Lebesgue 外测度

外测度的定义

设 `E sube RR^n`, 若 `RR^n` 中的可数个开矩体 `{I_k}` 构成 `E` 的开覆盖, 则称 `{I_k}` 为 `E` 的一个 L-覆盖. `E` 的全体 L-覆盖组成集合 `L`. `E` 的每一个 L-覆盖确定了一个非负广义实值 `sum_(k ge 1) |I_k|` (可以是非负实数或 `+oo`). 这个值关于 `E` 的全体 L-覆盖取下确界, 称为 `E` 的 Lebesgue 外测度: `m^**(E) := inf_({I_k} in L) sum_(k ge 1) |I_k|`. 如果 `m^**(E) = 0`, 则称 `E` 为零测集.

我们没有要求这些开矩体互不相交.

    Lebesgue 外测度的性质
  1. 非负性: `m^**(E) ge 0`, `m^**(O/) = 0`;
  2. 单调性: `E sube F rArr m^**(E) le m^**(F)`;
  3. 次可加性: `m^**(uuu_(k=1)^oo E_k) le sum_(k=1)^oo m^**(E_k)`.
    4. 一般地, 定义在幂集 `2^X` 上的广义实值函数如果满足此处的三条性质, 则称它是 `X` 上的一个外测度. 在没有特别说明的情况下, 我们所说的外测度均指 Lebesgue 外测度.
  1. 由定义显然.
  2. 这是因为 `F` 的任一 L-覆盖都是 `E` 的 L-覆盖.
  3. 不妨设不等号右边 `lt +oo`. 对任意 `epsi gt 0` 和每个自然数 `k`, 存在 `E_k` 的 L-覆盖 `{I_(k,l)}_(l=1)^oo`, 满足 `sum_(l=1)^oo |I_(k,l)| lt m^**(E_k) + epsi 2^-k`. 因此 `{I_(k,l)}_(k,l=1)^oo` 是 `uuu_(k=1)^oo E_k` 的一个 L-覆盖, 满足 `sum_(k,l=1)^oo |I_(k,l)| le sum_(k=1)^oo m^**(E_k) + epsi`. 于是 `m^**(uuu_(k=1)^oo E_k) le sum_(k=1)^oo m^**(E_k) + epsi`. 由 `epsi` 的任意性知结论成立.
    `RR^n` 中:
  1. 由单调性, 零测集的子集仍是零测集;
  2. `n-1` 维的超平面块 `{(x_1, cdots, x_(i-1), a, x_(i+1), cdots, x_n): x_j in RR, j != i}` 是零测集, 从而任意维数小于 `n` 的点集 (特别地, 单点集) 都是零测集.
  3. 设 `I` 为一开矩体, 则 `m^**(I) = m^**(bar I) = |I|`.
  4. 根据次可加性, 可数点集是零测集.
  5. Cantor 集是零测集. 事实上, `C = nnn_(n=1)^oo F_n`, `F_n` 是 `2^n` 个长度为 `3^-n` 的不相交闭区间的并, 由单调性, `m^**(C) le m^**(F_n) = (2/3)^n`, 从而知 `m^**(C) = 0`.

外测度的其它性质

外测度的平移不变性 设 `E sube RR^n`, `x in RR^n`, 则 `m^**(x + E) = m^**(E)`, 其中 `x + E = {x + e: e in E}`.

外测度的数乘性质 设 `E sube RR^n`, `lambda in RR`, 则 `m^**(lambda E) = |lambda| m^**(E)`, 其中 `lambda E = {lambda e: e in E}`.

设 `E sube RR^n`, `delta gt 0`, 将 `E` 的全体 L-覆盖中满足每个开矩体边长 `lt delta` 的那部分记为 `L_delta`, 定义 `m_delta^**(E) := inf_({I_k} in L_delta) sum_(k ge 1) |I_k|`, 则 `m_delta^**(E) = m^**(E)`. 引理告诉我们, 仅由小矩形组成的 L-覆盖就可以充分接近全体 L-覆盖的体积的下确界, 即外测度.

距离外测度性质 设 `E, F sube RR^n`, 若 `d(E, F) gt 0`, 则 `m^**(E uu F) = m^**(E) + m^**(F)`. 一般地, 在度量空间 `(X, d)` 上满足此处性质的外测度, 称为 `X` 上的一个距离外测度.

可测集与测度空间

可测集

Carathéodory 条件 设 `E sube RR^n`, 若对任意 `T sube RR^n` (称 `T` 为试验集) `m^**(T) = m^**(T nn E) + m^**(T \\ E)`, 则称 `E` 为 Lebesgue 可测集, 简称可测集; `m(E) := m^**(E)` 称为 `E` 的 Lebesgue 测度, 简称测度. `RR^n` 中可测集的全体称为可测集类, 记为 `cc M`.

