[周民强《实变函数论》, 李文威《代数学方法》]

等势

我们知道, 有限集的元素个数可以用一个非负整数 `n` 表示, 基数就是对 "有限集的元素个数" 这个概念的扩充.

  1. 设 `X, Y sube Omega`. 如果存在 `X` 到 `Y` 的双射, 就称集合 `X` 与 `Y` 等势. 可以验证, 等势构成 `2^Omega` 上的等价关系. 用记号 `|X|` 或者 `"card" X` 表示等势的等价类.
  2. 若 `X` 与 `Y` 的一个子集等势, 换言之存在 `X` 到 `Y` 的单射, 则称 `|X| le |Y|`; 若 `|X| le |Y|` 且 `|X| != |Y|`, 则称 `|X| lt |Y|`. 关系 `le` 满足传递性. 下文将证明 `le` 的反对称性, 从而它构成偏序.

无限旅馆 `NN` 与 `NN uu {x}` 等势.

若 `x in NN` 则结论显然, 否则令 `f(y) := { y + 1, if y in NN; y, if y = x; :}` 则 `f` 是 `NN uu {x}` 到 `NN` 的双射.

用形象的语言, `NN` 是一座有着无限房间的旅馆, 每个房间都住了人. `x` 是一个新来的客人, 为了给它腾出房间, 我们让 `n` 号房间的客人搬到 `n+1` 号住, 从而把 0 号房间空出来.

Banach 映射分解定理* 若 `f: X to Y`, `g: Y to X`, 则存在 `A sube X`, `B sube Y`, 使得 `f(A) = B`, `quad g(overset ~ B) = overset ~ A`, 其中 `overset ~ A = X\\A`, `overset ~ B = Y\\B`.

  1. 对任意 `E sube X`, 记 `F = f(E)`, `quad Y\\F = overset ~ F`, `quad g(overset ~ F) = overset ~ E`. 若 `E nn overset ~ E = O/`, 则称 `E` 为 `X` 中的分离集. 显然, `O/` 就是 `X` 中一分离集.
  2. 令 `A` 为 `X` 中全体分离集的并, 下证 `A` 是分离集. 对 `X` 中任意分离集 `E`, 有 `E sube A`, 从而 `F := f(E) sube B := f(A)`,
    `quad overset ~ F := Y\\F supe overset ~ B := Y\\B`,
    `quad overset ~ E := g(overset ~ F) supe overset ~ A := g(overset ~ B)`.     由 `E nn overset ~ E = O/` 知 `E nn overset ~ A = O/`, 再由 `E` 的任意性得 `A nn overset ~ A = O/`.
  3. 下证 `A uu overset ~ A = X`. 如若不然, 则存在 `x in X`, `x !in A uu overset ~ A`. 记 `E = A uu {x}`, 则 `E nn overset ~ A = O/`. 于是 `B = f(A) sube F := f(E)`,
    `overset ~ B = Y\\B supe overset ~ F := Y\\F`,
    `overset ~ A = g(overset ~ B) supe overset ~ E := g(overset ~ F)`.     联系 `A nn overset ~ A = O/` 有 `E nn overset ~ E = O/`, 与 `A` 是 `X` 中最大的分离集矛盾.

Cantor-Bernstein 定理 若 `|X| le |Y|`, `|Y| le |X|`, 则 `|X| = |Y|`. 因此, "`le`" 构成一偏序关系.

(Banach) 由已知存在单射 `f: X to Y` 和单射 `g: Y to X`. 由映射分解定理, 存在 `A sube X`, `B sube Y` 使得 `f(A) = B`, `g(Y\\B) = X\\A`. 从而下面的映射是 `X` 到 `Y` 的双射: `F(x) = { f(x), if x in A; g^-1(x), if x in X\\A; :}`

考虑单射 `f: X to Y` 和 `g: Y to X`. 显然 `|g(Y)| = |Y|`, 因此只需证 `|X| = |g(Y)|`. 下设 `Y sube X`, 且 `g` 是包含映射 `y mapsto y`. 令 `X_0 := X`, `Y_0 := Y`, 递归定义 `X_(n+1) := f(X_n)`, `quad Y_(n+1) := f(Y_n)`. 由于 `Y_0 sube X_0`, 我们有 `f(Y_0) sube f(X_0)`, 进而对一切 `n` 有 `Y_n sube X_n`. 另一方面 `f(X_0) sube Y_0`, 进而对一切 `n` 有 `X_(n+1) sube Y_n`. 于是得到一列嵌套的子集 `X_0 supe Y_0 supe cdots supe X_n supe Y_n supe X_(n+1) supe cdots`. 定义映射 `varphi(x) := { f(x), if EE n ge 0, x in X_n - Y_n; x, otherwise :}` 则 `varphi` 是 `X` 到 `Y` 的双射.

