在求解波动方程之前, 先看最简单的一阶线性方程.
一阶线性方程 Cauchy 问题 `{ (del u)/(del t) + a (del u)/(del x) = 0; u|_(t=0) = varphi(x); :}`, `a = "const"`, `varphi in C^1(RR)` 的解为 `u = varphi(x-at)`. 注意到 `u(x + a Delta t, t + Delta t) -= u(x)`, 故此解描述了以速度 `a` 传播而不改变形状的波.
我们以下面的方程为例介绍求解一阶线性方程的特征线法: `{ (del u)/(del t) + v(x) (del u)/(del x) + w(x) u = 0; u|_(t=0) = varphi(x); :}`, `varphi in C^1 (RR)`.
视 `x` 为 `t` 的函数, 则 `("d"u)/dt = (del u)/(del t) + dx/dt (del u)/(del x)`. 可见只要 `x = x(t, c)` 满足特征线方程: `{ dx/dt = v(x); x|_(t=0) = c; :}`, `c` 为参数 原方程就化为 `{ ("d"u)/dt + w(x(t, c)) u = 0; u|_(t=0) = varphi(c); :}` 解这个常微分方程, 再通过 `x = x(t, c)` 消去参数 `c`, 即得到原方程的解.
求解一维波动方程初值问题: `{ square u = f(x,t), (x,t) in Q; u"|"_(t=0) = varphi(x), x in RR; u_t"|"_(t=0) = psi(x), x in RR; :}` 其中 `square u = (del^2 u)/{:del t:}^2 - a^2 (del^2 u)/{:del x:}^2`, `Q = RR xx (0, +oo)` 表示上半平面.
将一维波动方程初值问题一分为三: `{ square u_1 = 0, (x,t) in Q; u_1"|"_(t=0) = varphi(x), x in RR; (u_1)_t"|"_(t=0) = 0, x in RR; :}` (2-1) `{ square u_2 = 0, (x,t) in Q; u_2"|"_(t=0) = 0, x in RR; (u_2)_t"|"_(t=0) = psi(x), x in RR; :}` (2-2) `{ square u_3 = f(x,t), (x,t) in Q; u_3"|"_(t=0) = 0, x in RR; (u_3)_t"|"_(t=0) = 0, x in RR; :}` (2-3) 记三个问题的解分别为 `u_1`, `u_2`, `u_3`, 由线性叠加原理, 原问题的解 `u = u_1 + u_2 + u_3`.
问题 ,
的解可由
的解来表示.
事实上, 记 `M_varphi`,
`M_psi`, `M_(f_tau)` 分别为问题
的非齐次项 `psi(x)` 取
`varphi(x)`, `psi(x)`, `f(x, tau)` 时的解, 且 `M_varphi`, `M_(f_tau)`
在 `RR xx [0, +oo)` 上充分光滑, 则
`u_1 = del/(del t) M_varphi(x, t)`,
`u_2 = M_psi(x, t)`,
`u_3 = int_0^t M_(f_tau) (x, t - tau) "d"tau`.
此定理可以推广到多维波动方程, 证明类似.
D'Alembert 公式 一维波动方程初值问题的形式解为 `u = 1/2 (varphi(x + at) + varphi(x - at))` `+ 1/(2a) int_(x-at)^(x+at) psi(xi) "d"xi` `+ 1/(2a) int_0^t "d"tau int_(x-a(t-tau))^(x+a(t-tau)) f(xi, tau) "d"xi`.
由以上讨论, 只需求解 . 由于
`square = del^2/{:del t:}^2 - a^2 del^2/{:del x:}^2 = (del/(del t)
+ a del/(del x))(del/(del t) - a del/(del x))`,
我们可以把 `square u = 0` 分解为
`{
(del u)/(del t) - a (del u)/(del x) = v;
(del v)/(del t) + a (del v)/(del x) = 0;
:}`,
从而将 化为两个一阶初值问题:
`{
(del u)/(del t) - a (del u)/(del x) = v;
u|_(t=0) = 0;
:}`, `quad`
`{
(del v)/(del t) + a (del v)/(del x) = 0;
v|_(t=0) = psi(x);
:}`.
