整数

自然数又叫正整数, 即熟知的 `1, 2, 3, cdots, n, cdots`. 用 `NN` 表示全体自然数的集合.
整数是指正整数, 负整数及零, 即 `0, +-1, +-2, +-3, cdots, +-n, cdots`. 用 `ZZ` 表示全体整数的集合.

整数的运算

整数集合 `ZZ` 关于其上的加法 "`+`" 与乘法 "`*`" 成一整环, 即
1. 关于加法与乘法成一环.
   关于加法成一 Abel 群.
   1. 封闭性. `(AA a, b in ZZ)` `a + b in ZZ`;
   2. 结合律. `(AA a, b, c in ZZ)` `(a+b)+c = a+(b+c)`;
   3. 存在零元. `(EE 0 in ZZ)`, `(AA a in ZZ)` `a + 0 = a`;
   4. 存在负元. `(AA a in ZZ)`, `(EE -a in ZZ)` `a + (-a) = 0`;
   5. 交换律. `(AA a, b in ZZ)`, `a+b = b+a`;
   关于乘法成一半群.
   6. 封闭性. `(AA a, b in ZZ)` `a * b in ZZ`;
   7. 结合律. `(AA a, b, c in ZZ)` `(a*b)*c = a*(b*c)`;
   满足乘法对加法的分配律:
   8. `(AA a, b, c in ZZ)` `a * (b + c) = a*b + a*c`.
2. 无零因子. `(AA a, b in ZZ)` `a * b = 0 rArr a = 0 or b = 0`;
3. 乘法交换律. `(AA a, b in ZZ)` `a*b = b*a`;
4. 有乘法幺元. `(EE 1 in ZZ)` `(AA a in ZZ)` `a * 1 = a`; 但是, 不一定有乘法逆元.
因此, 也称 `ZZ` 为整数环. 简单起见, 字母间的乘法 `a*b` 简记为 `ab`, 减法 `a + (-b)` 简记为 `a-b`.

从整数乘法的无零因子可以推出它满足的消去律: `(AA a in ZZ\\{0}, b, c in ZZ)` `a*b = a*c rArr b = c`.

整数的序

整数环 `ZZ` 上有一全序 `le`, 即满足

1. `le` 为一偏序.
   1. 自反性. `(AA a in ZZ)` `a le a`;
   2. 反对称性. `(AA a, b in ZZ)` `a le b and b le a rArr a = b`;
   3. 传递性. `(AA a, b, c in ZZ)` `a le b and b le c rArr a le c`.
   据此可以定义 `ge, lt, gt` 如下: 对 `a, b in ZZ`, `a ge b iff b le a`;
   `a lt b iff a le b and a != b`;
   `a gt b iff a ge b and a != b`.
2. 任意两个整数之间可以比较大小. `AA a, b in ZZ`, `a=b, a lt b, a gt b` 有且仅有一个成立.

全序 `le` 与 `ZZ` 上的运算相容, 即
1. `(AA a, b, c in ZZ)` `a + c le b + c iff a le b`;
2. `(AA a, b in ZZ, c in NN)` `a c le b c iff a le b`;
3. `(AA a, b in ZZ)` `a le b iff -a ge -b`;

一些额外的性质
1. `(AA a, b, c in NN)` `c = ab rArr a le c`, 等号成立当且仅当 `b = 1`.
2. `(AA a, b in NN)` `a lt b iff a + 1 le b iff a le b-1`.

整数的绝对值

对任意 `a in ZZ`, 定义它的绝对值为 `|a| = { a, if a in NN; 0, if a = 0; -a, if -a in NN; :}`

借助绝对值容易建立等价关系 `~: a ~ b iff |a| = |b|`, 满足
1. 自反性. `(AA a in ZZ)` `a ~ a`;
2. 对称性. `a ~ b rArr b ~ a`;
3. 传递性. `a ~ b and b ~ c rArr a ~ c`.

绝对值具有性质 `|ab| = |a| * |b|`, `AA a, b in ZZ`;
`|a + b| le |a| + |b|`. `AA a, b in ZZ`.

归纳原理与数学归纳法

归纳原理 设 `S sube NN` 满足条件
1. `1 in S`;
2. `n in S rArr n+1 in S`, `AA n ge 1`,
则 `S = NN`.