若 `A sube B sube C` 且 `|A| = |C|`, 则 `|A| = |B| = |C|`.

可数集

基数的定义

基数的定义 一个序数 `kappa` 称为基数, 如果它满足 `lambda lt kappa rArr |lambda| lt |kappa|`. 换言之, 基数是一个等势类中的最小序数, 是等势类中的代表元.

记号 `|X|` 有双重含义: 一是指等势类, 二是指基数. 如果读者尚未掌握序数的概念, 也可以把基数理解为等势类本身. 利用良序定理, 对任意集合 `X`, 可取最小序数 `theta` 使 `|X| = theta`, 从而等势类和基数是一一对应的. 由于全体序数构成一个良序, 所以全体基数也构成良序: 对任意集合 `|X|, |Y|` 必有 `|X| le |Y|` 或 `|Y| le |X|`.

无穷序数的后继不是基数, 换言之: 无穷基数必为极限序数.

设 `kappa` 是无穷序数. 由 `kappa + 1 := kappa uu {kappa}` 知道 `|kappa| = |kappa + 1|`, 因此 `kappa + 1` 不是基数.

有限集与可数集

称一个集合 `X` 为有限集, 如果存在自然数 `n`, 使得 `X` 与 `n := {0, 1, 2, cdots, n-1}` 等势, 此时记 `|X| = n`. 否则称它为无限集. 有限集也记为 `|X| lt oo`, 无限集记为 `|X| ≮ oo`.

阿列夫·零 (aleph_0) 记 `aleph_0 := |NN| = omega`. 称 `A` 为可列集, 如果 `A ~ NN`, 亦即 `|A| = aleph_0`. 可列集与有限集合称可数集. 如果 `|A| gt aleph_0`, 则称 `A` 为不可数集.

  1. 无限集中必含一个可列子集, 从而 `aleph_0` 是最小的无限基数: `|E| ≮ oo rArr |E| ge aleph_0`.
  2. 无限集并上一可数集后, 基数不变.
  3. 一集合为无限集当且仅当它与自身的某个真子集等势.
    对角线法
  1. 设 `|X| = aleph_0`, 则 `|X xx X| = aleph_0`.
  2. 设 `|X_n| = aleph_0`, `n = 0, 1, 2, cdots`, 则 `uuu_(n ge 0) X_n = aleph_0`.
  1. 使用对角线法: 注意每个 `Y_n = {(x_i, x_j) in X xx X: i + j = n}` 为有限集, 而 `X xx X = uuu_(n ge 0) Y_n`, 显然后者为可列集.
  2. 只需证 `|X| le |uuu_(n ge 0) X_n| le |X xx X|`, 然后由 Cantor-Bernstein 定理即得结论. 第一个不等号是显然的, 为证第二个不等号, 由于每个 `X_n` 是可列集, 故存在双射 `f_n: X_n to NN`, 利用选择公理将这些存在的双射固定下来, 于是存在 `uuu_(n ge 0) X_n` 到 `NN xx NN` 的单射: `x mapsto (f_n(x), n)`, `quad n` 是使得 `x in X_n` 的最小自然数.
  1. `ZZ` 是可列集;
  2. `QQ = uuu_(k=1)^oo {n/k: n in ZZ}` 是可列集;
  3. `NN xx NN = uuu_(m in NN) {(m, n): n in NN}` 是可列集;
  4. `NN^n` 是可列集 (对 `n` 归纳).

