x)` 在 `[0, 2]` 上严格单调减, 所以这个零点是唯一的, 我们记为 `p//2`.
下面求 `s(p//2)`.
由勾股定理知道 `s(p//2)^2 + c(p//2)^2 = 1` 故 `s(p//2) = +-1`.
然而由 `s(x) ge x - x^3/6` 知道 `s(p//2) != -1`, 故 `s(p//2) = 1`.
`theta` | `sin theta` | `cos theta` | `tan theta` |
`n xx 180^@ = n pi` | `0` | `(-1)^n` | `0` |
`90^@ = pi/2 +- 0` | `1` | `0` | `∓ oo` |
`60^@ = pi/3` | `(sqrt 3)/2` | `1/2` | `sqrt 3` |
`45^@ = pi/4` | `(sqrt 2)/2` | `(sqrt 2)/2` | `1` |
`36^@ = pi/5` | `sqrt(10-2sqrt 5)/4` | `(sqrt 5+1)/4` | `sqrt(5-2sqrt 5)` |
`30^@ = pi/6` | `1/2` | `(sqrt 3)/2` | `(sqrt 3)/3` |
`22.5^@ = pi/8` | `sqrt(2-sqrt 2)/2` | `sqrt(2+sqrt 2)/2` | `sqrt 2 - 1` |
`18^@ = pi/10` | `(sqrt 5-1)/4` | `sqrt(10+2sqrt 5)/4` | `1/sqrt(5+2sqrt 5)` |
`15^@ = pi/12` | `(sqrt 6-sqrt 2)/4` | `(sqrt 6+sqrt 2)/4` | `2-sqrt 3` |
`theta` | `sin theta` | `cos theta` | `tan theta` |
`12^@ = pi/15` | `(sqrt 3 - sqrt 15 + sqrt(10+2sqrt 5))/8` | `(-1 + sqrt 5 + sqrt(30+6sqrt 5))/8` | `(3sqrt 3-sqrt 15 + (3sqrt 5-7)sqrt(5+2sqrt 5))/2` |
`6^@ = pi/30` | `(-1 - sqrt 5 + sqrt(30-6sqrt 5))/8` | `(sqrt 3 + sqrt 15 + sqrt(10-2sqrt 5))/8` | `(sqrt 3-sqrt 15+(sqrt 5+1)sqrt(5-2sqrt 5))/2` |
求 `cos{:pi/5:}`.
设等腰 `triangle ABC` 的顶角 `A` 等于 `pi/5`, 腰长为 `1`, 底长为 `x`. 作角 `B` 的平分线交 `AC` 于 `D`. 易证 `triangle ABC S~ triangle BCD`, 所以 `BD = x`, `CD = x^2`. 又 `ABD` 也是等腰三角形, `AD = x`. 由 `CD+AD = AC` 列出方程 `x^2 + x = 1`, 解得 `x = (-1+sqrt 5)/2` (负根舍去). 在 `triangle ABC` 中使用余弦定理: `cos{:pi/5:} = (1+1-x^2)/2` `= (1+x)/2 = (1+sqrt 5)/4`.
Gauss 在 18 岁时算出了 `16 cos{:(2pi)/17:}` `= -1+sqrt 17+sqrt(34-2sqrt 17)` `+sqrt(2(3+sqrt 17)(2sqrt 17-sqrt(34-2sqrt 17)))`. 这是尺规作正 17 边形的依据.
余弦的和角公式:
考虑两个单位向量 `bm a = (cos x, sin x)`, `bm b = (cos y, sin y)`,
有
`cos (x-y)`
`= cos (:bm a, bm b:)`
`= (bm a * bm b)/(|bm a| |bm b|)`
`= bm a * bm b`
`= cos x cos y + sin x sin y`.
即 `cos(x-y) = cos x cos y + sin x sin y`.
正弦的和角公式:
`sin(x+y)`
`= cos(pi/2-x-y)`
`= cos(pi/2-x)cos y + sin(pi/2-x)sin y`
`= sin x cos y + cos x sin y`.
复数记忆. 分别考虑下式的实部和虚部: `cos(x+y) + "i" sin(x+y) = (cos x + "i" sin x)(cos y + "i" sin y)`.
由和角公式, 可以导出绝大多数的三角恒等式.
在 的 2 中取 `n = 3`, 就得到正弦函数的三倍角公式: `sin theta sin(theta+60^@) sin(theta+120^@)` `= sin theta sin(60^@+theta) sin(60^@-theta)` `= sin(3 theta)// 4`. 在 4. 中取 `n=1` 就得到余弦的三倍角公式; 两式相除得到正切的三倍角公式.
