特殊角

求 `cos{:pi/5:}`.

设等腰 `triangle ABC` 的顶角 `A` 等于 `pi/5`, 腰长为 `1`, 底长为 `x`. 作角 `B` 的平分线交 `AC` 于 `D`. 易证 `triangle ABC S~ triangle BCD`, 所以 `BD = x`, `CD = x^2`. 又 `ABD` 也是等腰三角形, `AD = x`. 由 `CD+AD = AC` 列出方程 `x^2 + x = 1`, 解得 `x = (-1+sqrt 5)/2` (负根舍去). 在 `triangle ABC` 中使用余弦定理: `cos{:pi/5:} = (1+1-x^2)/2` `= (1+x)/2 = (1+sqrt 5)/4`.

Gauss 在 18 岁时算出了 `16 cos{:(2pi)/17:}` `= -1+sqrt 17+sqrt(34-2sqrt 17)` `+sqrt(2(3+sqrt 17)(2sqrt 17-sqrt(34-2sqrt 17)))`. 这是尺规作正 17 边形的依据.

三角恒等式

基本公式

勾股定理

周期性

反射变换

平移变换

和角公式

和角公式

余弦的和角公式: 考虑两个单位向量 `bm a = (cos x, sin x)`, `bm b = (cos y, sin y)`, 有 `cos (x-y)` `= cos (:bm a, bm b:)` `= (bm a * bm b)/(|bm a| |bm b|)` `= bm a * bm b` `= cos x cos y + sin x sin y`. 即 `cos(x-y) = cos x cos y + sin x sin y`.
正弦的和角公式: `sin(x+y)` `= cos(pi/2-x-y)` `= cos(pi/2-x)cos y + sin(pi/2-x)sin y` `= sin x cos y + cos x sin y`.

复数记忆. 分别考虑下式的实部和虚部: `cos(x+y) + "i" sin(x+y) = (cos x + "i" sin x)(cos y + "i" sin y)`.

由和角公式, 可以导出绝大多数的三角恒等式.

倍角公式

在 的 2 中取 `n = 3`, 就得到正弦函数的三倍角公式: `sin theta sin(theta+60^@) sin(theta+120^@)` `= sin theta sin(60^@+theta) sin(60^@-theta)` `= sin(3 theta)// 4`. 在 4. 中取 `n=1` 就得到余弦的三倍角公式; 两式相除得到正切的三倍角公式.

`sin 20^@ sin40^@ sin80^@ = (sqrt 3)/8`.

这是三倍角公式的直接推论, 也可以用积化和差验证: 记 `x = 10^@`, 有 `sin 20^@ * sin40^@ * sin80^@`. `1/2 [ cos (4-2)x - cos (4+2)x ] cos x` `= 1/2 (cos 2 x - 1/2) cos x` `= 1/2 cos 2 x cos x - 1/4 cos x` `= 1/4 [ cos(2+1)x + cos(2-1)x ] - 1/4 cos x` `= (sqrt 3)/8`.

半角公式

和差化积

记忆: `color(red)(sin x + sin y) + color(blue)(sin x - sin y)` `= 2sin((x+y)/2 + (x-y)/2)` `= color(red)(2 sin{:(x+y)/2:} cos{:(x-y)/2:}) + color(blue)(2 cos{:(x+y)/2:} sin{:(x-y)/2:})`,
`color(red)(cos x + cos y) + color(blue)(cos x - cos y)` `= 2cos((x+y)/2 + (x-y)/2)` `= color(red)(2 cos{:(x+y)/2:} cos{:(x-y)/2:}) color(blue)(- 2sin{:(x+y)/2:} sin{:(x-y)/2:})`. 考虑关于 `x, y` 的对称性, 就能确定红/蓝的对应关系.

复数记忆. 分别考虑下式的实部和虚部: `exp("i"x) + exp("i"y) = exp("i"(x+y)/2) exp("i"(x-y)/2) + exp("i"(x+y)/2) exp(-"i"(x-y)/2)`, 即 `cos x + cos y + "i"(sin x + sin y)`
`= (cos{:(x+y)/2:} + "i" sin{:(x+y)/2:})(cos{:(x-y)/2:} + "i" sin{:(x-y)/2:})`
`+ (cos{:(x+y)/2:} + "i" sin{:(x+y)/2:})(cos{:(x-y)/2:} - "i" sin{:(x-y)/2:})`.

积化和差

平方差

万能代换

令 `t = tan {:x/2:}`, 有 `x = 2 arctan t`, 从而 `dx = (2 dt)/(1+t^2)`, `quad sin x = (2t)/(1+t^2)`, `quad tan x = (2t)/(1-t^2)`, `quad cos x = (1-t^2)/(1+t^2)`, `quad "e"^("i"x) = (1+"i"t)/(1-"i"t)`. 万能代换公式可借助下图记忆, 其中 `dx` 是 `sin x` 的小量近似.

辅助角公式

求 `(11 sin theta + 13)/(17 cos theta + 23)` 的取值范围.

令结果为 `z`, 构造辅助角: `11 sin theta + 13 = (17 cos theta + 23) z`,
`sqrt(11^2 +(17z)^2) sin(theta + varphi) = 23z - 13`. 于是 `(23z - 13)^2 le 11^2 + (17z)^2`, 解得 `z = (299+-sqrt(77881))/240`, 约为 0.083 和 2.409.

考虑几何意义, 问题化为: 已知 `y = 13//11 + sin theta`, `x = 23//17 + cos theta`, 求 `z = 11y//17x` 的取值范围. `(x, y)` 的轨迹是圆, 故 `z` 在该圆过原点的切线处取得最值. 记 `k = (13//11)/(23//17)`, `r = sqrt((13//11)^2 + (23//17)^2)`, `t = 1//sqrt(r^2-1)`, 则两条切线的斜率分别是 `(k +- t)/(1 ∓ k t)`. `z` 的取值范围是上式乘以 `11/17`, 约为 0.083 和 2.409.

