本章研究方程 `x' = A(t) x + f(t)`, `A` 为矩阵, `x, x', f` 为向量.

常数变易公式

若已知齐方程 `x' = A(t)x` 的基解矩阵为 `Phi(t)`, 于是 `Phi'(t) = A(t) Phi(t)`. 可设 `varphi(t) = Phi(t) c(t)` 是非齐方程的解, 代入得 `Phi(t) c'(t) = f(t)`. 因为 `Phi(t)` 可逆, 所以令 `c(t) = int_(t_0)^t Phi^-1(s) f(s) "d"s`, 就得到一个满足初值条件 `varphi(t_0) = 0` 的解. 一般地, 满足初值条件 `varphi(t_0) = eta` 的解为 `varphi(t) = Phi(t) (Phi^-1(t_0) eta + int_(t_0)^t Phi^-1(s) f(s) "d"s)`.

n 阶非齐次线性方程的常数变易公式

因为 `sum_(i=0)^n a_i(t) x^((n-i)) = f(t)`, `quad a_0(t) = 1`, `x^((i))(t_0) = eta_(i+1)`, `i = 0, 1, cdots, n-1` (5-1) 等价于 `x' = Ax + vec(f)(t)`, `quad x(t_0) = eta`, 其中 `x = (x_1, x_2, cdots, x_n)^T = (x, x', cdots, x^((n-1)))^T`, `eta = (eta_1, eta_2, cdots, eta_n)^T`, `A = [ 0, 1, 0, cdots, 0; 0, 0, 1, cdots, 0; vdots, vdots, vdots, , vdots; 0, 0, 0, cdots, 1; -a_n(t), -a_(n-1)(t), -a_(n-2)(t), cdots, -a_1(t); ]`, `vec(f)(t) = [0; 0; vdots; 0; f(t)]`.
则由线性方程组的常数变易公式知, 若 对应的齐方程的基本解组为 `x_1, x_2, cdots, x_n`, 则 有特解 `varphi(t) = sum_(k=1)^n x_k(t) int_(t_0)^t (W_k(s))/(W(s)) f(s) "d"s`, 其中 `W(s) = | x_1(s), x_2(s), cdots, x_n(s); x_1'(s), x_2'(s), cdots, x_n'(s); vdots, vdots, , vdots; x_1^((n-1))(s), x_2^((n-1))(s), cdots, x_n^((n-1))(s); |`,
`W_k(s)` 是 `W(s)` 中 `x_k^((n-1))(s)` 的代数余子式. 特别当 `n = 2`, 上式化为 `varphi(t) = int_(t_0)^t |x_1(s), x_2(s); x_1(t), x_2(t)| / |x_1(s), x_2(s); x_1'(s), x_2'(s)| f(s) ds`.

常系数线性方程组

`x' = Ax`

此方程有基解矩阵 `exp At`. 显然 `exp A0 = E`.

若 `lambda` 是 `A` 的特征值, `bm v` 为对应的特征向量, 则 `"e"^(lambda t) bm v` 是一个解. 特别地, 若 `A` 有 `n` 个线性无关的特征向量, 对应的特征值为 `lambda_1, cdots, lambda_n`, 则方程有基解矩阵 `["e"^(lambda_1 t) bm v_1, cdots, "e"^(lambda_n t) bm v_n]`.

若已知一个基解矩阵 `Phi(t)`, 则存在一常数矩阵 `C`, 使得 `exp At = Phi(t) C`, 再由 `exp A0 = E` 知 `exp At = Phi(t) Phi^-1(0)`.

利用根子空间求矩阵指数

矩阵指数 `exp bm A = sum_(k ge 0) bm A^k/(k!)` 是无穷级数, 直接计算比较困难. 但如果存在某个 `k_0`, 使得 `bm A = bm O`, `AA k ge k_0`, 则只需计算有限项. 根子空间就具有这样的性质. 具体来说, 设 `lambda` 是 `bm A` 的一个特征值, 重数为 `r_lambda`, `V_lambda = "Ker"(bm A-lambda bm E)^(r_lambda)` `:= {bm v: (bm A-lambda bm E)^(r_lambda) bm v = bb 0}` 是对应的根子空间 (特别 `r_lambda = 1` 时, 根子空间就是特征子空间), 则对任意 `bm v in V_lambda` 有 `(bm A-lambda bm E)^k bm v = bb 0`, `AA k ge r_lambda`. 根据线性代数知识, `n` 维线性空间在根子空间上具有直和分解, 即任意 `n` 维向量 `bm x` 可以唯一写成 `bm x = sum_lambda bm x_lambda`, `quad bm x_lambda in V_lambda`. 上式表示对 `bm A` 的不同特征值求和. 从而 `bm x exp bm A` `= sum_lambda bm x_lambda exp bm A` `= sum_lambda "e"^lambda bm x_lambda exp(bm A-lambda bm E)` `= sum_lambda "e"^lambda bm x_lambda sum_(k lt r_lambda) (bm A-lambda bm E)^k // k!`. 特别取 `bm x = bm epsi_j`, 就得到矩阵 `exp bm A` 的第 `j` 列.