它们的特征线为 `x_1 = c_1 - at` 和 `x_2 = c_2 + at`. 沿着特征线,
这两个问题化为
`{
("d"u)/dt = v(c_1 - at, t);
u|_(t=0) = 0;
:}`,
(2-4)
`{
("d"v)/dt = 0;
v|_(t=0) = psi(c_2);
:}`
(2-5)
从 解出 `v = psi(x-at)`
代入 得
`u_2 = u = int_0^t psi(c_1 - 2a tau)"d"tau = -1/(2a) int_(c_1)^(c_1
- 2a t) psi(xi)"d"xi = 1/(2a) int_(x-at)^(x+at) psi(xi)"d"xi`.
由,
` u_1
= del/(del t) 1/(2a) int_(x-at)^(x+at) varphi(xi)"d"xi
= 1/2 (varphi(x+at) + varphi(x-at))`,
` u_3
= 1/(2a) int_0^t "d" tau int_(x-a(t-tau))^(x+a(t-tau)) f(xi,
tau)"d"xi`.
若 `varphi in C^2 (RR)`, `psi in C^1(RR)`, `f in C^1(bar Q)`, 则一维波动方程初值问题存在唯一的解 `u in C^2(bar Q)`, 其表达式由 D'Alembert 公式给出.
若 `varphi`, `psi`, `f` 是 `x` 的偶 (奇, 周期) 函数, 则解 `u` 亦是 `x` 的偶 (奇, 周期) 函数.
由 D'Alembert 公式知道, `u` 只由 `varphi` 在 `x+-at` 两点的值和 `psi` 在 `[x-at, x+at]` 上的值和 `f` 在特征锥 `K: { tau in [0"," t]; xi in [x-a (t-tau)"," x + a (t-tau)]; :}` 上的值决定. 我们引入下面的术语:
| 点 `(x, t)` 的依赖区间 | `[x-at, x+at]` | |
| 区间 `[x_1, x_2]` 的决定区域 | `[x_1, x_2]` 和两腰 `x_1 = xi - a tau`, `x_2 = xi + a tau` 围成的三角形区域 | |
| 区间 `[x_1, x_2]` 的影响区域 | `[x_1, x_2]` 和两腰 `x_1 = xi + a tau`, `x_2 = xi - a tau` 围成的半无界区域 |
波动以速度 `a` 沿着特征线传播, 解的奇性 (函数本身或其导数的间断) 也以相同速度沿特征线传播.
本段建立的能量不等式将从另一角度证明波动方程解的唯一性. 能量不等式应用范围广, 波动方程的一维到多维, 初值问题到边值问题, 乃至热传导方程都可以建立起能量不等式.
Gronwall 不等式 设非负函数 `G(tau) in C^1[0, t_0]`, `G(0) = 0`; 非负函数 `F(tau) in L[0, t_0]`, `F(tau)` 单增, 且存在常数 `c gt 0`, 使 `G'(tau) le c G(tau) + F(tau)`. (2-6) 则 `G'(tau) le "e"^(c tau) F(tau)`, `quad` `G(tau) le c^-1 ("e"^(c tau) - 1) F(tau)`.
在 两边同乘 `"e"^(-c tau)` 得 `"d"/("d"tau) ("e"^(-c tau) G(tau)) le "e"^(-c tau) F(tau)`. 两边在 `[0, tau]` 上积分, `"e"^(-c tau) G(tau) le int_0^tau "e"^(-c t) F(t) dt` `le F(tau) int_0^tau "e"^(-c t) dt = F(tau) c^-1(1-"e"^(-c tau))`, 即 `G(tau) le c^-1 ("e"^(c tau) - 1) F(tau)`. 再利用 , `G'(tau) le "e"^(c tau) F(tau)`.