归纳原理是自然数最重要, 最本质的性质.

(第一) 数学归纳法 设 `P(n)` 是关于自然数 `n` 的一种性质或命题. 如果
1. `P(1)` 成立;
2. 由 `P(n)` 成立可以推出 `P(n+1)` 成立, `AA n ge 1`,
那么 `P(n)` 对任意的自然数 `n` 成立.

对集合 `S = {n in NN: P(n)}` 应用归纳原理即得.

1. 最小自然数原理 `NN` 的任意非空子集中存在最小元;
2. 最大自然数原理 `NN` 的任意非空且在 `NN` 中有上界的子集中存在最大元.

1. 设 `O/ != S sube NN`, 要证 `(EE m in S)` `(AA s in S)` `m le s`. 令 `L` 是 `S` 的全体下界, 即 `L = {l in NN: (AA s in S) l le s}`. 易知 `1 in L`, 故 `L` 非空.
   由于 `S` 非空, 取 `s in S`, 有 `s+1 gt s`. 所以 `s+1 !in L`, 这说明 `L != NN`. 由归纳原理, 存在 `m in L`, `m+1 !in L`.
   下证 `m in S`. 若不然, 则对任意 `s in S`, `m lt s`, 即 `m+1 le s`, 故 `m+1 in L`, 矛盾. `m` 即为 `S` 中的最小自然数.
2. 设 `O/ != S sube NN` 且在 `NN` 中有上界, 要证 `(EE M in S)` `(AA s in S)` `s le M`. 令 `U = {u in NN: (AA s in S) s le u}` 是 `S` 的全体上界, 则 `U` 非空. 由最小自然数原理知, `U` 中有最小自然数 `M`. 下证 `M in S`, 若不然, 则对任意 `s in S`, `s lt M`, 即 `s le M-1`. 从而 `M-1 in U`, 与 `M` 是 `S` 的最小上界矛盾. `M` 即为 `S` 中的最大自然数.

从证明过程可以看出, 整数集合中的最小自然数与最大自然数分别等于其下确界与上确界.

第二数学归纳法 设 `P(n)` 是关于自然数 `n` 的一种性质或命题. 如果
1. `P(1)` 成立;
2. 由 `P(m)` 对任意自然数 `m lt n` 成立可以推出 `P(n)` 成立, `n gt 1`,
那么 `P(n)` 对任意的自然数 `n` 成立.

反设集合 `T = {t in NN: not P(t)}` 非空, 则它有最小元 `t_0`, 由 `P(1)` 成立知 `t_0 gt 1`, 于是对任意自然数 `m lt t_0`, `P(m)` 成立, 由2, 这蕴含 `P(t_0)` 成立, 矛盾.

本节的最后介绍初等数论中另一个常用的工具. 这可以由反证法得到.

抽屉原理 (鸽巢原理) 设 `n in NN`. 集合 `X` 有 `n+1` 个元素, 集合 `Y` 有 `n` 个元素, 则 `X` 到 `Y` 的映射一定不是单射. 换言之, 将 `n+1` 个物体放入 `n` 个盒子, 一定有一个盒子放入了两个或两个以上的物体.

Dirichlet 逼近定理 设 `x in RR`, `n in ZZ^+`, 则在 `x, 2x, cdots, n x` 这 `n` 个数中, 存在一个数, 到最近整数的距离小于 `1//n`.

记 `{x} = x - [x]` 为实数 `x` 的小数部分. 考虑 `n+1` 个数 `0, {x}, {2x}, cdots, {n x}`, 它们落在区间 `[0, 1)` 中. 若将区间平均分为 `n` 份 `[0, 1//n)`, `cdots`, `[(n-1)//n, 1)`, 则必有两个数落在同一区间. 设它们是 `{i x}`, `{j x}`, 其中 `0 le j lt i le n`, 则 `1//n gt |{i x} - {j x}|` `= |i x - [i x] - j x + [j x]|` `= |(i-j) x - ([i x] - [j x])|`. 令 `k = i-j`, `m = [i x] - [j x]`, 则 `1 le k le n`, 且 `k x` 到 `m` 的距离小于 `1//n`.

设整数 `n gt 1`. 证明: `H_n = sum_(j=1)^n 1/j` 不是整数.

