本章起进入代数数论的世界. 读者可以先回顾一下域和 Galois 理论的知识. 代数数论研究的主要对象是代数数域, 即有理数域 `QQ` 的有限次扩张. 任意代数数域均是 `QQ^(a c)` (全体代数数组成的域) 的子域, 从而是 `CC` 的子域. 今后, 我们将代数数域简称为数域.

代数数域

二次域和分圆域

这是研究得最多的两类数域, 在我们的下文中也时时见到它们的影子.

二次域 是指 `QQ(sqrt d)`, 其中 `d` 不是平方数. `d gt 0` 时, 称为实二次域, `d lt 0` 时, 称为虚二次域. `QQ(sqrt d)` 中的元素形如 `u = a + b sqrt d`, 显然 `bar u = a - b sqrt d in QQ(sqrt d)`, 因此 `QQ(sqrt d)` 是 `QQ` 的二次 Galois 扩张.

求 `a = sqrt 2 + sqrt 3` 在 `QQ(sqrt 2, sqrt 3)` 的全体 `QQ`-共轭元.

先求 `a` 在 `QQ` 上的最小多项式. `a - sqrt 2 = sqrt 3`,
`a^2 - 2 sqrt 2 a + 2 = 3`,
`a^2 - 1 = 2 sqrt 2 a`,
`(a^2-1)^2 = 8a^2`. 最小多项式为 `f(x) = (x^2-1)^2 - 8x^2`. `f(x)` 的全部根为 `+-sqrt 2 +- sqrt 3`, 即为 `a` 的全体 `QQ`-共轭元.

分圆域 是指 `QQ(zeta_n)`, 其中 `zeta_n` 是 `n` 次本原单位根. `n ge 3` 时, 分圆域中含有虚数. `zeta_n` 的最小多项式是分圆多项式 `phi_n(x)`, 它的次数是 `varphi(n)` (Euler 函数). 又 `QQ(zeta_n)` 是 `x^n-1` 的分裂域, 因此它是 `QQ` 的 `varphi(n)` 次 Galois 扩张.

单扩张定理

    单扩张
  1. 设 `L = K(gamma)` 是域的 `n` 次扩张, 则 `gamma` 在 `K` 上的最小多项式 `f` 是 `n` 次多项式. 由于我们讨论的数域都是特征为零的, 因此 `f` 可分, 即没有重根. 设 `f` 的 `n` 个根为 `gamma = gamma_1, gamma_2, cdots, gamma_n in CC`, 它们称为 `gamma` 的 `K`-共轭元.
  2. 每个共轭元 `gamma_i` 都决定一个单同态 `sigma_i: K to CC`, 其中 `sigma_i` 保持 `K` 中的元素不动, 即 `AA a in K`, `sigma_i(a) = a`. 这 `n` 个单同态称为 `L` 到 `CC` 的 `K`-嵌入, 每个同态像 `sigma_i(L) = K(gamma_i)` 称为 `L` 的 `K`-共轭域. 可以证明这些共轭域与生成元 `gamma` 的选取无关, 它们是域扩张 `L//K` 自身的特性.
  3. 特别当 `L//K` 是 Galois 扩张时, 这些 `K`-共轭域都相等 (都等于 `L`).

好消息是, 数域的扩张均为单扩张.

单扩张定理 数域的扩张 `L//K` 必是单扩张, 即存在 `gamma in L` 使得 `L = K(gamma)`.

只需证 `L = K(a, b)` 的情形, 一般情形 `L = K(omega_1, cdots, omega_n)` 用归纳法可证. 令 `f, g` 分别是 `a, b` 在 `K` 上的最小多项式, 它们的根分别是 `a = a_1, cdots, a_n`, `quad b = b_1, cdots, b_m` 由于 `f, g` 在 `K[x]` 中不可约, 所以它们无重根. 考虑有限集合 `S = {(a_i-f_j)/(b_k-b_l)}`, 取 `c in Q\\S`, 则 `m n` 个复数 `a_i + c b_j` 两两不同. 我们取 `gamma = a + c b = a_1 + c b_1`, 下证 `L = K(gamma)`.
令 `h(x) = f(gamma - c x) in K(gamma)[x]`, 有 `h(b) = f(a) = 0`, 且 `f(b_j) != 0`, `j = 2, cdots, m`, 因此在 `K(gamma)` 上有 `(h(x), g(x)) = x - b`, 这证明了 `b in K(gamma)`, `a = gamma - c b in K(gamma)`. 于是 `K(a, b) sube K(gamma)`.
显然 `gamma = a + c b in K(a, b)`, 于是 `K(a, b) = K(gamma)`.