`sin 20^@ sin40^@ sin80^@ = (sqrt 3)/8`.
这是三倍角公式的直接推论, 也可以用积化和差验证: 记 `x = 10^@`, 有 `sin 20^@ * sin40^@ * sin80^@`. `1/2 [ cos (4-2)x - cos (4+2)x ] cos x` `= 1/2 (cos 2 x - 1/2) cos x` `= 1/2 cos 2 x cos x - 1/4 cos x` `= 1/4 [ cos(2+1)x + cos(2-1)x ] - 1/4 cos x` `= (sqrt 3)/8`.
记忆:
`color(red)(sin x + sin y) + color(blue)(sin x - sin y)`
`= 2sin((x+y)/2 + (x-y)/2)`
`= color(red)(2 sin{:(x+y)/2:} cos{:(x-y)/2:})
+ color(blue)(2 cos{:(x+y)/2:} sin{:(x-y)/2:})`,
`color(red)(cos x + cos y) + color(blue)(cos x - cos y)`
`= 2cos((x+y)/2 + (x-y)/2)`
`= color(red)(2 cos{:(x+y)/2:} cos{:(x-y)/2:})
color(blue)(- 2sin{:(x+y)/2:} sin{:(x-y)/2:})`.
考虑关于 `x, y` 的对称性, 就能确定红/蓝的对应关系.
复数记忆. 分别考虑下式的实部和虚部:
`exp("i"x) + exp("i"y) = exp("i"(x+y)/2) exp("i"(x-y)/2) + exp("i"(x+y)/2) exp(-"i"(x-y)/2)`,
即
`cos x + cos y + "i"(sin x + sin y)`
`= (cos{:(x+y)/2:} + "i" sin{:(x+y)/2:})(cos{:(x-y)/2:} + "i" sin{:(x-y)/2:})`
`+ (cos{:(x+y)/2:} + "i" sin{:(x+y)/2:})(cos{:(x-y)/2:} - "i" sin{:(x-y)/2:})`.
令 `t = tan {:x/2:}`, 有 `x = 2 arctan t`, 从而 `dx = (2 dt)/(1+t^2)`, `quad sin x = (2t)/(1+t^2)`, `quad tan x = (2t)/(1-t^2)`, `quad cos x = (1-t^2)/(1+t^2)`, `quad "e"^("i"x) = (1+"i"t)/(1-"i"t)`. 万能代换公式可借助下图记忆, 其中 `dx` 是 `sin x` 的小量近似.
求 `(11 sin theta + 13)/(17 cos theta + 23)` 的取值范围.
令结果为 `z`, 构造辅助角:
`11 sin theta + 13 = (17 cos theta + 23) z`,
`sqrt(11^2 +(17z)^2) sin(theta + varphi) = 23z - 13`.
于是
`(23z - 13)^2 le 11^2 + (17z)^2`,
解得 `z = (299+-sqrt(77881))/240`, 约为 0.083 和 2.409.
考虑几何意义, 问题化为: 已知 `y = 13//11 + sin theta`, `x = 23//17 + cos theta`, 求 `z = 11y//17x` 的取值范围. `(x, y)` 的轨迹是圆, 故 `z` 在该圆过原点的切线处取得最值. 记 `k = (13//11)/(23//17)`, `r = sqrt((13//11)^2 + (23//17)^2)`, `t = 1//sqrt(r^2-1)`, 则两条切线的斜率分别是 `(k +- t)/(1 ∓ k t)`. `z` 的取值范围是上式乘以 `11/17`, 约为 0.083 和 2.409.
任意两个正弦波的叠加
记 `y_i = omega_i x + varphi_i`, `i = 1, 2`,
假设 `omega_1 gt omega_2`, 则利用和差化积与辅助角公式有
`A_1 sin(omega_1 x + varphi_1) + A_2 sin(omega_2 x + varphi_2)`
`= (A_1+A_2)/2 (sin y_1 + sin y_2) + (A_1-A_2)/2 (sin y_1 - sin y_2)`
`= (A_1+A_2) sin{:(y_1+y_2)/2:} cos{:(y_1-y_2)/2:}`
`+ (A_1-A_2) sin{:(y_1-y_2)/2:} cos{:(y_1+y_2)/2:}`
`= A sin((y_1+y_2)/2 + gamma)`,
其中
`A^2 = (A_1+A_2)^2 cos^2{:(y_1-y_2)/2:}
+ (A_1-A_2)^2 sin^2{:(y_1-y_2):}`
`= A_1^2 + A_2^2 + 2 A_1 A_2 cos(y_1-y_2)`,
`tan gamma = (A_1-A_2)/(A_1+A_2) tan{:(y_1-y_2)/2:}`.