由外测度的次可加性, Carathéodory 条件中的 "`le`" 部分总是成立的, 实际应用中只需证明 "`ge`" 即可. 从而又只需对具有有限外测度的试验集验证 Carathéodory 条件即可. 下面的推论表明, 还可以进一步假设 `T` 是开矩体, 或假设 `T` 是可测集.

设 `E sube RR^n`. 若任意开矩体作为试验集时, 都成立 Carathéodory 条件, 则 `E` 为可测集.

任取 `T sube RR^n`, `AA epsi gt 0`, 存在 `T` 的 L-覆盖 `{I_k}`, 使得 `sum_(k=1)^oo |I_k| le m^**(T) + epsi`, 从而 `m^**(T nn E) + m^**(T \\ E)` `le m^**((uuu_(k=1)^oo I_k) nn E) + m^**((uuu_(k=1)^oo I_k) \\ E)` `le sum_(k=1)^oo [m^**(I_k nn E) + m^**(I_k \\ E)]` `= sum_(k=1)^oo m^**(I_k)` `le m^**(T) + epsi`. 令 `epsi to 0` 即得结论.

显然任意两个矩体 `T` 和 `E` 满足 , 因此矩体都是可测的.

零测集是可测集, 它的测度是零.

设 `m^**(Z) = 0`, 则 `AA T sube RR^n`, `m^**(T nn Z) + m^**(T \\ Z)` `le m^**(Z) + m^**(T)` `= m^**(T)`.

`cc M` 的基数是 `2^(aleph_1)`.

因为 `cc M sube 2^(RR^n)`, 所以 `|cc M| le 2^(aleph_1)`; 另一方面 Cantor 集 `C` 是零测集, 从而其任一子集也是零测集, 即 `2^C sube cc M`, 所以 `|cc M| ge 2^|C| = 2^(aleph_1)`.

测度空间

    测度空间 设 `X != O/`, `cc A` 是 `X` 上的 `sigma`-代数, 集合函数 `mu: cc A to RR` 满足
  1. 规范性: `mu(O/) = 0`;
  2. 非负性: `(AA E in cc A)`, `0 le mu(E) le +oo`;
  3. 可数可加性 (或称 `sigma`-可加性): 对任意两两不相交的 `E_1, E_2, cdots in cc M`, `sum_(i=1)^oo m(E_i) = m(uuu_(i=1)^oo E_i)`.
    4. 则称 `mu` 是 `cc A` 上的 (非负) 测度, `cc A` 中的元素称为 `mu`-可测集, `(X, cc A, mu)` 称为测度空间. 概率空间 `(Omega, cc F, P)` 就是测度空间的一个例子.

`(RR^n, cc M, m)` 是一测度空间.