连续基数

  1. 构造双射 `f: (-1, 1) to RR`, 其中 `f(x) = x/(1-x^2)` (也可以是 `("e"^x-"e"^-x)/("e"^x + "e"^-x)`).
  2. 构造双射 `f: [-1, 1] to (1, -1)` 如下 `f(x) = { 1/(n+1), if x = 1/n; -1/(n+1), if x = -1/n; x, if "else"; :}` 这一做法可以推广到高维的单位球上.
    3. 结合以上两例可知, 任何 `RR` 上的区间 (开, 闭, 半开闭) 都与 `RR` 等势.

`RR` 是不可数集.

只需证明闭区间 `[a, d]` 是不可数集. 反设 `[a, d] = {r_n}` 可数, 将 `[a, d]` 分成三等份 `[a = a_0, b_0]`, `[b_0, c_0]`, `[c_0, d_0 = d]`, 至少有一区间不含 `r_1`, 记这个区间为 `[a_1, d_1]`, 并将它继续三等分, 把其中不含 `r_2` 的区间记为 `[a_2, d_2]`. 重复以上步骤, 得到长度趋于零的闭区间套 `[a_0, d_0] supe [a_1, d_1] supe [a_2, d_2] supe cdots`. 满足 `{r_n} nn uuu_(n=1)^oo [a_n, d_n] = O/`. 与闭区间套定理矛盾.

  1. 采用二进制小数, 则 `(0, 1]` 中的任意实数 `x` 可以表示为 `x = sum_(n=1)^oo a_n 2^-n`, 其中 `a_n in {0, 1}`, 且上式中 `a_n = 1` 的项有无穷多项 (即, 上式不是有限小数. 注意, 任意有限小数都可以写为无限小数, 如 1.0 = 0.111111...). 由闭区间套定理可证, `(0, 1]` 中的实数与其二进制小数表示之间存在双射.
  2. 记 `{a_n}` 为 `x` 的二进制小数表示. 记 `k_1` 是数列 `{a_n}` 中第一个数字 1 的下标, `k_i` 表示数列 `a_n` 中第 `i` 个数字 1 与第 `i-1` 个数字 1 的下标之差, `i = 2, 3, cdots`, 则 `{k_i}` 是正整数列 (每一项都是正整数的数列). 这就建立了 `{a_n}` 到全体正整数列之间的双射.
  3. 下证全体正整数列不可数. 反设全体正整数列可以列出如下: `k_(11), k_(12), cdots, k_(1i), cdots`
    `k_(21), k_(22), cdots, k_(2i), cdots`
    `cdots`
    `k_(i1), k_(i2), cdots, k_(ii), cdots`
    `cdots`     但数列 `k_(11)+1, k_(22)+1, cdots, k_(i i)+1` 没有被列出, 这是因为对 `AA i in NN`, 它都与第 `i` 行不同. 所以全体正整数列不可数.

称 `RR` 的基数为连续基数, 记为 `2^(aleph_0)`. 由上讨论, `RR` 和 `RR` 中任意长度大于 0 的区间、`[0, 1]` 上全体二进制小数、全体正整数列都是等势的.

  1. 设 `|X| = 2^(aleph_0)`, 则 `|X xx X| = 2^(aleph_0)`.
  2. 设 `|X_n| = 2^(aleph_0)`, `n = 0, 1, 2, cdots`, 则 `|uuu_(n ge 0) X_n| = 2^(aleph_0)`.
和可列集的情形相同, 只需证 `|X| = |X xx X|`: `|X xx X|` `= |P(QQ nn [0, 1)) xx P(QQ nn [1, 2))|` `= |P(QQ nn [0, 2))|` `= |X|`. 中间的等号成立是因为, 设 `A nn B = O/`, `A_1 sube A`, `B_1 sube B`, 则 `f: P(A) xx P(B) to P(A uu B)`
`f(A_1, B_1) mapsto A_1 uu B_1` 是一个双射.
事实上, 对任意无穷集都有 `|X| = |uuu_(n ge 0) X_n| = |X xx X|`, 参看下节 "基数的性质".
    Cantor 集 记 `F_0 = [0, 1]`. 将其三等分, 移去中间部分的开区间 `(1//3, 2//3)`, 剩下的部分记为 `F_1 = [0, 1//3] uu [2//3, 1]`. 一般地, 将 `F_n` 中每个互不相交的闭区间三等分, 并移去中间部分的开区间, 剩下的部分记为 `F_(n+1)`. 定义 Cantor 集为 `C = nnn_(n=1)^oo F_n`. Cantor 集的若干性质:
  1. 拓扑性质: `C` 是非空有界闭集, `C` 没有内点, `C` 是完全集 (即 `C' = C`);
  2. `C` 中每个数可以用三进制小数唯一表示: `x = sum_(n ge 1) a_n 3^-n`, `quad a_n = 0 or 2`. 因此 `C` 的基数是 `2^(aleph_0)`.

