小数化分数 只考虑纯循环小数. 以循环节中的数字为分子, 相同位数的数字 9 为分母, 再约分就得到结果. 例如 `0. dot 3 = 3/9 = 1/3`, `quad 0. dot 0 dot 9 = 09/99 = 1/11`,
`0. dot 1 4285 dot 7 = 142857/999999 = 1/7`, `quad 0. dot 0 7692 dot 3 = 076923/999999 = 1/13`.

分数化小数 当然可以直接作除法. 也可以利用熟记的简单分数的值 (见下表) 做快速计算: `1/12 = 5/60 = 0.08 dot 3`, `quad 1/15 = 6/90 = 0.0 dot 6`, `quad 1/18 = 5/90 = 0.0 dot 5`. 此外, 由原根的知识知道, 1/17 的循环节有 16 位, 1/19 的循环节有 18 位, 等等. 100 以内满足 1/n 的循环节恰有 n-1 位的数字 n 有 7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97.

令 `f(x) = sum_(n ge 0) n * x^n` `= x "d"/dx sum_(n ge 0) x^n` `= x "d"/dx 1/(1-x)` `= x/(1-x)^2`, 则 `f(10^-2) =10^-2/(1-10^-2)^2 = 100/99^2`. 于是 `100//99^2 = 0.010203040506070809...`

口算开平方 利用微分近似 `sqrt(1+x) ~ 1 + x/2` (`x to 0`) 来计算平方根. 如计算 `sqrt n`, 可先取一个接近 `n` 的完全平方数 `m^2`, 记 `x = n // m^2 - 1`, 则 `sqrt n = m sqrt (n / m^2)` `= m sqrt(1+x)` `~~ m (1 + x/2)` `= m + (n - m^2) / (2 m)`. 如, `sqrt(97) ~~ 10 - 3/(2 xx 10) = 9.85`,
`sqrt "e" ~~ sqrt(2.72) ~~ 1.6 + (0.16)/(2 xx 1.6) = 1.65`,
`sqrt pi ~~ sqrt(3.14) ~~ 1.8 - (0.1)/(2 xx 1.8) = 1.77 dot 2`. 可以用计算器验证上面各式的精度.

用 Padé 近似开方 `x` 充分小时, `(1+x)^(1/a) ~~ (2a+(a+1)x)/(2a+(a-1)x)`,
`sqrt(1+x) ~~ (4+3x)/(4+x)`,
`root 3 (1+x) ~~ (3+2x)/(3+x)`. 如 `root 3 2 ~~ (3+2)/(3+1) = 5/4`; 进一步改进为 `root 3 2 = 5/4 root 3 (128/125)` `~~ 5/4 (3+6/125)/(3+3/125)` `= 5/4 * 127/126` `~~ 1.25992`.

笔算开平方 求 `root 4 1.33`.

1. 把求四次方根分解为开两次平方. 问题化为求 `|__ sqrt x __|`, 其中 `x = 13300`.
2. 先设 `x = 10a_1 + b_1`, `0 le b_1 le 9`. 因为 `b_1^2 lt 100`, 有 `a_1 = |__ sqrt 133 __|`. 又设 `a_1 = 10a_2 + b_2`, `0 le b_2 le 9`. 同理 `a_2 = |__ sqrt 1 __| = 1`.
3. 由 `(10a_2 + b_2)^2 le 133` `rArr (20a_2 + b_2)b_2 le 33` `rArr b_2 le 1`, `b_2` 应当尽可能取大, 所以 `b_2 = 1`, `a_1 = 11`. 同理 `(10a_1 + b_1)^2 le 13300` `rArr (20a_1 + b_1)b_1 le 1200` `rArr b_1 le 5`.

# 笔算开平方的竖式表示    # 同理
     1  1  5                 1  0  7  2
    --------                -----------
 1 / 1 33 00             1 / 1 15 00 00
     1                       1
      ---                     ---
  21 / 33                 20 / 15
       21                       0
      ------                  -------
 225 / 12 00             207 / 15 00
       11 25                   14 49
                                 ------
                           2142 / 51 00
                                  42 84
# 每步把当前答案的 20 倍加上一位数字, 再与这位数字相乘,
# 要求不超过当前余数, 如此做下去.

对数的估算 首先记住 `ln 2 ~~ 0.693`, `ln 3 ~~ 1.099` 等, 然后利用 Padé 近似 `ln(1+1/x) ~~ 2/(2x+1)` (`x` 充分大). 例如 `ln 5 = ln 4 + ln(1+1/4)` `~~ 2 ln 2 + 2/(2*4+1)` `~~ 1.608`,
`ln 103 = ln 128 - ln(1+25/103)` `~~ 7 ln 2 - 2/(2*103//25 + 1)` `~~ 4.635`. 计算器: log(5) = 1.609438, log(103) = 4.634729.

进制转换 将十进制数分别转换为二进制和十六进制; 将二进制数和十六进制数化为十进制.

1. 十进制数化为二进制: 以 2500 为例, 反复把 2500 除以 2, 将余数写在右边, 商写在下面.

   2500 0
   1250 0
    625 1
    312 0
    156 0
     78 0
     39 1
     19 1
      9 1
      4 0
      2 0
      1 1
   

   从下到上读出各个余数, 即为二进制数: 1001 1100 0100
2. 十进制数化为十六进制, 也可以采用反复除以 16, 再倒序读出余数的做法, 但一般是先化为二进制数, 再从低位起按每 4 位一组划分, 利用二进制与十六进制对照表进行转换, 得到答案 0x9c4. 十六进制与二进制之间的转换是容易的, 在实际应用中, 十六进制常作为二进制的缩写而存在.
3. 将二进制数 `b_n b_(n-1) cdots b_1 b_0` 化为十进制, 只需计算 `sum_(i=0)^n b_i 2^i` 即可. 为此可以熟记常见的 2 的正整数幂的十进制写法.
4. 将十六进制数 `h_n h_(n-1) cdots h_1 h_0` 化为十进制, 可以直接计算 `sum_(i=0)^n h_i 16^i`, 也可以先化为二进制数, 再按 3. 的方法化为十进制.