本章主题围绕常见的拓扑性质: 分离性、可数性、紧致性、度量化和连通性.

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分离公理

分离公理都是关于两个点 (或闭集) 能否用邻域来分隔的性质, 是对拓扑空间的附加要求.

`T_0` 到 `T_2`

1. `T_0` 公理 (Kolmogorov) 任意两个不同点, 存在其中一点的邻域不含另一点. 我们也说这两点是拓扑可区分的.
2. `T_1` 公理 (Fréchet) 任意两个不同点 `x, y`: `x` 有邻域不含 `y`, `y` 有邻域不含 `x`.
3. `T_2` 公理 (Hausdorff, 豪斯多夫) 任意两个不同点有不相交的邻域.
满足 `T_0` 公理的拓扑空间称为 `T_0` 空间, 依此类推.

以上三条公理中的邻域换成开邻域也是等价的. `T_2` 公理是最重要、最常用的分离公理. 显然 `T_2 rArr T_1 rArr T_0`.

`(RR, T_f)` 是 `T_1` 空间, 但不是 `T_2` 的. 因为 `x != y` 时, `RR\\{y}` 就是 `x` 的不含 `y` 的邻域. 但 `x, y` 的邻域都是有限集的余集, 因此一定相交.

`T_1` 公理 `iff` 任意有限子集是闭集.

1. `rArr`. 只须证单点集是闭集. 取 `x, y in X`, `x != y`, 则 `y` 有邻域不含 `x`, 因此 `y !in bar({x})`. 由 `y` 的任意性知 `bar({x}) = {x}`, 即 `{x}` 为闭集.
2. `lArr`. 设 `x != y`. 因为 `{y}` 是闭集, 所以 `X\\{y}` 是 `x` 的不含 `y` 的开邻域; 同理 `X\\{x}` 是 `y` 的不含 `x` 的开邻域.

`T_1` 聚点聚无穷 `T_1` 空间中, 子集 `A` 的聚点的任一邻域与 `A` 的交集是无穷集.

反设聚点 `x` 有邻域 `U` 使得 `U nn A` 有限, 不妨设 `U` 是开集. 记 `B = (U nn A) \\ {x}`, 它是有限集, 因此是闭集. 因此 `U\\B = U\\A uu {x}` 仍是 `x` 的开邻域, 它与 `A\\{x}` 的交为空. 这与 `x in A'` 矛盾.

`T_2` 空间序列极限的唯一性 Hausdorff 空间中, 一个序列不会收敛到两个以上的点.

设 `{x_n}` 收敛到 `x`. 又设 `y != x`, 要证 `x_n` 不会收敛到 `y`. 我们取 `x, y` 的不相交邻域 `U, V`. 因为 `x_n to x`, 所以 `{x_n}` 除有限项外全部含于 `U`, 这样 `V` 中只有 `{x_n}` 的至多有限项, 不可能有 `x_n to y`.

`T_3` 到 `T_6`

`T_3` 到 `T_6` 公理分别定义为 `T_1` 公理与下面 4 条性质的组合: `T_3 iff T_1 and "正则"`,
`T_4 iff T_1 and "正规"`,
`T_5 iff T_1 and "完全正规"`,
`T_6 iff T_1 and "完美正规"`.
1. 正则 (regular) 闭集外的一点与该闭集有不相交的 (开) 邻域. (如果 `A sube U^@`, 就说 `U` 是集合 `A` 的邻域).
2. 正规 (normal) 任意两个不相交闭集有不相交的 (开) 邻域.
3. 完全正规 (completely normal) 每个子空间都是正规空间.
   可以证明, 对 `i = 1, 2, 3`, `T_i` 公理具有遗传性, 即 `T_i` 空间的子空间也是 `T_i` 空间. 然而 `T_4` 不具有遗传性. 这就是定义 `T_5` 公理的动机.
4. 完美正规 (perfectly normal) 任意两个不相交闭集 `A, B`, 存在连续函数 `f: X to RR` 使得 `f^-1(0) = A`, `f^-1(1) = B`. (注意与下文的 Urysohn 引理比较)

拓扑学需要秦始皇 关于 `T_3` 到 `T_6` 的定义, 诸多材料并不统一. 我们以 pi-base 这个网站的定义为准.

为什么需要 `T_1` 公理 在 `T_3` 到 `T_6` 的定义中, 我们要求 `T_1` 公理成立. 此时单点集是闭集, 有 `T_4 rArr T_3 rArr T_2`. 但 `T_1` 不成立时, 正规 `⇏` 正则, 例如拓扑空间 `(RR, tau)`, 其中 `tau = {(-oo, a)| -oo le a le +oo}`. 该空间正规, 但不正则, 亦不满足 `T_1`, `T_2` 公理.

1. 正规: 注意到 `(RR, tau)` 的任何两个非空闭集 `[a, +oo)` 都相交. 这就是说, 若 `A, B` 是两个不相交闭集, 则必有其一是空集, 设 `B = O/`, 于是 `RR` 和 `O/` 分别是 `A, B` 的不相交邻域.
2. 不正则: 考虑闭集 `[a, +oo)` 和一点 `x lt a`, 它们不能被开邻域分离.
3. `T_1, T_2` 不成立: 考虑两点 `a lt b`, 则 `b` 没有邻域不含 `a`.

1. 正则 `iff` 任取点 `x` 和它的开邻域 `W`, 存在 `x` 的开邻域 `U` 使得 `bar U sube W`.
2. 正规 `iff` 任取闭集 `A` 和它的开邻域 `W`, 存在 `A` 的开邻域 `U` 使得 `bar U sube W`.