利用如下事实: 每个正整数 `j` 都可以唯一地写为 `j = 2^(m_j) a_j`, 其中 `m_j ge 0`, `a_j` 为奇数.
1. 下证 `m_j` 在 `1 le j le n` 中有唯一的最大值 `m`. 设 `m_j = m_k = m`, `j le k`, 则 `k - j = 2^(m_k) a_k - 2^(m_j) a_j` `= 2^m (a_k - a_j)`, 其中 `a_k, a_j` 为奇数, 因此 `k - j` 为偶数. 若 `k - j gt 0`, 则它所含的 2 的次数大于 `m`, 矛盾; 因此 `k = j`.
2. 设 `m = m_k = max_(1 le j le n) m_j`, `M = 2^(m-1) prod a_j`. 由 1. 知, `j = 2^(m_j) a_j | M` 当且仅当 `j != k`. 于是 `M H_n = sum M/j -= M/k (mod 1)` 上式右边不是整数, 因此左边也不能是整数, 证毕.

取整函数

阿基米德 (Archimedes) 原理 对任意实数 `a` 和 `epsi gt 0`, 存在正整数 `n` 使得 `n epsi gt a`.

考虑集合 `S = { n epsi | n in ZZ^+ }`. 若不存在正整数 `n` 使得 `n epsi gt a`, 那么 `a` 是 `S` 的上界; 由确界原理, 可设 `S` 的上确界为 `A`. 则存在 `n_0 epsi in S` 使得 `n_0 epsi gt A - epsi`, 即 `(n_0+1) epsi gt A`. 但 `(n_0+1) epsi in S`, 这与 `A` 是 `S` 的上确界矛盾.

任意给定实数 `x`, 都存在整数 `m, n` 满足 `m lt x lt n`.

在 Archimedes 原理中特别取 `epsi = 1` 知, 任意给定一个实数 `x`, 总能找到一个正整数 `n` 大于它. 另一方面, 对于实数 `-x`, 存在正整数 `-m` 使得 `-m gt -x`. 综上 `m lt x lt n`.

对任意实数 `x`, 集合 `{n in ZZ| n ge x}` 和 `{m in ZZ| m le x}` 都非空, 且前者在 `ZZ` 中有下界, 后者在 `ZZ` 中有上界. 故定义 `x` 的向上取整 `|~ x ~|` 为不小于 `x` 的最小正整数, 向下取整 `|__x__|` 为不大于 `x` 的最大正整数.

已知正整数 `c`, 求正整数 `n` 满足 `(n(n-1))/2 le c lt (n(n+1))/2`.

解二次不等式得 `(-1+sqrt(1+8c))/2 lt n le (1+sqrt(1+8c))/2`, 即 `n = |__(1+sqrt(1+8c))/2__|`. 注意分母为 2, 因此分子每变化 2, 才引起 `n` 的一次跳跃, 我们可以用取整平方根代替平方根, 即 `n = |__(1+|__sqrt(1+8c)__|)/2__|`.

有理数与无理数

无限循环小数是有理数; 反之, 有理数 `m//n` 可以写成无限循环小数, 且循环节的长度小于分母 `n`. 因此, 一个数是无理数当且仅当它是无限不循环小数.

