设方程 `x^((n))(t) + a_(n-1)(t) x^((n-1))(t) + cdots + a_0(t) x(t) = f(t), 亦即 `sum_(k=0)^n a_k(t) x^((k))(t) = f(t)`, `quad a_n(t) = 1` 对应的齐方程的基本解组为 `x_k(t)`, `quad k = 1, 2, cdots, n`. 我们解线性方程组 `[ x_1(t), x_2(t), cdots, x_n(t); x_1'(t), x_2'(t), cdots, x_n'(t); vdots, vdots, , vdots; x_1^((n-1))(t), x_2^((n-1))(t), cdots, x_n^((n-1))(t); ][ c_1'(t); c_2'(t); vdots; c_n'(t) ] = [ 0; 0; vdots; f(t) ]`, 再积分, 就得到非齐方程的通解 `x = sum_(k=1)^n c_k(t) x_k(t)`.
直接验证:
`x = sum c_j x_j`,
`x' = sum c_j x_j' + c_j' x_j = sum c_j x_j'`,
`x'' = sum c_j x_j''`,
`cdots`
`x^((n)) = sum c_j x_j^((n)) + c_j' x_j^((n-1))`
`= sum c_j x_j^((n)) + f`.
求和得
`sum_(k=0)^n a_k x^((k))`
`= sum_(k=0)^n a_k sum_(j=1)^n c_j x_j^((k)) + f`
`= f`.
受迫振动 解如下的常微分方程初值问题: `{ x'' + a^2 x = f(t); x"|"_(t=0) = x_0; x'"|"_(t=0) = x'_0; :}`
`{cos at, sin at}` 构成齐方程的基本解组. 设 `x = c_1 cos at + c_2 sin
at`, 解线性方程组
`{
c_1' cos at + c_2' sin at = 0;
c_1' sin at - c_2' cos at = -f//a;
:}`
得 `(c_1', c_2') = f//a (-sin at, cos at)`. 由初值条件有
`c_2|_(t=0) = (x_0')//a`, `quad c_1|_(t=0) = x_0`,
故
`c_1 = -1/a int_0^t f(tau) sin a tau "d"tau + x_0`,
`c_2 = 1/a (int_0^t f(tau) cos a tau "d"tau + x_0')`.
所以解为
`x = x_0 cos at + (x_0')/a sin at + 1/a int_0^t f(tau) sin[a(t-tau)]
"d"tau`.
解方程 `x^((n)) + a_(n-1) x^((n-1)) + cdots + a_0 x = 0`, `quad a_k in RR`. 设特征多项式 `lambda^n + a_(n-1) lambda^(n-1) + cdots + a_1 lambda + a_0` 的根 (即特征根) 为 `lambda_i`, 重数分别为 `n_i`, `i = 1, 2, cdots, l`, 且 `sum_(i=1)^l n_i = n`. 则微分方程的基本解组为 `t^j "e"^(lambda_i t)`, `quad j = 0, 1, cdots, n_i-1`, `quad i = 1, 2, cdots, l`. 若 `lambda_i = alpha + "i" beta` 为复根, 则 `bar(lambda_i) = alpha - "i" beta` 也必为特征根, 可以将基本解组中的一对共轭复根 `"e"^((alpha +- "i" beta) t)` 换成 `"e"^(alpha t) cos beta t` 与 `"e"^(alpha t) sin beta t`.
将 `x = t^lambda` 代入方程, 得到 `n` 个特征根. 基本解组为 `ln^j |t| t^(lambda_i)`. `i, j` 的迭代范围与常系数齐次方程相同.
非齐次方程的通解就是齐次方程的通解加上自身的一个特解; 因此我们着重介绍特解的求法.
一般而言, 这两种方法计算比较繁琐, 不如比较系数法.
解常系数线性微分方程 `y''+p y'+q y = P_m(x) "e"^(lambda x)`, 其中 `p`, `q`, `lambda` 是常数, `P_m(x)` 是 `x` 的 `m` 次多项式. 令 `y = z "e"^(lambda z)`, 方程化为 `(F''(lambda))/(2!) z'' + (F'(lambda))/(1!) z' + F(lambda) z = P_m(x)`, 这里 `F(lambda) = lambda^2 + p lambda + q` 为方程的特征多项式. 新的方程有多项式形式的特解, 可用待定系数法求解.