能量不等式 设 `u in C^1(bar Q) nn C^2(Q)` 为一维波动方程初值问题的解, `tau in [0, t_0]`, `Omega_tau = [x_0-a(t_0-tau), x_0+a(t_0-tau)]`, `K_tau = { t in [0"," tau]; x in Omega_t :}`, 则对函数 `v = u_t^2 + a^2 u_x^2` 有估计 `max{ int_(Omega_tau) [u_t^2 + a^2 u_x^2]_(t=tau) dx, iint_(K_tau) (u_t^t + a^2 u_x^2) dx dt }` `le e^(t_0) ( int_(Omega_0) (psi^2 + a^2 varphi_x^2) dx + iint_(K_tau) f^2 dx dt )`, 即 `max{ int_(Omega_tau) v|_(t=tau) dx, iint_(K_tau) v dx dt } le "e"^(t_0) ( int_(Omega_0) v|_(t=0) dx + iint_(K_tau) f^2 dx dt )`.
在波动方程 `u_(t t) - a^2 u_(x x) = f` 两边同乘 `u_t`, 并在 `K_tau`
上积分:
`{:
,iint_(K_tau) u_t f dx dt;
=, iint_(K_tau) u_t (u_(t t) - a^2 u_(x x)) dx dt;
=, iint_(K_tau) (1/2 del/(del t) (u_t^2) - a^2 (del/(del x) (u_t
u_x) - 1/2 del/(del t) (u_x^2))) dx dt
quad ("分部积分");
=, iint_(K_tau) (1/2 del/(del t) (u_t^2 + a^2 u_x^2) - a^2
del/(del x) (u_t u_x)) dx dt;
=, -oint_(del K_tau) 1/2 (u_t^2 + a^2 u_x^2) dx + a^2 (u_t u_x)
dt
quad ("Green 公式");
=, 1/2 int_(Omega_tau) (u_t^2 + a^2 u_x^2) dx
- 1/2 int_(Omega_0) (psi^2 + a^2 varphi_x^2) dx
- int_(Gamma_(tau_L) uu Gamma_(tau_R))
1/2 (u_t^2 + a^2 u_x^2) dx + a^2 (u_t u_x) dt;
=, "J"_1 + "J"_2 -a/2 int_(Gamma_(tau_L)) (u_t + a u_x)^2 dt
+ a/2 int_(Gamma_(tau_R)) (u_t - a u_x)^2 dt
quad (Gamma_(tau_L): dx = a dt; Gamma_(tau_R): dx = -a dt);
ge, "J"_1 + "J"_2.
quad (Gamma_(tau_L): t" 减小"; Gamma_(tau_R): t" 增大");
:}`
记
`G(tau) = iint_(K_tau) (u_t^2 + a^2 u_x^2) dx dt`,
`F(tau) = int_(Omega_0)(psi^2 + a^2 varphi_x^2) dx + iint_(K_tau)
f^2 dx dt`,
则
`G'(tau)`
`= int_(Omega_tau) (u_t^2 + a^2 u_x^2) dx`
`le int_(Omega_0) (psi^2 + a^2 varphi_x^2) dx
+ 2 iint_(K_tau) u_t f dx dt`
再利用对任意正数 `a`, `b` 成立的不等式 `2ab le a^2 + b^2`,
`G'(tau) le int_(Omega_0)(psi^2 + a^2 varphi_x^2) dx
+ iint_(K_tau) f^2 dx dt + iint_(K_tau) u_t^2 dx dt`
`le F(tau) + G(tau)`.
由 Gronwall 不等式,
`G'(tau) le "e"^tau F(tau) le "e"^(t_0) F(tau)`,
`G(tau) le ("e"^tau-1) F(tau) le "e"^(t_0) F(tau)`.
即所要证的结论.
对于弦振动问题, 弦段 `dx` 在时刻 `t` 的动能为 `1/2 rho u_t^2 dx`, 应变能 (势能) 为 `1/2 T u_x^2 dx`. 考虑到 `a^2 = T/rho`, 因此不计常数因子, `int_(Omega_tau) (u_t^2 + a^2 u_x^2) dx` 表示弦段 `Omega_tau` 在 `tau` 时刻的总能量, 称为能量积分或能量模.