  1. 空集是零测集, 显然 `O/ in cc M`.
  2. 若 `E in cc M`, 则 `AA T sube RR^n`, `m^**(T) = m^**(T nn E) + m^**(T \\ E)`, 即 `m^**(T) = m^**(T \\ E^c) + m^**(T nn E^c)`. 因此 `E^c in cc M`.
  3. 下证 `E, F in cc M rArr E uu F in cc M`. 对任意 `T sube RR^n`, `T nn (E uu F) = T nn [(E \\ F) uu (F \\ E) uu (E nn F)]` `= (T nn E \\ F) uu (T nn F \\ E) uu (T nn E nn F)`. 所以 `m^**(T nn (E uu F)) + m^**(T \\ (E uu F))` `le m^**(T nn E \\ F) + m^**(T nn E nn F)` `+ m^**((T \\ E) nn F) + m^**((T \\ E) \\ F)` `= m^**(T nn E) + m^**(T \\ E)` `= m^**(T)`. 因此 `E uu F in cc M`. 这推出 `cc M` 对集合的有限次并, 交, 补运算封闭, 即运算的结果还是可测集.
  4. `AA E, F in cc M`, `E nn F = O/`, 取 `T = E uu F`, 由 `E` 的可测性知 `m(T) = m(T nn E) + m(T \\ E)`, 即 `m(E uu F) = m(E) + m(F)`. 因此 `m` 满足有限可加性.
  5. 设 `{A_i}` 为可测集列, 取 `E_1 = A_1`, `quad E_i = A_i \\ uuu_(k=1)^(i-1) A_k`, `quad i = 2, 3, cdots`, 则 `{E_i}` 为两两不相交的可测集列, 且 `uuu_(i=1)^oo E_i = uuu_(i=1)^oo A_i := S`,
    `uuu_(i=1)^k E_i = uuu_(i=1)^k A_i := S_k`, `quad k = 1, 2, cdots`.     `AA T sube cc M`, 注意 `T nn E_i`, `i = 1, 2, cdots, k` 是互不相交的可测集, 利用有限可加性和 `S_k` 的可测性, `sum_(i=1)^k m^**(T nn E_i) + m^**(T \\ S)` `= m^**(uuu_(i=1)^k (T nn E_i)) + m^**(T \\ S)` `le m^**(T nn S_k) + m^**(T \\ S_k)` `= m^**(T)`. 令 `k to oo` 就有 `sum_(i=1)^oo m^**(T nn E_i) + m^**(T \\ S) le m^**(T)`, 因此 `m^**(T nn S) + m^**(T \\ S)` `= m^**(uuu_(i=1)^oo (T nn E_i)) + m^**(T \\ S)` `le sum_(i=1)^oo m^**(T nn E_i) + m^**(T \\ S)` `le m^**(T)`. 这证明了 `S` 可测. 综上得到 `cc M` 是 `RR^n` 上的 `sigma`-代数.
  6. 在 中取 `T = S` 得 `sum_(i=1)^oo m^**(E_i) le m^**(S)`, 而反向的不等式由外测度的次可加性保证. 这又证明了可数可加性.
    设 `{E_k}` 是单调可测集合列, 则 `m(lim_(k to oo) E_k) = lim_(k to oo) m(E_k)`. 即, 当 `{E_k}` 是递增集合列时, `m(uuu_(k=1)^oo E_k) = Sup_(k ge 1) m(E_k)`, 当 `{E_k}` 是递减集合列时, `m(nnn_(k=1)^oo E_k) = inf_(k ge 1) m(E_k)`.
  1. 先设 `{E_k}` 是递增集合列. 若存在 `k_0`, 使得 `m(E_(k_0)) = +oo`, 结论显然成立; 下设对一切 `k` 有 `m(E_k) lt +oo`. 取 `A_1 = E_1`, `quad A_k = E_k\\E_(k-1)`, `k = 2, 3, cdots`, 则 `{A_k}` 是互不相交的可测集列, 于是 `m(uuu_(k=1)^oo E_k)` `= m(uuu_(k=1)^oo A_k)` `= sum_(k=1)^oo m(A_k)` `= m(E_1) + sum_(k=2)^oo (m(E_k) - m(E_(k-1)))` `= lim_(k to oo) m(E_k)`.
  2. 再设 `{E_k}` 是递减集合列. 若对一切 `k` 有 `m(E_k) = +oo`, 结论显然成立; 下设存在一 `k_0` 使得 `m(E_(k_0)) lt +oo`, 不妨就令 `k_0 = 1`, 于是对一切 `k` 有 `m(E_k) lt +oo`. 对递增集合列 `{E_1 \\ E_k}` 应用 1. 的结论, `m(E_1) - m(nnn_(k=1)^oo E_k)` `= m(uuu_(k=1)^oo (E_1 \\ E_k))` `= lim_(k to oo) m(E_1\\E_k)` `= m(E_1) - lim_(k to oo) m(E_k)`. 消去 `m(E_1)` 即得结论.

测度论中的 Fatou 引理 设 `{E_k}` 是可测集列, 则 `m(underset(k to oo)(ul lim) E_k) le underset(k to oo)(ul lim) m(E_k)`, `quad m(underset(k to oo)(bar lim) E_k) ge underset(k to oo)(bar lim) m(E_k)`.

只证第一式. `AA k in ZZ^+`, 有 `nnn_(j ge k) E_j sube E_k`, 因此 `m(nnn_(j ge k) E_j) le m(E_k)`, `AA k in ZZ^+`. 令 `k to oo`, 因为 `nnn_(j ge k) E_j` 是递增可测集合列, `m(underset(k to oo)(ul lim) E_k)` `= m(uuu_(k ge 1) nnn_(j ge k) E_j)` `= lim_(k to oo) m(nnn_(j ge k) E_j)` `= underset(k to oo)(ul lim) m(nnn_(j ge k) E_j)` `le underset(k to oo)(ul lim) m(E_k)`.

今后还会学到 Lebesgue 积分的 Fatou 引理.

可测集与 Borel 集

可测集是对 Borel 集的扩充

Carathéodory 引理 设 `E, F sube RR^n`, `E nn F = O/`, `F` 是非空闭集. 对任意正整数 `k`, 令 `E_k = {x in E: d(x, F) ge 1//k}`, 则 `lim_(k to oo) m^**(E_k) = m^**(E)`.

