[来自 李文威《代数学方法》第二章、《代数学讲义》附录B]

概括来说:
1. 范畴 (category)是由对象及其间的态射组成的: `X overset f to Y`. 这里 `X, Y` 是对象, `f` 是态射.
2. 函子 (functor)则是范畴间保持箭头结构的“映射”: `cc C' overset F to cc C`. 这里 `cc C', cc C` 是范畴, `F` 是函子.
3. 自然变换描述了函子之间的关系: `F overset theta to G`, 这里 `F, G` 是函子, `theta` 是自然变换.
箭头图表在范畴论中随处可见, 但箭头可以有以上几种不同的含义, 需根据上下文加以辨析.

范畴

范畴的定义

形象地说, 范畴是一个有向图, 图中的顶点称为对象, 有向边称为态射. 具体定义如下:

一个范畴 (category) `cc C` 由它的对象集合 `"Ob"(cc C)` 和态射集合 `"Mor"(cc C)` 组成, 此外还应满足:
1. 边与点的关系 `cc C` 中任意态射 `f` 都有确定的来源与目标对象.
   换言之有来源映射和目标映射 `s, t: "Mor"(cc C) to "Ob"(cc C)`. 若 `f` 是一个态射, 那么 `X := s(f)`, `Y := t(f)` 都是对象, `f` 称为从 `X` 到 `Y` 的态射, 记为 `X overset f to Y` 或 `f: X to Y`.
2. 点与边的关系 `cc C` 中任意两个对象 `X, Y` 确定了一族态射.
   将全体从 `X` 到 `Y` 的态射称为 `(X, Y)` 的 Hom 集: `Hom_C(X, Y) := s^-1(X) nn t^-1(Y)`. 因此 `f: X to Y` 的另一种写法是 `f in Hom_C(X, Y)`.
3. 态射的合成与恒等态射 设 `f: X to Y`, `g: Y to Z`, 定义 `f, g` 的二元合成为 `f @ g`: `X to Z`, 或简记为 `f g`. 对每个对象 `X`, 都存在态射 `"id"_X: X to X`, 称为 `X` 到自身的恒等态射. 态射的合成满足: `f(g h) = (f g)h quad` (结合律)
   `f @ "id"_X = f = "id"_Y @ f quad`(恒等态射的性质). 恒等态射的性质保证了 `"id"_X` 的唯一性.

总之, 范畴包含以下五元素:
• (金) 对象集 `"Ob"(cc C)`;
• (木) 态射集 `"Mor"(cc C)`;
• (水) 来源与目标映射 `s, t`; 或等价地, Hom 集 `(X, Y) mapsto Hom_C(X, Y)`;
• (火) 态射合成 "`@`";
• (土) 恒等态射 `X mapsto "id"_X`.
不过通常验证一个结构是范畴, 只需验证结合律与恒等态射的性质.

幺半群 (Monoid) 上也有二元合成, 且满足结合律, 并带有单位元. 范畴与幺半群的区别在于, 范畴中的恒等态射可以有许多——每个对象都带有一个恒等态射, 而幺半群只有一个单位元. 这种意义下范畴是幺半群的推广.

1. 态射的逆 设态射 `f: X to Y`, 若存在 `g: Y to X` 使得 `f g = "id"_Y`, `g f = "id"_X`, 则称 `g` 是 `f` 的逆, `f` 是可逆态射或同构. `X` 到 `Y` 的全体同构记为 `"Isom"_(cc C)(X, Y)`. 由恒等态射的性质知道, 逆若存在则必唯一. 若一个范畴中的所有态射都可逆, 则称它为广群.
2. 简记 `"End"_(cc C)(X) := Hom_C(X, X)`, `"Aut"_(cc C)(X) := "Isom"_(cc C)(X, X)`, 分别称为 `X` 的自同态集和自同构集. `"End"(X)` 是幺半群, `"Aut"(X)` 是群.
3. 对象集和态射集皆空的范畴称为空范畴, 记为 `bb 0`.

以字母表示对象, 箭头表示态射, 范畴可以用箭头图表很好地可视化. 如果图表中的箭头合成殊途同归, 我们就说它是交换的, 故箭头图表又称为交换图表. 比如下图就有 `g f = h` 和 `v u = y x`. 这些图表可以用 quiver 在线绘制.