1. 不妨设这个 `B` 进制小数 (`B gt 1`) 在区间 `[0, 1]` 中. 则它可以写成 `0.a_1 a_2 cdots a_k {:dot a:}_(k+1) cdots {:dot a:}_(k+p)`. 记 `m_1 = a_(k+1) cdots a_(k+p)` `= sum_(i=1)^p a_(k+i) B^(p-i)`. 原来的小数等于 `sum_(i=1)^k a_i B^-i + B^-k sum_(j=1)^oo B^(-p j) m_1` `= sum_(i=1)^k a_i B^-i + B^-k/(B^p-1) m_1`, 故是一个有理数.
2. (证明参考初等数论的例题) 不妨设 `n gt 1`. 如果存在正整数 `k` 使得 `n | B^k`, 设 `B^k = n_1 n`, 则 `m//n = m n_1 // B^k` 是一个有限小数. 否则有 `n !| B^k`, `k = 0, 1, cdots, n-1`. 设 `B^k` 除以 `n` 的余数是 `r_k`, 则 `n` 个数 `r_0, r_1, cdots, r_(n-1)` 只能取 `1, 2, cdots, n-1` 这 `n-1` 个值. 由鸽巢原理, 必有两个余数相等, 设为 `r_i = r_j`, `0 le j lt i lt n`. 则 `n | B^i - B^j = B^j(B^(i-j)-1)`. 设 `d = i-j`, `B^j(B^d-1) = n n_2`, 则 `m/n = (m n_2)/(B^j(B^d-1))`. 记 `m_2 = m n_2`. 下面只需证 `m_2/(B^d-1)` 是循环小数. 我们只看小数部分, 不妨设 `0 le m_2/(B^d-1) le 1`, 于是 `0 le m_2 le B^d-1`. 将 `m_2` 表为 `B` 进制数 (在前面添加 0 直到有 `d` 位数) `m_2 = sum_(j=1)^d a_j B^(d-j) = a_1 a_2 cdots a_d`, 得到 `m_2/(B^d-1) = sum_(i=1)^oo B^(-d i) m_2` `= 0.a_1 a_2 cdots a_d a_1 a_2 cdots a_d cdots`. 这是循环节长度为 `d` 的循环小数, 其中 `d = i-j lt n`.

`sqrt 2` 是无理数.

(Euclid 的证明) 反设 `sqrt 2 = a//b`, `a, b` 是互素的整数. 两边平方得 `2b^2 = a^2`. `a^2 = 2b^2` 是偶数, 所以 `a` 也是偶数, 设 `a = 2n`, 于是 `2b^2 = (2n)^2`, `quad b^2 = 2n^2`. 应用同样的推理知 `b` 是偶数, 从而 `a`, `b` 有公因子 `2`. 矛盾.

记整系数多项式的有理根 (如果存在) 的最简分数为 `c//d`, 则 `d` 是首项系数的因子, `c` 是常数项的因子. 特别首项系数为一的整系数多项式, 其有理根 (如果存在) 必为整数, 且这个整数是常数项的因子.
例如 `d x - c` 的根为 `c//d`, 其中分母是首项的因子, 分子是常数项的因子.

设 `f(x) = a_n x^n + cdots + a_1 x_1 + a_0`. 将 `x = c//d` 代入, 两边同乘 `d^n` 得 `a_n c^n + cdots + a_1 c d^(n-1) + a_0 d^n = 0`, 从而 `d | a_n c^n`. 但 `(c, d) = 1`, 所以 `d | a_n`. 同理 `c | a_0 d^n rArr c | a_0`.

设 `n, k` 是正整数. 则 `root k n` 是整数或无理数. 因此, `sqrt 2, sqrt 5, sqrt 12, root 3 2` 都是无理数.

注意 `root k n` 是多项式 `x^k - n` 的根. 若它为有理数, 则必为整数.

显然 `n gt 1`, 设 `p` 是 `n` 的一个素因子, 且 `p^k !| n` (如果 `n` 的所有素因子的次数都至少是 `k`, 我们可以将它们同时从根号下提出, 比如 `sqrt 72 = 6 sqrt 2`, 这样就转化为证明 `sqrt 2` 是无理数了). 我们反设 `root k n = a//b`, `a, b` 互素. 下面证明 `a,b` 至少有公因子 `p`, 从而引出矛盾.
两边 `k` 次方得 `n b^k = a^k`, 于是 `p | a^k`, 这推出 `p | a`, 进而 `p^k | a^k = n b^k`. 因为 `n` 中含因子 `p` 的次数小于 `k`, 我们推出 `p | b^k`, 于是 `p | b`, 即 `p` 是 `a, b` 的公因子.

`a^n | b^n rArr a | b`.

设 `b^n = a^n d`, 则 `b/a = root n d` 是整数.

`a, b, k` 为正整数, `k` 无平方因子, 且 `a^2 | k b^2`. 证明: `a | b`.

因为我们可以从 `a^2 | k b^2` 两边同时约去 `a, b` 的最大公因数, 所以不妨设 `(a, b) = 1`. 于是 `a^2 | k`, 但 `k` 无平方因子, 得到 `a^2 = 1`, 从而 `a = 1`, `a | b`.