求 `exp bm A t`, `bm A = [cos a, -sin a; sin a, cos a]`. 推论: `exp[, -a; a,] = [cos a, -sin a; sin a, cos a]`.

`bm A` 的特征值是 `lambda_(1,2) = cos a +- "i" sin a`, 先设 `lambda_1 = lambda_2 = cos a`, 则 `bm A = lambda bm E`, `exp(bm A - lambda bm E) = exp bm O = bm E`. 从而 `[1;0] exp bm A t = [1;0] "e"^(lambda t)`,
`[0;1] exp bm A t = [0;1] "e"^(lambda t)`,
`exp bm A t = "e"^(t cos a) bm E`. 再设 `lambda_1 != lambda_2`, 对应的特征向量为 `bm v_1 = ["i";1]`, `bm v_2 = [1;"i"]`. 将单位向量分解到特征子空间, `[1;0] = 1/2 [1;"i"] - "i"/2 ["i";1]`,
`[0;1] = -"i"/2 [1;"i"] + 1/2 ["i";1]`. 由于特征值都是一重的, 指数的无穷级数中实际上只有一项: `exp(bm A - lambda bm E) = bm E`. 从而 `[1;0] exp bm A t` `= 1/2 [1;"i"] "e"^(lambda_2 t) - "i"/2 ["i";1] "e"^(lambda_1 t)` `= 1/2 ["e"^(lambda_2 t) + "e"^(lambda_1 t); "i"("e"^(lambda_2 t) - "e"^(lambda_1 t))]` `= "e"^(t cos a) [cos(t sin a); sin(t sin a)]`. 同理可求得第二列, 于是 `exp bm A t` `= "e"^(t cos a) [cos(t sin a), -sin(t sin a); sin(t sin a), cos(t sin a)]`. 易知上式对重根的情形也成立.

用线性微分方程组的知识解 Lanchester 方程 (见第 4 章例题).

矩阵 `A = [0, -beta^2; -alpha^2, 0]` 的特征值为 `+-alphabeta`, 对应的特征向量为 `(beta, ∓ alpha)^T`. 代入公式计算, `exp At (1;0) = 1/(2beta)("e"^(alpha beta t) (beta;-alpha) + "e"^(-alpha beta t) (beta;alpha))`,
`exp At (0;1) = 1/(2alpha)("e"^(alpha beta t) (-beta;alpha) + "e"^(-alpha beta t) (beta;alpha))`. 所以基解矩阵 `Phi(t) = exp At = [ cosh(alpha beta t), -beta/alpha sinh(alpha beta t); -alpha/beta sinh(alpha beta t), cosh(alpha beta t); ]`. 而 `Phi^(-1)(0) = [ cosh(alpha beta t), beta/alpha sinh(alpha beta t); alpha/beta sinh(alpha beta t), cosh(alpha beta t); ](0) = E`. 故 Lanchester 方程满足初值条件 `(A, B)^T(0) = (A_0, B_0)^T` 的解为 `Phi(t)Phi^(-1)(0) (A_0, B_0)^T = Phi(t)(A_0, B_0)^T`.

寻找级数 `sum_(n ge 0) x^(3n)/((3n)!)` 的闭形式.

记 `x_i = sum_(n ge 0) t^(3n+i)/((3n+i)!)`, `i = 0, 1, 2`, 于是 `x_0' = x_2`, `x_2' = x_1`, `x_1' = x_0`. 写成向量 `bm x = (x_0, x_1, x_2)^T`, 有 `bm x' = bm (A x)`, `quad bm A = [0, 0, 1; 1, 0, 0; 0, 1, 0]`. 容易看出 `exp bm A t = bm E x_0(t) + bm A x_1(t) + bm A^2 x_2(t)`, 但这只会使我们回到原点, 因此我们寻找它的另一种表示. `bm A` 的特征多项式为 `lambda^3 - 1`, 三个根为 `1, omega, omega^2`, 对应的特征向量为 `bm v_1 = [1; 1; 1]`, `bm v_2 = [1; omega^2; omega]`, `bm v_3 = [1; omega; omega^2]`. 注意到 `x_0(0) = 1, x_1(0) = x_2(0) = 0`, 因此方程组的初值条件恰为 单位向量 `bm eta = (1, 0, 0)^T`. 将这个向量分解为 `bm eta = 1/3 (bm v_1 + bm v_2 + bm v_3)`, 从而解得 `bm x` `= bm eta exp bm A t` `= 1/3 (bm v_1 "e"^t + bm v_2 "e"^(omega t) + bm v_3 "e"^(omega^2 t))` `= 1/3 [ "e"^t + 2 "e"^(t/2) cos((sqrt 3)/2 t); "e"^t + 2 "e"^(t/2) cos((sqrt 3)/2 t - (2pi)/3); "e"^t + 2 "e"^(t/2) cos((sqrt 3)/2 t + (2pi)/3) ]`.