两个命题的证明相同, 下面只证 2.
1. `lArr`: 设 `A, B` 是不相交的闭集, 则 `B^c` 是 `A` 的开邻域. 由条件, 存在 `A` 的开邻域 `U` 使得 `bar U sube B^c`. 我们再找一个 `B` 的开邻域 `V` 使得 `U nn V = O/`. 事实上, 取 `V = (bar U)^c`, 则 `V` 是开集, `B sube V` 且 `U nn V = O/`.
2. `rArr`: 记 `B = W^c`, 则 `A, B` 是不相交的闭集. 由正规性, `A, B` 存在不相交开邻域 `U, V`. 即 `U sube V^c`. 则 `U` 满足 `bar U sube bar(V^c) = V^c sube B^c = W`.

完美正规 `rArr` 完全正规 `rArr` 正规.

先证完美正规 `rArr` 正规: 设 `A, B` 是 `X` 的不相交闭集, 在 `RR` 中取 `0` 和 `1` 的不相交邻域 `U_0, U_1`, 则 `f^-1(U_0)`, `f^-1(U_1)` 是 `A, B` 的不相交邻域. 🚧

综上有: `T_6 rArr T_5 rArr T_4 rArr T_3 rArr T_2 rArr T_1 rArr T_0`.

喜报: 度量空间具有最好的分离性 度量空间满足 `T_6` 公理.

1. `T_1`: 任取 `x in X`, 下证 `bar({x}) = {x}`. `AA y in X`, 若 `y` 的任意邻域交 `{x}` 非空, 则 `x in y` 的任意邻域, 这推出 `d(x, y) = 0`, 即 `x = y`.
2. `T_6`: 设 `A, B` 是不相交闭集, 不妨设它们非空. 下面我们构造连续函数 `X to RR` 使得 `f(A) = 0`, `f(B) = 1`. 任取 `x in X`, 因为度量空间的闭集外一点到该闭集有正的距离, 有 `d(x, A) + d(x, B) gt 0`. 因此下面就是一个适合的连续函数: `f(x) := (d(x, A))/(d(x, A) + d(x, B))`.

可数公理

定义

考虑拓扑空间的一点 `x in X`,
1. `x` 的邻域系是指它的全体邻域的集合 `cc N_x`.
2. `x` 的邻域基是指一族邻域 `cc U sube cc N_x`, 满足 `x` 的每个邻域至少包含 `cc U` 的一个成员.

1. `cc N_x` 本身是 `x` 的邻域基.
2. `x` 的所有开邻域构成 `x` 的一个邻域基.
3. 对于度量空间, `B(x, 1//n)`, `n = 1, 2, cdots` 和 `B(x, q)`, `q in QQ` 都是 `x` 的邻域基.
4. 若 `cc B` 是拓扑空间 `X` 的拓扑基, 则 `cc U = {B in cc B | x in B}` 是 `x` 的邻域基.
5. 若 `cc U` 是 `x` 的邻域基, `cc V` 是 `x` 的一族邻域, 且 `cc U` 中的任意开集至少包含一个 `cc V` 的成员, 那么 `cc V` 也是 `x` 的邻域基.

1. `C_1` 公理 任一点 `x in X` 具有可数的邻域基.
2. `C_2` 公理 整个空间具有可数的拓扑基.

1. 满足 `C_1`, `C_2` 公理的拓扑空间分别称为第一可数和第二可数的.
2. 由 的 3. 知道, 度量空间是 `C_1` 的. 由 4. 知道 `C_2` 空间必然是 `C_1` 的 (请考驾照的读者注意).
3. `C_2` 公理是一个很强的条件, 以至某些度量空间也不是 `C_2` 的. 如 `RR` 上的离散度量空间, 其每个单点集 `{x}` 都是开集, 于是任一拓扑基必包含每个单点集, 从而不可数.

第一可数

递减邻域基 如果 `x` 点存在可数邻域基, 则该点处存在一列递减的邻域基 `V_1 supe V_2 cdots`.

设 `{U_n}` 是 `x` 点的邻域基. 作 `V_n := nnn_(k=1)^n U_k`, 则任意 `U_n` 中都包含 `V_n`, 所以 `{V_n}` 即为所求的递减邻域基.

`C_1` 空间对点列十分友好, 从以下定理可以看出:

`C_1` 空间中的聚点原理 设 `X` 第一可数, `A sube X`, 则 `x in bar A iff x` 是 `A` 的极限点.

"`lArr`" 在一般的拓扑空间中成立, 已在第一章中证明. 下证 "`rArr`":
由引理知存在 `x` 处的递减邻域基 `{U_n}`. 因为 `x in bar A`, 所以对任意 `U_n`, 都存在 `x_n in A nn U_n`. 由选择公理选出点列 `{x_n}`, 下证 `x_n to x`.
事实上, 对 `x` 的任意邻域 `U`, 存在 `N` 使得 `x_N in U_N sube U`. 又 `{U_n}` 递减, 对任意 `n ge N` 都有 `x_n in U_N sube U`. 这说明 `x_n to x`.

`C_1` 空间中的 Heine 定理 设 `X` 第一可数, 则 `f: X to Y` 在 `x` 处连续 `iff` 对任意 `x_n to x` 都有 `f(x_n) to f(x)`.

"`rArr`" 在一般的拓扑空间中成立. 事实上任取 `f(x)` 的邻域 `V`, 则 `U = f^-1(V)` 是 `x` 的邻域, 它包含了 `{x_n}` 的尾部. 于是 `V` 包含了 `{f(x_n)}` 的尾部.
下证 "`lArr`": 任取 `f(x)` 的邻域 `V`, 下证原像 `f^-1(V)` 是 `x` 的邻域. 如若不然, 则 `x` 不是 `f^-1(V)` 的内点, `x in (f^-1(V)^@)^c = bar(f^-1(V)^c)`. 由聚点原理, 存在 `f^-1(V)^c` 中点列 `x_n to x`, 因此 `f(x_n) to f(x)`. 但 `x_n in f^-1(V)^c`, 所以 `f(x_n) !in V`, 这与 `f(x_n) to f(x)` 矛盾.

