单利与复利 单利是指本金不变, 简单地按比例计算每年产生的利息. 复利则把每年的利息加入到本金中, 使本金以滚雪球的气势增加. 例如, 设初始本金 `x` 元, 年利率为 `r`, 以单利和复利计算, `n` 年后的总资产分别为 单利: `x * (1 + n r)`,
复利: `x * (1 + r)^n`. Bernoulli 不等式告诉我们, 当 `r ge -1` 时, `(1 + r)^n ge 1 + n r`, 因而复利的回报比单利更丰厚.

    收益与亏损 [群友@Rei] 考虑更一般的情形, 每年的收益率是浮动而不是固定不变的. 我们导出推广的 Bernoulli 不等式:
    设 `r_1, cdots, r_n` 均 `ge -1` 且同号, 则成立 `prod_(i=1)^n (1 + r_i) ge 1 + sum_(i=1)^n r_i`. 注意上式成立的前提是各 `r_i` 同号, 即上式只适用于连盈或连亏的情形.
    [群友@火雨] 几个例子:
  1. 先亏 10%, 再亏 10%, 还有 81%, 比直接亏 20% 更划算;
  2. 先赚 10%, 再赚 10%, 赚了 21%, 比直接赚 20% 更划算;
  3. 先亏 10%, 再赚 10%, 只剩 99%, 相当于亏了 1%;
  4. 先赚 10%, 再亏 10%, 由于乘法交换律, 结果也是亏了 1%.

年化收益率 假设余额宝中有 `x` 元, 当天收益 `y` 元, 容易算出日利率 `r = y//x`.
年化收益率是将余额宝一年的收益等价换算为银行一年期存款, 应当以复利计算, 即 `(1 + r)^365 - 1`. 例如, 日利率为 `r = 0.005%` (十万分之五) 时, 年化收益率为 `(1 + r)^365 - 1 ~~ 1.84%`.

何时本金翻倍 设一款产品的收益率为 `a%`, 则大约 `72//a` 年后本金翻倍.

准确地说, 是 `y = ln 2//ln(1+a%)` 年后本金翻倍. 使用 Padé 近似 `ln(1+x) ~~ 2x//(2+x)` 以及 `ln 2 ~~ 0.693`, 得到 `y ~~ 0.693 * (2 + a%)/(2a%)` `= 0.693 * (100+a//2)//a` 当取 `a ~~ 4` 时, `y ~~ 72//a`.

    利率不等式 假设银行一年期利率是 `r_1`, 两年期利率是 `r_2`, 本金是 1 万元.
  1. 如果直接存两年期, 到期后有 `1 + 2r_2` 万元.
  2. 如果先存一年期, 到期后假设利率不变, 将本息同时转存一年, 两年后有 `(1+r_1)^2 = 1+(2+r_1)r_1` 万元.
    3. 根据经验, 方案 2 的收益应低于方案 1, 即 `(2+r_1)r_1//2 lt r_2`. 这个不等式告诉我们, 两个一年期的复利应低于两年期单利.
    用实际数字验证: 假设一年期利率是 `r_1 = 1.95%`, 那么两年期利率应大于 `(2+r_1)r_1//2 ~~ 1.969%`. 现实生活中, 当一年期利率是 1.95% 时, 两年期利率会比 1.969% 这个结果大很多, 一般在 2% 以上.

内部收益率 IRR (Internal Rate of Return) 假设一个投资计划从第 0 年开始, 第 `n` 年结束, 其中第 `k` 年的收益或支出是 `P_k` 元. 我们约定收益的符号为正 (`P_k gt 0`), 支出的符号为负 (`P_k lt 0`). 这个 `P_k` 就称为第 `k` 年的现金流. 现在已知每年的现金流, 则 IRR 定义为一个实数, 满足下面方程: `sum_(k=0)^n P_k/(1+"IRR")^k = 0`. 假设第 0 年投入本金 1 万元, 第 `n` 年收回本金及收益共 `p` 万元, 中间每年既没有支出也没有收入. 于是 `P_0 = -1`, `P_n = p`, 列出方程 `p/(1+"IRR")^n = 1`, 即 `p = (1+"IRR")^n`. 在本题的简单条件下, IRR 的作用相当于复利. 至于更复杂的情形, 可以用 Excel 的 IRR 函数完成计算.

个税计算 简单来说, 每年应纳税额 `y` 是这一年的应纳税所得额 `x` 的分段函数 (基于 2025 年税率): `y = { 3% xx x, if x le 3.6 "万"; 10% xx x - 2520, if 3.6 "万" lt x le 14.4 "万"; 20% xx x - 16920, if 14.4 "万" lt x le 30 "万"; 25% xx x - 31920, if 30 "万" lt x le 42 "万"; 30% xx x - 52920, if 42 "万" lt x le 66 "万"; 35% xx x - 85920, if 66 "万" lt x le 96 "万"; 45% xx x - 181920, if x gt 96 "万" :}` 其中应纳税所得额是由年收入进行各种扣除后得到的: `x = max(0, "税前年收入" - "五险一金个人缴纳部分" - "专项附加扣除" - "当年在职月数" xx 5000)`. 注意上式的系数 5000, 这意味着月收入在 5000 元以下是免税的, 这称为个税起征点.
等价地, 可以将数据换算为月薪. 平均每月的税额是下表每行之和:
月薪范围 税率
[0, 5k] 0%
(5k, 8k] 3%
(8k, 17k] 10%
(17k, 30k] 20%
后面懒得算了 留给工资有这么高的人来算
    医保知识
  1. 医保卡等于社保卡，全称社会保障卡。
  2. 医保卡中的资金，由医保基金统一管理，不能直接充值。
  3. 医保分为两种：企业职工医保和城乡居民医保。
  4. 门诊预交金：看病前在医院预先缴纳的一笔钱。随着医保体系完善，2025 年起不再收取预交金，同年全部退还余额。