任意两个正弦波的叠加 记 `y_i = omega_i x + varphi_i`, `i = 1, 2`, 假设 `omega_1 gt omega_2`, 则利用和差化积与辅助角公式有 `A_1 sin(omega_1 x + varphi_1) + A_2 sin(omega_2 x + varphi_2)`
`= (A_1+A_2)/2 (sin y_1 + sin y_2) + (A_1-A_2)/2 (sin y_1 - sin y_2)`
`= (A_1+A_2) sin{:(y_1+y_2)/2:} cos{:(y_1-y_2)/2:}` `+ (A_1-A_2) sin{:(y_1-y_2)/2:} cos{:(y_1+y_2)/2:}`
`= A sin((y_1+y_2)/2 + gamma)`, 其中 `A^2 = (A_1+A_2)^2 cos^2{:(y_1-y_2)/2:} + (A_1-A_2)^2 sin^2{:(y_1-y_2):}`
`= A_1^2 + A_2^2 + 2 A_1 A_2 cos(y_1-y_2)`,
`tan gamma = (A_1-A_2)/(A_1+A_2) tan{:(y_1-y_2)/2:}`. 合成后的函数 `A sin((y_1+y_2)/2 + gamma)`, 振动频率大约是 `(omega_1 + omega_2)//2`. 观察 `A` 的表达式, 由于 `A^2` 的频率为 `omega_1-omega_2`, 则 `A` 的频率大约为 `(omega_1-omega_2)//2`, 这就是说函数的振幅被 `(omega_1-omega_2)//2` 这个低频调制.

求和公式与乘积公式

正弦、余弦求和公式 `x` 不等于 `2pi` 的整数倍时, `sum_(k=1)^n cos kx` `= cos {:((n+1)x)/2:} sin {:(nx)/2:} // sin{:x/2:}`,
` sum_(k=1)^n sin kx = sin {:((n+1)x)/2:} sin {:(nx)/2:} // sin {:x/2:}`. 特别取 `x = 2pi//n`, `sum_(k=1)^n cos {:(2k pi)/n:}` `= sum_(k=1)^n sin {:(2k pi)/n:} = 0`. 这个等式的几何意义是, 向量组 `( cos {:(2k pi)/n:}, sin {:(2k pi)/n:} )`, `k = 1, 2, cdots, n`, 中所有向量之和为零, 因为它们恰好围成一个正 `n` 边形.

只证第一式. 第二式类似. 利用积化和差与和差化积: `2 sin{:x/2:} sum_(k=1)^n cos kx` `= sum_(k=1)^n [sin(k+1/2)x - sin(k-1/2)x]` `= sin(n+1/2)x - sin{:x/2:}` `= 2 cos {:((n+1)x)/2:} sin {:(nx)/2:}`.

类似地, 通过乘因子 `2 cos(x//2)` 得到 `2 sum_(k=1)^n (-1)^(k-1) cos k x` `= 1 + (-1)^(n-1) cos(n+x//2) // cos(x//2)`,
`2 sum_(k=1)^n (-1)^(k-1) sin k x` `= tan (x//2) + (-1)^(n-1) sin(n x+x//2) // cos(x//2)`; [来自群友 菜鸟 Math] 乘因子 `2 sin{:pi/(2n+1):}` 得到 `2 sum_(k=1)^n cos{:(2k-1)/(2n+1) pi:} = 1`,
`2 sum_(k=1)^n sin{:(2k-1)/(2n+1) pi:} = cot{:pi/(4n+2)`.

正切、余切求和公式 [来自 stack exchange] 记 `theta_k = theta + (k pi)/n`, 则
1. `sum_(0 le k lt n) tan theta_k` `= n tan(n theta + (n-1)pi//2)`;
   `n` 为奇数时, 等号右边等于 `n tan n theta`; `n` 为偶数时, 等于 `-n cot n theta`.
2. `sum_(0 le k lt n) cot theta_k` `= n cot n theta`.

只证 1. 考虑方程 `tan n x = tan n theta`, 它的 `n` 个根为 `x = theta_k`, `quad k = 0, cdots, n-1`. 用 De Moivre 公式得到 `tan` 的 `n` 倍角公式: `tan n x` `= (sin n x)/(cos n x)` `= ((n;1) cos^(n-1) x sin x - (n;3) cos^(n-3) x sin^3 x + cdots) / (cos^n x - (n;2) cos^(n-2) x sin^2 x + cdots)` `= ((n;1) tan x - (n;3) tan sin^3 x + cdots) / (1 - (n;2) tan^2 x + cdots)`. `n = 2m` 时, 方程写为 `((n;1) tan x - (n;3) tan^3 x + cdots + (2m;2m-1)(-1)^(m-1) tan^(2m-1)x)/(1-(2m;2)tan^2 x + cdots + (-1)^m tan^(2m) x) = tan 2m theta`. 即 `(tan 2m theta) tan^(2m) x + (2m) tan^(2m-1) x + cdots = 0`. 这是关于 `tan x` 的 `2m` 次方程, 由 Vieta 定理得到 `n` 个根之和: `sum_(0 le k lt n) tan theta_k` `= - (2m)/(tan 2m theta)` `= -n cot n theta`. `n = 2m+1` 时证明类似.

三角函数乘积公式
1. `prod_(0 lt k lt n) sin {:(k pi)/n:} = 2^(1-n) * n`;
2. `prod_(0 lt k lt n) cos {:(k pi)/n:} = 2^(1-n) * cos((n-1)pi//2)`;
   `n` 为奇数时, 等号右边为 `(2"i")^(1-n)`, `n` 为偶数时, 为 `0`. 推论: `prod_(1 le k le n) cos {:(k pi)/(2n+1):} = 2^-n`.

