集合的可列运算

集合列

递增集合列 `{A_k}` 的极限 `lim_(k to oo) A_k := uuu_(k=1)^oo A_k`;
递减集合列 `{B_k}` 的极限 `lim_(k to oo) B_k := nnn_(k=1)^oo B_k`.
任一集合列 `{A_k}` 的上极限 `underset(k to oo)(bar lim) A_k := nnn_(i=1)^oo uuu_(k=i)^oo A_k = {x: AA i in NN, EE k ge i, x in A_k}`; 下极限 `underset(k to oo)(ul lim) A_k := uuu_(i=1)^oo nnn_(k=i)^oo A_k = {x: EE i in NN, AA k ge i, x in A_k}`. 从谓词式易知 `underset(k to oo)(ul lim) A_k sube underset(k to oo)(bar lim) A_k`. 当上, 下极限相等时, 定义 `A_k` 的极限为它的上极限或下极限.

类比数列的上极限和下极限 `underset(k to oo)(bar lim) x_k = inf_(i in NN) Sup_(k ge i) x_k`, `quad underset(k to oo)(ul lim) x_k = Sup_(i in NN) inf_(k ge i) x_k`. 下面的符号存在着 "翻译" 的关系: `uu iff EE iff "s" bb u "p"`, `quad` `nn iff AA iff "i" bb n "f"`.

由 De. Morgan 法则, `E \\ underset(k to oo)(bar lim) A_k = underset(k to oo)(ul lim)(E \\ A_k)`
`E \\ underset(k to oo)(ul lim) A_k = underset(k to oo)(bar lim)(E \\ A_k)`

若 `A_k sube B_k`, `k = 1, 2, cdots`, 则 `uuu_(k=1)^oo A_k sube uuu_(k=1)^oo B_k`, `quad` `nnn_(k=1)^oo A_k sube nnn_(k=1)^oo B_k`;
`underset(k to oo)(bar lim) A_k sube underset(k to oo)(bar lim) B_k`, `quad` `underset(k to oo)(ul lim) A_k sube underset(k to oo)(ul lim) B_k`.

切割值域

设实函数列 `{f_n(x)}` 在可测集 `E sube RR` 上有定义, `t in RR`. 注意 `f_n(x)` 有两种解读: 一是视为函数的序列, 二是取定一个 `x` 的值后, 视为普通数列; 这里采用第二种解读. 简记 `{x in E: ...}` 为 `{x: ...}`, 有
1. `{x: Sup_(n ge 1) f_n(x) gt t} = uuu_(n=1)^oo {x: f_n(x) gt t}`;
2. `{x: inf_(n ge 1) f_n(x) lt t} = uuu_(n=1)^oo {x: f_n(x) lt t}`;
3. `{x: Sup_(n ge 1) f_n(x) lt t} = uuu_(k=1)^oo nnn_(n=1)^oo {x: f_n(x) le t-1/k}`;
4. `{x: inf_(n ge 1) f_n(x) gt t} = uuu_(k=1)^oo nnn_(n=1)^oo {x: f_n(x) ge t+1/k}`;
5. `{x: underset(n to oo)(bar lim) f_n(x) gt t} = uuu_(k=1)^oo underset(n to oo)(bar lim) {x: f_n(x) ge t + 1/k}`;
6. `{x: underset(n to oo)(ul lim) f_n(x) lt t} = uuu_(k=1)^oo underset(n to oo)(bar lim) {x: f_n(x) le t - 1/k}`;
7. `{x: underset(n to oo)(bar lim) f_n(x) lt t} = uuu_(k=1)^oo underset(n to oo)(ul lim) {x: f_n(x) le t - 1/k}`;
8. `{x: underset(n to oo)(ul lim) f_n(x) gt t} = uuu_(k=1)^oo underset(n to oo)(ul lim) {x: f_n(x) ge t + 1/k}`.