实嵌入与复嵌入 令 `K = QQ(gamma)` 为数域的 `n` 次扩张, `f` 为最小多项式, 设 `f` 有 `r` 个实根 `gamma_1, gamma_2, cdots, gamma_r` 和 `s` 对复根 `beta_1, bar beta_1, cdots, beta_s, bar beta_s`, 其中 `r + 2 s = n`. 则由 `f` 的实根确定的 `K` 到 `RR` 的嵌入称为 `K` 的实嵌入: `sigma_i: K to RR`, `quad sigma_i(gamma) = gamma_i`, 由复根确定的 `K` 到 `CC` 的嵌入称为 `K` 的复嵌入: `tau_i: K to CC`, `quad tau_i(gamma) = beta_i`;
`bar tau_i: K to CC`, `quad bar tau_i(gamma) = bar beta_i`. 如前述, 生成元 `gamma` 的取法可以不同, 但实嵌入与复嵌入的数目 `r` 和 `s` 不变, 它们是数域 `K` 本身的性质. 特别当 `s = 0` 时, `K` 的全体共轭域均为实域, 这时 `K` 称为全实域; `r = 0` 时, `K` 全体共轭域均为虚域, `K` 称为全虚域.

    当 `K//Q` 为 Galois 扩张时, `K` 的共轭域只有它自己, 因此:
  1. `n ge 3` 时, 分圆域 `QQ(zeta_n)` 是全虚域;
  2. `d gt 0` 时, 二次域 `QQ(sqrt d)` 是全实域, `d lt 0` 时则是全虚域.

范与迹

元素的范与迹 考虑数域扩张 `L//K`. 将 `L` 视为 `K` 上线性空间, 任取 `alpha in L`, 则 `alpha` 诱导的左平移变换 `varphi_alpha: L to L`
`x mapsto alpha x` 是 `L` 上的线性变换. 由线性代数知道, 在不同的基底下, 线性变换 `varphi_alpha` 的表示矩阵 `M_alpha` 的行列式与迹不变, 分别称为元素 `alpha` 对于扩张 `L//K` 的范 (norm) `N_(L//K)(alpha)` 与迹 (trace) `T_(L//K)(alpha)`. 上下文明确时, 简记为 `N(alpha)` 和 `T(alpha)`.

  1. 对于 Gauss 数域 `QQ(sqrt(-1))`, 取 `QQ`-基 `[1, "i"]`, 有 `(a+b"i")[1, "i"]` `= [a+b"i", -b+a"i"]`;
    `N(a+b"i") = |a, b; -b, a| = a^2+b^2`, `quad T(a+b"i") = 2a`.
  2. 对于 Eisenstein 数域 `QQ(sqrt(-3))`, 取 `QQ`-基 `[1, omega]`, 其中 `1 + omega + omega^2 = 0`, 则 `(a+b omega)[1, omega]` `= [a+b omega, a omega + b omega^2]` `= [a+b omega, -b + (a-b) omega]`;
    `N(a+b omega) = |a, b; -b, a-b|` `= a^2-a b+b^2`. `quad T(a+b omega) = 2a-b`.
    设 `L//K` 是数域的 `n` 次扩张, `a, b in L`, `k in K`, 有
  1. `N(1) = 1`, `T(1) = n`;
  2. `N(k a) = k^n N(a)`, `T(k a) = k T(a)`;
  3. `N(a b) = N(a) N(b)`, `T(a + b) = T(a) + T(b)`, 即 `N`, `T` 分别是关于乘法和加法的同态.
  1. 因为元素 1 的表示矩阵是单位阵;
  2. 因为 `k a` 的表示矩阵是 `a` 的表示矩阵的 `k` 倍;
  3. 因为 `a b` 的表示矩阵是 `a, b` 的表示矩阵之积; `a + b` 的表示矩阵是 `a, b` 的表示矩阵之和;