若 `X` 是 `C_1` 空间, 且任意点列的极限具有唯一性, 则 `X` 是 Hausdorff 空间.

如果 `X` 不是 Hausdorff 空间, 则存在两点 `x != y`, 它们的所有邻域都相交. 取 `x, y` 处的递减邻域基 `{U_n}` 和 `{V_n}`, 则任意 `n`, `U_n nn V_n != O/`. 由选择公理可以确定点列 `x_n in U_n nn V_n`, 它同时趋于 `x` 和 `y`, 从而矛盾.

第二可数

1. `C_2 rArr` 可分;
2. 可分度量空间 `rArr C_2`.

1. 取 `X` 的可数拓扑基 `cc B`, 对每个非空的 `B in cc B`, 取出一点 `a in B`. 由选择公理得到 `A := {a in B: B in cc B}`, 此即 `X` 的可数稠密子集. 其稠密性是因为任意开集 `U` 都含有某个 `B in cc B` 从而含有 `A` 中的点.
2. 取 `X` 的可数稠密子集 `A`, 对任意 `a in A` 作一族开球 `B(a, 1//n)`, `n = 1, 2, cdots`. 下证 `cc B := {B(a, 1//n): a in A, n in NN}` 是拓扑基. 对任意开集 `U`, 要证 `U` 可以由 `cc B` 中的开球取并得到, 只需证任意 `x in U`, 存在 `B in cc B` 使得 `x in B sube U`.
   事实上, 由度量空间的性质, 存在开球 `B(x, epsi) sube U`, 下证存在 `B = B(a, 1//n) in cc B` 使得 `x in B sube B(x, epsi)`. 取 `n` 充分大使得 `1//n lt epsi//2`, 由于 `A` 稠密, 存在 `a in A` 使得 `d(x, a) lt 1//n`, 即 `x in B`. 又对 `AA y in B`, `d(x, y) le d(x, a) + d(a, y) lt 2//n lt epsi`, 即 `B sube B(x, epsi)`.

欧氏空间 `RR^n` 是可分度量空间, 因此它第二可数, 拓扑基为 `{B(x, 1//n): x in QQ^n, n in ZZ^+}`.

`C_2` 空间的任一拓扑基都有一个可数子集构成一个拓扑基.

`C_1` 空间的任一邻域基是否都有一个可数子集构成邻域基呢?

紧致性

本节将看到数学分析中的许多熟悉结论在拓扑空间中的推广. 数学分析中, 实数集 `RR` 作为拓扑空间具有许多优良性质, 然而, 在拓扑空间中这些性质的成立是有条件的.

定义

紧致性 (紧性, compactness) 设 `A` 是拓扑空间 `X` 的子集. `A` (在 `X` 中) 的一个开覆盖是指一族开集 `{O_lambda}`, 满足 `A sube uuu_(lambda in Lambda) O_lambda`. 如果 `A` 的任意一个开覆盖 `{O_lambda}` 都存在有限子覆盖, 即 存在 `O_1, cdots O_n in {O_lambda}` 使得 `A sube uuu_(k=1)^n O_k`, 则称 `A` 在 `X` 中是紧致 (紧, compact) 的, `A` 是 `X` 中的紧集. 特别当 `X` 自身紧的时候, 称它为紧致拓扑空间.

注意开集的有限交仍是开集, 这就是有限覆盖中 "有限" 的用武之地.

有限个紧集的并是紧的. 特别, 任意有限点集是紧的.

注意, 有限点集不一定是闭的, 需要满足 `T_1` 公理才行.

紧集的闭子集是紧的.

假设 `A` 紧, `B` 是闭集且 `B sube A`. 若 `B` 为空集, 显然它是紧的.
下设 `B != O/`, 对 `B` 的任意开覆盖 `cc O`, 向其中加入一个开集 `B^c`, 就得到 `A` 的开覆盖, 后者存在有限子覆盖 `{O_k}_(k=1)^n`.
由于 `B != O/`, 这个有限子覆盖中至少含有一个不同于 `B^c` 的开集, 从中排除掉开集 `B^c`, 所得的开集族仍然是不空的, 于是得到 `cc O` 的有限子覆盖.

紧集的连续像是紧的.

用定义验证. 注意开集的连续原像仍是开集.

紧集套定理 设 `{K_n}` 为 `X` 中的一列非空闭集, 且 `K_1` 紧致, 且满足 `K_1 supe K_2 supe cdots`. 则 `nnn_(n ge 1) K_n != O/`.

反设它们的交集为空, 则 `{K_n^c}_(n ge 2)` 构成 `K_1` 的开覆盖. 由 `K_1` 的紧性, 它们当中的有限个已经把 `K_1` 盖住. 设其中下标最大的一个是 `K_n^c`. 由嵌套关系知 `K_n^c` 是这有限个开集中最大的一个, 所以 `K_1 sube K_n^c`, 即 `K_1 nn K_n = O/`. 这与已知条件 `K_1`, `K_n` 均不空矛盾.

紧与 Hausdorff

Hausdorff 空间中紧集必为闭集. 因此, 紧 Hausdorff 空间中的闭集等价于紧集.

设 `X` 是 Hausdorff 空间, `A` 是其中的紧集. 下证 `A^c` 是开集, 为此任取 `y in A^c`, 我们来证明存在 `y` 的邻域 `V` 使得 `y in V sube A^c`. 对任意 `x in A`, 由 `T_2` 公理知存在 `x`, `y` 的不相交邻域 `U_x`, `V_x`. 于是 `{U_x: x in A}` 构成 `A` 的开覆盖, 由 `A` 的紧性知道存在有限子覆盖 `A sube uuu_(k=1)^n U_k`. 考虑对应的集合 `V_k`, 令 `V := nnn_(k=1)^n V_k`. 因为 `AA k, U_k nn V_k = O/`, 所以 `V nn (uuu_(k=1)^n U_k)` `= uuu_(k=1)^n (U_k nn V)` `= O/`, 从而 `V nn A = O/`. 这就是说 `y in V sube A^c`.