设 `a, b` 是两个不同的正整数, 若 `sqrt a, sqrt b` 有一个是无理数, 则 `sqrt a +- sqrt b` 都是无理数. 因此 `sqrt 2 + 1`, `sqrt 2 + sqrt 3`, `(sqrt 5-1)/2` 都是无理数.

记 `u, v = sqrt a +- sqrt b`, 则 `u v` 是有理数. 假设 `u, v` 中有一个有理数, 则 `u, v` 都是有理数, 从而 `sqrt a, sqrt b = (u+-v)//2` 都是有理数. 矛盾.

若 `a, b` 是大于 1 的正整数, `a, b` 互素, 则 `log_a b` 是无理数.

反设 `log_a b = m//n`, 则 `a^m = b^n`, 由 `a, b` 互素得 `a = b = 1`, 矛盾.

1. 存在两个无理数 `a, b`, 使得 `a^b` 是有理数;
2. 存在两个无理数 `a, b`, 使得 `(a b)/a^b` 是有理数.

设 `s = sqrt 2`.
1. 若 `s^s` 是有理数, 取 `a = b = s` 即得证. 否则 `s^s` 是无理数, 取 `a = s^s`, `b = s`, 有 `a^b = (s^s)^s = s^(s^2) = s^2 = 2`.
2. 若 `s^(s+1)` 是有理数, 则 `s^s` 是无理数. 取 `a = s^s`, `b = s` 即得证. 否则 `s^(s+1)` 是无理数, 取 `a = s^(s+1)`, `b = s` 即得证.

第一小题的更具体的例子: `sqrt 2` 的 `log_2 9` 次方等于 `3`.

[来自 知乎] `"e"` 是无理数.

反设 `"e" = a//b`, `a, b` 为正整数. 取正整数 `n gt b`, 则 `n! b "e" = n! a`. 显然上式右端为整数. 利用级数 `"e" = sum_(k=0)^oo 1/(k!)`, 上式左端等于 `n! b sum_(k=0)^n 1/(k!) + n! b sum_(k=n+1)^oo 1/(k!)` `:= A + B`. 显然第一项 `A` 为整数, 然而 `0 lt B = b sum_(k=n+1)^oo (n!)/(k!)` `lt b sum_(k=1)^oo 1/(n+1)^k` `= b/n lt 1`. 因此 `B` 不可能是整数, 矛盾.

设 `n` 为正整数. 函数 `f(x) = (x^n(1-x)^n)/(n!)` 满足:
1. `f(x)` 是一个形如 `sum_(i=n)^(2n) c_i/(n!) x^i` 的多项式, 且 `c_i` 是整数, `i = n, n+1, cdots, 2n`;
2. `0 lt f(x) lt 1/(n!)`, `AA x in (0, 1)`;
3. `f^((m))(0)`, `f^((m))(1)` 都是整数, `m = 0, 1, 2, cdots`.

性质 1, 2 显然. 下证性质 3. `m lt n` 或 `m gt 2n` 时, 注意 `f(x)` 低于 `n` 次和高于 `2n` 次的项的系数全为零, 因此 `f^((m))(0) = 0` 是整数. `n le m le 2n` 时, 求导得 `f^((m))(0) = c_m (m!)/(n!)`, 也为一整数. 利用对称性 `f(x) = f(1-x)`, `f^((m))(x) = (-1)^m f^((m))(1-x)` 取 `x = 1` 知道, `f^((m))(0)` 是整数时, `f^((m))(1)` 也是整数. 证毕.

`AA k in ZZ^+`, `"e"^k` 是无理数.

假设存在正整数 `k`, 使 `"e"^k = a//b`, `a, b` 为正整数. 利用引理的函数 `f`, 作 `F(x) = sum_(i=0)^(2n) (-k)^(2n-i) f^((i))(x)` `= sum_(i=0)^oo (-k)^(2n-i) f^((i))(x)`. 求导, `F'(x) = sum_(i=0)^oo (-k)^(2n-i) f^((i+1))(x)` `= -k sum_(i=1)^oo (-k)^(2n-i) f^((i))(x)` `= -k F(x) + k^(2n+1) f(x)`. 从而 `"d"/dx ["e"^(k x) F(x)] = "e"^(k x) (k F(x) + F'(x))` `= "e"^(k x) k^(2n+1) f(x)`. 两边同乘以 `b`, 在 `[0, 1]` 上积分, `I = b int_0^1 "e"^(k x) k^(2n+1) f(x) dx` `= b "e"^(k x) F(x) dx|_0^1` `= b "e"^k F(1) - b F(0) = a F(1) - b F(0)`. 根据引理的 3, `F(0), F(1)` 都为整数, 所以 `I` 是整数. 但是根据引理的 2, 又有 `0 lt I lt b "e"^k k^(2n+1)/(n!) = a k^(2n+1)/(n!)`. 只要取 `n` 充分大, 就可使 `a k^(2n+1)/(n!) lt 1`, 从而 `0 lt I lt 1`, 不可能是整数, 矛盾.