`AA a in L`, 设 `sigma_i` 是 `L` 到 `CC` 的 `n` 个 `K`-嵌入, 则 `sigma_i(a)` 是 `a` 的 `K`-共轭元; 可以证明 `N(a) = prod sigma_i(a)`, `quad T(a) = sum sigma_i(a)`. 设 `a` 的最小多项式是 `f(x) = sum_(k=0)^n c_k x^k`, 则由 Vieta 定理知道, `N(a) = (-1)^n c_0`, `T(a) = - c_(n-1)`.

若 `M` 是 `L//K` 的中间域, 则 `AA a in L`, `N_(L//K)(a) = N_(M//K)(N_(L//M)(a))`,
`T_(L//K)(a) = T_(M//K)(T_(L//M)(a))`.

(??) 这是因为, 要求 `a` 在 `L//K` 上的全体共轭元之积, 可以先求 `a` 在 `L//M` 上的全体共轭元之积——记为 `b`, 再求 `b` 在 `M//K` 上的全体共轭元之积. 迹的情形类似.

判别式

元素的判别式 考虑数域的 `n` 次扩张 `L//K`, 有时需要判断元素 `a_1, cdots, a_n in L` 是否线性相关, 为此引入判别式 `d(a_1, cdots, a_n)` `:= "det"(sigma_i(a_j))_(1 le i,j le n)^2`. 对于单个元素 `a in L`, 简记 `d(a) := d(1, a, cdots, a^(n-1))`. 当 `L` 为全实域时, 判别式总是非负的.

`d(a_1, cdots, a_n) = "det"(T(a_i a_j))_(1 le i,j le n) in K`.

`d(a_1, cdots, a_n)` `= |sigma_1(a_1), cdots, sigma_n(a_1); , cdots, ; sigma_1(a_n), cdots, sigma_n(a_n)|` `|sigma_1(a_1), cdots, sigma_1(a_n); , cdots, ; sigma_n(a_1), cdots, sigma_n(a_n)|` `= "det"(sum_k sigma_k(a_i) sigma_k(a_j))_(1 le i,j le n)` `= "det"(T(a_i a_j))_(1 le i,j le n)`.

  1. `a_1, cdots, a_n` 线性无关当且仅当 `d(a_1, cdots, a_n) != 0`. 此时它们构成一组 `K`-基.
  2. `L = K(a)` 当且仅当 `1, a, cdots, a^(n-1)` 线性无关, 即 `d(a) != 0`. 此时 `a` 为 `L` 的生成元.

设 `a_1, cdots, a_n` 线性相关, 则存在不全为零的 `k_1, cdots, k_n in K` 使得 `sum_j k_j a_j = 0`, 于是 `sum_j k_j sigma_i(a_j) = 0`, `quad i = 1, cdots, n`. 这表明方阵 `(sigma_i(a_j))` 的列向量线性相关, 即 `d(a_1, cdots, a_n) = 0`.
反之若 `d(a_1, cdots, a_n) = 0`, 则方阵 `(T(a_i a_j))` 的行向量线性相关. 记 `R_i = (T(a_i a_1), cdots, T(a_i, a_n))`, 则存在不全为零的 `k_1, cdots, k_n in K` 使得 `sum k_i R_i = 0`. 假设 `a_1, cdots, a_n` 线性无关, 则 `a = sum k_j a_j != 0`. 从 `sum k_i R_i = 0` 取第 `j` 个分量得 `sum_i k_i T(a_i a_j) = 0`, 即 `T(a a_j) = 0`. 又 `a_1, cdots, a_n` 是一组 `K`-基, 知对任意 `b in L` 有 `T(a b) = 0`. 这与 `a != 0` 矛盾. 因为只要取 `b = a^-1` 即有 `T(a a^-1) = T(1) = n`.