证明同胚映射的常用小结论:

设 `f: X to Y` 是连续双射, 且 `X` 紧, `Y` Hausdorff, 则 `f` 是同胚.
例如, 将闭区间 `[0, 1]` 的端点视作同一点, 则下面的映射是同胚: `f: [0, 1] // ~ to S^1`
`x mapsto exp(2 pi "i" x)`.

只需证 `f^-1` 也连续. 根据第一章的命题, 这等价于证明 `f` 是闭映射: 设 `C sube X` 为闭集, 它作为 `X` 的闭子集是紧的. 而紧集的连续像 `f(C)` 仍紧. 再由 `Y` 是 Hausdorff 空间, 推知 `f(C)` 是闭集.

[群友@TrivialPig, @问情明心] 设 `f: X to Y`, 它的图像是指集合 `{(x, f(x)): x in X}`.
1. 若 `f` 连续, `Y` Hausdorff, 则 `f` 的图像是闭集.
2. 若 `Y` 紧, `f` 的图像是闭集, 则 `f` 连续.
注意, 紧性和 Hausdorff 这两个性质不能互推.

任意无穷多个紧致空间的乘积也是紧致的, 这个结论也叫做 Tychonoff 定理. 事实上无穷多个拓扑空间的积拓扑称为 Tychonoff 拓扑.

列紧性

本节的主要目标是证明度量空间中, 紧性的几个等价命题, 即: 紧 `iff` 自列紧 `iff` 极限点紧.

设 `A` 是拓扑空间 `X` 的子集,
1. 如果 `A` 中的任意点列都含有在 `X` 中收敛的子列, 则称 `A` 是列紧的; 进一步, 若每个收敛子列的极限都在 `A` 中, 则称 `A` 是自列紧的.
2. 如果 `A` 中任意子集在 `A` 中有极限点, 则称 `A` 是极限点紧的.
若 `A` 是有限集, 显然它同时满足紧、自列紧和极限点紧, 以下我们主要讨论无限集.

紧 `rArr` 自列紧

`C_1` 空间的子列极限 设 `X` 第一可数, 则 `x` 是点列 `{x_n}` 的某个子列的极限 `iff x` 的任意邻域含有 `{x_n}` 的无穷多项. 如果 `X` 还满足 `T_1` 公理, 则上式等价于 `x` 是 `{x_n}` 的聚点.

1. [群友@王凤梨] `rArr` 对任意拓扑空间成立, 只证 `lArr`. 取递减邻域基 `{U_n}`. 应用选择公理, 先取 `x_(n_1) in U_1`, 然后因为 `{x_n}` 有无穷多项含于 `U_2`, 可以取 `x_(n_2) in U_2` 使得 `n_2 gt n_1`. 如此进行下去即得到子列 `{x_(n_k)}` 收敛于 `x`.
2. 若 `x` 是聚点, 则它的任意邻域 `U` 含有一项 `x_0 != x`. 根据 `T_1` 公理, 单点集是闭集, 所以 `U\\{x_0}` 仍是 `x` 的邻域, 从中又能取出点列的一项... 故 `U` 中含有 `{x_n}` 的无穷多项.

`C_1` 空间中, 紧 `rArr` 自列紧.

设 `A` 是紧集, `{x_n}` 是 `A` 中的任意点列. 反设结论不成立, 则对任意 `x in A`, `{x_n}` 都没有子列收敛于 `x`, 由引理知存在 `x` 的开邻域 `U_x` 只含 `{x_n}` 的有限项. 于是 `{U_x: x in A}` 构成 `A` 的开覆盖, 由于 `A` 的紧性, 存在有限子覆盖 `A sube uuu_(k=1)^n U_k`. 由假设, `{x_n}` 只有有限项包含于上式右边, 与 `{x_n} sube A` 矛盾.

`C_1 + T_1` 空间中, 自列紧 `iff` 极限点紧.

1. `rArr`: 设 `A` 是自列紧的无限集, `B sube A` 是它的无限子集. 取两两不同的点列 `{x_n} sube B`, 则它有子列收敛到 `x in A`. 因此 `B` 在 `A` 中有极限点.
2. `lArr`: 设 `A` 极限点紧. 对 `A` 中任意点列 `{x_n}`, 若它有无穷多项相同, 则它已然有子列收敛到 `A` 中. 否则, 把点列中相同的点都去掉, 得到两两不同的子列 `{y_n} sube A`. 由假设知集合 `{y_n}` 有极限点 `x in A`. 极限点一定是聚点, 因而由引理知, `x` 是 `{y_n}` 某个子列的极限.

自列紧 `rArr` 紧

自列紧到紧的证明不太容易, 需要用到两个经典引理.

Lebesgue 数 设 `A` 是度量空间中的自列紧集, 则对 `A` 的任意开覆盖 `cc O`, 存在实数 `delta gt 0`, 使得 `A` 中每个点的 `delta` 邻域都被 `cc O` 中的某个开集盖住. 换言之, `AA x in A`, `EE O_x in cc O`, `B(x, delta) sube O_x`. `delta` 由 `A` 和 `cc O` 共同决定, 称为开覆盖 `cc O` 的 Lebesgue 数.