1. 取 `n` 次单位根 `x_k = "e"^((2k pi)/n "i")`, 则多项式 `x^n-1` 可以分解为 `x^n-1 = prod_(0 le k lt n) (x-x_k)` 两边同除以 `x-1` 得 `sum_(0 le k lt n) x^k = prod_(0 lt k lt n) (x-x_k)`, 令 `x = 1`, 两边平方得 `n^2 = prod_(0 lt k lt n) (1-x_k)^2`. 上式右边的乘积取遍 `0` 以外的 `n` 次单位根. 根据对称性, 可以把其中一半换成共轭: `n^2 = prod_(0 lt k lt n) (1-x_k)(1-bar x_k)` `= prod_(0 lt k lt n) |1-x_k|^2`. 再由几何关系, `|1-x_k| = 2 sin {: ("arg" x_k)/2 :} = 2 sin {:(k pi)/n:}`, 故 `n = 2^(n-1) prod_(0 lt k lt n) sin {:(k pi)/n:}`.
2. 在 1. 中令 `x = -1`, 再分奇偶讨论.

[来自群友 我是薛定谔的猫] 记 `theta_k = theta + (k pi)/n`, 则
1. `prod_(0 le k lt n) sin theta_k = 2^(1-n) sin n theta`;
2. `prod_(0 le k le n) cos theta_k = 2^(1-n) cos(n theta + (n-1)pi//2)`;
   `n` 为奇数时, 等号右边等于 `(2"i")^(1-n) cos n theta`; `n` 为偶数时, 等于 `"i"^n 2^(1-n) sin n theta`.
3. `prod_(k=1)^n cos x_k = 1/2^n sum_(e in S) cos(e_1 x_1 + cdots + e_n x_n)`, `S = {1, -1}^n`.

1. 方程 `x^n = "e"^(-2"i"n theta)` 的 `n` 个根为 `"e"^(-2"i"theta_k)`, `k = 0, cdots, n-1`, 故有多项式分解 `prod_(0 le k lt n) (x-"e"^(-2"i"theta_k))` `= x^n - "e"^(-2"i"n theta)`. 上式取 `x = 1`, 两边同乘 `exp("i"sum_(0 le k lt n) theta_k)` `= exp("i"(n theta + pi/2 (n-1)))` `= "i"^(n-1) "e"^("i" n theta)`, 得到 `prod_(0 le k lt n) ("e"^("i"theta_k)-"e"^(-"i"theta_k))` `= ("e"^("i"n theta) - "e"^(-"i"n theta)) "i"^(n-1)`, 即得证.
2. 在 2. 中令 `x = -1`, 再分奇偶讨论.

`sum_(k=1)^n cot^2{:(k pi)/(2n+1):} = 1/3 (2n;2)`. 利用这个恒等式可以证明 `zeta(2) = pi^2//6`, 参见 Basel 问题.

记 `N = 2n+1`, 用 De Moivre 公式得到 `(cot theta + "i")^N` `= (cos theta + "i" sin theta)^N/(sin^N theta)` `= (cos N theta + "i" sin N theta)/(sin^N theta)`. 两边取虚部, `(2n+1) cot^(2n) theta - (2n+1;3) cot^(2n-2) theta + cdots + (-1)^n` `= (sin (2n+1) theta)/(sin^(2n+1) theta)`. 上式左边是 `cot^2 theta` 的 `n` 次多项式, 它的所有根为 `cot^2 theta_k`, `quad theta_k = (k pi)/(2n+1)`, `quad k = 1, cdots, n`. 由 Vieta 定理, 它的所有根之和为 `1/(2n+1) (2n+1;3) = 1/3 (2n;2)`.

[来自 折棒] 记 `N = 2n+1`, 从三角形中的恒等式 `sum_"cyc" cot A cot B = 1` 出发, 对全体满足 `a + b + c = N` 的正整数 `a, b, c` 求和, 用插空法得到 `sum_(stackrel(a+b+c=N)(a, b, c in ZZ^+)) sum_"cyc" cot{:(a pi)/N:}cot{:(b pi)/N:} = (2n;2)`. 对任意 `a != b`, 上式左边形如 `cot{:(a pi)/N:}cot{:(b pi)/N:}` 的非平方项有 6 个, 而形如 `cot^2{:(a pi)/N:}` 的平方项有 3 个. 我们来证明这些非平方项相互抵消; 事实上, 所有非平方项的集合为 `S = { (a, b): a, b in ZZ^+, a != b, a + b lt N }` 注意到 `N` 是奇数, 因而 `(a, b) mapsto { (a, N-b), if a lt b; (N-a, b), if a gt b; :}` 是 `S` 上的双射. 换言之, 每个非平方项 `cot{:(a pi)/N:}cot{:(b pi)/N:}` 都对应另一项 `cot{:(a pi)/N:}cot{:(N-b)/N pi:}`. 这两项的和为 0, 正好抵消.
最后, 将和式左边所有平方项相加, 由于 `a + b lt N`, 故 `a = b` 的最大取值为 `n`; 我们有 `3 sum_(k=1)^n cot^2{:(a pi)/N:} = (2n;2)`.

[来自 我是从物理群来潜伏的内鬼] `a, b in RR`, `n ge 2` 为正整数, 证明恒等式 `n sin(a + (n-2)b)/sin(n b)` `= sum_(0 le k lt n) sin(a + 2 k pi//n)/tan(b + k pi//n)`.

[来自 COL]
1. 记 `a-2b = c`, `n b = Y`, 左边等于 `n sin(c + Y)/sin Y` `= n (sin c cos Y + cos c sin Y)/sin Y` `= n(sin c cot Y + cos c)`. 又记 `2b + 2 k pi//n = X`, 则 `sum sin X = sum cos X = 0`. 利用恒等式 `tan (X//2) = (sin X)/(1 + cos X)`, 右边等于 `sum sin(c + X)/tan(X//2)`
   `= sum (sin c cos X + cos c sin X) (1+cos X)/sin X`
   `= sum (sin c cot X + cos c)(1 + cos X)`
   `= sin c sum cot X (1 + cos X) + n cos c + 0`.
2. 比较左右两边, 下面只需证 `sum cot X (1 + cos X) = n cot Y`. 左边等于 `sum cos X (1 + cos X)/sin X`
   `= sum cos X cot(X//2)`
   `= sum (1-2sin^2(X//2)) cot(X//2)`
   `= sum cot(X//2) - sum sin X`
   `= sum cot(X//2)`. 利用余切求和公式即得结论.