    判别式的又一公式
  1. 设 `L//K` 是数域的 `n` 次扩张, `a in L` 的 `n` 个 `K`-共轭元为 `a_1, a_2, cdots, a_n`, 则 `d(a) = prod_(i lt j) (a_i - a_j)^2`. 从而 `d(a) != 0` 当且仅当 `a` 的共轭元两两不同.
  2. 设 `f` 为 `a` 的最小多项式, 记 `s = n(n-1)//2`, 有 `d(a) = (-1)^s N(f'(a))`.
  1. `d(a) = d(1, cdots, a^(n-1))` `= "det"(a_i^j)^2`, 利用 Vandermonde 行列式的结论即可.
  2. 满足 `1 le i lt j le n` 的 `(i, j)` 共有 `s = n(n-1)//2` 对, 由 1. 有 `d(a) = (-1)^s prod_(i != j) (a_i - a_j)` `= (-1)^s prod_(i=1)^n prod_(j=1, j != i)^n (a_i - a_j)` `= (-1)^s prod_(i=1)^n f'(a_i)` `= (-1)^s N(f'(a))`.

多项式的判别式 设 `f(x)` 是 `K` 上的首一 `n` 次多项式, 其在 `CC` 上的全部根为 `a_1, cdots, a_n`. 记 `s = n(n-1)//2`, 定义 `d(f) = prod_(i lt j) (a_i - a_j)^2` `= (-1)^s prod_i f'(a_i) in K`. 于是 `f` 有重根 `iff d(f) = 0`.

    记 `s = n(n-1)//2`,
  1. `x^n + a` 的判别式为 `(-1)^s n^n a^(n-1)`;
  2. `x^n + a x + b` 的判别式为 `(-1)^s[(1-n)^(n-1) a^n + n^n b^(n-1)]`. 特别 `x^2 + a x + b` 的判别式为 `a^2 - 4 b`;
    `x^3 + a x + b` 的判别式为 `-(4a^3 + 27b^2)`.

代数整数

设 `a in CC`. 若存在 `ZZ` 上首一多项式 `f` 满足 `f(a) = 0`, 则称 `a` 为代数整数; 数域 `K` 中全体代数整数的集合记为 `O_K`. 由定义知, 若 `L//K` 是域的扩张, 则 `O_L nn K = O_K`.

本节将要证明 `O_K` 是环, 即代数整数的和、差、积仍为代数整数. 历史上正是为了证明此结论, 产生了近世代数中 "模" 的概念.

`ZZ` 上首一多项式的有理根必为整数, 因此 `QQ` 中的代数整数必为整数, 即 `O_QQ = ZZ`.

    代数整数的判别法 设 `a in CC`, 以下各款等价:
  1. `a` 为代数整数;
  2. `a` 在 `QQ` 上的最小多项式属于 `ZZ[x]`;
  3. 环 `ZZ[a]` 的加法群是有限生成的, 即存在 `a_1, cdots, a_n in ZZ[a]` 使得 `ZZ[a] = a_1 ZZ + cdots + a_n ZZ`.
  4. 存在 `CC` 的非零子环 `R`, 满足 `a in R`, 且 `R` 的加法群是有限生成的;
  5. 存在 `CC` 的有限生成非零加法子群 `A`, 使得 `a A sube A`.
  1. `rArr 2`. 由 `a` 为代数整数知, 存在首一的 `f(x) in ZZ[x]` 使得 `f(a) = 0`. 又设 `a` 的最小多项式为 `p(x)`, 则 `p(x) | f(x)`. 假设存在正整数 `c` 使 `c p(x) in ZZ[x]`, `c p(x) | f(x)`. 注意到 `p` 首一, `f` 在 `ZZ[x]` 上首一, 故 `c = 1`, 即 `p(x) in ZZ[x]`.
  2. `rArr 3`. 设 `p(x) = x^n + c_(n-1) x^(n-1) + cdots + c_0` 是 `a` 的最小多项式, 于是 `a^n = -(c_(n-1) x^(n-1) + cdots + c_0)`, 归纳知任意 `a^m` 可以写成 `1, a, cdots, a^(n-1)` 的 `ZZ`-线性组合, 于是环 `ZZ[a]` 中的每个元素也是如此.
  3. `rArr 4`. 取 `R = ZZ[a]`.
  4. `rArr 5`. 取 `A = R`.
  5. `rArr 1`. 记 `A = a_1 ZZ + cdots + a_n ZZ`. 由 `a A sube A` 知 `a a_i in A`, `i = 1, cdots, n`. 于是它们可以写成 `a_1, cdots, a_n` 的线性组合. 设 `[a a_1; vdots; a a_n] = M [a_1; vdots; a_n]`, `M` 是 `ZZ` 上的 `n` 阶方阵. 由 `A != (0)` 知 `a_1, cdots, a_n` 不全为零, 因此 `a` 是 `M` 的特征值, `f(x) = det(x I_n - M)` 是 `ZZ` 上满足 `f(a) = 0` 的首一多项式.

