分式理想

设 `K` 为数域, `O_K` 中所有非零理想构成含幺交换半群 `M(K)`, 幺元为 `O_K`. 由 Dedekind 整环的性质知道, `M(K)` 满足乘法消去律 `A B = A C rArr B = C`. 根据半群的群化, `M(K)` 可以扩大为交换群 `I(K)`, 其中元素形如 `A/B`, 且 `A/B = C/D` 当且仅当 `A D = B C`. 我们称 `I(K)` 中的元素为 `K` 的分式理想, 而称 `M(K)` 中元素为整理想.

设 `S` 为 `K` 的分式理想, 则
1. 存在 `a in O_K` 和整理想 `D sube O_K`, 使得 `S = a^-1 D = {d//a : d in D}`.
2. `S^-1 = {x in K: x S sube O_K}`.

理想类群

数域 `K` 中全体主分式理想 `P(K)` 构成分式理想群 `I(K)` 的子群. 由于 `I(K)` 是 Abel 群, 可以做商群 `C(K) := I(K) // P(K)`, 称为 `K` 的理想类群. 下证 `C(K)` 是有限群, 它的阶 `|C(K)|` 称为 `K` 的理想类数. 理想类群和理想类数可以衡量整环 `O_K` 与主理想整环的偏离程度: 理想类群越大, 偏离也越大.

(Dirichlet) 数域 `K` 的 Minkowski 常数 定义为 `M(K) = (4/pi)^(r_2) n!/n^n sqrt(|d(K)|)`. 其中 `n = [K:QQ]`, `r_2` 为 `K` 到 `CC` 中复嵌入对的个数, `d(K)` 为判别式.

设 `K` 为数域,
1. `K` 的每个分式理想类均包含一个整理想 `B`, 使得 `N(B) le M(K)`.
2. 理想类群 `C(K)` 是有限 Abel 群.