年化收益率
假设余额宝中有 `x` 元, 当天收益 `y` 元, 容易算出日利率 `r = y//x`.
年化收益率是将余额宝一年的收益等价换算为银行一年期存款, 应当以复利计算, 即
`(1 + r)^365 - 1`.
例如, 日利率为 `r = 0.005%` (十万分之五) 时, 年化收益率为
`(1 + r)^365 - 1 ~~ 1.84%`.
何时本金翻倍
设一款产品的收益率为 `a%`, 则大约 `72//a` 年后本金翻倍.
准确地说, 是 `y = ln 2//ln(1+a%)` 年后本金翻倍.
使用 Padé 近似 `ln(1+x) ~~ 2x//(2+x)` 以及 `ln 2 ~~ 0.693`, 得到
`y ~~ 0.693 * (2 + a%)/(2a%)`
`= 0.693 * (100+a//2)//a`
当取 `a ~~ 4` 时, `y ~~ 72//a`.
利率不等式
假设银行一年期利率是 `r_1`, 两年期利率是 `r_2`, 本金是 1 万元.
- 如果直接存两年期, 到期后有 `1 + 2r_2` 万元.
- 如果先存一年期, 到期后假设利率不变, 将本息同时转存一年, 两年后有 `(1+r_1)^2 = 1+(2+r_1)r_1` 万元.
根据经验, 方案 2 的收益应低于方案 1, 即
`(2+r_1)r_1//2 lt r_2`.
这个不等式告诉我们, 两个一年期的复利应低于两年期单利.
用实际数字验证: 假设一年期利率是 `r_1 = 1.95%`, 那么两年期利率应大于 `(2+r_1)r_1//2 ~~ 1.969%`.
现实生活中, 当一年期利率是 1.95% 时, 两年期利率会比 1.969% 这个结果大很多, 一般在 2% 以上.
内部收益率 IRR (Internal Rate of Return)
假设一个投资计划从第 0 年开始, 第 `n` 年结束, 其中第 `k` 年的收益或支出是 `P_k` 元.
我们约定收益的符号为正 (`P_k gt 0`),
支出的符号为负 (`P_k lt 0`). 这个 `P_k` 就称为第 `k` 年的现金流.
现在已知每年的现金流, 则 IRR 定义为一个实数, 满足下面方程:
`sum_(k=0)^n P_k/(1+"IRR")^k = 0`.
假设第 0 年投入本金 1 万元, 第 `n` 年收回本金及收益共 `p` 万元,
中间每年既没有支出也没有收入.
于是 `P_0 = -1`, `P_n = p`, 列出方程
`p/(1+"IRR")^n = 1`,
即 `p = (1+"IRR")^n`. 在本题的简单条件下, IRR 的作用相当于复利.
至于更复杂的情形, 可以用 Excel 的 IRR 函数完成计算.
个税计算
简单来说, 每年应纳税额 `y` 是这一年的应纳税所得额 `x` 的分段函数 (基于 2025 年税率):
`y = {
3% xx x, if x le 3.6 "万";
10% xx x - 2520, if 3.6 "万" lt x le 14.4 "万";
20% xx x - 16920, if 14.4 "万" lt x le 30 "万";
25% xx x - 31920, if 30 "万" lt x le 42 "万";
30% xx x - 52920, if 42 "万" lt x le 66 "万";
35% xx x - 85920, if 66 "万" lt x le 96 "万";
45% xx x - 181920, if x gt 96 "万"
:}`
其中应纳税所得额是由年收入进行各种扣除后得到的:
`x = max(0, "税前年收入" - "五险一金个人缴纳部分" - "专项附加扣除" - "当年在职月数" xx 5000)`.
注意上式的系数 5000, 这意味着月收入在 5000 元以下是免税的, 这称为个税起征点.
医保知识
- 医保卡等于社保卡，全称社会保障卡。
- 医保卡中的资金，由医保基金统一管理，不能直接充值。
- 医保分为两种：企业职工医保和城乡居民医保。
- 门诊预交金：看病前在医院预先缴纳的一笔钱。随着医保体系完善，2025 年起不再收取预交金。