反设结论不成立, 则存在一个 `A` 的开覆盖 `cc O`, 它没有 Lebesgue 数. 取数列 `delta_n := 1//n`, 由选择公理, 存在相应的 `x_n in A`, 满足 `AA O_lambda in cc O`, `B(x_n, delta_n) ⊈ O_lambda`. 因为 `A` 自列紧, 设 `{x_n}` 有子列 `{x_(n_k)}` 收敛于点 `x in A`. 设 `x` 被 `cc O` 中的一个开集 `O_x` 覆盖. 于是存在开球 `B(x, epsi) sube O_x`. 由子列收敛性, 存在 `K in NN`, 对任意 `k gt K` 有 `x_(n_k) in B(x, epsi//2)`. 我们不妨把 `K` 取得更大一点, 使 `delta_(n_k) = 1//n_k lt epsi//2`, 从而 `B(x_(n_k), delta_(n_k))` `sube B(x_(n_k), epsi//2)` `sube B(x, epsi)` `sube O_x`. 与假设 `B(x_(n_k), delta_(n_k)) ⊈ O_x` 矛盾.

记 `cc O` 的 Lebesgue 数为 `L(cc O)`. 则 `L(cc O) = min_(x in X) Sup_(U in cc O) d(x, U^c)`.

有限 `epsi` 网 设 `A` 是度量空间的列紧集, 则对任意实数 `epsi gt 0`, 存在有限个开球 `{B(x_k, epsi)}_(k=1)^n` 将 `A` 覆盖, 称为 `A` 的一个有限 `epsi` 网.

反设对于某个 `epsi gt 0`, 不存在 `A` 的有限 `epsi` 网. 显然 `A` 非空, 取 `x_1 in A`. 由于不存在 `A` 的有限 `epsi` 网, 又可取 `x_2 in A - B(x_1, epsi)`... 如此得到点列 `{x_n}`. 由于 `{x_n}` 的项两两距离大于 `epsi`, 不可能存在收敛子列, 与 `A` 的列紧性矛盾.

度量空间中, 自列紧 `rArr` 紧.

设 `A` 是列紧集, 对 `A` 的任意开覆盖 `cc O`, 设 `delta` 是它的 Lebesgue 数. 于是 `A` 存在有限 `delta`-网, 即存在有限个开球使得 `A sube uuu_(k=1)^n B(x_k, delta)`. 由 Lebesgue 数定义, 这些开球都被 `cc O` 中的某个开集盖住, 记作 `B(x_k, delta) sube O_k`. 从而 `{O_k}_(k=1)^n` 是 `cc O` 的有限子覆盖.

紧 `rArr` 有界闭

度量空间中, `A` 紧 `rArr A` 是有界闭集.

1. 有界性: 即证存在一个开球 `B` 使得 `A sube B`. 用开球族 `{B(x, 1): x in A}` 覆盖 `A`, 于是存在有限子覆盖. 由于任意两个开球的并是有界的, 由归纳法可知这个有限子覆盖也是有界的.
2. 闭集: 这是由于度量空间是 Hausdorff 空间.

度量空间中有界闭集不一定紧. 无限集上的离散度量空间就是一例: 整个空间是有界闭的, 每个单点集 `{x}` 构成开覆盖, 但没有有限子覆盖. 更多反例 ›

`n` 维欧氏空间 `bbb E^n` 中, `A` 紧 `iff A` 是有界闭集.

紧 `iff` 任意连续函数有界

度量空间中, `A` 紧致当且仅当任意 `A to RR` 的连续函数有界.

1. `rArr`: 这是因为紧集在连续函数下的像也是紧的, 而 `RR` 是度量空间意味这个像也是有界的. 此方向的命题在 `A` 是一般拓扑空间的情况下也成立.
2. `lArr`: ??

紧致性的弱化版本*

紧致性虽然是很好的拓扑性质, 但它太强了, 欧氏空间 `bbb E^n` 都不是紧致的. 下面的定义是紧致性的一些弱化版本.

1. 若 `X` 的任意开覆盖都有可数子覆盖, 则称它为 Lindelöf 空间 (林德洛夫空间). 这个定义就是把紧致性的“有限”换成“可数”.
2. 若 `X` 的任意可数开覆盖都存在有限子覆盖, 则称它是可数紧致的.
3. 若 `X` 的任意子空间都是 Lindelöf 的, 则称它是强 Lindelöf 空间.
4. 局部紧 任意一点存在紧致的邻域.
5. 仿紧 (paracompact) 每个开覆盖都有局部有限的开加细.

1. 欧氏空间 `RR^n` 虽然不是紧的, 但它是局部紧的. `RR^n` 也是 Lindelöf 的, 因为它是可数个紧集的并.
2. 下限拓扑 `RR_l` (见第一章, 定义为左闭右开区间生成的拓扑, 比 `RR` 严格细) 是强 Lindelöf 的, 但不是紧致的.

局部紧

Hausdorff 空间的不相交紧集能被开集分离 推论: 紧 Hausdorff `rArr T_4`.

[知乎@sumeragi693] 设 `X` 为 Hausdorff 空间, `A, B` 是不相交紧集. 要证明存在不相交开集 `U supe A`, `V supe B`.
对任意 `x in A` 和 `y in B`, 存在不相交的开邻域 `x in U_(x, y)`, `y in V_(x, y)`. 对每个固定的 `x`, `{ V_(x, y): y in B }` 构成 `B` 的开覆盖, 因此它们中的有限个 `{ V_(x, y_i) }_(j=1)^n` 已经覆盖了 `B`. 记 `V_x := uuu_(j=1)^n V_(x, y_j)`, `quad U_x := nnn_(j=1)^n U_(x, y_j)`, 则 `V_x` 是 `B` 的开邻域, `U_x` 是 `x` 的开邻域 (因为每个 `U_(x, y_j)` 是 `x` 的开邻域).
再让 `x` 取遍 `A` 的每一点, `{ U_x: x in A }` 构成 `A` 的开覆盖, 设它们中的有限个 `{ U_(x_i) }_(i=1)^m` 已经覆盖了 `A`. 记 `U := uuu_(i=1)^m U_(x_i)`, `quad V := nnn_(i=1)^m V_(x_i)`, 则 `U` 是 `A` 的开邻域, `V` 是 `B` 的开邻域 (因为每个 `V_x` 是 `B` 的开邻域). 下证 `U nn V = O/`. 先对固定的 `x`, `U_x nn V_x` `sube uuu_(i=1)^n U_(x, y_i) nn V_(x, y_i)` `= O/`. 于是 `U nn V` `sube uuu_(i=1)^m U_(x_i) nn V_(x_i)` `= O/`.