  1. 先证 `E = uuu_(k=1)^oo E_k`. 易知 `{E_k}` 是递增列, 且 `uuu_(k=1)^oo E_k sube E`. 任取 `x in E`, 则由 `F` 是闭集知 `d(x, F) gt 0`, 从而 `k` 充分大时有 `x in E_k`. 这指出 `E sube uuu_(k=1)^oo E_k`.
  2. 由 `m^**(E_k) le m(E)` 两边取极限得到 `lim_(k to oo) m^**(E_k) le m^**(E)`. 下证反向的不等式, 不妨设 `lim_(k to oo) m^**(E_k) lt +oo`. 取 `A_k = E_(k+1)\\E_k`, `quad k in ZZ^+`. 于是 `uuu_(j=1)^(k-1) A_(2j)` `= uuu_(j=1)^(k-1) E_(2j+2)\\E_(2j)` `= E_(2k)\\E_2 sube E_(2k)`. 易知 `d(A_(2j), A_(2j+2)) gt 0`, `j = 1, 2, cdots`. 由距离外测度性质得到 `sum_(j=1)^(k-1) m^**(A_(2j))` `= m^**(uuu_(j=1)^(k-1) A_(2j))` `le m^**(E_(2k))`. 令 `k to oo` 知, `sum_(j=1)^oo m^**(A_(2j)) lt +oo`. 类似有 `sum_(j=1)^oo m^**(A_(2j+1)) lt +oo`. 因为 `E = E_(2k) uu (uuu_(j=k)^oo A_(2j)) uu (uuu_(j=k)^oo A_(2j+1))`, `quad AA k in ZZ^+`, 所以 `m^**(E) le m^**(E_(2k))` `+ sum_(j=k)^oo m^**(A_(2j)) + sum_(j=k)^oo m^**(A_(2j+1))`, `quad AA k in ZZ^+`. 令 `k to oo`, 上式后面两项作为收敛正项级数的尾部是趋于零的, 因此 `m^**(E) le lim_(k to oo) m^**(E_k)`.

Borel 集是可测集. 因此 `cc M` 是对 `cc B` 的扩充.

因为可测集类是一个 `sigma`-代数, 所以只需指出任意开集可测或任意闭集可测, 我们来证明后者. 令 `F` 是非空闭集, 对任一试验集 `T`, 记 `E = T\\F`, 构造 Carathéodory 引理中所述的集列 `E_1, E_2, cdots sube T\\F`. 由距离外测度性质, 对任意正整数 `k` 有 `m^**(T nn F) + m^**(E_k)` `= m^**((T nn F) uu E_k)` `le m^**(T)`. 令 `k to oo`, `m^**(T nn F) + m^**(T \\ F) le m^**(T)`.

开集/闭集 `sube F_sigma // G_delta` 集 `sube` Borel 集 `sube` 可测集.

Borel 集对可测集的逼近

    用开集/闭集逼近可测集 设 `E` 为可测集. 对 `AA epsi gt 0`,
  1. 存在包含 `E` 的开集 `G`, 使 `m(G\\E) lt epsi`;
  2. 存在含于 `E` 的闭集 `F`, 使 `m(E\\F) lt epsi`.
    用 `F_sigma`/`G_delta` 集逼近可测集 设 `E` 为可测集, 则
  1. 存在 `G_delta` 集 `H` 使 `m(H\\E) = 0`;
  2. 存在 `F_sigma` 集 `K` 使 `m(E\\K) = 0`.

换言之, 存在包含 `E` 的, 与 `E` 测度相等的 `G_delta` 集, 称为 `E` 的等测包; 存在含于 `E` 的, 与 `E` 测度相等的 `F_sigma` 集, 称为 `E` 的等测核.

外测度的等测包

等测包对于一般点集的外测度也是成立的:

外测度的正则性 对任意 `E sube RR^n`, 存在包含 `E` 的, 与 `E` 外测度相等的 `G_delta` 集, 也称为 `E` 的等测包.

    外测度的 Fatou 引理 对 `RR^n` 中的集合列 `{E_k}` 有
  1. `m^**(underset(k to oo)(ul lim) E_k) le underset(k to oo)(ul lim) m^**(E_k)`.
  2. `{E_k}` 递增时上式取等, 即 `m^**(lim_(k to oo) E_k) = lim_(k to oo) m^**(E_k)`.

测度的平移不变性

测度的平移不变性 设 `E` 为可测集, `x in RR^n`, 则 `x + E` 也是可测集且 `m(x+E) = m(E)`.

Lebesgue 测度的某种唯一性 在 Borel `sigma`-代数上定义的测度 `mu`, 若对紧集 `K` 有 `mu(K) lt oo`, 则称 `mu` 为 Borel 测度. 由于 `RR^n` 中的紧集就是有界闭集, 所以 Lebesgue 测度是一种 Borel 测度. 可以证明, 若 `mu` 是 `RR^n` 上平移不变的 Borel 测度, 则 `mu` 与 Lebesgue 测度仅相差一个常数因子; 即存在常数 `lambda`, 使对 `RR^n` 中任意 Borel 集 `B` 成立 `mu(B) = lambda m(B)`. 这告诉我们, 要使一个 Borel 测度满足平移不变性, 除非它和 Lebesgue 测度相差常数倍, 除此之外没有其它选择.

不可测集