基数的性质

如何得到更大的基数

无最大基数定理 (Cantor) 对任意集合 `X` 有 `|X| lt |2^X|`. 但任一集合都存在幂集, 于是无最大基数.

易知 `X ~ {{x}: x in X} sube 2^X`, 所以 `|X| le |2^X|`. 下证 `X` 与其幂集不等势. 假设存在双射 (从而是满射) `f: X to 2^X`, 令 `Y = {x in X: x !in f(x)} in 2^X`, 由 `f` 是满射, 存在 `y in X`, 使 `f(y) = Y`. 然而类似罗素悖论, 不论 `y in Y` 还是 `y !in Y` 均引出矛盾.

若 `S` 是一个由基数构成的集合, 则 `"sup"S := uuu S` 也是基数.

记 `alpha = "sup"S`. 假定存在序数 `beta lt alpha` 使得 `|beta| = |alpha|`, 由上确界性质, 必存在 `kappa in S` 满足 `beta lt kappa lt alpha`, 于是 `|beta| le |kappa| le |alpha|`. 但 `|beta| = |alpha|`, 于是 `|beta| = |kappa|`, 这与 `kappa` 是基数矛盾.

在序数中, 我们得到更大序数的方法有两种: (1) 对序数 `alpha` 取后继 `alpha^+`; (2) 对序数的集合 `S` 取上确界 `"sup"S`. 在基数中, 同样有两种方法来得到更大的基数: (1) 对基数 `kappa` 取幂 `2^kappa`; (2) 对基数的集合 `S` 取上确界 `"sup"S`.

    aleph 数 使用超穷递归, 定义全体无穷基数如下:
  1. `aleph_0 := omega`, 这是最小的无穷基数;
  2. `aleph_(alpha+1) :=` 大于 `aleph_alpha` 的最小基数;
  3. 若 `alpha` 是极限序数, `aleph_alpha := underset (beta lt alpha) "sup" aleph_beta`.
    4. 基数全体构成一个真类.

由上定义, `aleph_0` 是最小的无穷基数, `aleph_1` 是最小的不可数基数. 我们知道 `2^(aleph_0) gt aleph_0`, 那么 `2^(aleph_0) = aleph_1` 吗? 这个命题被称为连续统假设 (CH). 现已证明连续统假设与 ZFC 公理系统的独立性: 它无法用 ZFC 公理来证明或证伪.

beth 数 定义 `ℶ_0 := omega`, `ℶ_(n+1) := 2^(ℶ_n)`. 在连续统假设下, aleph 数与 beth 数等价.

基数的运算

    基数的运算
  1. `|X| + |Y| := |X ⊔ Y|` (无交并);
  2. `|X| * |Y| := |X xx Y|`;
  3. `|X|^|Y| := |X^Y|`.
    4. 当 `|X|, |Y|` 均有限时, 基数的运算与自然数相同.

`|A^(B xx C)| = |(A^B){::}^C|`.

这是因为, 给定一个 `f: B xx C to A`, 可以唯一确定一个函数 `g: C to (B to A)`, 满足 `f(b, c) = g(c)(b)`, 反之亦然. 因此 `A^(B xx C)` 与 `(A^B){::}^C` 之间存在双射.

若 `lambda` 是无穷基数, 则 `lambda = lambda * lambda`, 即 `|X| = |X xx X|`.