局部紧 Hausdorff `rArr T_3`.

[知乎@sumeragi693] 设 `X` 是局部紧 Hausdorff 空间, 取一点 `x in X` 和它的开邻域 `U`, 下证存在 `x` 的开邻域 `V` 使得 `bar V sube U`.
1. 由局部紧性, 存在 `x` 的开邻域 `W` 和紧集 `K`, 使得 `x in W sube K`. 考虑集合 `O = W nn U`, 它是 `x` 在子空间 `K` 中的开邻域. 由 Hausdorff 的遗传性知道, 子空间 `K` 是紧 Hausdorff 空间, 因此是 `T_4` 空间, 从而是 `T_3` 空间. 这意味着存在 `x` 在子空间 `K` 中的开邻域 `V`, 使得 `"cl"_K(V) sube O`. 这里 `"cl"_K` 表示在子空间 `K` 中的闭包, 我们有 `"cl"_K(V) = bar V nn K`.
2. 易知 `V sube W sube K`, 因此 `V` 也是子空间 `W` 的开集; 而 `W` 是 `X` 的开集, 因此 `V` 也是 `X` 的开集.
3. 下证 `"cl"_K(V) = bar V`. `"cl"_K(V)` 是紧空间 `K` 的闭集, 因此是 `K` 的紧集, 从而是 `X` 的紧集. 由于 `X` 是 Hausdorff 空间, 它的紧子集都是闭的, 故 `"cl"_K(V)` 是 `X` 的闭集. 但 `"cl"_K(V) = bar V nn K sube bar V`, 所以 `"cl"_K(V)` 是 `X` 中包含 `V` 的最小闭集, 即 `"cl"_K(V) = bar V`.

Lindelöf

类似于紧空间的性质: Lindelöf 空间的闭子集也是 Lindelöf 的.

1. `C_2 rArr "Lindelöf"`;
2. Lindelöf 度量空间 `rArr C_2`;

1. 任取 `X` 的开覆盖 `cc O`. 设 `cc B` 是可数拓扑基, 则对 `AA x in X`, `EE U_x in cc O` 及 `B_x in cc B` 使得 `x in B_x sube U_x`. 用选择公理固定集合 `S = {U_x: x in X}` 和 `T = {B_x: x in X}`. 则 `T` 是可数集, 且 `f: S to T`, `U_x mapsto B_x` 是一个满射. 对每个 `B_x in T` 任选一个代表元 `U_x in S`, 使得 `f(U_x) = B_x`. 如此选出的 `U_x` 的集合就是 `cc O` 的可数子覆盖.
2. [知乎@sumeragi693] 对每个正整数 `n`, 取度量空间 `X` 的开覆盖 `cc U_n = {B(x, 2^-n): x in X}`. 由于 `X` 是 Lindelöf 空间, 存在 `cc U_n` 的可数子覆盖 `cc V_n`. 下证 `cc B = uuu_(n ge 1) cc V_n` 是拓扑基: 只需证对任意开球 `B(x, epsi)`, 都存在 `B in cc B` 使得 `x in B sube B(x, epsi)`. 先取 `n` 充分大, 使 `2^-n lt epsi`, 由于 `cc V_(n+1)` 是 `X` 的覆盖, 存在 `B = B(y, 2^-(n+1)) in cc V_(n+1) sube cc B`, 使得 `x in B`. 另一方面, `AA z in B`, `d(x, z) le d(x, y) + d(y, z)` `lt 2^-n lt epsi`, 因此 `B sube B(x, epsi)`.

我们证明了, 对于度量空间 `C_2 iff "可分" iff "Lindelöf"`. 事实上在度量空间中, 可分性和 Lindelöf 性可以遗传至子空间. 这是因为度量空间的子空间仍是度量空间, 且 `C_2` 具有遗传性. 一般拓扑空间中, 可分性是开遗传的, Lindelöf 性是闭遗传的.

列紧 Lindelöf 空间是紧的.

[知乎@sumeragi693] 设 `X` 是自列紧 Lindelöf 空间, 若 `X` 不紧, 则存在一个可数开覆盖 `{U_n}`, 其没有有限的子覆盖. 对任意正整数 `n`, `uuu_(i=1)^n U_i` 不能把 `X` 盖住, 故存在 `x_n in X - uuu_(i=1)^n U_i`. 由列紧性, 点列 `{x_n}` 有一个收敛子列 `x_(n_k) to x`. 但 `{U_n}` 是可数开覆盖, 故 `EE m` 使得 `x in U_m`. 由收敛性的定义, `x` 的开邻域 `U_m` 含有 `{x_n}` 中的无穷多项, 特别地, 存在 `n gt m` 使得 `x_n in U_m`, 与 `x_n` 的取法矛盾.

注意, 我们没有证明 Lindelöf 空间中的自列紧集是紧的, 因为 Lindelöf 缺乏遗传性.

`C_2` 空间是列紧的, 当且仅当它是紧的. 这是因为 `C_2 rArr C_1`, 给出命题的 `lArr` 部分, `C_2 rArr` Lindelöf, 给出 `rArr` 部分.

Tychonoff 定理 `"Lindelöf" and T_3 rArr T_4`.