1. 记 `g(x) = Sup_(n ge 1) f_n(x)`, 则对 `AA x in` 右, `EE n in NN`, `g(x) ge f_n(x) gt t`. 故左 ⊇ 右;
   另一方面, `AA x in` 左, `AA epsi gt 0`, `EE n_epsi in NN`, `f_(n_epsi)(x) gt g(x) - epsi`. 取 `epsi = g(x) - t`, 就有 `x in` 右, 故左 ⊆ 右.
2. 可以参考 1 的证明, 但也可以由 `inf_(n ge 1) f_n(x) = -Sup_(n ge 1) (-f_n(x))`, 有 `{: "左" ,= {x: -Sup_(n ge 1) (-f_n(x)) lt t}; ,= {x: Sup_(n ge 1) (-f_n(x)) gt -t}; ,= uuu_(n=1)^oo {x: -f_n(x) gt -t} = "右". :}`
3. 如下 `{: "左" ,= E \\ {x: Sup_(n ge 1) f_n(x) ge t}; ,= E \\ nnn_(k=1)^oo {x: Sup_(n ge 1) f_n(x) gt t - 1/k}; ,= E \\ nnn_(k=1)^oo uuu_(n=1)^oo {x: f_n(x) gt t-1/k} = "右". :}`
4. 类似 2 的证明.
5. 如下 `{: "左" ,= {x: inf_(m ge 1) Sup_(n ge m) f_n(x) gt t}; ,= uuu_(k=1)^oo nnn_(m=1)^oo {x: Sup_(n ge m) f_n(x) ge t + 1/k}; ,= E \\ nnn_(k=1)^oo uuu_(m=1)^oo {x: Sup_(n ge m) f_n(x) lt t + 1/k}; ,= E \\ nnn_(k=1)^oo uuu_(m=1)^oo uuu_(j=1)^oo nnn_(n=m)^oo {x: f_n(x) le t + 1/k - 1/j}; ,= uuu_(k=1)^oo nnn_(j=1)^oo nnn_(m=1)^oo uuu_(n=m)^oo {x: f_n(x) gt t + 1/k - 1/j}; ,?= uuu_(k=1)^oo nnn_(m=1)^oo uuu_(n=m)^oo {x: f_n(x) ge t + 1/k} = "右". :}`

设 `f_n(x)` 渐升 (即, 对每个给定的 `x`, `{f_n(x)}` 是单调递增数列) 趋于 `f(x)`, 则对 `AA t in RR`, `{x: f_n(x) gt t}` 是递增集合列, 且 `lim_(n to oo) {x: f_n(x) gt t}` `= uuu_(n=1)^oo {x: f_x(x) gt t}` `= {x: Sup_(n in NN) f_n(x) gt t}` `= {x: f(x) gt t}`. 即对于渐升函数列 `f_n(x)` 有 `lim_(n to oo) {x: f_n(x) gt t} = {x: lim_(n to oo) f_n(x) gt t}`.

`RR^n` 中的度量与极限

`RR^n` 在范数 (模, 长度) `|x| = (sum_(i=1)^n x_i^2)^(1/2)` 下构成一赋范线性空间.

设 `x in RR^n`, `E, F sube RR^n`, 定义
1. 直径 `"diam"(E) = Sup_(x, y in E) |x-y|`;
2. 点到点集的距离 `d(x, E) = inf_(y in E) |x-y|`;
3. 点集间的距离 `d(E, F) = inf_(x in E, y in F) |x-y|`.

设 `x_0 in RR^n`, `delta gt 0`, 分别称 `B(x_0, delta) = {x in RR^n: |x-x_0| lt delta}`,
`bar B(x_0, delta) = {x in RR^n: |x-x_0| le delta}` 为 `RR^n` 中以 `x_0` 为心, `delta` 为半径的开球与闭球. `overset @ B(x_0, delta) := B(x_0, delta)\\{x_0}` 称为 `x_0` 的去心球形 `delta` 邻域.

设 `{(a_i"," b_i): i = 1, 2, cdots, n}` 是 `RR` 上的一族开区间. 分别称 `prod_(i=1)^n (a_i, b_i) = {x in RR^n: x_i in (a_i, b_i), i = 1, 2, cdots, n}`,
`prod_(i=1)^n [a_i, b_i]`, `prod_(i=1)^n (a_i, b_i]` 为 `RR^n` 中的开矩体, 闭矩体和半开闭矩体. 若 `b_1 - a_1 = b_2 - a_2 = cdots = b_n - a_n`, 则称矩体为方体.

若 `I = prod_(i=1)^n (a_i, b_i)`, 则 直径 `"diam"(I) = (sum_(i=1)^n (b_i-a_i)^2)^(1/2)`,
体积 `|I| = prod_(i=1)^n (b_i-a_i)`.