数域 `K` 中全体代数整数 `O_K` 构成 `K` 的子环, 称为 `K` 的整数环; 与此同时 `K` 是环 `O_K` 的分式域.

  1. 设 `a, b in O_K`, 下证 `a+-b`, `a b in O_K`. 由前知 `ZZ[a]`, `ZZ[b]` 的加法子群都是有限生成的: `ZZ[a] = a_1 ZZ + cdots + a_n ZZ`, `quad ZZ[b] = b_1 ZZ + cdots + b_m ZZ`. 因此对任意整数 `u, v`, `a^u` 和 `b^v` 分别可以表为 `a_1, cdots, a_n` 和 `b_1, cdots, b_m` 的 `ZZ`-线性组合. 进而 `a^u b^v` 可表为 `{a_i b_j: 1 le i le n, 1 le j le m}` 的 `ZZ`-线性组合. 这说明环 `ZZ[a, b]` 的加法群是有限生成的, 因此 `a+-b`, `a b in ZZ[a, b]` 都是代数整数.
  2. 任取 `u in K`, 我们来证: 存在正整数 `c` 使得 `c u in O_K`. 由于 `u` 为代数数, 可设 `f(u) = c_n u^n + cdots c_1 u + c_0 = 0`, `quad c_i in ZZ`, `c_n gt 0`. 同乘 `c_n^(n-1)` 得 `(c_n u)^n + cdots c_n^(n-2) c_1 (c_n u) + c_n^(n-1) c_0 = 0`. 即 `c_n u in O_K`.

设 `K` 是数域, `a in K`. 若存在 `K` 的子环 `R` 上首一多项式 `f` 满足 `f(a) = 0`, 则称 `a` 在 `R` 上整. 因此代数整数就是那些在 `ZZ` 上整的数. 若除了 `R` 中的数以外, `K` 中没有其它数在 `R` 上整, 即 `AA a in K`, `a` 在 `R` 上整 `rArr` `a in R`, 则称 `R` 是整闭的.

对任意 `a in CC`, 若 `a` 在 `O_K` 上整, 则 `a` 是代数整数. 特别取 `a in K` 可知: 环 `O_K` 在数域 `K` 中是整闭的.

若 `a` 在 `O_K` 上整, 设 `f(a) = a^m + c_(m-1) a^(m-1) + cdots c_1 a + c_0 = 0`, `quad c_i in O_K`. 由于 `c_i` 均为代数整数, 由代数整数的判别法可知 `O_K` 的子环 `R = ZZ[c_1, cdots, c_m]` 的加法群为有限生成: `R = gamma_1 ZZ + cdots + gamma_s ZZ`. 另一方面由 `f(a) = 0` 知 `a^r (r ge 1)` 均可表为 `1, a, cdots, a^(m-1)` 的`R`-线性组合. 于是 `R_1 := ZZ[c_1, cdots, c_m, a] = R[a]` `= R + a R + cdots + a^(m-1) R`. 即 `R_1` 的加法群也是有限生成的. 由代数整数的判别法知 `a` 是代数整数.