`AA q in QQ\\{0}`, `"e"^q` 是无理数.

显然对任意 `k in ZZ^+`, `"e"^-k` 是无理数, 否则 `"e"^k = 1/("e"^-k)` 是有理数. 设 `q = a//b`, `a, b` 为非零整数, 于是 `"e"^a = "e"^(q b) = ("e"^q)^a`. 若 `"e"^q` 为有理数, 则 `"e"^a` 为有理数, 矛盾.

`pi^2` 是无理数; 从而 `pi` 是无理数.

(Ivan M. Niven) 假设 `pi^2 = a//b`, `a, b` 是正整数. 利用引理的函数 `f`, 构造 `P(x) = b^n sum_(i=0)^n (-1)^i pi^(2n-2i) f^((2i))(x)` `= b^n sum_(i=0)^oo (-1)^i pi^(2n-2i) f^((2i))(x)`, 由于 `b pi^2 = a` 是整数, 再由引理的 3, `P(0), P(1)` 是整数. 求二阶导, 容易验证 `P''(x) = -pi^2 P(x) + b^n pi^(2n+2) f(x)`. 从而 `"d"/dx[P'(x) sin pi x - pi P(x) cos pi x]` `= P''(x) sin pi x + pi^2 P(x) sin pi x` `= b^n pi^(2n+2) f(x) sin pi x`. 于是, 一方面 `I = 1/pi int_0^1 b^n pi^(2n+2) sin pi x f(x) dx` `= 1/pi [P'(x) sin pi x - pi P(x) cos pi x]_0^1` `= P(1) + P(0)`, 故 `I` 为整数. 另一方面, 由引理的 2, `0 lt I = pi int_0^1 a^n sin pi x f(x) dx` `lt pi a^n/(n!)`. 取 `n` 充分大, 使 `pi a^n/(n!) lt 1`, 从而 `0 lt I lt 1` 不是整数, 矛盾.

[来自 知乎] 设 `a` 是无理数, 则集合 `{n a mod 1 | n in NN}` 在 `[0, 1]` 上稠密. 其中 `x mod 1 = x - |__ x__|`, 对正数 `x` 来说, 即为 `x` 的小数部分.

只需证对任意正整数 `m` 和 `x in [0, 1]`, 存在 `n in ZZ`, 使得 `|n a mod 1 - x| lt 1/m`. 考虑 `m` 个区间 `[0, 1/m], [1/m, 2/m], cdots, [(m-1)/m, 1]` 和 `m+1` 个数 `a mod 1, 2a mod 1, cdots, m a mod 1, (m+1) a mod 1`. 这些数是两两不同的, 否则设 `i a mod 1 = j a mod 1`, 则 `i a - j a in ZZ`. 从而 `a = (i a - j a)/(i - j)` 是有理数, 矛盾. 现在由鸽巢原理, 必有两个不同的数 `i a mod 1, j a mod 1` 属于上面 `m` 个区间中的同一个区间, `i, j in {1, cdots, m+1}`. 不妨设 `i a mod 1 gt j a mod 1`, 有 `(i-j)a mod 1 = i a mod 1 - j a mod 1 le 1/m`. 记 `y = (i-j)a mod 1`, 由实数的 Archimedes 性质, 存在正整数 `k` 使得 `k y le x lt (k+1)y`, 于是 `|k(i-j)a mod 1 - x| = |k y - x| lt y lt 1/m`.

数列 `{tan n}` 无界.