合成后的函数 `A sin((y_1+y_2)/2 + gamma)`,
振动频率大约是 `(omega_1 + omega_2)//2`. 观察 `A` 的表达式, 由于 `A^2`
的频率为 `omega_1-omega_2`, 则 `A` 的频率大约为 `(omega_1-omega_2)//2`,
这就是说函数的振幅被 `(omega_1-omega_2)//2` 这个低频调制.
[来自群友 幂零群] 设 `omega = "e"^(2 pi "i"//n)`, 将 `y = omega^j` 代入公式 `x^n - y^n = (x-y) sum_(k=0)^(n-1) y^k x^(n-1-k)` 得到: `x^n - 1 = (x - omega^j) sum_(k=0)^(n-1) omega^(j k) x^(n-1-k)`. 特别 `j = 0` 时得到 `x^n - 1 = (x-1) sum_(k=0)^(n-1) x^k`.
正弦、余弦求和公式
`x` 不等于 `2pi` 的整数倍时,
`sum_(k=1)^n cos kx`
`= cos {:((n+1)x)/2:} sin {:(nx)/2:} // sin{:x/2:}`,
` sum_(k=1)^n sin kx
= sin {:((n+1)x)/2:} sin {:(nx)/2:} // sin {:x/2:}`.
特别取 `x = 2pi//n`,
`sum_(k=1)^n cos {:(2k pi)/n:}`
`= sum_(k=1)^n sin {:(2k pi)/n:} = 0`.
这个等式的几何意义是,
向量组 `( cos {:(2k pi)/n:}, sin {:(2k pi)/n:} )`,
`k = 1, 2, cdots, n`, 中所有向量之和为零, 因为它们恰好围成一个正 `n`
边形.
只证第一式. 第二式类似. 利用积化和差与和差化积: `2 sin{:x/2:} sum_(k=1)^n cos kx` `= sum_(k=1)^n [sin(k+1/2)x - sin(k-1/2)x]` `= sin(n+1/2)x - sin{:x/2:}` `= 2 cos {:((n+1)x)/2:} sin {:(nx)/2:}`.
类似地, 通过乘因子 `2 cos(x//2)` 得到
`2 sum_(k=1)^n (-1)^(k-1) cos k x`
`= 1 + (-1)^(n-1) cos(n+x//2) // cos(x//2)`,
`2 sum_(k=1)^n (-1)^(k-1) sin k x`
`= tan (x//2) + (-1)^(n-1) sin(n x+x//2) // cos(x//2)`;
[来自群友 菜鸟 Math] 乘因子 `2 sin{:pi/(2n+1):}` 得到
`2 sum_(k=1)^n cos{:(2k-1)/(2n+1) pi:} = 1`,
`2 sum_(k=1)^n sin{:(2k-1)/(2n+1) pi:} = cot{:pi/(4n+2)`.
只证 1. 考虑方程 `tan n x = tan n theta`, 它的 `n` 个根为 `x = theta_k`, `quad k = 0, cdots, n-1`. 用 De Moivre 公式得到 `tan` 的 `n` 倍角公式: `tan n x` `= (sin n x)/(cos n x)` `= ((n;1) cos^(n-1) x sin x - (n;3) cos^(n-3) x sin^3 x + cdots) / (cos^n x - (n;2) cos^(n-2) x sin^2 x + cdots)` `= ((n;1) tan x - (n;3) tan sin^3 x + cdots) / (1 - (n;2) tan^2 x + cdots)`. `n = 2m` 时, 方程写为 `((n;1) tan x - (n;3) tan^3 x + cdots + (2m;2m-1)(-1)^(m-1) tan^(2m-1)x)/(1-(2m;2)tan^2 x + cdots + (-1)^m tan^(2m) x) = tan 2m theta`. 即 `(tan 2m theta) tan^(2m) x + (2m) tan^(2m-1) x + cdots = 0`. 这是关于 `tan x` 的 `2m` 次方程, 由 Vieta 定理得到 `n` 个根之和: `sum_(0 le k lt n) tan theta_k` `= - (2m)/(tan 2m theta)` `= -n cot n theta`. `n = 2m+1` 时证明类似.
`sum_(k=1)^n cot^2{:(k pi)/(2n+1):} = 1/3 (2n;2)`. 利用这个恒等式可以证明 `zeta(2) = pi^2//6`, 参见 Basel 问题.