若 `a` 是代数整数, 则它的每个 `K`-共轭元素也是代数整数.

设 `f(x) in ZZ[x] sube O_K[x]` 是使得 `f(a) = 0` 的首一多项式, `g(x) in K[x]` 是 `a` 在 `K` 上的最小多项式, 则`g(x) | f(x)`. 由于 `f` 是 `O_K` 上首一多项式, `g` 是 `K` 上首一多项式且 `g | f`, 可推出 `g in O_K[x]`. 由于 `a` 的 `K`-共轭元素均是 `g` 的根, 从而在 `O_K` 上整; 因此它们都是代数整数.

    二次域中的代数整数 考虑 `K = QQ(sqrt d)`, `d` 不是平方数.
  1. `d -= 2, 3 (mod 4)` 时, `O_K = ZZ[sqrt d] = ZZ o+ ZZ sqrt d`;
  2. `d -= 1 (mod 4)` 时, `O_K = ZZ[(1+sqrt d)/2] = ZZ o+ ZZ (1+sqrt d)/2`.
    设 `u = a + b sqrt d in O_K`, `a, b in QQ`. 若 `b = 0`, 则有 `u = a in QQ`, 但 `u` 是代数整数, 故 `u in ZZ`. 下设 `b != 0`, 这时 `u` 在 `QQ` 上的最小多项式为 `f(x) = x^2 - 2a x + (a^2 - b^2 d)` `u` 为代数整数当且仅当 `f(x) in ZZ[x]`, 即 `2a in ZZ, a^2-b^2 d in ZZ`. 所以 `(2a)^2 - (2b)^2 d in 4ZZ` `rArr (2b)^2 d in ZZ` `rArr 2b in ZZ` (因为 `d` 无平方因子) 以下假设 `a, b` 均为半整数.
  1. 若 `d -= 2, 3 (mod 4)`. 如果 `2a, 2b` 均为奇数, 则 `(2a)^2 -= 1 (mod 4)`, `(2b)^2 d -= d (mod 4)`, 与 `(2a)^2 - (2b)^2 d in 4 Z` 矛盾. 因此 `2a, 2b` 至少有一偶数.
    又 `(2a)^2 - (2b)^2 d -= 0 (mod 4)`, `d !-= 0 (mod 4)`, 所以 `2a, 2b` 均为偶数, 即 `a, b in ZZ`.
    反之若 `a, b in ZZ`, 则 `2a, a^2 - b^2 d in ZZ`, 即 `u` 为代数整数. 这就证明了 `O_K = ZZ o+ ZZ sqrt d`.
  2. 若 `d -= 1 (mod 4)`. 由 `(2a)^2 -= (2b)^2 d -= (2b)^2 (mod 4)` 知 `2a, 2b` 有相同的奇偶性; 反之若 `2a, 2b` 同奇偶, 有 `a^2 - b^2 d in ZZ`. 总之 `O_K = { a + b sqrt d: 2a, 2b in ZZ, 2a -= 2b (mod 2) }` `= { (a + b sqrt d)/2: a, b in ZZ, a -= b (mod 2) }` `= ZZ o+ ZZ (1+sqrt d)/2`.

分圆域中的代数整数 考虑 `K = QQ(zeta_n)`, `n ge 3`. 则 `O_K = ZZ[zeta_n]`.

整基

设数域 `K` 是 `QQ` 的 `n` 次扩域, 则 `O_K` 是有限生成的: 存在 `omega_1, cdots, omega_n in O_K` 使得 `O_K = omega_1 ZZ o+ cdots o+ omega_n ZZ`. 换言之, 任意 `a in O_K` 可唯一表为 `a = a_1 omega_1 + cdots a_n omega_n`, `quad a_i in ZZ`. `omega_1, cdots, omega_n` 称为 `K` 或 `O_K` 的一组整基.