对多维波动方程初值问题也有类似的能量不等式, 且证明类似. 如二维情形下, 记特征锥 `K: |bm x - bm x_0|^2 le a^2 (t-t_0)^2`, `K_tau = K nn {t le tau}`, `Omega_tau = K nn {t = tau}`, 函数 `v = u_t^2 + a^2 |grad u|^2`. 则 ` iint_(Omega_tau) v \ dxdy` `le M (iint_(Omega_0) v|_(t=0) dxdy + iiint_(K_tau) f^2 dxdydz)`.
对 `u` 的 `L^2` 模有估计 `max{ int_(Omega_tau) u^2|_(t = tau) dx, iint_(K_tau) u^2 dx dt }` `le "e"^(t_0) ("e"^(t_0)+1) ( int_(Omega_0) (varphi^2 + psi^2 + a^2 varphi_x^2) dx + iint_(K_tau) f^2 dx dt )`.
`AA tau in [0, t_0]`, 注意到矩形 `Omega_tau xx [0,
tau]`上的积分小于梯形 `K_tau` 上的, 有
`{:
int_(Omega_tau) [u^2]_(t=0)^(t=tau) dx
,= int_(Omega_tau) dx int_0^tau del/(del t) u^2 dt;
,le 2 iint_(K_tau) |u u_t| dx dt;
,le iint_(K_tau) u^2 dx dt + iint_(K_tau) u_t^2 dx dt.
:}`
令
`G(tau) = iint_(K_tau) u^2 dx dt`,
`F(tau) = int_(Omega_0) varphi^2 dx + iint_(K_tau) u_t^2 dx dt`,
于是
` G'(tau)
= int_(Omega_tau) u^2|_(t=tau) dx
le int_(Omega_tau) varphi^2 dx + iint_(K_tau) u^2 dx dt
+ iint_(K_tau) u_t^2 dx dt`
`le int_(Omega_0) varphi^2 dx + iint_(K_tau) u^2 dx dt +
iint_(K_tau) u_t^2 dx dt
= G(tau) + F(tau)`.
由 Gronwall 不等式,
` max{G(tau), G'(tau)} le "e"^(t_0) F(tau)`
`le "e"^(t_0) (int_(Omega_0) varphi^2 dx + iint_(K_tau) (u_t^2 +
a^2 u_x^2) dx dt)`
`le "e"^(t_0) ("e"^(t_0) + 1) (int_(Omega_0) varphi^2 dx +
int_(Omega_0) (psi^2 + a^2 varphi_x^2) dx
+ iint_(K_tau) f^2 dx dt)`.
由 `u` 的能量模估计与 `L^2` 模估计, 可以得到波动方程 Cauchy 问题解的唯一性以及能量模意义下解对 `varphi`, `psi`, `f` 的连续依赖性.
记 `R = (0, +oo)`, `Q = R xx R`, 在 `bar Q` 上求解第一类边界条件的半无界问题 `{ square u = f(x, t), (x, t) in Q; u"|"_(t=0) = varphi(x), x in bar R; u_t"|"_(t=0) = psi(x), x in bar R; u"|"_(x=0) = g(t), t in R; :}`
设 `varphi(x) in C^2(bar R)`, `psi(x) in C^1(bar R)`, `f(x, t) in C^1(bar Q)`, `g(t) in C^3(bar R)` 且满足相容性条件 1 ~ 3, 则一维波动方程第一类边界条件的半无界问题存在解 `u in C^2(bar Q)`, 其表达式由函数变换 `v = u - g(t)` 及 给出.
若在边界 `x = 0` 上给出第二类边界条件 `u_x|_(x=0) = g(t)`, 则先作函数代换 `v = u - x g(t)` 把 `x = 0` 上的边界条件化为齐次的 `v_x|_(x=0) = 0`, 再用偶对称开拓法求解. 同样, 加上一定光滑性条件和相容性条件后, 能证明解的存在性.