记 `N = 2n+1`, 用 De Moivre 公式得到 `(cot theta + "i")^N` `= (cos theta + "i" sin theta)^N/(sin^N theta)` `= (cos N theta + "i" sin N theta)/(sin^N theta)`. 两边取虚部, `(2n+1) cot^(2n) theta - (2n+1;3) cot^(2n-2) theta + cdots + (-1)^n` `= (sin (2n+1) theta)/(sin^(2n+1) theta)`. 上式左边是 `cot^2 theta` 的 `n` 次多项式, 它的所有根为 `cot^2 theta_k`, `quad theta_k = (k pi)/(2n+1)`, `quad k = 1, cdots, n`. 由 Vieta 定理, 它的所有根之和为 `1/(2n+1) (2n+1;3) = 1/3 (2n;2)`.
[来自 折棒]
记 `N = 2n+1`, 从三角形中的恒等式 `sum_"cyc" cot A cot B = 1` 出发,
对全体满足 `a + b + c = N` 的正整数 `a, b, c` 求和, 用插空法得到
`sum_(stackrel(a+b+c=N)(a, b, c in ZZ^+))
sum_"cyc" cot{:(a pi)/N:}cot{:(b pi)/N:} = (2n;2)`.
对任意 `a != b`, 上式左边形如 `cot{:(a pi)/N:}cot{:(b pi)/N:}`
的非平方项有 6 个, 而形如 `cot^2{:(a pi)/N:}` 的平方项有 3 个.
我们来证明这些非平方项相互抵消; 事实上, 所有非平方项的集合为
`S = { (a, b): a, b in ZZ^+, a != b, a + b lt N }`
注意到 `N` 是奇数, 因而
`(a, b) mapsto {
(a, N-b), if a lt b;
(N-a, b), if a gt b;
:}`
是 `S` 上的双射.
换言之, 每个非平方项 `cot{:(a pi)/N:}cot{:(b pi)/N:}` 都对应另一项
`cot{:(a pi)/N:}cot{:(N-b)/N pi:}`. 这两项的和为 0, 正好抵消.
最后, 将和式左边所有平方项相加, 由于 `a + b lt N`, 故 `a = b` 的最大取值为 `n`; 我们有
`3 sum_(k=1)^n cot^2{:(a pi)/N:} = (2n;2)`.
[来自 我是从物理群来潜伏的内鬼] `a, b in RR`, `n ge 2` 为正整数, 证明恒等式 `n sin(a + (n-2)b)/sin(n b)` `= sum_(0 le k lt n) sin(a + 2 k pi//n)/tan(b + k pi//n)`.
设 `A + B + C = pi`, 则
`sin A + sin B + sin C = 4 cos{:A/2:} cos{:B/2:} cos{:C/2:}`,
`cos A + cos B + cos C = 1 + 4 sin{:A/2:} sin{:B/2:} sin{:C/2:}`,
`sin 2A + sin 2B + sin 2C = 4 sin A sin B sin C`,
`cos 2A + cos 2B + cos 2C = -1 - 4 cos A cos B cos C`,
`sin^2 A + sin^2 B + sin^2 C = 2 + 2 cos A cos B cos C`,
`cos^2 A + cos^2 B + cos^2 C = 1 - 2 cos A cos B cos C`,
`sin^2{:A/2:} + sin^2{:B/2:} + sin^2{:C/2:} =
1 - 2 sin{:A/2:} sin{:B/2:} sin{:C/2:}`,
`tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C`,
`cot{:A/2:} + cot{:B/2:} + cot{:C/2:} = cot{:A/2:} cot{:B/2:}
cot{:C/2:}`,
`tan{:A/2:} tan{:B/2:} + tan{:B/2:} tan{:C/2:} + tan{:C/2:} tan{:A/2:} = 1`.
`sin A + sin B + sin C le (3sqrt 3)/2` 的另一证明: 在 `[0,pi]` 上对 `sin x` 应用 Jensen 不等式 `sqrt(3)/2 = sin{:(A+B+C)/3:}` `ge (sin A + sin B + sin C)/3`. 于是, 完全可以从 2. 的系列不等式出发, 导出 1. 的不等式.
(繁琐) `cos A cos B cos C le 1/8` 的直接证法: 将等式 `cos^2 A + cos^2 B + cos^2 C = 1 - 2 cos A cos B cos C` 代入不等式 `root 3 (cos A cos B cos C) le sqrt((cos^2 A + cos^2 B + cos^2 C)/3)`, 记 `p = cos A cos B cos C`, 有 `p^2 le ((1-2p)/3)^3`, 解得 `p in [-1, 1//8]`. (多项式 `8p^3 + 15p^2 + 6p-1` 的有理根形如 `a_1/a_8`, `a_1 | 1`, `a_8 | 8`. 代入验证可知 `1/8` 是它的一根, 再由多项式除法得到另外一对重根 `-1`).
