Lebesgue 积分的定义与性质

    Lebesgue 积分 设 `E sube RR^n` 是可测集, `f` 是 `E` 上的可测函数, 从特殊到一般, 逐步定义 `f` 的积分如下:
  1. 设 `f` 是 `E` 上的非负可测简单函数: `f(x) = sum_(i=1)^p a_i chi_(A_i)(x)`, `quad uuu_(i=1)^p A_i = RR^n`, `quad A_i nn A_j = O/ (i != j)`. 定义 `f` 在 `E` 上的积分为 `int_E f(x) dx := sum_(i=1)^p a_i * m(A_i nn E)`. 这里, 我们约定 `0 * oo = oo * 0 = 0`. 由定义立即得知, `f` 在 `E` 上的积分只与 `f` 在 `E` 上的值有关.
  2. 设 `f` 是 `E` 上的非负可测函数, 定义 `int_E f(x) dx` `:= underset(h le f)Sup int_E h(x) dx` 这里 `h(x)` 是 `E` 上的非负可测简单函数, `h le f` 是指 `AA x in E, h(x) le f(x)`.
  3. 一般地, 设 `f` 是 `E` 上的可测函数, 定义 `f` 的正部与负部: `f^(+) = max(f, 0)`, `quad f^(-)= max(-f, 0)`. 从而 `f` 的正部负部都是非负函数, 且 `f = f^(+) - f^(-)`, `quad |f| = f^(+) + f^(-)`. 现在定义 `int_E f(x) dx` `:= int_E f^(+)(x) dx - int_E f^(-)(x) dx`. 上式右端两个积分都有限 (`lt oo`) 时, 就称 `f` 在 `E` 上(Lebesgue) 可积, 或 `f` 是 `E` 上的可积函数. `E` 上可积函数的全体记为 `L(E)`.

由于 `|f| = f^(+) + f^(-)`, 所以 `f` 可积 `iff |f|` 可积.

子集上的积分 若 `A sube E`, 则 `int_A f(x) dx = int_E f(x) chi_A(x) dx`.

  1. 先设 `f` 是非负可测简单函数, 在 `A_i` 上取值为 `a_i`. 则 `g(x) := f(x) chi_A(x)` 也是非负可测简单函数, 且 `g(x) = { a_i, if x in A_i nn A; 0, if x in E \\ A :}` `int_A f(x) dx` `= sum a_i m(A_i nn A)` `= sum a_i m(A_i nn A) + sum 0 * m(E \\ A)` `= int_E g(x) dx`.
  2. 再设 `f` 是非负可测函数, 则 `int_A f(x) dx` `= underset(h le f)Sup int_A h(x) dx` `= underset(h chi_A le f chi_A)Sup int_A h(x) dx` `= underset(h chi_A le f chi_A)Sup int_E h(x) dx` `= int_E f(x) chi_A(x) dx`.
  1. 设 `f` 在 `E` 上几乎处处为零, 则 `int_E f(x) dx = 0`;
  2. 设 `m(E) = 0`, 则 `int_E f(x) dx = 0`.

积分的保序性 `f le g rArr int_E f(x) dx le int_E g(x) dx`.

  1. 先设 `f, g` 是非负可测简单函数, 且 `f` 在 `A_i` 上取值 `a_i`, `g` 在 `B_j` 上取值 `b_j`. 为比较两个积分 `int_E f(x) dx` 和 `int_E g(x) dx`, 将定义域 `E` 细分为 `E = uuu_(i,j) E nn A_i nn B_j`. 在每一小块 `E nn A_i nn B_j` 上, `f, g` 的值都为常数且 `f(x) le g(x)`, 因此 `int_E f(x) dx le int_E g(x) dx`.
  2. 再设 `f, g` 是非负可测函数. 任取非负可测简单函数 `h` 满足 `h le f le g`, 由于 `g` 的积分是所有 `le g` 的非负可测简单函数积分的上界, 所以 `int_E h(x) dx le int_E g(x) dx`. 上式两边取上确界得 `int_E f(x) dx le int_E g(x) dx`.
  1. 控制函数 若存在可积函数 `F` 满足 `|f| le F`, 则 `f` 也可积;
  2. 有限测度定义域上的有界函数可积 只需把控制函数取为 `|f|` 的上界即可;
    积分的线性性
  1. `int_E c f(x) dx = c int_E f(x) dx`;
  2. `int_E (f(x) + g(x)) dx = int_E f(x) dx + int_E g(x) dx`.
  1. 先设 `f, g` 是非负可测简单函数. 此时 1. 式直接由定义成立; 为证明 2. 式, 注意到 `f(x) + g(x)` 也是一个非负可测简单函数, 它在 `A_i nn B_j` 上的取值为 `a_i + b_i`. 于是 `int_E (f(x) + g(x)) dx` `= sum_i sum_j (a_i + b_j) m(E nn A_i nn B_j)` `= sum_i a_i sum_j m(E nn A_i nn B_j) + sum_j b_j sum_i m(E nn A_i nn B_j)` `= sum_i a_i m(E nn A_i) + sum_j b_j m(E nn B_j)` `= int_E f(x) dx + int_E g(x) dx`.

递增集列上的积分 若 `{E_k}` 是 `RR^n` 中的递增可测集合列, `f` 是 `RR^n` 上的非负可测简单函数, 则 `int_(lim_(k to oo) E_k) f(x) dx = lim_(k to oo) int_(E_k) f(x) dx`.

记 `E = lim_(k to oo) E_k`. 设 `f(x)` 在 `A_i` 上取值为 `c_i`, `i = 1, 2, cdots, p`, 则 `lim_(k to oo) int_(E_k) f(x) dx` `= lim_(k to oo) sum_(i=1)^p c_i m(A_i nn E_k)` `= sum_(i=1)^p c_i m(A_i nn E)` `= int_E f(x) dx`.