设 `y''+p y'+q y = P_m(x)`. 其中 `P_m(x)` 是 `m` 次多项式
`sum_(k=0)^m a_k x^k`.
方程两边同时对 `x` 求导 `m` 次得
`y''' + p y'' + q y' = P_m'(x)`,
`cdots`
`y^((m+1)) + p y^((m)) + q y^((m-1)) = a_m m! x + a_(m-1) (m-1)!`,
`y^((m+2)) + p y^((m+1)) + q y^((m)) = a_m m!`.
`q != 0` 时, 取最后一个方程的特解 `y^((m)) = q^(-1) a_m m!`,
和 `y^((m+1)) = 0` 一起代入倒数第二个方程求得 `y^((m-1))`,
如此依次代入前式, 最后可得方程的一个特解 `y(x)`.
此时有特解 `Q_m(t) t^k "e"^(lambda t)`, `k` 为 `lambda` 在特征多项式中的重数, `Q_m(t)` 是系数待定的 `m` 次多项式.
此时有特解 `(P_m(t) cos beta t + Q_m(t) sin beta t) t^k "e"^(alpha t)`, `k` 为 `lambda = alpha + "i" beta` 在特征多项式中的重数 (注意到 `lambda` 及其共轭在特征多项式中的重数相等), `P_m(t), Q_m(t)` 为系数待定的 `m` 次多项式.
利用以上两种类型的非齐次项, 结合线性叠加原理, 可写出更多非齐次项对应的特解.
解 Lanchester 方程 `{ ("d"A)/dt = -beta^2 B; ("d"B)/dt = -alpha^2 A; :}` 其中 `A(0) = A_0`, `B(0) = B_0`.
令 `f' = B`, 且 `f(0) = 0`. 原方程组化为
`{
("d"A)/dt = -beta^2 ("d"f)/dt;
("d"^2 f)/dt^2 = -alpha^2 A;
:}`
第一式两边积分得 `A = -beta^2 f + A_0`, 代入第二式就有
`f'' = alpha^2 beta^2 f - alpha^2 A_0`,
它的解设为
`f = c_1 "e"^(alpha beta t) + c_2 "e"^(-alpha beta t) + c_3`.
代入前式得 `c_3 = A_0/beta^2`.
又
`B = f' = alpha beta (c_1 "e"^(alpha beta t) - c_2 "e"^(-alpha beta t))`,
由 `f(0) = 0` 和 `B(0) = B_0` 有
`{
c_1 + c_2 = -A_0/beta^2;
c_1 - c_2 = B_0/(alpha beta);
:}`
解得
`c_(1, 2) = 1/(2 beta) (-A_0/beta +- B_0/alpha)`.
最终
`A = (A_0 alpha cosh(alpha beta t) - B_0 beta sinh(alpha beta t))//alpha`,
`B = (-A_0 alpha sinh(alpha beta t) + B_0 beta cosh(alpha beta t))//beta`.
从相平面上看, 有 `("d"A)/("d"B) = (beta^2 B)/(alpha^2 A)`, 解为 `alpha^2 A^2 = beta^2 B^2 + c`, 是双曲线.
参见积分变换.
此方程不显含 `k` 阶以下的导数. 令 `y = x^((k))`, 方程降低 k 阶.
此方程不显含自变元, 令 `y = x'`, 降低 1 阶.
若有非零特解 `x_1, cdots, x_k`, 则令 `x = x_k int z dt`, 化为 `z` 的 `n-1` 阶方程, 有解 `z_i = ((x_i)/(x_k))'`, `quad i = 1, 2, cdots, k-1`.
将
`y = sum_(n=0)^oo a_n x^n`,
`y' = sum_(n=1)^oo n a_n x^(n-1)
= sum_(n=0)^oo (n+1) a_(n+1) x^n`,
`y^((k)) = sum_(n=k)^oo n(n-1)cdots(n-k+1) a_n x^(n-k)`
`= sum_(n=0)^oo (n+k)cdots(n+2)(n+1) a_(n+k) x^n`
代入方程并比较系数, 注意幂级数的收敛半径.