三角形中的恒等式与不等式

设 `A + B + C = pi`, 则 `sin A + sin B + sin C = 4 cos{:A/2:} cos{:B/2:} cos{:C/2:}`,
`cos A + cos B + cos C = 1 + 4 sin{:A/2:} sin{:B/2:} sin{:C/2:}`,
`sin 2A + sin 2B + sin 2C = 4 sin A sin B sin C`,
`cos 2A + cos 2B + cos 2C = -1 - 4 cos A cos B cos C`,
`sin^2 A + sin^2 B + sin^2 C = 2 + 2 cos A cos B cos C`,
`cos^2 A + cos^2 B + cos^2 C = 1 - 2 cos A cos B cos C`,
`sin^2{:A/2:} + sin^2{:B/2:} + sin^2{:C/2:} = 1 - 2 sin{:A/2:} sin{:B/2:} sin{:C/2:}`,
`tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C`,
`cot{:A/2:} + cot{:B/2:} + cot{:C/2:} = cot{:A/2:} cot{:B/2:} cot{:C/2:}`,
`tan{:A/2:} tan{:B/2:} + tan{:B/2:} tan{:C/2:} + tan{:C/2:} tan{:A/2:} = 1`.

[几何不等式] `triangle ABC` 中以下不等式成立, 其中等号成立当且仅当 `ABC` 是正三角形.
1. `sin{:A/2:} sin{:B/2:} sin{:C/2:} le 1/8`, `cos A + cos B + cos C le 3/2`,
   `cos A cos B cos C le 1/8`, `sin{:A/2:} + sin{:B/2:} + sin{:C/2:} le 3/2`;
2. `cos{:A/2:} cos{:B/2:} cos{:C/2:} le (3 sqrt 3)/8`, `sin A + sin B + sin C le (3 sqrt 3)/2`,
   `sin A sin B sin C le (3 sqrt 3)/8`, `cos{:A/2:} + cos{:B/2:} + cos{:C/2:} le (3 sqrt 3)/2`;
3. `tan{:A/2:} + tan{:B/2:} + tan{:C/2:} ge sqrt 3`, `cot A + cot B + cot C ge sqrt 3`.

1. 由余弦定理, `a^2 = b^2 + c^2 - 2b c cos A` `= (b-c)^2 + 4b c sin^2{:A/2:}`, 因此 `sin{:A/2:} le a/(2sqrt(b c))`. 对 `A, B, C` 轮换并相乘即得第一式成立. 利用 `cos A + cos B + cos C = 1 + 4 sin{:A/2:} sin{:B/2:} sin{:C/2:}` 得到第二式, 再利用均值不等式得到第三式. 最后, 令 `alpha = (pi-A)/2`, `beta = (pi-B)/2`, `gamma = (pi-C)/2`, 则 `alpha + beta + gamma = pi`, 于是 `sin{:A/2:} + sin{:B/2:} + sin{:C/2:}` `= cos alpha + cos beta + cos gamma le 3/2`.
2. 由 1, `2(cos^2{:A/2:} + cos^2{:B/2:} + cos^2{:C/2:})` `= 3 + cos A + cos B + cos C le 9/2`. 于是 `root 3(cos{:A/2:} cos{:B/2:} cos{:C/2:})` `le sqrt((cos^2{:A/2:} + cos^2{:B/2:} + cos^2{:C/2:})/3)` `le sqrt(3)/2`, 即得第一式. 利用 `sin A + sin B + sin C = 4 cos{:A/2:} cos{:B/2:} cos{:C/2:}` 得到第二式. 再利用均值不等式得到第三式. 最后, `cos{:A/2:} + cos{:B/2:} + cos{:C/2:}` `= sin alpha + sin beta + sin gamma` `le (3 sqrt 3)/2`.
3. 由不等式 `(x+y+z)^2 = x^2+y^2+z^2 + 2(x y+y z+z x)` `ge 3(x y+y z+z x)` 和等式 `tan{:A/2:} tan{:B/2:} + tan{:B/2:} tan{:C/2:} + tan{:C/2:} tan{:A/2:} = 1` 即得第一式. 最后, 令 `A = (pi-u)/2`, `B = (pi-v)/2`, `C = (pi-w)/2`, 则 `u + v + w = pi`. 于是 `cot A + cot B + cot C` `= tan{:u/2:} + tan{:v/2:} + tan{:w/2:} ge sqrt 3`.

`sin A + sin B + sin C le (3sqrt 3)/2` 的另一证明: 在 `[0,pi]` 上对 `sin x` 应用 Jensen 不等式 `sqrt(3)/2 = sin{:(A+B+C)/3:}` `ge (sin A + sin B + sin C)/3`. 于是, 完全可以从 2. 的系列不等式出发, 导出 1. 的不等式.

(繁琐) `cos A cos B cos C le 1/8` 的直接证法: 将等式 `cos^2 A + cos^2 B + cos^2 C = 1 - 2 cos A cos B cos C` 代入不等式 `root 3 (cos A cos B cos C) le sqrt((cos^2 A + cos^2 B + cos^2 C)/3)`, 记 `p = cos A cos B cos C`, 有 `p^2 le ((1-2p)/3)^3`, 解得 `p in [-1, 1//8]`. (多项式 `8p^3 + 15p^2 + 6p-1` 的有理根形如 `a_1/a_8`, `a_1 | 1`, `a_8 | 8`. 代入验证可知 `1/8` 是它的一根, 再由多项式除法得到另外一对重根 `-1`).

圆内接三角形中, 正三角形面积最大.

设圆 `O` 的半径为 `r`, `ABC` 是它的内接三角形, `/_AOB, /_BOC, /_COA` 分别记为 `2x, 2y, 2z`, 则 `ABC` 的面积 `S = r^2/2(sin 2x + sin 2y + sin 2z)` `= 2r^2 sin x sin y sin z` `le (3sqrt 3)/4 r^2`. 等号成立当且仅当 `ABC` 是正三角形.

