随机变量

设 `(Omega, cc F, P)` 是概率空间. 随机变量定义为样本空间 `Omega` 上的实函数 `xi: Omega to RR`, 且满足: `xi^-1((t, oo)) in cc F`, `quad AA t in RR`. 这就是说, 对任意 Borel 集 `B sube RR`, 原像 `xi^-1(B) = { omega in Omega: xi(omega) in B }` 是一个事件. 尽管 `xi` 不是一个实数, 但出于习惯, 我们把这个事件简记为 `{ xi in B }`, 它的概率记为 `P(xi in B)`. 如 `P(xi = 1)`, `P(xi gt 100)`, `P(-10 le xi lt 10)` 等概率都是有定义的.

随机变量可类比于实变函数中的可测函数.

期望

[来自群友 QAQ] 假设有 `n` 种不同的赠券, 每盒麦片内附有其中的一张赠券. 假定每盒麦片中的赠券是从 `n` 种可能中独立且均匀随机选取的. 要集齐所有类型的赠券 (也就是每种至少一张), 期望需要购买多少盒麦片?

假设已经集齐 `n-k` 张, 还差 `k` 张没有收集, 这时期望再收集 `f(k)` 张才能集齐. 于是 `f(0) = 0`, `f(k) = 1 + k/n f(k-1) + (n-k)/n f(k)`, 求解 `f(k)` 即可. 上式化简得 `f(k) = n/k + f(k-1)`, 所以 `f(n) = n/1 + n/2 + cdots + n/n`.

[来自 chatgpt (注: 不是原话)] 假设已有 `k-1` 张赠券. 为了收集到第 `k` 张赠券, 需购买的麦片盒数为随机变量 `X_k`. 问题化为求 `E(sum X_k)`. 由于随机变量和的期望等于期望的和, 这不依赖它们的独立性, 我们有 `E(sum X_k) = sum E(X_k) = sum n/k`.