圆内接三角形中, 正三角形面积最大.
设圆 `O` 的半径为 `r`, `ABC` 是它的内接三角形, `/_AOB, /_BOC, /_COA` 分别记为 `2x, 2y, 2z`, 则 `ABC` 的面积 `S = r^2/2(sin 2x + sin 2y + sin 2z)` `= 2r^2 sin x sin y sin z` `le (3sqrt 3)/4 r^2`. 等号成立当且仅当 `ABC` 是正三角形.
由下式知 1. 成立: `x^2 + y^2 + z^2 - 2 sum_"cyc" x y cos C` `= (x-z cos B-y cos C)^2 + (y sin C - z sin B)^2`. 由下式知 2. 成立: `x^2 + y^2 + z^2 + 2 sum_"cyc" x y cos 2C` `= (x+z cos 2B+y cos 2C)^2 + (y sin 2C - z sin 2B)^2`.
定义域 | 值域 | |
`arcsin x` | `[-1, 1]` | `[-pi/2, pi/2]` |
`arccos x` | `[-1, 1]` | `[0, pi]` |
`arctan x` | `(-oo, +oo)` | `(-pi/2, pi/2)` |
`" arccot "x` | `(-oo, +oo)` | `(0, pi)` |
其中 `"arccot "x := { arctan{:1/x:}, if x gt 0; pi/2, if x = 0; arctan{:1/x:}+pi, if x lt 0; :}` 因为上面 4 个反三角函数都在各自的定义域上单调, 所以对所有定义域中的 `x`, `sin arcsin x = x`. 其它三个类似.
我们只证 `arcsin`, `arccos` 的相关公式. 先证明 `arcsin x = pi/2 - arccos x`. 考察 `arcsin x` 和 `arccos x` 的值域可知, 上式两边之差的绝对值不超过 `2 pi`, 所以上式成立当且仅当 `sin arcsin x = sin (pi/2 - arccos x)`, 即 `x = cos arccos x`, 这显然成立. 又 `arcsin x` 是 `sin x` 在对称区间 `[-pi/2, pi/2]` 上的反函数, 而 `sin x` 为奇函数, 所以 `arcsin x` 也为奇函数. 最后 `arccos(-x) = pi/2 - arcsin(-x)` `= pi/2 + arcsin x = pi/2 + pi/2 - arccos x`.
`x gt 0` 时, 通过画图容易得知
` arcsin x = arccos sqrt(1-x^2)` `= arctan {:x/sqrt(1-x^2):}`,`x lt 0` 时, 令 `x = -y`, 再对 `y` 应用上述公式. 适当利用反三角函数的反射变换. 比如 `x lt 0` 时, `arccos x = arccos(-y) = pi-arccos y` `= pi - arctan{:sqrt(1-y^2)/y:}` `= pi + arctan{:sqrt(1-x^2)/x:}`.
前面已经提到,
`sin arcsin x = x`,
`quad cos arccos x = x`,
`quad tan arctan x = x`.
反之就比较复杂, 需要适当地作平移变换, 将 `x-n pi`
落入反三角函数的值域中:
`arcsin sin x = (-1)^n (x-n pi)`, `quad |x-n pi| le pi/2`,
`arccos cos x = (-1)^n (x-n pi) + [n" odd"] pi`,
`quad 0 le x-n pi le pi`,
`arctan tan x = x-n pi`, `quad |x - n pi| lt pi/2`,
其中 `[n" odd"] = {1, if n" is odd"; 0, if n" is even" :}`
利用勾股互化, 得到 `cos arcsin x = sin arccos x = sqrt(1-x^2)`, 当然, 也可以从值域来考虑. 比如 `arcsin x` 值域是 `[-pi/2, pi/2]`, 而在这一区间上 `cos` 函数非负, 所以结果的符号为正.
介绍差角而不是和角, 是因为前者在数学分析中更常用.
`arcsin sin(arcsin x - arcsin y)`
`= arcsin(x sqrt(1-y^2) - y sqrt(1-x^2))`,
`arccos cos(arccos x - arccos y)`
`= arccos(x y+sqrt(1-x^2) sqrt(1-y^2))`,
`arctan tan(arctan x - arctan y)`
`= arctan{:(x - y)/(1+x y):}`,
条件
`|arcsin x - arcsin y| le pi/2` `iff x y ge 0 or x^2+y^2 le 1`,
`0 le arccos x - arccos y le pi` `iff x le y`,
`|arctan x - arctan y| lt pi/2` `iff x y gt -1`.