带系数的几何不等式 [来自 新浪博客] 对任意正数 `x, y, z` 和三角形内角 `A, B, C` 有
1. `2 sum_"cyc" x y cos C le sum_"cyc" x^2`, 等号成立当且仅当 `sin A // x = sin B // y = sin C // z`. 把 `x, y, z` 换成自身的倒数, 得 `2 sum_"cyc" x cos A le sum_"cyc" y z // x`. 取 `x = a, y = b, z = c` 得到三角形 `ABC` 的垂足三角形周长上界: `sum_"cyc" a cos A le 1/2 sum_"cyc" b c // a`. 取 `x = sin A, y = sin B, z = sin C` 得 `sum_"cyc" sin 2A le sum_"cyc" sin B sin C // sin A`. 分别取 `x = cos A, y = cos B, z = cos C` 和 `x = cos C // cos B`... 得 `2 sum_"cyc" cos^2 A le sum_"cyc" cos B cos C // cos A` `le 1/2 sum_"cyc" (cos B//cos C)^2`.
2. `-2 sum_"cyc" x y cos 2 C le sum_"cyc" x^2`, 等号成立当且仅当 `(y z)/(y+z-x) sin^2 A = (z x)/(z+x-y) sin^2 B = (x y)/(x+y-z) sin^2 C`. 应用二倍角公式得 `sum_"cyc" x sin^2 A le 1/4 sum_"cyc" x y`.

由下式知 1. 成立: `x^2 + y^2 + z^2 - 2 sum_"cyc" x y cos C` `= (x-z cos B-y cos C)^2 + (y sin C - z sin B)^2`. 由下式知 2. 成立: `x^2 + y^2 + z^2 + 2 sum_"cyc" x y cos 2C` `= (x+z cos 2B+y cos 2C)^2 + (y sin 2C - z sin 2B)^2`.

反三角函数

其中 `"arccot "x := { arctan{:1/x:}, if x gt 0; pi/2, if x = 0; arctan{:1/x:}+pi, if x lt 0; :}` 因为上面 4 个反三角函数都在各自的定义域上单调, 所以对所有定义域中的 `x`, `sin arcsin x = x`. 其它三个类似.

互余关系, 反射变换

我们只证 `arcsin`, `arccos` 的相关公式. 先证明 `arcsin x = pi/2 - arccos x`. 考察 `arcsin x` 和 `arccos x` 的值域可知, 上式两边之差的绝对值不超过 `2 pi`, 所以上式成立当且仅当 `sin arcsin x = sin (pi/2 - arccos x)`, 即 `x = cos arccos x`, 这显然成立. 又 `arcsin x` 是 `sin x` 在对称区间 `[-pi/2, pi/2]` 上的反函数, 而 `sin x` 为奇函数, 所以 `arcsin x` 也为奇函数. 最后 `arccos(-x) = pi/2 - arcsin(-x)` `= pi/2 + arcsin x = pi/2 + pi/2 - arccos x`.

勾股互化

`x gt 0` 时, 通过画图容易得知

`x lt 0` 时, 令 `x = -y`, 再对 `y` 应用上述公式. 适当利用反三角函数的反射变换. 比如 `x lt 0` 时, `arccos x = arccos(-y) = pi-arccos y` `= pi - arctan{:sqrt(1-y^2)/y:}` `= pi + arctan{:sqrt(1-x^2)/x:}`.

反函数性质

前面已经提到, `sin arcsin x = x`, `quad cos arccos x = x`, `quad tan arctan x = x`. 反之就比较复杂, 需要适当地作平移变换, 将 `x-n pi` 落入反三角函数的值域中: `arcsin sin x = (-1)^n (x-n pi)`, `quad |x-n pi| le pi/2`,
`arccos cos x = (-1)^n (x-n pi) + [n" odd"] pi`, `quad 0 le x-n pi le pi`,
`arctan tan x = x-n pi`, `quad |x - n pi| lt pi/2`,
其中 `[n" odd"] = {1, if n" is odd"; 0, if n" is even" :}`

利用勾股互化, 得到 `cos arcsin x = sin arccos x = sqrt(1-x^2)`, 当然, 也可以从值域来考虑. 比如 `arcsin x` 值域是 `[-pi/2, pi/2]`, 而在这一区间上 `cos` 函数非负, 所以结果的符号为正.

差角公式

介绍差角而不是和角, 是因为前者在数学分析中更常用. `arcsin sin(arcsin x - arcsin y)` `= arcsin(x sqrt(1-y^2) - y sqrt(1-x^2))`, `arccos cos(arccos x - arccos y)` `= arccos(x y+sqrt(1-x^2) sqrt(1-y^2))`, `arctan tan(arctan x - arctan y)` `= arctan{:(x - y)/(1+x y):}`, 条件 `|arcsin x - arcsin y| le pi/2` `iff x y ge 0 or x^2+y^2 le 1`,
`0 le arccos x - arccos y le pi` `iff x le y`,
`|arctan x - arctan y| lt pi/2` `iff x y gt -1`. 分别成立时, 上面三个等式分别等于 `arcsin x - arcsin y`, `arccos x - arccos y`, `arctan x - arctan y`.