[知乎@sumeragi693] 任取 `X` 中两个不相交闭集 `A, B`, 对 `AA x in A`, `B^c` 是它的开邻域. 由 `X` 的正则性知道 `EE` `x` 的开邻域 `U_x`, 满足 `bar U_x sube B^c`. 因此 `{U_x: x in A}` 是 `A` 的一个开覆盖. 根据 Lindelöf 性质闭遗传, `A` 也是 Lindelöf 的, 故存在上述开覆盖的可数子覆盖, 记作 `A sube uuu_(n ge 1) U_n`. 类似地, 存在 `B` 的可数开覆盖 `B sube uuu_(n ge 1) V_n`, 其中 `bar V_n sube A^c`. 构造开集列 `A_n, B_n` 如下 `A_n := U_n - uuu_(i=1)^n bar V_i`, `quad B_n := V_n - uuu_(i=1)^n bar U_i`. 对任意 `x in A`, `EE n` 使得 `x in A_n`, 故 `A sube uuu_(n ge 1) A_n`, 类似 `B sube uuu_(n ge 1) B_n`. 我们得到了 `A, B` 的两个开邻域, 下证 `uuu_(n ge 1) A_n` 与 `uuu_(n ge 1) B_n` 不相交. 事实上若它们的交不空, 则存在正整数 `m, n` 使得 `A_m nn B_n != O/`. 若 `m ge n`, 这意味着存在一点 `x`, `x in A_m = U_m - bar V_1 - bar V_2 cdots - bar V_m`, 从而 `x !in bar V_n`. 这与 `x in B_n sube bar V_n` 矛盾. 同理 `m le n` 时也推出矛盾.

度量化

本节讨论在什么条件下可以在拓扑空间中规定度量, 使它成为度量空间. 我们将遇到一些深刻的定理.

对拓扑空间 `X`, 以下 3 条等价:
1. `X` 是正规空间;
2. Urysohn 引理 `X` 中任意两个不相交闭集 `A, B` 被连续函数隔离, 即存在连续函数 `f: X to RR` 使得 `f(A) = 0`, `f(B) = 1`.
3. Tietze 扩张定理 `X` 的任一闭子集上的连续函数可以连续地扩张到 `X` 上.

Urysohn 度量化定理 `C_2 and T_3 rArr` 可度量化.

度量空间具有最好的分离性, 因此定理表明 `C_2 + T_3` 足以推出 `T_0` 至 `T_6` 的全部分离公理.

Baire 纲*

[张恭庆《泛函分析讲义》, 知乎@Gigil]

纲 (category, 与范畴没有关系) 设 `X` 是拓扑空间, `E sube X`.
1. 称 `E` 是稀疏集 (或无处稠密集), 如果它取闭包仍无内点, 即 `(bar E)^@ = O/`.
2. 称 `E` 是第一纲集 (或贫集), 如果它能写成可数个稀疏集之并; 否则称为第二纲集.

粗略地说, 第一纲集是 "小的", 第二纲集是 "大的". 纲与基数、Lebesgue 测度等概念从不同角度刻画集合的 "大小".

从稠密集的定义知道, `E` 在 `X` 中稠密 `iff E^c` 没有内点. 因此, `E` 是稀疏闭集 `iff E^c` 是稠密开集.

1. 稀疏集的子集、闭包、有限并仍稀疏;
2. 第一纲集的子集、可数并仍是第一纲集.

只证两个稀疏集的并仍稀疏: 设 `A, B` 是稀疏集, 我们考查集合 `bar(A uu B) = bar A uu bar B` 是否存在内点.
若存在非空开集 `U sube bar A uu bar B`, 由于 `A` 稀疏, 有 `U !sube bar A`, 即 `V := U nn (bar A)^c != O/`.
任取 `x in V`, 易知 `x in U sube bar A uu bar B` 及 `x !in bar A`, 这推出 `x in bar B`, 于是 `V sube bar B`.
但 `V` 是非空开集, 这与 `B` 是稀疏集矛盾. 因此 `bar(A uu B)` 是稀疏集.

1. `RR^n` 中的有限点集是稀疏集, 可数点集是第一纲集;
2. 在离散拓扑空间中, 每个子集都既闭又开, 因此空集是唯一的稀疏集;
3. Cantor 集是稀疏集, 它的闭包是自身;
4. 第一纲集的闭包未必是第一纲集. 例如 `bar QQ = RR`: 其中 `QQ` 是第一纲集, 然而根据下文的 Baire 纲定理, `RR` 是第二纲集.

Baire 空间 设 `X` 是拓扑空间, 则以下几条等价:
1. `X` 中每个非空开集是第二纲集;
2. `X` 中每个第一纲集无内点;
3. `X` 中任意可数个稀疏闭集的并无内点;
4. `X` 中任意可数个稠密开集的交仍稠密;
满足以上任一条件的拓扑空间称为 Baire 空间.

1. `rArr` 2: 假设 `E` 是第一纲集, 且有内点, 则存在非空开集 `U sube E`. `U` 是第一纲集的子集, 所以它也是第一纲集, 与 1. 矛盾.
   2. `rArr` 1: 假设存在一个非空开集 `U`, 其为第一纲集, 则显然 `U` 有内点, 与 2. 矛盾;
2. `rArr` 3: 显然.
   3. `rArr` 2: 假设 `E` 是第一纲集, 将它写为稀疏集之并: `E = uuu_(i=1)^oo E_i`. 右边每个集合取闭包, 得到更大的集合: `E sube uuu_(i=1)^oo bar E_i`. 由 3. 知道右边集合无内点, 故 `E` 也无内点.
3. `iff` 4: 取补集, 稀疏闭集的补是稠密开集, 无内点集的补是稠密集.

度量空间中, `E` 是稀疏集的充要条件是: 对任意开球 `B_0`, 存在开球 `B_1 sube B_0` 使得 `bar E nn bar B_1 = O/`.