分别成立时, 上面三个等式分别等于
`arcsin x - arcsin y`,
`arccos x - arccos y`,
`arctan x - arctan y`.
条件不成立时, 使用平移变换. 比如, 取合适的 `n` 使得
`|arcsin x - arcsin y - n pi| le pi/2`, 则
`arcsin sin(arcsin x - arcsin y)`
`= (-1)^n (arcsin x - arcsin y - n pi)`
于是
`arcsin x - arcsin y`
`= n pi + (-1)^n arcsin(x sqrt(1-y^2) - y sqrt(1-x^2))`.
另外, 利用反射变换可以得到
`arcsin x + arcsin y = arcsin x - arcsin(-y)`,
`arccos x + arccos y = arccos x - arccos(-y) + pi`,
`arctan x + arctan y = arctan x - arctan(-y)`.
Euler 公式
`"e"^("i"x) = cos x + "i" sin x`, `quad AA x in CC`.
从而
`cos x = ("e"^("i"x) + "e"^(-"i"x))/2`,
`quad sin x = ("e"^("i"x) - "e"^(-"i"x))/{2"i"}`.
且
`arccos x = -"i" ln (x + "i"sqrt(1-x^2))`,
`arcsin x = -"i" ln (sqrt(1-x^2) + "i"x)`,
`arctan x = -"i" ln {:(1 + "i"x)/sqrt(1+x^2):}`.
比如, 设 `y = arccos x in (0, pi)`, 则 `sin y ge 0`, 有 `"e"^("i"y) = cos y + "i"sin y = x + "i"sqrt(1-x^2)`, 于是 `y = -"i"ln (x + "i"sqrt(1-x^2))`.
De Moivre 公式 `(cos x + "i"sin x)(cos y + "i"sin y)` `= cos(x+y) + "i"sin(x+y)`. `AA n in ZZ`, 对 `n` 作归纳得到 `(cos x + "i"sin x)^n = cos nx + "i" sin nx`.
(Vieta) 将
左边展开, 分别取实部和虚部就得到
`cos n x = sum_(j" even") (-1)^(j/2)
(n;j) cos^(n-j) x sin^j x`,
`sin n x = sum_(j" odd") (-1)^((j-1)/2)
(n;j) cos^(n-j) x sin^j x`.
`sin n x = |
sin x, 0;
0, 2 cos x, 1;
, 1, 2 cos x, 1;
, , 1, ddots, 1;
, , , 1, 2 cos x;
|_n`,
`cos n x = |
cos x, 1;
1, 2 cos x, 1;
, 1, 2 cos x, 1;
, , 1, ddots, 1;
, , , 1, 2 cos x;
|_n`.
利用 Euler 公式得到
`cos^n x = (("e"^("i"x)+"e"^(-"i"x))/2)^n`
`= 2^-n sum_(k=0)^n (n;k) "e"^((n-2k)"i"x)`
(取实部) `= 2^-n sum_(k=0)^n (n;k) cos (n-2k)x`,
`sin^n x = (("e"^("i"x)-"e"^(-"i"x))/(2"i"))^n`
`= 2^-n sum_(k=0)^n (n;k) "i"^(2k-n) "e"^((n-2k)"i"x)`
`= {
2^-n sum_(k=0)^n (n;k) (-1)^(k-m) cos (n-2k)x, n=2m;
2^-n sum_(k=0)^n (n;k) (-1)^(k-m) sin (n-2k)x, n=2m+1;
:}`
我们将这些重要公式列表如下 (分别用 `c_n`, `s_n` 表示 `cos n x`
与 `sin n x`):
`n` | `sin^n x` | `cos^n x` |
`0` | `c_0` | `c_0` |
`1` | `s_1` | `c_1` |
`2` | `(c_0 - c_2)//2` | `(c_0 + c_2)//2` |
`3` | `(3s_1 - s_3)//4` | `(3c_1 + c_3)//4` |
`4` | `(3c_0 - 4c_2 + c_4)//8` | `(3c_0 + 4c_2 + c_4)//8` |
`5` | `(10s_1 - 5s_3 + s_5)//16` | `(10c_1 + 5c_3 + c_5)//16` |
容易看出每行的系数之和为 1. 系数三角形恰好是杨辉三角的右半边 (中线上的数字要除以 2):
½ 1 1 1 3 1 3 4 1 10 5 1
利用这个结果可以轻松得出 `sin^n x`, `cos^n x` 的不定积分, 如 `int sin^5 x dx` `= 1/16 int (10 sin x - 5 sin 3 x + sin 5 x) dx` `= 1/16 (-10 cos x + 5/3 cos 3 x - 1/5 cos 5 x) + C`.