我们来证明那些使公式成立的等价条件.
1. 首先由 `arccos` 的值域为 `[0, pi]` 知 `arccos x - arccos y le pi` 恒成立. 又由 `arccos` 单调递减知 `arccos x - arccos y ge 0 iff x le y`.
2. 记 `a = arctan x`, `b = arctan y`, 由值域知 `-pi/2 lt a, b lt pi/2`, 所以 `cos a, cos b gt 0`. 若 `|a-b| lt pi/2`, `0 lt cos(a-b) = cos a cos b + sin a sin b` `= cos a cos b(1 + tan a tan b)` 这推出 `x y+1 = tan a tan b + 1 gt 0`. 反之若 `x y gt -1`, 可得 `cos(a-b) gt 0` 但由 `-pi/2 lt a, b lt pi/2` 知 `|a-b| lt pi`, 于是必有 `|a-b| lt pi/2`. 这个条件的几何意义是, 若两角之差是锐角, 且两直线与 `x` 轴正方向的夹角分别等于这两个角, 则两直线斜率之积大于 `-1`.
3. 记 `a = arcsin x`, `b = arcsin y`. 若 `|a-b| le pi/2`, `0 le cos(a-b) = cos a cos b + sin a sin b`. 即 `-x y le sqrt(1-x^2) sqrt(1-y^2)`. 假设 `x y lt 0`, 上式化为 `|x y| le sqrt(1-x^2) sqrt(1-y^2)`, 两边平方得 `x^2 y^2 le (1-x^2)(1-y^2) = 1 - (x^2+y^2) + x^2 y^2`. 即 `x^2+y^2 le 1`. 反之, 若 `x y ge 0` 或 `x^2+y^2 le 1` 成立, 都可以推出 `-x y le sqrt(1-x^2) sqrt(1-y^2)` 成立, 这等价于 `cos(a-b) ge 0`, 从而等价于 `|a-b| le pi/2`.

条件不成立时, 使用平移变换. 比如, 取合适的 `n` 使得 `|arcsin x - arcsin y - n pi| le pi/2`, 则 `arcsin sin(arcsin x - arcsin y)` `= (-1)^n (arcsin x - arcsin y - n pi)` 于是 `arcsin x - arcsin y` `= n pi + (-1)^n arcsin(x sqrt(1-y^2) - y sqrt(1-x^2))`. 另外, 利用反射变换可以得到 `arcsin x + arcsin y = arcsin x - arcsin(-y)`,
`arccos x + arccos y = arccos x - arccos(-y) + pi`,
`arctan x + arctan y = arctan x - arctan(-y)`.

双曲三角函数与反双曲三角函数

和角

倍角公式

勾股定理

反双曲三角函数

三角函数与复数

Euler 公式与 De Moivre 公式

Euler 公式 `"e"^("i"x) = cos x + "i" sin x`, `quad AA x in CC`. 从而 `cos x = ("e"^("i"x) + "e"^(-"i"x))/2`, `quad sin x = ("e"^("i"x) - "e"^(-"i"x))/{2"i"}`. 且 `arccos x = -"i" ln (x + "i"sqrt(1-x^2))`,
`arcsin x = -"i" ln (sqrt(1-x^2) + "i"x)`,
`arctan x = -"i" ln {:(1 + "i"x)/sqrt(1+x^2):}`.

比如, 设 `y = arccos x in (0, pi)`, 则 `sin y ge 0`, 有 `"e"^("i"y) = cos y + "i"sin y = x + "i"sqrt(1-x^2)`, 于是 `y = -"i"ln (x + "i"sqrt(1-x^2))`.

De Moivre 公式 `(cos x + "i"sin x)(cos y + "i"sin y)` `= cos(x+y) + "i"sin(x+y)`. `AA n in ZZ`, 对 `n` 作归纳得到 `(cos x + "i"sin x)^n = cos nx + "i" sin nx`.

`n` 倍角公式与 Chebyshev 多项式

(Vieta) 将 左边展开, 分别取实部和虚部就得到 `cos n x = sum_(j" even") (-1)^(j/2) (n;j) cos^(n-j) x sin^j x`,
`sin n x = sum_(j" odd") (-1)^((j-1)/2) (n;j) cos^(n-j) x sin^j x`.

`sin n x = | sin x, 0; 0, 2 cos x, 1; , 1, 2 cos x, 1; , , 1, ddots, 1; , , , 1, 2 cos x; |_n`,
`cos n x = | cos x, 1; 1, 2 cos x, 1; , 1, 2 cos x, 1; , , 1, ddots, 1; , , , 1, 2 cos x; |_n`.

`cos^n x` 和 `sin^n x` 的 Fourier 展开

利用 Euler 公式得到 `cos^n x = (("e"^("i"x)+"e"^(-"i"x))/2)^n` `= 2^-n sum_(k=0)^n (n;k) "e"^((n-2k)"i"x)` (取实部) `= 2^-n sum_(k=0)^n (n;k) cos (n-2k)x`,
`sin^n x = (("e"^("i"x)-"e"^(-"i"x))/(2"i"))^n` `= 2^-n sum_(k=0)^n (n;k) "i"^(2k-n) "e"^((n-2k)"i"x)` `= { 2^-n sum_(k=0)^n (n;k) (-1)^(k-m) cos (n-2k)x, n=2m; 2^-n sum_(k=0)^n (n;k) (-1)^(k-m) sin (n-2k)x, n=2m+1; :}` 我们将这些重要公式列表如下 (分别用 `c_n`, `s_n` 表示 `cos n x` 与 `sin n x`):

容易看出每行的系数之和为 1. 系数三角形恰好是杨辉三角的右半边 (中线上的数字要除以 2):

½
   1
1     1
   3     1
3     4     1
  10     5     1

利用这个结果可以轻松得出 `sin^n x`, `cos^n x` 的不定积分, 如 `int sin^5 x dx` `= 1/16 int (10 sin x - 5 sin 3 x + sin 5 x) dx` `= 1/16 (-10 cos x + 5/3 cos 3 x - 1/5 cos 5 x) + C`.

当然, 也可以按 Chebyshev 多项式的思路, 利用积化和差公式 `2 c_m c_n = c_(m+n) + c_|m-n|`,
`2 s_m s_n = c_|m-n| - c_(m+n)`,
`2 s_m c_n = s_(m+n) + sgn(m-n) s_|m-n|` 和初始条件 `cos^0 x = 1`, `cos^1 x = c_1`, `sin^0 x = 1`, `sin^1 x = s_1` 进行上述公式的推导.

杂例

计算 `1/(2sin 10^@) ( 3/(sin^2 40^@) - 1/(cos^2 40^@) )`.