条条大路通罗马，所以交换图表是不是也可以叫做罗马表（

子范畴、反范畴、积范畴

称 `cc C'` 是 `cc C` 的子范畴, 如果
• (金) `"Ob"(cc C') sube "Ob"(cc C)`;
• (木) `"Mor"(cc C') sube "Mor"(cc C)`;
• (水) `Hom_C'(X, Y) sube Hom_C(X, Y)`, 等号成立时称 `cc C'` 是全子范畴;
• (火) 态射的合成也是由 `cc C` 限制而来的;
• (土) 恒等态射也是由 `cc C` 限制而来的.
从图表上看, 子范畴就是从原图表中去掉一些点和箭头得到的图表. 如果仅仅移除点 (以及这些点关联的箭头), 而不去移除其它箭头的话, 得到的图表就是全子范畴.

设 `cc C` 是范畴, 将其箭头全部反转, 定义反范畴如下:
• (金) `"Ob"(cc C^"op") := "Ob"(cc C)`;
• (木) `"Mor"(cc C^"op") := "Mor"(cc C)`;
• (水) `"Hom"_(cc C^"op")(X, Y) := Hom_C(Y, X)` (反转箭头);
• (火) `f @^"op" g := g @ f` (反向合成);
• (土) 恒等态射定义同 `cc C`.
我们有 `(cc C^"op")^"op" = cc C`. 范畴与反范畴之间对称的关系也叫做对偶原理. 比如, `cc C^"op"` 中的单态射就是 `cc C` 中的满态射.

给定范畴 `cc C_1`, `cc C_2`, 定义积范畴如下:
• (金) `"Ob"(cc C_1 xx cc C_2) := "Ob"(cc C_1) xx "Ob"(cc C_2)`;
• (木) `"Mor"(cc C_1 xx cc C_2) := "Mor"(cc C_1) xx "Mor"(cc C_2)`;
• (水) `"Hom"_(cc C_1 xx cc C_2)((X_1, X_2),(Y_1, Y_2))` `:= "Hom"_(cc C_1)(X_1, Y_1) xx "Hom"_(cc C_2)(X_2, Y_2)`;
• (火) `(g_1, g_2) @ (f_1, f_2) := (g_1 f_1, g_2 f_2)`;
• (土) `"id"_(X_1, X_2) := ("id"_(X_1), "id"_(X_2))`.
总之, 一切都是逐分量地定义的. 积范畴可以推广到有限个乘积的情形.

范畴的例子

"全体集合" 这个概念太大, 已不是一个集合. 为了适用范畴的定义, 我们总是事先取定一个宇宙 `cc U`, 以下的集合、群、拓扑空间等, 都是在这个宇宙中进行讨论的.

1. 集合范畴 `sf(Set)`: 对象为 (某个宇宙中的) 所有集合, 态射为集合间的映射.
2. 群范畴 `sf(Grp)`: 对象为所有群, 态射为群同态.
3. 交换群范畴 `sf(Ab)`: 对象为所有交换群, 态射为群同态, 它是 `sf(Grp)` 的全子范畴.
4. 拓扑空间范畴 `sf(To p)`: 对象为所有 Hausdorff 拓扑空间, 态射为连续映射. 类似定义带基点的拓扑空间范畴 `sf(To p)^ast`.
5. 域 `bbb k` 上的向量空间范畴 `sf(V ect)(bbb k)`: 对象为 `bbb k` 上所有向量空间, 态射为线性映射. 类似定义有限维向量空间范畴 `sf(V ect)_(f)(bbb k)`, 它是 `sf(V ect)(bbb k)` 的全子范畴.
6. 给定集合, 可以定义相应的离散范畴 `sf(Disc)(S)`: 对象集为 `S`, 态射仅有恒等态射 `{"id"_x: x in S}`.

单态射与满态射

设 `X, Y in "Ob"(cc C)`, `f: X to Y`.
1. 称 `f` 为单态射, 如果它满足左消去律: 对任意 `Z in "Ob"(cc C)` 和任意 `g, h: Z to X` 有 `f g = f h iff g = h`.
2. 称 `f` 为满态射, 如果它满足右消去律: 对任意 `Z in "Ob"(cc C)` 和任意 `g, h: Y to Z` 有 `g f = h f iff g = h`.
3. 称 `f` 左可逆, 如果存在 `g` 使得 `g f = "id"_X`; 称 `f` 右可逆, 如果存在 `g` 使得 `f g = "id"_Y`. 一个态射可逆当且仅当它左右皆可逆.

左可逆蕴涵单, 右可逆蕴涵满.

设 `f` 左可逆, 从等式 `f g = f h` 两边同乘以 `f` 的左逆就得到 `g = h`.

在集合论意义下, 单态射等价于左可逆, 满态射等价于右可逆. 范畴论中则未必: 在有些范畴中如 `sf(Set)`, `sf(Grp)`, `sf(V ect)(bbb k)` 中它们是等价的, 但在 `sf(To p)` 中, 态射有稠密的像便是满态射.

