应用零点-因子定理. 因为 `a = b` 时 `a^n = b^n`, 所以 `a-b` 是 `a^n-b^n` 的因子; 设 `n` 是奇数, 则 `a+b=0` 时 `a^n + b^n = 0`, 所以 `a+b` 是 `a^n+b^n` 的因子.

连续 `n` 个正整数的乘积被 `n!` 整除. 例如, `n^5-5n^3+4n = (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)` 被 120 整除.

连续 4 个正整数的乘积加 1 是完全平方数.

设 `(n-1)n(n+1)(n+2) = x^2 - 1 = (x+1)(x-1)`, 注意到 `n(n+1) = n^2 + n`, `quad (n-1)(n+2) = n^2 + n - 2`, 因此取 `x = n^2 + n - 1`, 就有 `(n-1)n(n+1)(n+2) + 1 = (n^2+n-1)^2`.

杂例

1. `x^2 - 3x - 108`;

   如果十字相乘不容易看出答案, 可以利用二次方程的求根公式. 两根为 `(3+-sqrt(9+4 xx 108))/2 = (3 +- 21)/2 = 12, -9`. 因此上式的分解为 `(x-12)(x+9)`.

2. `x^4 - 13x^2 + 36`;

   将 `x^2` 视为整体, 进行十字相乘. 原式等于 `(x^2-4)(x^2-9)` `= (x+2)(x-2)(x+3)(x-3)`.

3. `(x^2 + x - 5)(x^2 + x - 7) + 1`;

   同上, 将 `x^2 + x` 视为整体. 原式等于 `(x^2 + x)^2 -12 (x^2 + x) + 36` `= (x^2 + x - 6)^2` `= [(x-2)(x+3)]^2`.

4. 证明: `2^1984 + 1` 不是素数;

   实际上是进行因数分解. 当 `n` 为偶数时, 将公式 ` x^(n+1) - y^(n+1)` `= (x-y)(x^n + x^(n-1)y + cdots + xy^(n-1) + y^n)` 中的 `y` 换为 `-y` 得 ` x^(n+1) + y^(n+1)` `= (x+y)(x^n - x^(n-1)y + cdots - xy^(n-1) + y^n)`. 于是 `2^1984 + 1 = (2^64)^31 + 1` `= (2^64+1)(cdots)`. 显然 `1 lt 2^64+1 lt 2^1984`, 故 `2^1984+1` 不是素数.

5. `x^4 - 4x + 3`;

   在三项式中, 中项系数的绝对值是另外两个系数的绝对值之和时, 往往可以分解. 原式等于 `x^4 - x -3x + 3` `= x(x^3-1) -3(x-1)` `= (x-1)(x^3 + x^2 + x - 3)`.

6. `x^4 + x^2 y^2 + y^4`;

   有时为凑平方, 我们对中项作改动 (此时往往还需平方差公式). 原式等于 `x^4 + 2x^2 y^2 + y^4 - x^2 y^2` `= (x^2 + y^2)^2 - (xy)^2` `= (x^2 + xy + y^2)(x^2 - xy + y^2)`.

7. `x^4 + 2^6`;

   同上, 原式等于 `(x^2 + 2^3)^2 - 2*2^3 x^2` `= (x^2 + 4x + 8)(x^2 - 4x + 8)`.

8. `-a^4 -b^4 -c^4 +2b^2 c^2 + 2c^2 a^2 + 2a^2 b^2`;

   同上, 原式等于 `4a^2 b^2 - (a^4+b^4+c^4 - 2b^2 c^2 - 2c^2 a^2 + 2a^2 b^2)` `= (2ab)^2 - (a^2 + b^2 - c^2)^2` `= (a^2 + 2ab + b^2 - c^2)(-a^2 + 2ab -b^2 + c^2)` `= (a+b+c)(a+b-c)(c+a-b)(c-a+b)`. 此式见于三角形面积的海伦公式.

9. `x^2 - y^2 + 2x + 6y - 8`;

   因为没有形如 `c x y` 的交叉项, 直接分别对 `x, y` 配方. 原式等于 `(x^2 + 2x + 1) - (y^2 - 6y + 9)` `= (x+1)^2 - (y-3)^2` `= (x+y-2)(x-y+4)`.

10. `4x^2 - 4xy + y^2 - 6x + 3y - 10`;

    使用 "主元法". 将整个式子视为 x 的多项式, 再将其常数部分视为 y 的多项式. 原式等于 `4x^2 + (-4y-6)x + (y-2)(y+5)`. 为了进行十字相乘, 设上式等于 `(mx + y - 2)(nx + y + 5)`, 于是 `mn = 4`,
    `(m + n)y + 5m - 2n = -4y-6`. 所以 `m = n = -2`. 于是原式等于 `(-2x + y - 2)(-2x + y + 5)`.

11. `a^2 b + ab^2 + a + b - ab - 1`;

    方法同上. 原式等于 `ba^2 + (b^2 - b + 1)a + b - 1` `= (a + b - 1)(ba + 1)`.

12. `abc + a^2 b - ab^2 - a + b - c`;

    原式等于 `ba^2 + (bc - b^2 - 1)a + b - c` `= (ba - 1)(a - b + c)`.

