基数的定义

我们知道, 有限集的元素个数可以用一个非负整数 `n` 表示, 基数或势就是对 "有限集的元素个数" 这个概念的扩充. 用 `|X|` 表示集合 `X` 的基数.

  1. 设 `A, B sube X`. 如果存在 `A` 到 `B` 的双射, 就称集合 `A` 与 `B` 等势 (或对等), 记为 `A~B`. 可以验证, 等势构成 `2^X` 上的等价关系.
  2. 若 `X` 与 `Y` 等势, 则称 `|X| = |Y|`, 否则 `|X| != |Y|`; 若 `X` 与 `Y` 的一个子集等势, 则称 `|X| le |Y|`; 若 `|X| le |Y|` 且 `|X| != |Y|`, 则称 `|X| lt |Y|`.
  3. 称一个集合 `X` 为有限集, 如果存在非负整数 `n`, 使得 `X ~ {1, 2, cdots, n}` (`n = 0` 时表示空集), 这时定义 `X` 的基数为它所含的元素个数: `|X| = n`. 如果一个集合不是有限集, 则称它为无限集. 有限集也记为 `|X| lt oo`, 无限集记为 `|X| ≮ oo`.

Banach 映射分解定理 若 `f: X to Y`, `g: Y to X`, 则存在 `A sube X`, `B sube Y`, 使得 `f(A) = B`, `quad g(overset ~ B) = overset ~ A`, 其中 `overset ~ A = X\\A`, `overset ~ B = Y\\B`.

  1. 对任意 `E sube X`, 记 `F = f(E)`, `quad Y\\F = overset ~ F`, `quad g(overset ~ F) = overset ~ E`. 若 `E nn overset ~ E = O/`, 则称 `E` 为 `X` 中的分离集. 显然, `O/` 就是 `X` 中一分离集.
  2. 令 `A` 为 `X` 中全体分离集的并, 下证 `A` 是分离集. 对 `X` 中任意分离集 `E`, 有 `E sube A`, 从而 `F := f(E) sube B := f(A)`,
    `quad overset ~ F := Y\\F supe overset ~ B := Y\\B`,
    `quad overset ~ E := g(overset ~ F) supe overset ~ A := g(overset ~ B)`.     由 `E nn overset ~ E = O/` 知 `E nn overset ~ A = O/`, 再由 `E` 的任意性得 `A nn overset ~ A = O/`.
  3. 下证 `A uu overset ~ A = X`. 如若不然, 则存在 `x in X`, `x !in A uu overset ~ A`. 记 `E = A uu {x}`, 则 `E nn overset ~ A = O/`. 于是 `B = f(A) sube F := f(E)`,
    `overset ~ B = Y\\B supe overset ~ F := Y\\F`,
    `overset ~ A = g(overset ~ B) supe overset ~ E := g(overset ~ F)`.     联系 `A nn overset ~ A = O/` 有 `E nn overset ~ E = O/`, 与 `A` 是 `X` 中最大的分离集矛盾.

Cantor-Bernstein 定理 若 `|X| le |Y|`, `|Y| le |X|`, 则 `|X| = |Y|`. 因此, "`le`" 构成一偏序关系.

(Banach) 由已知存在单射 `f: X to Y` 和单射 `g: Y to X`. 由映射分解定理, 存在 `A sube X`, `B sube Y` 使得 `f(A) = B`, `g(Y\\B) = X\\A`. 从而下面的映射是 `X` 到 `Y` 的双射: `F(x) = { f(x), if x in A; g^-1(x), if x in X\\A; :}`

若 `A sube B sube C` 且 `A ~ C`, 则 `A ~ B ~ C`.

显然 `|A| le |B| le |C|`, 而 `|A| = |C|`, 所以 `|A| = |B| = |C|`.

可列集, 可数集

记 `|NN| = aleph_0` (阿列夫·零). 称 `A` 为可列集, 如果 `A ~ NN`, 亦即 `|A| = aleph_0`. 可列集与有限集合称可数集. 如果 `|A| gt aleph_0`, 则称 `A` 为不可数集.

无限集中必含一个可列子集, 从而 `aleph_0` 是最小的无限基数: `|E| ≮ oo rArr |E| ge aleph_0`.

无限集并上一可数集后, 基数不变.

一集合为无限集当且仅当它与自身的某个真子集等势.

可列个可列集的并还是可列集.

设 `|A_n| = aleph_0`, `n = 1, 2, cdots`. 注意 `B_k = {a_(ij): i + j = k}` 为有限集, 而 `uuu_(n=1)^oo A_n = uuu_(k=2)^oo B_k`, 显然后者为可列集.

`ZZ` 是可列集; `NN xx NN = uuu_(m in NN) {(m, n): n in NN}` 是可列集; `QQ = uuu_(k=1)^oo {n/k: n in ZZ}` 是可列集; `NN^n` 是可列集 (对 `n` 归纳).

  1. `RR` 中互不相交的开区间族是可数集.
  2. 区间 `I` 上单调函数的不连续点集为可数集.
  3. 区间 `I` 上的上凸 (下凸) 函数的不可微点为可数集.
  1. 由有理数的稠密性, 从每个开区间中可以选出一有理数, 从而这一开区间族等势于 `QQ` 的子集.
  2. 以递增函数 `f` 为例. 由函数极限的单调有界原理知, 单调函数在每一点的单侧极限必存在. 因此每个 `f` 的不连续点 `x` 都对应开区间 `(f(x-0), f(x+0))`. 又对于不同的不连续点 `x_1, x_2`, 其对应的开区间互不相交 (不妨设 `x_1 lt x_2`, 展开极限定义, 利用 `f` 在 `(x_1, x_2)` 上的单调性反证, 可得 `f(x_1+0) le f(x_2-0)`), 所以 `f` 的不连续点等势于一族互不相交的开区间, 后者是可数的.
  3. 函数 `f` 在 `x_0` 处可微当且仅当函数 `g(x) = (f(x) - f(x_0))/(x-x_0)` 在 `x_0` 处极限存在. 由凹凸性, `g(x)` 是单调函数. 所以由 2 即得结论.