设 `h(bm x) in C^2(RR^3)`, `I` 是 `h` 在以 `bm x` 为心, `r` 为半径的球面上的平均值: ` I(bm x, r";" h) = 1/(4 pi r^2) iint_(|bm z|=r) h(bm x + bm z) "d"sigma_(bm z)` `= 1/(4 pi) iint_(|bm y|=1) h(bm x + r bm y) "d"sigma_(bm y)`. 下证 `del^2/{:del r:}^2 (rI) = laplace(rI)` (这里 `laplace` 算子仅作用于 `bm x`, 不作用于 `r`).
注意到
` int_0^r 4 pi rho^2 I(bm x, rho, h) "d"rho`
`= int_0^r"d"rho iint_(|bm z|=rho)h(bm x+bm z)"d"sigma_(bm z)`
`= iiint_(|bm z| le r) h(bm x + bm z) "d" bm z`,
` del/(del r) I(bm x, r; h)
= 1/(4 pi) iint_(|bm y|=1) sum_(i=1)^3 y_i del/(del x_i)
h(bm x+r bm y) "d"sigma_(bm y)`
`= 1/(4 pi r^2) iint_(|bm z|=r) sum_(i=1)^3 z_i/r
del/(del z_i) h(bm x+bm z) "d"sigma_(bm z)`,
我们有
` laplace int_0^r 4 pi rho^2 I(bm x, rho; h) "d"rho`
`= iiint_(|bm z| le r) laplace_(bm x) h(bm x+bm z)"d"bm z`
` overset ?
= iiint_(|bm z| le r) laplace_(bm z) h(bm x+bm z)
"d"bm z`
` ==^"Gauss formula"
iint_(|bm z|=r) del/(del bm n_(bm z)) h(bm x+bm z)
"d"sigma_(bm z)`
`= iint_(|bm z|=r) sum_(i=1)^3 z_i/r del/(del z_i) h(bm x+bm z)
"d"sigma_(bm z)`
`= 4 pi r^2 del/(del r) I(bm x, r";" h)`.
于是
` del^2/{:del r:}^2 (r I)`
`= del/(del r) (I + r (del I)/(del r))`
`= r (del^2 I)/{:del r:}^2 + 2 (del I)/(del r)`
`= 1/(4 pi r) del/(del r) (4 pi r^2 (del I)/(del r))`
`= 1/(4 pi r) del/(del r) laplace int_0^r 4 pi rho^2
I(bm x,rho";"h) "d"rho`
`= r laplace I`
`= laplace(r I)`.
由于 的结论对三维情形也成立, 我们只须考虑 中 `f = varphi = 0` 的情况. 设 `u_2` 是 当 `f = varphi = 0` 时的解, `M(bm x, r, t) = r I(bm x, r";" u_2)`, 则 ` a^2 (del^2 M)/{:del r:}^2 = a^2 laplace M` `= (a^2 r)/(4 pi) iint_(|bm y|=1) laplace u_2(bm x+r bm y, t) "d"sigma_(bm y)` `= r/(4 pi) iint_(|bm y|=1) del^2/{:del t:}^2 u_2(bm x+r bm y, t) "d"sigma_(bm y)` `= (del^2 M)/{:del t^2:}` 容易验证, 对每一个固定的 `bm x`, `M(bm x, r, t)` 是下述一维半无界问题的解: `{ (del^2 M)/{:del t:}^2 - a^2 (del^2 M)/{:del r^2:} = 0; M"|"_(t=0) = 0; M_t"|"_(t=0) = r I(bm x, r";" psi); M"|"_(r=0) = 0; :}` 由半无界问题的解的表达式, 当 `0 le r le at` 时, `M(bm x, r, t) = 1/(2a) int_(at-r)^(at+r)rho I(bm x,rho";"psi) "d"rho`. 从而 ` u_2(bm x, t) = lim_(r to 0) M/r` `= lim_(r to 0) 1/(2 a r) int_(at-r)^(at+r) rho I(bm x,rho";"psi) "d"rho` `= 1/(2a) lim_(r to 0) ( (at+r) I(bm x,at+r";"psi) + (at-r) I(bm x,at-r";" psi))` `= t I(bm x, at";" psi)` `= t/(4 pi) iint_(|bm y|=1) psi(bm x + a t bm y) "d"sigma_(bm y)` `= 1/(4 pi a^2 t) iint_(|bm y|=at) psi(bm x+bm y) "d"sigma_(bm y)`.