1. 设 `f, g, h` 是集合间的映射, `f g = f h rArr g = h`. 可以取 `g, h` 为常值映射 `g: z mapsto x_1`, `h: z mapsto x_2`. 于是 `f(x_1) = f(x_2) rArr x_1 = x_2`. 这证明了 `f` 是单射.
2. 又设 `g f = h f rArr g = h`, 反设 `f` 不是满射, 则 `EE y_0 in Y - f(X)`. 我们可以让 `g(y), h(y)` 在 `y in f(X)` 时相等, 但 `g(y_0) != h(y_0)`. 此时 `g f = h f` 但 `g != h`, 矛盾.

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   假如 `g, h` 是拓扑空间之间的连续映射, 且 `f` 有稠密的像, 我们并不能找到 `y_0` 使 `g(y_0) != h(y_0)`. 这就是 `sf(To p)` 中满态射不等于右可逆的原因.

函子与自然变换

函子

函子是范畴到范畴的 "态射", 它将一个交换图表映为另一个交换图表.

设 `cc C', cc C` 为范畴. 一个函子 (functor) `F: cc C' to cc C` 由一对映射组成:
• (金) 对象间的映射 `F: "Ob"(cc C') to "Ob"(cc C)`;
• (木) 态射间的映射, 仍用同一个字母: `F: "Mor"(cc C') to "Mor"(cc C)`;
• (水) 保持来源与目标映射 `s, t`: `s F = F s`, `t F = F t`. 用 Hom 集的语言就是 `F: Hom_C'(X, Y) to Hom_C(F X, F Y)`, 即 `F` 将箭头 `X to Y` 映为 `F X to F Y`;
• (火) 保持态射的合成: `F(g @ f) = F(g) @ F(f)`;
• (土) 保持恒等态射: `F("id"_X) = "id"_(F X)`.
一般来说, 验证函子也只需验证它保持态射的合成与恒等态射.

可以将函子对态射的作用类比于幺半群的同态: `f(a b) = f(a) f(b)` 和 `f(1) = 1`. 不过如前所述, 范畴中的恒等态射和对象一样多, 但幺半群的单位元只有一个.

map identity = identity
(map g) ∘ (map f) = map (g ∘ f)

1. 函子的合成 设 `F: cc C_1 to cc C_2`, `G: cc C_2 to cc C_3`, 将它们对象间与态射间的映射分别合成, 就得到合成函子 `G @ F`. 函子的合成满足结合律.
2. 反变函子 形如 `cc C' to cc C` 的函子称为共变函子, `cc {:C':}^"op" to cc C` 称为反变函子. 反变函子的定义在对象层次与前相同, 在态射层次则反转箭头方向, 即 `Hom_C'(X, Y) to Hom_C(F Y, F X) quad` (反转箭头),
   `F(f g) = F(g) F(f) quad` (反向合成). 由于反范畴与范畴只在箭头方向上不同, 函子 `cc C' to cc C` 和 `cc {:C':}^"op" to cc C^"op"` 是一回事, `cc {:C':}^"op" to cc C` 和 `cc C' to cc C^"op"` 也是一回事.

对于函子 `F: cc C' to cc C`,
1. 在对象层次, 称 `F` 是本质满的, 若 `cc C` 中任一对象都同构于某个 `F X`. 这是把满射定义中的 "等于" 换成了 "同构于".
2. 在态射层次, 称 `F` 是忠实的, 若 `Hom_C(X, Y) to Hom_C(F X, F Y)` 都是单射. 称 `F` 是全的, 如果上述映射都是满射. 既忠实又全的函子称为全忠实的.

忠实是比单射弱的一个概念. 可能出现这样的情况: `X, Y, Z` 是 `cc C'` 的不同对象, 但 `F Y = F Z`, 这时一个忠实的函子允许箭头 `X to Y` 和 `X to Z` 被映到同一个箭头. 同理 "全" 是比满射弱的概念.

1. 设 `cc C'` 为 `cc C` 的子范畴, 则包含函子 `iota: cc C' to cc C` 是忠实的, 它在对象和态射层次都是包含映射; 它是全忠实的当且仅当 `cc C'` 是 `cc C` 的全子范畴.
2. 忘却函子 忘却环的乘法, 可以将它视为加法群; 忘却所有结构便得到底层的集合. 在对象层次, 这些函子忘却一部分的代数结构 (环的乘法、向量空间的纯量乘法...), 在态射层次, 这些函子化为箭头之间的包含映射. 比如 `sf(Ri ng)` 到 `sf(Ab)` 的忘却函子就把两个环 `R, R'` 之间的环同态映为两个加法群的群同态. 忘却函子都是忠实的.