设 `x = 10^@`. 利用三倍角公式 ` 1/2 = sin 3x` `= 3 cos^2 x sin x - sin^3 x` `= 3 sin x - 4 sin^3 x`. 消去 `sin^3 x` 后, 得到 `8 cos^2 x sin x = 2 sin x + 1`. 于是原式等于 `1/(2 sin x) ( 6/(1 - cos 8x) - 2/(1 + cos 8x) )` `= 1/sin x ( (3(1+sin x) - (1-sin x)) / ( 1-sin^2 x) )` `= (2(2sin x + 1)) / (sin x \ cos^2 x) = 16`.

`prod_(n=1)^oo cos {:x/2^n:} = (sin x)/x`. 特别取 `x = pi/2` 得到 Vieta 公式 `2/pi = sqrt(1/2) sqrt(1/2 + 1/2 sqrt(1/2))` `sqrt(1/2 + 1/2 sqrt(1/2 + 1/2 sqrt(1/2))) cdots`

计算
1. `arctan 1 + arctan{:1/2:} + arctan{:1/3:}`;
2. `4 arctan{:1/5:} - arctan{:1/239:}`.

利用等式 `arctan x + arctan y = arctan{:(x+y)/(1-xy):}`, `quad x y lt 1`.
1. 原式 `= arctan 1 + arctan{:(1/2 + 1/3)/(1- 1/2 *1/3 ):}` `= arctan 1 + arctan 1 = pi/2`.
2. `2 arctan{:1/5:} = arctan{:(2/5)/(1-1/25):} = arctan{:5/12:}`,
   `4 arctan{:1/5:} = 2 arctan{:5/12:}` `= arctan{:(5/6)/(1-25/144):} = arctan{:120/119:}`,
   原式 `= arctan{:(120/119-1/239)/(1+1/239 120/119):} = arctan 1` `= pi/4`.

2. 的另一证明, 使用复数, 由 `(5+"i")^4/(239+"i") = 2 (1+"i")` 立即结论.

证明:
1. `2 arctan "e"^x - arctan sinh x = pi/2`;
2. `2 arctan "e"^-x + arctan sinh x = pi/2`.

只证第一式. 注意到 `"e"^x * "e"^x lt 1` 未必成立, 不适合用公式 `arctan x + arctan y = arctan{:(x+y)/(1-x y):}`. 不过 `arctan" e"^x gt 0` 恒成立, 因此适合用 `"arccot"` 来刻画. 原式 `= "arccot"{:(1-"e"^(2x))/(2"e"^x):} - arctan sinh x` `= "arccot"(-sinh x) + arctan(-sinh x)` `= pi/2`.

只证第一式. 求导, `2/(1+"e"^(2x)) "e"^x - 1/(1+sinh^2 x) cosh x` `= 1/(cosh x) - 1/(cosh x) = 0`. 从而原式恒为一常数. 取 `x = 0` 得 `pi/2`.

证明
1. `2 arctan sqrt ((a-b)/(a+b)) = arccos {: b/a :}`, `quad a ge |b|`;
2. `arccos x = 2 arccos sqrt((1+x)/2) = 2 arcsin sqrt((1-x)/2)`.

1. 原式 `= arctan{:(2sqrt((a-b)/(a+b)))/(1-(a-b)/(a+b)):}` `= arctan{:(sqrt(a^2-b^2))/b:}` `= sgn b * arccos{:b/a:}`.

求 `sum_(n ge 1) arctan{:2/n^2:}`.

注意到 `arctan{:2/n^2:} = arctan(n+1) - arctan(n-1)`, 故原式等于 `lim_(n to oo) (arctan(n+1) + arctan n - arctan 1 - arctan 0) = 3/4 pi`.

解方程 `(sin x)/(sin(40^@-x)) = 4cos 20^@ cos 40^@`, `0 lt x lt 40^@`.

预处理方程右边, `4 (sin 20^@)/(sin 20^@) cos 20^@ cos 40^@` `= 2/(sin 20^@) sin 40^@ cos 40^@` `= (sin 80^@)/(sin 20^@)` `= (cos 10^@)/(sin 20^@)` `= 1/(2 sin 10^@)`. 方程化为 `(sin x)/(sin(40^@-x)) = 1/(2 sin 10^@)`,
`2 sin 10^@ sin x = sin 40^@ cos x - cos 40^@ sin x`,
从而 `tan x = (sin 40^@)/(2 sin 10^@ + cos 40^@)` `= (sin(30^@+10^@))/(2 sin 10^@ + cos(30^@+10^@))` `= (1/2 cos 10^@ + (sqrt 3)/2 sin 10^@)/(2 sin 10^@ + (sqrt 3)/2 cos 10^@ - 1/2 sin 10^@)` `= 1/sqrt(3)`. 因此 `x = 30^@`.

已知 `sin(2x+30^@) = 4/5`, `0 lt x lt 45^@`, 求 `13/(cos 3x)`.

使用万能代换. 设 `t = tan x`, 代入条件, 解二次方程得 `t = (5sqrt3-6)/13`. 从而 `13/(cos 3x) = 13/(cos x(4cos^2 x-3))` `= 13 (1+t^2)^(3/2)/(1-3t^2)` `= 5 sqrt 10`.

求函数 `y = (sin x - 1)/(cos x - 2)` 的值域.

通用做法: 作万能代换 `t = tan{:x/2:}`, 则 `sin x = (2t)/(1+t^2)`, `quad cos x = (1-t^2)/(1+t^2)`,
`y = (2t - (1+t^2))/(1-t^2 -2(1+t^2))` `= (t^2-2t+1)/(3t^2+1)` `= 1/3 - (2t-2/3)/(3t^2+1)`. 令 `u = 2t-2/3`, `y = 1/3 - u/(3/4 u^2 + u + 4/3)` `= 1/3 - 1/(1 + (3u)/4 + 4/(3u))`. 从而 `|(3u)/4 + 4/(3u)| ge 2`,
`1 + (3u)/4 + 4/(3u) in (-oo, -1] uu [3, +oo)`,
`-1/(1+(3u)/4 + 4/(3u)) in [-1/3, 1]`,
`y in [0, 4/3]`.