1. `rArr`: 设 `E` 是稀疏集, 则 `bar E` 不能包含任一开球, 故存在 `x_1 in B_0 - bar E`. 由于 `bar E` 是闭集, 而度量空间中, 闭集外一点到闭集有正的距离, 故存在以 `x_1` 为心的开球 `B_1 sube B_0`, 满足 `bar E nn bar B_1 = O/`.
2. `lArr`: 设 `E` 不是稀疏集, 则存在开球 `B_0 sube bar E`, 任取开球 `B_1 sube B_0 sube bar E`, 则 `bar B_1 sube bar E`, 于是 `bar E nn bar B_1 = bar B_1 != O/`, 矛盾.

局部紧 Hausdorff 空间中, 设 `U` 为非空开集, 则存在非空开集 `V`, 使得 `bar V sube U` 且 `bar V` 紧.

[Gemini 3]
1. 取 `x in U`, 由局部紧性, 存在 `x` 的紧邻域 `K`. 在 Hausdorff 空间中, `K` 是闭的. 令 `O := K^@ nn U`, 则 `O` 是 `x` 的开邻域. 由于局部紧 Hausdorff 空间满足 `T_3` 公理, 我们可以分离点 `x` 和闭集 `K - O`, 即存在 `x` 的开邻域 `V`, 使得 `bar V sube O`.
2. 下面验证 `V` 的性质. 显然 `V` 是非空开集且 `bar V sube O sube U`, 下证 `bar V` 紧: 这是因为 `bar V sube O sube K^@ sube K`, 紧集的闭子集也是紧集, 故 `bar V` 紧.

Baire 纲定理
1. 完备度量空间是 Baire 空间.
2. 局部紧 Hausdorff 空间是 Baire 空间.

1. [张恭庆《泛函分析讲义》] 设 `X` 是完备度量空间. 若存在一个非空开集 `E sube X`, 其是第一纲集, 我们把它写为稀疏集之并: `E = uuu_(n=1)^oo E_n`. 任取开球 `B_0`, 使 `bar B_0 sube E`. 由引理, 存在开球 `B_1 sube B_0` 使得 `bar E_1 nn bar B_1 = O/`. 我们不妨设 `B_1` 的半径 `lt 1`: 如若不然, 可以取一个半径 `lt 1` 的开球 `B_1' sube B_1`, 由引理存在开球 `B_1'' sube B_1'` 使得 `bar E_1 nn bar(B_1'') = O/`. 然后以 `B_1''` 代替 `B_1` 进行讨论即可.
   如此继续下去, 得到一列开球 `B_0 supe B_1 supe cdots`, 满足 `n ge 1` 时: `B_n` 的半径 `lt 1//n`,
   `bar E_n nn bar B_n = O/`. 提取这些开球的球心, 得到点列 `{x_n}`. 我们有 `d(x_i, x_j) lt 1//n`, `quad AA i, j gt n`. 因此它是基本列, 存在极限 `x in bar B_n`, `AA n in NN`. 由于 `bar E_n nn bar B_n = O/`, 我们得到 `x !in E_n`, `AA n in NN`, 即 `x !in E`. 这与 `x in bar B_n sube bar B_0 sube E` 矛盾.
2. [Rudin《泛函分析》] 设 `X` 是局部紧 Hausdorff 空间, 任给一族稠密开集 `{V_n}_(n=1)^oo`, 下证它们的交集稠密, 即对任意非空开集 `U sube X`, `U nn (nnn V_n) != O/`.
   由引理, 可取非空开集 `B_1`, 满足 `bar B_1 sube U`, 且 `bar B_1` 是紧的. 假设已有非空开集 `B_n`, 使得 `bar(B_n)` 紧, 由于 `V_n` 稠密, `B_n nn V_n` 是非空开集. 利用引理, 可取非空开集 `B_(n+1)`, 使得 `bar B_(n+1) sube B_n nn V_n`, 且 `bar(B_(n+1)) sube bar(B_n)` 紧. 根据紧集套定理, `K := nnn_(n=1)^oo bar B_n != O/`. 由 `K` 的定义知 `K sube U nn (nnn V_n)`, 因此后者也是非空的.

连通性

连通

道路连通

拓扑性质小结

拓扑空间的例子

遗传性与可乘性

[参考 知乎@ZCC]

1. 若一个拓扑性质在子空间中仍成立, 则称它具有遗传性; 把子空间换成开子空间、闭子空间, 就得到开遗传、闭遗传的定义.
2. 若一个拓扑性质在两个空间中成立, 推出它在乘积空间中也成立, 则称它具有 (有限) 可乘性; 把两个空间换成可数个空间或任意多个空间, 就得到可数可乘和任意可乘的定义.
3. 若一个拓扑性质在连续映射 (或开映射、闭映射、商映射) 的像当中得到保持, 我们就在下表的“映射”一行写上相应的映射类型.
4. 若一个拓扑性质在加细后的拓扑空间中保持, 我们就在下表的“加细”一行打勾 (若 `tau_1 sube tau_2`, 称 `tau_2` 是 `tau_1` 的加细).

1. 反例: `RR_l` 是 Lindelöf 空间, 但 `RR_l^2` 不是. 不过我们有: Lindelöf 空间 `xx` 紧致空间 `=` Lindelöf 空间.

可数性的图景

小结如下:
1. `C_2` 蕴含可分与 Lindelöf; 在度量空间中三者等价.
2. `C_2 rArr C_1`, 可度量化 `rArr C_1`; 但 `C_2` 与可度量化不能互相推出.
3. 紧 Hausdorff `rArr T_4`, 局部紧 Hausdorff `rArr T_3`.
4. Tychonoff 定理: `"Lindelöf" and T_3 rArr T_4`.
5. Urysohn 度量化定理: `C_2 and T_3 rArr` 可度量化.