二阶偏微分方程的分类

全书主要围绕三个方程: 波动方程 (弦振动方程) `(del^2 u)/(del t^2) - a^2 Delta u = f`
扩散方程 (热传导方程) `(del u)/(del t) - a^2 Delta u = f`
位势方程 `-Delta u = f`

弦振动方程——动量守恒

物理模型

一均匀细弦在拉紧后离开平衡位置, 在垂直于弦线的外力作用下作微小横振动, 求不同时刻弦线的形状.

解释

记号

动量守恒

推导

利用垂直平衡位置方向上的动量守恒, 有 `int_a^b [rho (del u)/(del t)]_(t_1)^(t_2) dx` `- int_(t_1)^(t_2) [T_0 (del u)/(del x)]_a^b dt` `= int_(t_1)^(t_2) dt int_a^b f_0 dx`. (积分形式) 若在 `(0, l) times (0, +oo)` 上, `(del^2 u)/(del t^2)` 和 `(del^2 u)/(del x^2)` 存在且连续, 则由被积函数的连续性与积分区域的任意性, 积分方程化为 `rho (del^2 u)/(del t^2) - T_0 (del^2 u)/(del x^2) = f_0`, 即 `(del^2 u)/(del t^2) - a^2 (del^2 u)/(del x^2) = f(x, t)`,
`x in (0, l)`, `t in (0, +oo)` (微分形式)

定解条件

1. 初值问题 (Cauchy 问题) `{ u|_(t=0) = varphi(x); u_t|_(t=0) = psi(x); :}, x in [0, l]`.
2. 第一边值条件 (Dirichlet 条件) `{ u|_(x=0) = g_1(t); u|_(x=l) = g_2(t); :}`, `t in [0, +oo)`.
   `g_1(t) = g_2(t) = 0` 时, 称弦线具有固定端.
3. 第二边值条件 (Newmann 条件) `{ u_x|_(x=0) = g_1(t); u_x|_(x=l) = g_2(t); :}`, `t in [0, +oo)`.
   `g_1(t) = g_2(t) = 0` 时, 称弦线具有自由端.
4. 第三边值条件 (Robin 条件) `{ [beta_1 u_x + alpha_1 u]_(x=0) = g_1(t); [beta_2 u_x + alpha_2 u]_(x=l) = g_2(t); :}`, `t in [0, +oo)`.

由初始条件和任一边界条件连同微分方程, 组成一个混合问题. 若边界的影响忽略不计, 则可以认为弦长无穷, 这时 `x in (-oo, +oo)`, 由初始条件和微分方程组成一个初值问题 (Cauchy 问题). 类似可定义半无界问题 (`x in [0, +oo)`).

热传导方程——能量守恒

物理模型

考虑三维空间中一均匀, 各向同性的物体, 假定它内部有热源, 并与周围发生热交换, 研究物体内部温度的分布与变化.

记号

能量守恒

推导

由能量守恒有 ` iiint_D [c rho u]_(t_1)^(t_2) dx dy dz = -int_(t_1)^(t_2) dt oiint_(del D) bm q * bm n "d" sigma +int_(t_1)^(t_2) dt iiint_D rho f_0 dx dy dz`, (负号表示与外法向 `bm n` 相反), 再由 `bm q = -k grad u` 得 `-bm q * bm n = k grad u * bm n = k (del u)/(del bm n)`, 即 ` iiint_D [c rho u]_(t_1)^(t_2) dx dy dz - int_(t_1)^(t_2) dt oiint_(del D) k (del u)/(del bm n) "d"sigma = int_(t_1)^(t_2) dt iiint_D rho f_0 dx dy dz`. (积分形式) 设在 `Omega xx (0,+oo)` 内 `(del u)/(del t)`, `(del^2 u)/{:del x:}^2`, `(del^2 u)/{:del y:}^2`, `(del^2 u)/{:del z:}^2` 存在且连续, 则由 Gauss 公式 `oiint_(del D) (del u)/(del bm n) "d"sigma = iiint_D Delta u dx dy dz` 以及被积函数连续性与积分区域的任意性, 方程化为 `c rho (del u)/(del t) - k Delta u = rho f_0`, 即 `(del u)/(del t) - a^2 Delta u = f(x, y, z, t)` (微分形式)

定解条件

1. 初值条件 `u|_(t=0) = varphi(x, y, z)`, `(x, y, z) in bar Omega`.
2. 第一边值条件 `u|_((x,y,z) in del Omega) = g(x,y,z,t)`
   `g` 为常数时, 称边界恒温.
3. 第二边值条件 `k (del u)/(del bm n)|_((x,y,z) in del Omega) = g(x,y,z,t)`
   `g ge 0` 为流入, `g le 0` 为流出, `g -= 0` 表示物体绝热.
4. 第三边值条件 `(del u)/(del bm n) + alpha u|_((x,y,z) in del Omega) = g(x,y,z,t)`.

连续性方程——质量守恒

物理模型: 流体的运动 (满足质量守恒)

记号

质量守恒定律

推导

假设流体在 `Omega` 内无源 (汇), 则右端第二项为 0. 由质量守恒定律: ` iiint_D [rho]_(t_1)^(t_2) dx dy dz = -int_(t_1)^(t_2) dt oiint_(del D) rho bm v * bm n "d"sigma` (负号表示与 `bm n` 反向). 设 `rho, bm v` 连续可微, 由 Gauss 公式, ` int_(t_1)^(t_2) dt iiint_D (del rho)/(del t) dx dy dz = -int_(t_1)^(t_2) dt iiint_D grad * (rho bm v) dx dy dz`, 即 `int_(t_1)^(t_2) dt iiint_D ((del rho)/(del t) + grad * (rho bm v)) dx dy dz = 0`. (积分形式) 由被积函数在 `Omega` 内连续和积分区域的任意性, 得 `(del rho)/(del t) + grad * (rho bm v) = 0`, `Omega xx (0, oo)`. (微分形式)

定解条件

将在第 4 章讨论.

方程的特例

1. 波动方程中, 考虑外力作用下处于平衡状态 (与时间 `t` 无关) 的膜, 由惯性力 `rho (del^2 u)/(del t^2) = 0` 得 `-a^2 Delta u = f(x_1, x_2)`. 称为 Poisson 方程. 当 `f -= 0` 时称为 Laplace 方程.
2. 热传导方程中, 如果物体内部的温度趋于稳定, 即 `(del u)/(del t) = 0`, 此时温度场 `u(x,y,z)` 与 `t` 无关: `-a^2 Delta u = f(x,y,z)`, `(x,y,z) in Omega`. 仍得到 Poisson 方程.
3. 连续性方程中
   1. `bm v` 为常向量时, 得到一阶 pde: `(del rho)/(del t) + bm v * grad rho = 0`.
   2. 流体不可压缩, 即 `rho` 为常数时: `grad * bm v = 0`. 此方程反映了流体无源.
   3. 流体不可压缩且无旋时, 存在势函数 `varphi`, 使 `bm v = grad varphi`, 从而 `Delta varphi = grad * grad varphi = grad * bm v = 0`, 即 `varphi` 适合 Laplace 方程.

变分问题: 泛函极值问题

设 `Omega sube RR^2`, 定义 `C_0^oo(Omega) = { f in C^oo(Omega): f|_(del Omega) = 0}`.

一个数学物理问题的解如果存在, 唯一且稳定, 则称该问题是适定的 (well-posed); 否则称它是不适定的 (ill-posed).