此证明是对角线法的一个推广. 我们给出 `bb(On) xx bb(On)` 的一个良序 `-<`: 设 `alpha, beta, alpha', beta'` 是序数, 如下图, 对任意序数 `alpha`, `alpha xx alpha` 都是 `bb(On) xx bb(On)` 的一个前段, 从而 `(alpha xx alpha, -<)` 是良序集.
反设 `alpha` 是使得 `aleph_alpha * aleph_alpha != aleph_alpha` 的最小序数. 由于我们已证明 `aleph_0 * aleph_0 = aleph_0`, 所以 `alpha gt 0`. 设良序集 `aleph_alpha xx aleph_alpha` 的序型为 `gamma`, 即存在保序同构 `f: gamma to aleph_alpha xx aleph_alpha`. 由基数定义, `gamma ge |gamma|` `= |aleph_alpha xx aleph_alpha|` `= aleph_alpha * aleph_alpha` `gt aleph_alpha`. 由序数的性质, `aleph_alpha subne gamma`. 根据 `-<` 的定义, 存在无穷序数 `sigma lt aleph_alpha`, 使 `aleph_alpha` 的像 `f(aleph_alpha) sube sigma xx sigma`. (为什么存在??) 现在考虑 `sigma` 的基数 `aleph_beta := |sigma|` `le sigma` `lt aleph_alpha`. 由假设有 `aleph_beta * aleph_beta = aleph_beta`, 于是 `aleph_alpha` `= |f(aleph_alpha)|` `le |sigma xx sigma|` `= aleph_beta * aleph_beta` `= aleph_beta`, 矛盾.
    设 `kappa`, `lambda` 是非零基数,
  1. 若 `kappa`, `lambda` 至少一个是无穷基数, 则 `kappa + lambda = kappa * lambda = max{lambda, kappa}`.
  2. 若 `lambda` 是无穷基数, `2 le kappa le lambda`, 则 `kappa^lambda = 2^lambda`. 形象地说, 任意 `n` 进制小数等价于二进制小数.
  1. 不妨设 `lambda` 无穷且 `0 lt kappa le lambda`. 由基数运算的定义, `lambda le kappa + lambda le kappa * lambda le lambda * lambda`. 但 `lambda = lambda * lambda`, 因此由 Cantor-Bernstein 定理知道上式取得等号.
  2. 这是因为 `2^lambda le kappa^lambda` `le (2^lambda)^lambda` `= 2^lambda`.

注意涉及到无穷时, 基数与序数的运算是很不相同的. 例如对于序数有 `2^omega = omega`, 但 Cantor 定理告诉我们, `2^(aleph_0) gt aleph_0`. 基数还有一个 "奇怪" 性质是: `beta lt alpha rArr beta^lambda le alpha^lambda`. 上述的等号是可能成立的. 例如 `beta = 2`, `alpha = 2^(aleph_0)`, `lambda = aleph_0`. 我们有 `alpha^lambda = (2^(aleph_0)){::}^(aleph_0)` `= 2^(aleph_0 xx aleph_0)` `= 2^(aleph_0)`.

强不可达基数*

我们已经提到, 得到更大基数的方法无非两种: (1) 对基数 `kappa` 取幂 `2^kappa`; (2) 对基数 (或序数) 的集合 `S` 取上确界 `"sup"S`. 那么是否存在这样的基数, 不能通过上述两种方法构造得到呢? 这引出强不可达基数的问题.

    称基数 `alpha` 称为正则基数, 如果
  1. `alpha` 是无穷基数, 即 `alpha ge aleph_0`;
  2. 不存在极限序数 `beta lt alpha` 和严格增的序数列 `S := {a_xi: xi lt beta}` 使得 `alpha = "sup"S`.
    3. 直观来看, 正则基数不能由比它小的基数通过取上确界得到.

设 `gamma` 是任意序数, 形如 `aleph_(gamma+omega)` 的基数均不是正则基数.

事实上取 `S := {aleph_xi: xi lt gamma + omega}`, 则 `"sup"S = "sup"{aleph_(gamma+n): n lt omega} = aleph_(gamma+omega)`. 又显然 `gamma + omega lt aleph_(gamma+omega)`, 且为一极限序数.

    称基数 `kappa` 为强不可达基数, 如果
  1. `kappa` 不可数, 即 `kappa gt aleph_0`;
  2. `kappa` 是正则基数;
  3. 对任意基数 `lambda lt kappa` 有 `2^lambda lt kappa`.
    4. 因此, 强不可达基数即不能通过取幂得到, 也不能通过上确界得到.

已知 ZFC 中无法证明强不可达基数的存在性. 还有许多基数的存在性与 ZFC 相独立, 此事在【大基数理论】中亦有记载. 前面的路, 以后再来探索吧!