设 `x_k in RR^n`, `k = 1, 2, cdots`. 若存在 `x in RR^n`, 使 `lim_(k to oo) |x_k-x| = 0`, 则称 `{x_k}` 以 `x` 为极限, 记为 `lim_(k to oo) x_k = x`.

注意到不等式 `underset(1 le i le n)max|x_m^((i))-x_n^((i))| le |x_m-x_n| le sqrt n underset(1 le i le n)max|x_m^((i))-x_n^((i))|` 从而 `x_k` 是 `RR^n` 中的 Cauchy 列当且仅当它的每一分量是 `RR` 中的 Cauchy 列. 由 `RR` 的完备性知 `x_k` 是 `RR^n` 中的收敛点列当且仅当它的每一分量是 `RR` 中的收敛列.

`RR^n` 中的拓扑与 `sigma`-代数

(极限点/聚点) 设 `E sube RR^n`, `x in RR^n`, 以下两款等价:
1. 存在 `E` 中互异点列 `{x_k}` 以 `x` 为极限;
2. `AA delta gt 0`, `overset @ B(x, delta) nn E != O/`.
它们都可以作为 `E` 的极限点的定义.

1. 导集 (极限点的收集) `E' = {x in RR^n: AA delta gt 0, overset @ B(x, delta) nn E != O/}`;
2. 闭包 `bar E = E uu E' = {x in RR: AA delta gt 0, B(x, delta) nn E != O/}`;
3. 内核 (内点的收集) `E^@ = {x in RR^n: EE delta gt 0, B(x, delta) sube E} sube E`;
4. 边界 `del E = bar E \\ E^@`;
5. 孤立点集 `E\\E'`.

设 `A, B sube RR^n`.
1. 若 `A sube B`, 则 `A' sube B', bar A sube bar B, A^@ sube B^@`;
2. `(A uu B)' = A' uu B', bar(A uu B) = bar A uu bar B`;
3. `(A^@)^c = bar(A^c)`;

若 `A sube B` 且 `bar A = B`, 则称 `A` 在 `B` 中稠密. 若 `B` 有可数的稠密子集, 则称 `B` 是可分的.

设 `Gamma` 是 `RR^n` 中的开集族, `E sube RR^n`. 若 `E sube uu Gamma`, 则称 `Gamma` 是 `E` 的一个开覆盖. 若 `Gamma' sube Gamma` 也是 `E` 的开覆盖, 则称它为 `Gamma` 的一个子覆盖.

1. `RR` 中的非空开集是可数个互不相交的开区间的并; 这里, 开区间也包括 `(-oo, a)`, `(b, +oo)` 和 `(-oo, +oo)`.
2. `RR^n` 中的非空开集是可数个互不相交的半开闭方体的并.

可数个闭集 (法语: fermé) 的并称为 `F_sigma` 集, 可数个开集的交称为 `G_delta` 集. 这两类集合是互补的关系.

设 `Gamma sube 2^X`, 且满足
1. `O/ in Gamma`;
2. `A in Gamma rArr A^c in Gamma`;
3. `A_1, A_2, cdots in Gamma rArr uuu_(n=1)^oo A_n in Gamma`.
则称 `Gamma` 是 `X` 上的一个 `sigma`-代数. 若 `Sigma sube 2^X`, 取 `Gamma` 为 `X` 上所有包含 `Sigma` 的 `sigma`-代数之交, 称为由子集族 `Sigma` 生成的 `sigma`-代数.

若 `Gamma` 是 `X` 上的一个 `sigma`-代数, `A_1, A_2, cdots in Gamma`, `A, B in Gamma`, 则 `X`, `uuu_(n=1)^m A_n`, `A \\ B`, `nnn_(n=1)^oo A_n`, `underset(n to oo)(bar lim) A_n`, `underset(n to oo)(ul lim) A_n in Gamma`.

由 `RR^n` 中全体开集生成的 `sigma`-代数称为 Borel `sigma`-代数, 记为 `cc B`. `cc B` 中的集合称为 Borel 集.

Baire 纲定理

设 `E sube RR^n`. 若 `(bar E)^@ = O/`, 则称 `E` 为 `RR^n` 中的无处稠密集; 可数个无处稠密集的并称为贫集或第一纲集. 不是第一纲集称为第二纲集.