当然, 也可以按 Chebyshev 多项式的思路, 利用积化和差公式
`2 c_m c_n = c_(m+n) + c_|m-n|`,
`2 s_m s_n = c_|m-n| - c_(m+n)`,
`2 s_m c_n = s_(m+n) + sgn(m-n) s_|m-n|`
和初始条件
`cos^0 x = 1`, `cos^1 x = c_1`, `sin^0 x = 1`, `sin^1 x = s_1`
进行上述公式的推导.
计算 `1/(2sin 10^@) ( 3/(sin^2 40^@) - 1/(cos^2 40^@) )`.
设 `x = 10^@`. 利用三倍角公式 ` 1/2 = sin 3x` `= 3 cos^2 x sin x - sin^3 x` `= 3 sin x - 4 sin^3 x`. 消去 `sin^3 x` 后, 得到 `8 cos^2 x sin x = 2 sin x + 1`. 于是原式等于 `1/(2 sin x) ( 6/(1 - cos 8x) - 2/(1 + cos 8x) )` `= 1/sin x ( (3(1+sin x) - (1-sin x)) / ( 1-sin^2 x) )` `= (2(2sin x + 1)) / (sin x \ cos^2 x) = 16`.
`prod_(n=1)^oo cos {:x/2^n:} = (sin x)/x`. 特别取 `x = pi/2` 得到 Vieta 公式 `2/pi = sqrt(1/2) sqrt(1/2 + 1/2 sqrt(1/2))` `sqrt(1/2 + 1/2 sqrt(1/2 + 1/2 sqrt(1/2))) cdots`
2. 的另一证明, 使用复数, 由 `(5+"i")^4/(239+"i") = 2 (1+"i")` 立即结论.
只证第一式. 注意到 `"e"^x * "e"^x lt 1` 未必成立, 不适合用公式 `arctan x + arctan y = arctan{:(x+y)/(1-x y):}`. 不过 `arctan" e"^x gt 0` 恒成立, 因此适合用 `"arccot"` 来刻画. 原式 `= "arccot"{:(1-"e"^(2x))/(2"e"^x):} - arctan sinh x` `= "arccot"(-sinh x) + arctan(-sinh x)` `= pi/2`.
只证第一式. 求导, `2/(1+"e"^(2x)) "e"^x - 1/(1+sinh^2 x) cosh x` `= 1/(cosh x) - 1/(cosh x) = 0`. 从而原式恒为一常数. 取 `x = 0` 得 `pi/2`.
求 `sum_(n ge 1) arctan{:2/n^2:}`.
注意到 `arctan{:2/n^2:} = arctan(n+1) - arctan(n-1)`, 故原式等于 `lim_(n to oo) (arctan(n+1) + arctan n - arctan 1 - arctan 0) = 3/4 pi`.
解方程 `(sin x)/(sin(40^@-x)) = 4cos 20^@ cos 40^@`, `0 lt x lt 40^@`.
预处理方程右边,
`4 (sin 20^@)/(sin 20^@) cos 20^@ cos 40^@`
`= 2/(sin 20^@) sin 40^@ cos 40^@`
`= (sin 80^@)/(sin 20^@)`
`= (cos 10^@)/(sin 20^@)`
`= 1/(2 sin 10^@)`.
方程化为
`(sin x)/(sin(40^@-x)) = 1/(2 sin 10^@)`,
`2 sin 10^@ sin x = sin 40^@ cos x - cos 40^@ sin x`,
从而
`tan x = (sin 40^@)/(2 sin 10^@ + cos 40^@)`
`= (sin(30^@+10^@))/(2 sin 10^@ + cos(30^@+10^@))`
`= (1/2 cos 10^@ + (sqrt 3)/2 sin 10^@)/(2 sin 10^@ + (sqrt 3)/2
cos 10^@ - 1/2 sin 10^@)`
`= 1/sqrt(3)`.
因此 `x = 30^@`.
已知 `sin(2x+30^@) = 4/5`, `0 lt x lt 45^@`, 求 `13/(cos 3x)`.