变形得 `y cos x - sin x = 2y - 1`. 引入辅助角 `theta`, 满足 `cos theta = y/sqrt(1+y^2)`, `quad sin theta = 1/sqrt(1+y^2)`, 于是 `(2y-1)/sqrt(1+y^2) = cos(x + theta) in [-1, 1]`. 解不等式 `(2y-1)^2 le 1 + y^2` 得 `y in [0, 4/3]`.

联系几何意义, 原问题即求平面上点 (2,1) 到单位圆上一点连线的斜率范围. 这只需作出 (2,1) 到单位圆的切线. 从图像容易看出其中一条切线的斜率是 0, 另一切线的斜率等于 `tan(2arctan{:1/2:})` `= (2 * 1/2)/(1- (1/2)^2)` `= 4/3`.

设 `theta = pi/7`, `a = sin(-theta)`, `b = sin 2theta`, `c = sin 3theta`, 证明: `a/b^2 + b/c^2 + c/a^2 = 2 sqrt 7`.

简记 `sin n theta = s_n`, `cos n theta = c_n`.
1. 我们来证明 `a, b, c` 的基本对称多项式 `sigma_1 = a + b + c = (sqrt 7)/2`, `quad sigma_2 = a b+b c+c a = 0`, `quad sigma_3 = a b c = -(sqrt 7)/8`. 首先由有 `(a b c)^2 = 7//2^6`, 故 `a b c = -sqrt 7 // 8`.
2. 求 `sigma_2`, 先证 `a^2 - b^2 = c a`. `s_1^2 - s_2^2` `= (1-c_2)/2 - (1-c_4)/2` `= 1/2 (c_4 - c_2)` `= -s_3 s_1`. 类似可证 `b^2 - c^2 = a b`, `c^2 - a^2 = b c`. 三式相加即得 `sigma_2 = 0`.
3. 求 `sigma_1`. `a + b + c` `= -s_1 + s_2 + s_3` `= -s_1 + s_2 + (c_2 s_1 + c_1 s_2)` `= s_2(1+c_1) - s_1(1-c_2)` `= 2(s_2 s_3^2 - s_1^3)` `= 2(b c^2 + a^3)` `= 2(b c^2 + a(c^2-b c))` `= 2(b c^2 + a c^2) - 2 a b c` `= 2c(b c + a c) - 2 a b c` `= 2c(-a b) - 2 a b c` `= -4 a b c = sqrt 7//2`.
4. 证 `4 a^2 b = 2 b - c`. `4 s_1^2 s_2` `= 2 s_2 (1-c_2)` `= 2 s_2 - s_4` `= 2 s_2 - s_3`. 类似有 `4 b^2 c = 2 c - a`, `4 c^2 a = 2 a - b`.
5. 来证最终结论, 即证 `a^2 b^3 + b^2 c^3 - c^2 a^3 = 2 sqrt 7 (a b c)^2` `= 2 sqrt 7 sigma_3^2 = (7sqrt 7)/32`. 左边的 4 倍等于 `b^2 (2 b-c) + c^2 (2 c-a) + a^2 (2 a-b)` `= 2(a^3 + b^3 + c^2) - (b^2 c + c^2 a + a^2 b)` `= 2(a^3 + b^3 + c^2) - 1/4(a+b+c)`. 由 Newton 公式, `S_1 = a + b + c` `= sigma_1 = (sqrt 7)/2`,
   `S_2 = a^2 + b^2 + c^2` `= sigma_1 S_1 - 2 sigma_2 = 7/4`,
   `S_3 = a^3 + b^3 + c^3` `= sigma_1 S_2 - sigma_2 S_1 + 3 sigma_3 = (sqrt 7)/2`. 从而 `2 S_3 - 1/4 S_1 = (7sqrt 7)/8`. 证毕.

在三角形 `A B C` 中, 已知 `(sin B-sin C)^2 = sin A^2 - sin B sin C`, 求角 `A`.

先用正弦定理得 `(b-c)^2 = a^2 - b c`, 即 `b c = b^2+c^2-a^2`, 再用余弦定理 `cos A = (b^2+c^2-a^2)/(2b c) = 1/2`, 即 `A = pi//3`.

在锐角三角形 `A B C` 中, 已知 `cos^2 A + cos^2 B - cos A cos B = 3/4`, 求角 `C`.

设 `x, y, z = cos A, cos B, cos C`, 将已知条件与恒等式联立: `{ x^2 + y^2 - x y = 3/4; x^2 + y^2 + z^2 + 2 x y z = 1 :}` 解得 `x y = (1-2 z)//4`, `x^2 + y^2 = 1 - z // 2`. 于是 `z = sqrt(1-x^2)sqrt(1-y^2) - x y` `= sqrt(1-x^2 y^2 - (3/4 + x y)) - x y`, 代入 `x y = (1-2 z)//4` 解得 `z = 1/2`, 即 `C = pi//3`.

[来自 我是费马的最后一页空白] 求 `1/(sin 45^@ sin 46^@) + 1/(sin 47^@ + sin 48^@) + cdots` `+ 1/(sin 133^@ + sin 134^@)`.

注意到 `sin 1^@/(sin n^@ sin(n+1)^@)` `= (cos n^@)/(sin n^@) - (cos(n+1)^@)/(sin(n+1)^@)`, 因此原式等于 `1/(sin 1^@) (cot 45^@ - cot 46^@ + cdots + cot 133^@ - cot 134^@)` `= (cot 45^@)/(sin 1^@)` `= 1/(sin 1^@)`.

[来自 我是笨蛋的Always] 求 `f = cos x cos y + 2 cos x sin y + 2 sin x` 的最值.

求偏导 `f_x = -sin x(cos y + 2 sin y) + 2 cos x`,
`f_y = cos x(2 cos y - sin y)`. 令 `f_x = f_y = 0`, 得 `{cos x = 0; cos y = -2 sin y:}` 或 `{2cos y = sin y; cos y = 2/5 cot x:}`. 第一种情况下 `f = +-2`, 第二种情况 `tan y = 2`, `cos y = +- 1/sqrt5`, 等等, 化简得 `f = +-3`. 因此 `f` 的最值是 `+-3`.