由, 的解为 (Kirchhoff 公式) ` u(bm x, t)` `= 1/(4 pi a^2) ( del/(del t) (1/t iint_(|bm y-bm x|=at) varphi(bm y) "d"sigma) + 1/t iint_(|bm y-bm x|=at) psi(bm y) "d"sigma + int_0^t 1/(t-tau) "d"tau iint_(|bm y-bm x|=a(t-tau)) f(bm y, tau) "d"sigma)`.
如果将 视为三维问题, 并证明它的解是与 `x_3` 无关的函数, 那么此函数限制在二维空间上就是 的解. 这一思想称为降维法.
因为 `f`, `varphi`, `psi` 都与 `x_3` 无关, 因此我们可以将 Kirchhoff
公式中的曲面积分化为其在 `(x_1, x_2)` 平面上投影区域内的二重积分,
注意到
`"d"sigma = (at)/sqrt(a^2 t^2 - |bm y-bm x|^2) "d"bm y`
或
`"d"sigma = (a(t-tau))/sqrt(a^2 (t-tau)^2-|bm y-bm x|^2) "d"bm y`,
我们有 (Poisson 公式)
` u(bm x, t)`
`= 1/(2pi a)
del/(del t) iint_(|bm y-bm x| le at)
(varphi(bm y)) / sqrt(a^2 t^2 - |bm y-bm x|^2) "d"bm y`
`+ 1/(2pi a) iint_(|bm y-bm x| le at)
(psi(bm y)) / sqrt(a^2 t^2 - |bm y-bm x|^2) "d"bm y`
`+ 1/(2pi ) int_0^t "d"tau iint_(|bm y-bm x| le a(t-tau))
(f(bm y, tau))/sqrt(a^2(t-tau)^2-|bm y-bm x|^2) "d"bm y`.
它的确是与 `x_3` 无关的函数.
若 `varphi`, `psi`, `f` 是 `x` 的偶 (奇, 周期) 函数, 则解 `u` 亦是 `x` 的偶 (奇, 周期) 函数.
设 `f -= 0`, 比较二维与三维波动方程. 注意到三维情形下, `u` 值只依赖于其依赖区域 (一个球) 的边界 `del D_(P_0) = {(x, y, z): sqrt((x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2) = at}` 上的初值 `varphi, psi`, 而与它们在依赖区域内部的值无关; 但在二维情形, `u` 依赖于整个依赖区域上的 `varphi, psi`. 这个差别在物理上产生了截然不同的效果.
分离变量法又称 Fourier 方法, 它不仅适用于波动方程, 也适用于热传导方程, 位势方程和某些形式更复杂的方程/方程组.
考虑二阶常微分方程齐次边值问题 `{ X'' + lambda X = 0 quad x in (0","l); (alpha_1 X' - beta_1 X)"|"_(t=0) = 0; (alpha_2 X' + beta_2 X)"|"_(t=l) = 0; :}` 其中 `alpha_1, alpha_2, beta_1, beta_2 ge 0`, 且 `alpha_i, beta_i` 不全为零, `i = 1, 2`. 如果存在 `lambda in CC` 使上述问题有非零解, 则称 `lambda` 是该边值问题的特征值, 相应的非零解称为对应于 `lambda` 的特征函数. 求所有特征值和特征函数的问题称为特征值问题或 Sturm-Liouville 问题.