使用万能代换. 设 `t = tan x`, 代入条件, 解二次方程得 `t = (5sqrt3-6)/13`. 从而 `13/(cos 3x) = 13/(cos x(4cos^2 x-3))` `= 13 (1+t^2)^(3/2)/(1-3t^2)` `= 5 sqrt 10`.
求函数 `y = (sin x - 1)/(cos x - 2)` 的值域.
通用做法:
作万能代换 `t = tan{:x/2:}`, 则
`sin x = (2t)/(1+t^2)`, `quad cos x = (1-t^2)/(1+t^2)`,
`y = (2t - (1+t^2))/(1-t^2 -2(1+t^2))`
`= (t^2-2t+1)/(3t^2+1)`
`= 1/3 - (2t-2/3)/(3t^2+1)`.
令 `u = 2t-2/3`,
`y = 1/3 - u/(3/4 u^2 + u + 4/3)`
`= 1/3 - 1/(1 + (3u)/4 + 4/(3u))`.
从而
`|(3u)/4 + 4/(3u)| ge 2`,
`1 + (3u)/4 + 4/(3u) in (-oo, -1] uu [3, +oo)`,
`-1/(1+(3u)/4 + 4/(3u)) in [-1/3, 1]`,
`y in [0, 4/3]`.
变形得 `y cos x - sin x = 2y - 1`. 引入辅助角 `theta`, 满足 `cos theta = y/sqrt(1+y^2)`, `quad sin theta = 1/sqrt(1+y^2)`, 于是 `(2y-1)/sqrt(1+y^2) = cos(x + theta) in [-1, 1]`. 解不等式 `(2y-1)^2 le 1 + y^2` 得 `y in [0, 4/3]`.
联系几何意义, 原问题即求平面上点 (2,1) 到单位圆上一点连线的斜率范围. 这只需作出 (2,1) 到单位圆的切线. 从图像容易看出其中一条切线的斜率是 0, 另一切线的斜率等于 `tan(2arctan{:1/2:})` `= (2 * 1/2)/(1- (1/2)^2)` `= 4/3`.
设 `theta = pi/7`, `a = sin(-theta)`, `b = sin 2theta`, `c = sin 3theta`, 证明: `a/b^2 + b/c^2 + c/a^2 = 2 sqrt 7`.
在三角形 `A B C` 中, 已知 `(sin B-sin C)^2 = sin A^2 - sin B sin C`, 求角 `A`.
先用正弦定理得 `(b-c)^2 = a^2 - b c`, 即 `b c = b^2+c^2-a^2`, 再用余弦定理 `cos A = (b^2+c^2-a^2)/(2b c) = 1/2`, 即 `A = pi//3`.
在锐角三角形 `A B C` 中, 已知 `cos^2 A + cos^2 B - cos A cos B = 3/4`, 求角 `C`.
设 `x, y, z = cos A, cos B, cos C`, 将已知条件与恒等式联立: `{ x^2 + y^2 - x y = 3/4; x^2 + y^2 + z^2 + 2 x y z = 1 :}` 解得 `x y = (1-2 z)//4`, `x^2 + y^2 = 1 - z // 2`. 于是 `z = sqrt(1-x^2)sqrt(1-y^2) - x y` `= sqrt(1-x^2 y^2 - (3/4 + x y)) - x y`, 代入 `x y = (1-2 z)//4` 解得 `z = 1/2`, 即 `C = pi//3`.
[来自 我是费马的最后一页空白] 求 `1/(sin 45^@ sin 46^@) + 1/(sin 47^@ + sin 48^@) + cdots` `+ 1/(sin 133^@ + sin 134^@)`.
注意到 `sin 1^@/(sin n^@ sin(n+1)^@)` `= (cos n^@)/(sin n^@) - (cos(n+1)^@)/(sin(n+1)^@)`, 因此原式等于 `1/(sin 1^@) (cot 45^@ - cot 46^@ + cdots + cot 133^@ - cot 134^@)` `= (cot 45^@)/(sin 1^@)` `= 1/(sin 1^@)`.
[来自 我是笨蛋的Always] 求 `f = cos x cos y + 2 cos x sin y + 2 sin x` 的最值.
求偏导
`f_x = -sin x(cos y + 2 sin y) + 2 cos x`,
`f_y = cos x(2 cos y - sin y)`.
令 `f_x = f_y = 0`, 得
`{cos x = 0; cos y = -2 sin y:}` 或
`{2cos y = sin y; cos y = 2/5 cot x:}`.
第一种情况下 `f = +-2`, 第二种情况 `tan y = 2`, `cos y = +- 1/sqrt5`,
等等, 化简得 `f = +-3`. 因此 `f` 的最值是 `+-3`.