Grothendieck 宇宙*

宇宙的定义

粗略来看, 宇宙无非是一个足够大的集合, 在其中可以满足我们进行一切所需的操作, 从而避免在 ZFC 中对真类进行讨论. 且看 "上帝" 是如何创造宇宙的:

    Grothendieck 宇宙 定义为一个集合 `cc U`, 满足:
  1. `O/ in cc U`.
  2. `cc U` 是传递集, 即 `u in cc U rArr u sube cc U`.
  3. `cc U` 中的集合可以配对, 即 `u, v in cc U rArr {u, v} in cc U`.
  4. `cc U` 中的集合可以取幂集, 即 `u in cc U rArr P(u) in cc U`.
  5. `cc U` 中的集合可以取并集, 即 `I in cc U`, `AA i, u_i in cc U` `rArr uuu_(i in I) u_i in cc U`.
    6. 称宇宙中的集合 `X in cc U` 为 `cc U`-集. 若集合 `Y` 与某个 `X in cc U` 等势, 称 `Y` 是 `cc U`-小集.

我们把 `cc U`-小集比喻成来自 "平行宇宙" 的集合.

    设 `cc U` 是宇宙, 则:
  1. `NN in cc U`;
  2. `u sube v in cc U rArr u in cc U`;
  3. `u in cc U rArr uuu u = uuu_(x in u) x in cc U`;
  4. `u, v in cc U rArr u xx v in cc U`;
  5. `I in cc U`, `AA i, u_i in cc U` `rArr prod_(i in I) u_i in cc U`.
  1. 由于 `cc U` 是传递集, 以及配对、并集操作的可行性, 立即推出 `NN in cc U`.
  2. 由 `cc U` 是传递集知道 `u sube v sube cc U`, 于是对任意 `x in u` 也有 `x in cc U`. 由配对性质知道 `{x} = {x, x} in cc U`. 于是由并集性质 `u = uuu_(x in u) {x} in cc U`.
  3. `u` 自身也可以作为取并集的指标集. 注意到 `x in u in cc U` `rArr x in cc U` 即可.
  4. 回顾 Descartes 积的定义, 它只涉及并集、幂集、配对和子集公理模式.
  5. 无穷 Descartes 积比 Descartes 积多要求了选择公理, 其它是一样的.

宇宙的概念在解决 ZFC 中棘手的真类问题的同时, 又引入了另外的问题: 满足上述定义的宇宙是否存在? 它是否已经包含了我们感兴趣的全部集合? 为此引入下面这个力大砖飞的假设:

(A. Grothendieck) 对任何集合 `X`, 存在宇宙 `cc U` 使得 `X in cc U`.

集合的层垒谱系

    集合的层垒谱系 对每个序数 `alpha`, 以超穷递归定义集合 `V_alpha` 如下:
  1. `V_0 = O/`;
  2. `V_(alpha+1) := P(V_alpha)`;
  3. `V_alpha := uuu_(beta lt alpha) V_beta`, 若 `alpha` 为极限序数.
  1. `V_1 = {0} = 1`, `V_2 = {0, 1} = 2`, `V_3 = {0, 1, {1}, 2}`, ...
  2. `V_omega` 是所有 `V_n` 之并, `n in omega`; 它的元素称为遗传有限集, 这些集合皆有限, 因此 `omega !in V_omega`.
    关于层垒谱系, 可以证明:
  1. 每个 `V_alpha` 都是传递集, 且 `alpha sube V_alpha`;
  2. `alpha lt beta rArr V_alpha sube V_beta`;
  3. 任意集合 `X` 都属于某个 `V_alpha`.
    4. 如此这些集合 `V_alpha` 便囊括了所有集合! 这启发我们在 `V_alpha` 中寻找可能的宇宙.
    ??

Bourbaki 学派已证明, 宇宙正是形如 `V_kappa` 的集合, 其中 `kappa` 为强不可达基数. 因此 Grothendieck 假设等价于对任意基数 `lambda`, 存在强不可达基数 `kappa gt lambda`. 对于大多数范畴论构造和数学论证, 我们只要求存在一个宇宙即可, 即存在一个强不可达基数. 这称为强不可达基数假设.