考虑两端固定的弦振动方程混合问题 (这是一维波动方程第一边值问题的一个特例): `{ (del^2 u)/(del t^2) - a^2 (del^2 u)/(del x^2) = 0, (x,t) in Q; u|{::}_(x=0) = u|_(x=l) = 0,\ t in R; u"|"_(t=0) = varphi(x), x in bar I; u_t"|"_(t=0) = psi(x), x in bar I; :}` 其中 `I = (0, l)`, `R = (0, +oo)`, `Q = I xx R`.
` u(x, t) = sum_(n=1)^oo sin beta_n x (psi_n/(beta_n a) sin beta_n a t + varphi_n cos beta_n a t)`, 其中 `beta_n^2` 是全体特征值.
若 `varphi(x) in C^3[0,l]`, `psi(x) in C^2[0, l]`, 且 `varphi(x), psi(x)` 在定解区域的角点 `(0,0), (l,0)` 处适合相容性条件 ` varphi(0) = varphi(l) = varphi''(0)` `= varphi(l) = psi(0) = psi(l) = 0`, 则所给混合问题存在解 `u in C^2(bar Q)`, 其表达式由前面求出的形式解给出.
为证明形式解确实是解, 关键在于证明所有求和可以和求导,
取极限的运算交换次序, 即
`square sum_(n=1)^oo u_n = sum_(n=1)^oo square u_n`,
` lim_(x to 0,l) sum_(n=1)^oo u_n
= sum_(n=1)^oo lim_(x to 0,l) u_n`,
` lim_(t to 0) del^m/(del t^m) (sum_(n=1)^oo u_n)
= sum_(n=1)^oo lim_(t to 0) (del^m u_n)/(del t^m)`, `m = 0, 1`.
根据数学分析的结论, 为证明上述运算合法, 只需证明对任意 `T gt 0`, 级数
`sum_(n=1)^oo u_n`, `sum_(n=1)^oo D u_n`, `sum_(n=1)^oo D^2 u_n`
(`D` 表示对 `x, t` 的一阶微商) 在区域 `bar I xx [0, T]` 上一致收敛.
由 `psi(0) = psi(l) = 0` 和分部积分公式,
` A_n
= -2/(beta_n^2 a l) int_0^l psi(x) "d" cos beta_n x`
`= 2/(beta_n^3 a l) int_0^l psi'(x) "d" sin beta_n x
= -2/(beta_n^3 a l) int_0^l psi''(x) sin beta_n x dx`.
同理
` B_n
= -2/(beta_n l) int_0^l varphi(x) "d" cos beta_n x`
`= 2/(beta_n^2 l) int_0^l varphi'(x) "d" sin beta_n x
= 2/(beta_n^3 l) int_0^l varphi''(x) "d" cos beta_n x`
`= -2/(beta_n^3 l) int_0^l varphi'''(x) cos beta_n x dx`.
记
`a_n = 2/l int_0^l psi''(x) sin beta_n x dx`,
`b_n = 2/l int_0^l varphi'''(x) cos beta_n dx`,
而 `beta_n = (2 pi n)/l`, 从而在 `bar I xx [0, T]` 上有估计
`|u_n| le |A_n| + |B_n| = O(n^-3)`,
`|D u_n| = O(n^-2)`,
`|D^2 u_n| le a_n^2 + b_n^2 + O(n^-2)`,
这里 "`O`" 依赖于 `l, a` 和 `int_0^l |varphi'''(x)| dx`,
`int_0^l |psi''(x)| dx`.
从 Fourier 级数的 Bessel 不等式知,
`sum_(n=1)^oo a_n^2 le 2/l int_0^l |psi''(x)|^2 dx`,
`sum_(n=1)^oo b_n^2 le 2/l int_0^l |varphi'''(x)|^2 dx`.
至此由 Weierstrass 判别法知, 前面列举的所有级数在
`bar I xx [0, T]` 上一致收敛. 从而得到:
前述的形式解 `u in C^2(bar Q)`, 可以将 `u` 逐项对 `x, t` 微分两次,
并适合原混合问题的所有条件.