自然变换

自然变换 设函子 `F, G: cc C' to cc C`. 从 `F` 到 `G` 的自然变换 `theta: F rarr G` 定义为一族态射 `theta = { theta_X in Hom_C(F X, G X): X in "Ob"(cc C') }`. 换言之 `theta = {theta_X}_X`, 其中 `theta_X: F X to G X`. 自然变换要求对所有态射 `f: X to Y` 有 `theta_X @ G f = F f @ theta_Y`. 下面是两种常见的图解, 验证自然变换, 关键是验证下面的图表交换:

1. 自然变换的合成 `theta: F to G` 和 `psi: G to H` 的合成定义为 `psi theta: F to H`, 使得 `(psi theta)_X = psi_X theta_X`. 合成运算满足结合律.
2. 自然变换乘函子 对 `theta: F_1 to F_2` 左乘或右乘一个函子, 可以得到两个新的自然变换: `theta G := {theta_(G Y)}_Y: F_1 G to F_2 G`,
   `H theta := {H theta_X}_X: H F_1 to H F_2`. 当然, 前提是函子的合成 `F_1 G`, `F_2 G`, `H F_1`, `H F_2` 有意义. 我们有结合律 `(H theta) G = H (theta G)`.

1. 记函子 `F: cc C' to cc C` 到自身的恒等变换为 `"id"_F := { "id"_(F X): X in "Ob"(cc C') }`.
2. 若 `theta: F to G` 中的态射皆为同构, 则称 `theta` 是自然同构, 定义其逆 `theta^-1: G to F` 为 `theta^-1 := { theta_X^-1: theta_X in theta }`. 可以验证 `theta^-1 theta = "id"_F`, `theta theta^-1 = "id"_G`. 若 `theta` 是自然同构, 则它乘以函子后 `theta G, H theta` 也是同构.

函子与自然变换的例子

Hom 函子 给定范畴 `cc C` 及其对象 `X`, 定义函子 `Hom_C(X, *): cc C to sf(Set)`,
(对象层次) `Y mapsto Hom_C(X, Y)`,
(态射层次) `f mapsto f_ast`, 其中 `f: Y to Z`, `f_ast: Hom_C(X, Y) to Hom_C(X, Z)` `:= h mapsto f h`. 同理定义反变函子 `Hom_C(*, X): cc C^"op" to sf(Set)`
(对象层次) `Y mapsto Hom_C(Y, X)`,
(态射层次) `f mapsto f^ast`, 其中 `f: Y to Z`, `f^ast: Hom_C(Z, X) to Hom_C(Y, X)` `:= g mapsto g f`. `f_ast` 和 `f^ast` 互为对偶, 称为前推和拉回. 助记: `f_ast = (f *)`, `f^ast = (* f)`

双重对偶空间 自然变换的一个典型例子是向量空间到其双重对偶空间的自然同态. 考虑 `bbb F` 上的向量空间 `V`, 它的对偶空间 `V^ast` 由全体 `V` 到 `bbb F` 的线性函数组成.
1. 定义函子 `D` 如下 `D: sf(V ect)(bbb F)^"op" to sf(V ect)(bbb F)`
   (对象层次) `V mapsto V^ast`
   (态射层次) `cc A mapsto cc A^ast`. 其中 `cc A: V to W`, `cc A^ast: W^ast to V^ast` `:=` `f mapsto f cc A`. 由于 `(cc(A B))^ast = cc B^ast cc A^ast`, `"id"_V^ast = "id"_(V^ast)`, 所以 `D` 是反变函子. 同理可构造另一个反变函子 `D^"op" = sf(V ect)(bbb F) to sf(V ect)(bbb F)^"op"`.
2. 记 `"id"_(sf(V ect)(bbb F)` 是 `bbb F` 上向量空间范畴到自射的恒等函子. 定义自然变换 `"ev": "id"_(sf(V ect)(bbb F)) to D D^"op"`, 其中 `"ev"_V: V to V^(ast ast)` `:=` `v mapsto f mapsto f(v)`. 可以验证它满足自然变换的变换图表: `AA cc A: V to W`, `"ev"_V @ D D^"op" cc A = "id"_(sf(V ect)(bbb F)) cc A @ "ev"_W`. 同理有另一个自然变换 `"id"_(sf(V ect)(bbb F)^"op") to D^"op" D`. 当线性空间限制到有限维时, 这两个自然变换都是自然同构.

一般而言, 两个有限维线性空间只要维数相同, 都是同构的, 但这个同构依赖于基的选取. 但 `V` 到 `V^(ast ast)` 的同构 `v mapsto f mapsto f(v)` 不依赖于基的选择, 因此说它是自然的.