由于 `1/pi` 是无理数知, `{n/pi mod 1 | n in NN}` 在 `[0, 1]` 上稠密. 从而对任意 `epsi gt 0`, 存在 `n in NN`, 使得 `|n/pi mod 1 - 1/2| lt epsi`. 同乘 `pi`, `|pi(n/pi mod 1) - pi/2| lt pi epsi`. 又 `pi(n/pi mod 1) = pi(n/pi - |__n/pi__|) = n - pi|__n/pi__|`, 所以 `|n - pi(|__n/pi__| + 1/2)| lt pi epsi`. 因为 `|__n/pi__| in NN`, 我们实际证明了: 集合 `NN` 与集合 `T = {pi/2 + k pi | k in ZZ}` 的距离 `inf{|x-y|: x in NN, y in T} = 0`. 然而对任意 `y in T`, `x to y` 时有 `tan x to oo`. 所以 `tan n` 无界.

连分数

将有理数展为有限简单连分数 辗转相除, 将 `x` 写为 `[x] + {x}`: `62/23 = 2 + 16/23`,
`23/16 = 1 + 7/16`,
`16/7 = 2 + 2/7`,
`7/2 = 3 + 1/2`, 此时分母为 1, 终止迭代. 我们得到 `62/23 = 2 + 1/(1 + 1/(2 + 1/(3 + 1/2)))` `:= [2,1,2,3,2]`.

将二次无理数展为循环简单连分数 仍然是辗转相除: `(3+√7)/2 = 2 + (√7-1)/2`,
`2/(√7-1) = (1+√7)/3 = 1 + (√7-2)/3`,
`3/(√7-2) = 2+√7 = 4 + √7 - 2`,
`1/(√7-2) = (2+√7)/3 = 1 + (√7-1)/3`,
`3/(√7-1) = (1+√7)/2 = 1 + (√7-1)/2`,
余数 `(√7-1)/2` 出现重复, 终止迭代. 我们得到 `(3+√7)/2 = 2 + 1/(1 + 1/(4 + 1/(1 + 1/(1 + cdots))))` `:= [2,bar(1,4,1,1)]`.

将连分数写为最简分数 `[3, 1, 1, 1, 1]` `= [3, 1, 1, 2]` `= [3, 1, 3/2]` `= [3, 5/3]` `= 18/5`.

贵金属数 (Metallic ratio) 定义为二次方程 `x^2 = n x + 1` 的正根 `x_n = (n + sqrt(n^2+4))/2`, `n` 为正整数. 原方程变形为 `x = n + 1/x`, 迭代得到连分数表示: `x_n = n + 1/(n+) + 1/(n+) + 1/(n+) cdots`. 黄金数 `x_1 = (1+sqrt 5)/2 = 1.618...`, 白银数 `x_2 = 1 + sqrt 2`, 青铜数 `x_3 = (3+sqrt(13))/2` 等等.

代数数与超越数

设 `x in CC`, 称 `x` 是一个代数数, 如果 `x` 是有理数域上某个一元 `n` 次多项式 `f(x)` 的根, `n ge 1`. 显然有理数是代数数, 称有理数为一次代数数. 进一步, 如果 `x` 不是任何次数大于等于 `1` 且小于 `n` 的有理系数的多项式的根, 但它是某个有理系数的 `n` 次多项式的根, 则称 `x` 是`n` 次代数数. 全体代数数的集合记作 `cc A_QQ`. 称 `x in CC` 是超越数, 如果 `x in CC\\cc A_QQ`.

由于可以将有理系数的 `n` 次多项式的各系数通分, 所以定义中的有理系数换成整系数也对.

全体代数数 `cc A_QQ` 是可数的; 从而由 `CC` 不可数知道, 超越数是存在的, 而且有不可数多个超越数.

由于一个 `n` 次多项式至多有 `n` 个不同的根, 我们只需指出全体整系数多项式的集合 `P` 是可数集. 以 `P_n` 记全体次数不超过 `n` 的整系数多项式, 容易用归纳法证明, 对任意非负整数 `n`, `P_n` 是可数的, 于是 `P = uuu_(n=0)^oo P_n` 也可数.

(Gelfand) 设 `a in cc A_QQ\\{0, 1}`, `b in cc A_QQ\\QQ`, 则 `a^b` 是超越数.

`"e"^pi = ("e"^(pi"i"))^(-"i")` 是超越数.