13. `(a + b + c + 1)(a + 1) + bc`;

    原式等于 `a^2 + (b+c+2)a + bc + b + c + 1` `= a^2 + (b+c+2)a + (b+1)(c+1)` `= (a + b + 1)(a + c + 1)`.

14. `(x+y)(y+z)(z+x) + xyz`;

    即使是看似对称的式子, 主元法依然可以胜任. 原式等于 `(y+z)x^2 + ((y+z)^2 + yz)x + yz(y+z)` `= ((y+z)x + yz)(x + y + z)` `= (yz + zx + xy)(x + y + z)`.

15. `x^3(a+1) - xy(x-y)(a-b) + y^3(b+1)`;

    在分组分解时, 除主元法, 另一有力手段就是先提 "稀有字母", 即那些出现频率相对较低, 而次数只有一次的字母. 这里我们提出 a, b. 原式等于 `x^3 a + x^3 - (x^y - xy^2)(a-b) + y^3 b + y^3` `= ax(x^2-xy+y^2) + by(y^2+x^2-xy) + (x+y)(x^2-xy+y^2)` `= (ax + by + x + y)(x^2 - xy + y^2)`.

16. `x(y^2 - z^2) + y(z^2 - x^2) + z(x^2 - y^2)`;

    当然可以用主元法. 不过这里用稍特别的方法 (Vandermonde 行列式) 来处理. 原式等于 `|1,1,1; x,y,z; x^2, y^2, z^2|` `= (y-x)(z-x)(z-y)`.

17. `a^5 + b^5 - a^3 b^2 - a^2 b^3`;

    注意到 `(a^3 b^2 + a^2 b^3) = a^2 b^2(a+b)`. `a+b` 是不是 `a^5 + b^5` 的因子呢? 我们用整式除法来验证. 视 `a+b` 为 `a` 的一次式, 列表如下: `{: ,1,b; 1,1,b; -b, -b, -b^2; b^2, b^2, b^3; -b^3, -b^3, -b^4; b^4, b^4, b^5; :}` 恰好整除. 所以原式等于 `(a+b)(1 - b + b^2 - b^3 + b^4 - a^2 b^2)`.

18. `x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz`.

    注意到所给式子中的每一项都在 `(x+y+z)^3` 的展开式中. 猜测 `x + y + z` 是一个因子, 作整式除法: `{: , 1, y+z; 1, 1, y+z; -(y+z), -(y+z), -(y+z)^2; y^2 + z^2 - yz, y^2 + z^2 - yz, y^3 + z^3; :}` 恰好整除. 所以原式等于 `(x + y + z)(x^2 -(y+z)x + y^2 + z^2 - yz)` `= (x + y + z)(x^2 + y^2 + z^2 -yz - zx - xy)`.

19. `x^8 + x^7 + 1`.

    设 `omega^3 = 1`, `omega != 1`. 代入有 `omega^8 + omega^7 + 1 = omega^2 + omega + 1 = 0`. 因此 `x^2+x+1` 是一个因式. 相除得 `(x^2+x+1)(x^6-x^4+x^3-x+1)`.

若多项式 `f(x)` 的系数 `in {0, 1, -1}`, 则它在有理数域内的所有因式的系数也 `in {0, 1, -1}`. `n` 次以内这样的多项式只有有限个, 因此我们分解的时候逐个尝试就行()

Euler 恒等式 `sum a^3 - 3 a b c` `= (sum a)(sum a^2 - sum a b)` `= 1/2 (sum a) sum (a-b)^2`. 特别当 `sum a = 0` 时, `sum a^3 = 3 a b c`; 当 `c = 0` 时, 得到立方和公式. 此公式的进一步推广是牛顿公式: `sum a^(n+3)` `= (sum a)(sum a^(n+2)) - (sum a b) (sum a^(n+1)) + 3 a b c sum a^n`.

`(sum a)(sum a^2 - sum a b)` `= sum(a^3 color(red)(- a^2 b + a^2 b) color(blue)(- a b^2 + a^2 c) - a b c)` `= sum a^3 - 3 a b c`.

记 `x = root 3 2`, `a, b in QQ`, 对 `(x^2 + a x + b)^-1` 进行分母有理化. 这指出 `QQ(x)` 是一个域.

应用 Euler 恒等式 `(sum a)^-1 = (sum(a^2-a b))/(sum a^3 - 3 a b c)`, 注意 `x^3 = 2`, 有 `(x^2 + a x + b)^-1` `= (x^4 + a^2 x^2 + b^2 - 2 a - a b x - b x^2)/(4 + 2 a^3 + b^3 - 6 a b)` `= ((a^2 - b) x^2 + (2 - a b) x + (b^2 - 2 a))/(4 + 2 a^3 + b^3 - 6 a b)`.

常用恒等式 `(a+b)(b+c)(c+a) = (a+b+c)(a b+b c+c a) - a b c`.

x y z
a c e
b d f

轮换式与对称式, 一旦得出一个因式即可获得多个因式. 再通过比较某项的系数可得出因式的系数.