在无理点处连续, 有理点处间断的递增函数 任取收敛级数 `sum_(n=1)^oo c_n lt +oo`, `quad c_n gt 0`, `quad n = 1, 2, cdots`, 记区间 `I` 上全体有理数为 `{r_n}`, 定义 `f(x)` 为所有使得 `r_n lt x` 的项 `c_n` 的和: `f(x) = sum_(r_n lt x) c_n`, 易知 `f` 递增, 且 `f(r_n + 0) - f(r_n - 0) = c_n`, `n = 1, 2, cdots`.

连续基数

  1. 构造双射 `f: (-1, 1) to RR`, 其中 `f(x) = x/(1-x^2)` (也可以是 `("e"^x-"e"^-x)/("e"^x + "e"^-x)`).
  2. 构造双射 `f: [-1, 1] to (1, -1)` 如下 `f(x) = { 1/(n+1), if x = 1/n; -1/(n+1), if x = -1/n; x, if "else"; :}` 这一做法可以推广到高维的单位球上.
    3. 结合以上两例可知, 任何 `RR` 上的区间 (开, 闭, 半开闭) 都与 `RR` 等势.

`RR` 是不可数集.

只需证明闭区间 `[a, d]` 是不可数集. 反设 `[a, d] = {r_n}` 可数, 将 `[a, d]` 分成三等份 `[a = a_0, b_0]`, `[b_0, c_0]`, `[c_0, d_0 = d]`, 至少有一区间不含 `r_1`, 记这个区间为 `[a_1, d_1]`, 并将它继续三等分, 把其中不含 `r_2` 的区间记为 `[a_2, d_2]`. 重复以上步骤, 得到长度趋于零的闭区间套 `[a_0, d_0] supe [a_1, d_1] supe [a_2, d_2] supe cdots`. 满足 `{r_n} nn uuu_(n=1)^oo [a_n, d_n] = O/`. 与闭区间套定理矛盾.

  1. 采用二进制小数, 则 `(0, 1]` 中的任意实数 `x` 可以表示为 `x = sum_(n=1)^oo a_n 2^-n`, 其中 `a_n in {0, 1}`, 且上式中 `a_n = 1` 的项有无穷多项 (即, 上式不是有限小数. 注意, 任意有限小数都可以写为无限小数, 如 1.0 = 0.111111...). 由闭区间套定理可证, `(0, 1]` 中的实数与其二进制小数表示之间存在双射.
  2. 记 `{a_n}` 为 `x` 的二进制小数表示. 记 `k_1` 是数列 `{a_n}` 中第一个数字 1 的下标, `k_i` 表示数列 `a_n` 中第 `i` 个数字 1 与第 `i-1` 个数字 1 的下标之差, `i = 2, 3, cdots`, 则 `{k_i}` 是正整数列 (每一项都是正整数的数列). 这就建立了 `{a_n}` 到全体正整数列之间的双射.
  3. 下证全体正整数列不可数. 反设全体正整数列可以列出如下: `k_(11), k_(12), cdots, k_(1i), cdots`
    `k_(21), k_(22), cdots, k_(2i), cdots`
    `cdots`
    `k_(i1), k_(i2), cdots, k_(ii), cdots`
    `cdots`     但数列 `k_(11)+1, k_(22)+1, cdots, k_(i i)+1` 没有被列出, 这是因为对 `AA i in NN`, 它都与第 `i` 行不同. 所以全体正整数列不可数.

称 `RR` 的基数为连续基数, 记为 `c` 或 `aleph_1`. 由上讨论, 任意区间的基数, 全体二进制小数的基数和全体正整数列的基数都是 `aleph_1`.

`aleph_1 = 2^(aleph_0)`, 即, 可列集的幂集的基数为连续基数.

记这个可列集为 `{r_n}`. 对于它的每个子集 `X sube {r_n}`, 令 `a_n = { 1, if r_n in X; 0, if r_n !in X; :}` 于是 `X` 与 `[0, 1]` 中的二进制小数一一对应.

可列个具有连续基数的集合之并, 仍具有连续基数.

    Cantor 集 记 `F_0 = [0, 1]`. 将其三等分, 移去中间部分的开区间 `(1/3, 2/3)`, 剩下的部分记为 `F_1 = [0, 1/3] uu [2/3, 1]`. 一般地, 将 `F_n` 中每个互不相交的闭区间三等分, 并移去中间部分的开区间, 剩下的部分记为 `F_(n+1)`. 定义 Cantor 集为 `C = nnn_(n=1)^oo F_n`. Cantor 集的若干性质:
  1. `C` 是非空有界闭集;
  2. `C` 是完全集, 即 `C' = C`;
  3. `C` 无内点;
  4. `C` 的基数是 `c`.

无最大基数定理 `|X| lt |2^X|`. 任一集合都存在幂集, 于是无最大基数.

易知 `X ~ {{x}: x in X} sube 2^X`, 所以 `|X| le |2^X|`. 下证 `X` 与其幂集不等势. 假设存在双射 (从而是满射) `f: X to 2^X`, 令 `Y = {x in X: x !in f(x)}`, 则 `Y in 2^X`. 由 `f` 是满射, 存在 `y in X`, 使 `f(y) = Y`. 然而不论 `y in Y` 还是 `y !in Y` 均引出矛盾 (罗素悖论).