[本文整理自知乎@sumeragi693, 他的证明和超滤子一样细]

滤子和网是点列的抽象化概念, 常用于描述抽象拓扑空间中的收敛性. 滤子与网是等价的概念, 其中网更多地用于泛函分析, 处理复杂函数空间的拓扑. 本章属于点集拓扑的进阶内容, 初次接触拓扑学的读者了解定义即可. 笔者计划在下一章开始代数拓扑的笔记. 代数拓扑里一些概念是微分流形中相应概念的抽象, 建议先学习微分流形的相关知识.

滤子

定义

    设 `X` 为非空集合, 子集族 `cc F sube 2^X` 满足以下 3 个条件时, 就称为 `X` 上的真滤子, 简称滤子:
  1. 含全集, 不含空集: `X in cc F`, `O/ !in cc F`;
  2. 有限交: `F_1, F_2 in cc F rArr F_1 nn F_2 in cc F`;
  3. 传递性: `F sube G sube X and F in cc F rArr G in cc F`.
    4. 可以将滤子与拓扑的定义进行比较. 由 1. 立即得知, `cc F != O/`, 且是 `2^X` 的真子集, 故得名真滤子. 由 2. 知道 `cc F` 中任意有限个集合的交都非空, 这称为滤子的有限交性质.
  1. 平凡滤子 `{X}` 本身是一个滤子.
  2. Frechet 滤子 (或余有限滤子) 设 `X` 为无限集, 则 `cc F = { F sube X: F^c 为有限集 }` 是 `X` 的滤子.
  3. 邻域系滤子 设 `X` 为拓扑空间, `x in X`. 则 `x` 的全体邻域 `cc N_x` 是滤子.
  4. 几乎处处滤子 `RR` 上所有零测集的补集构成滤子.
    5. 从例子可以看出, 滤子 `cc F` 由 `X` 上一些比较“大”的集合组成. 滤子的定义也验证了这一直觉, 例如“大”集合的交仍然大, 如果一个集合的子集大, 那么它本身也是大的.
    限制与扩张 设 `F` 是 `X` 上的滤子, `A sube X`.
  1. 若 `A in cc F`, 可以将 `cc F` 限制到子集 `A` 上, 这是指 `cc F|_A := {F nn A: F in cc F}`;
  2. 反之将子集 `A` 上的滤子 `cc G` 扩张到 `X` 上, 是指 `cc G|^X := {H: EE G in cc G, G sube H sube X}`.
    3. 可以证明滤子的限制与扩张仍是滤子, 且限制与扩张是互逆运算: `cc F|_A |^X = cc F`, `quad cc G|^X |_A = cc G`.
    只证第一个等式.
  1. 左 `sube` 右: 任取 `H in cc F|_A|^X`, 则 `EE F nn A in cc F|_A` 使得 `F nn A sube H sube X`, 其中 `F, A in cc F`. 由滤子的有限交性质知 `F nn A in cc F`, 再由滤子的传递性知道 `H in cc F`.
  2. 右 `sube` 左: 任取 `H in cc F`, 要证 `H in cc F|_A|^X`, 即证 `EE F in cc F` 使得 `F nn A sube H sube X`. 取 `F = H`, 上式显然成立.

滤子的像 我们研究两个非空集合 `X, Y` 上的滤子之间的关系. 设 `cc F` 为 `X` 上的滤子, 任给映射 `f: X to Y`, 可以验证 `f(cc F) := {G sube Y: f^-1(G) in cc F}` 是 `Y` 上的滤子, 称为滤子 `cc F` 的像.

生成与加细

滤子的生成 设 `X` 是非空集合, `cc F` 是 `X` 的非空子集族, 且满足有限交性质. 记 `cc F_nn := { F: F 是 cc F 中集合的有限交 }`,
`(:cc F:) := { G: EE F in cc F_nn, F sube G sube X}`. 则 `(:cc F:)` 是滤子, 称为子集族 `cc F` 生成的滤子. 可以验证 `cc F sube (:cc F:)`.
特别取非空子集 `F sube X`, 则 `cc F = {F}` 具有有限交性质, 生成的滤子 `(:cc F:) = { G: F sube G sube X}` 即为 `X` 中包含 `F` 的所有集合.
特别的特别, 令 `F = {x}`, 则 `(:cc F:) = {G sube X: x in G}` 是 `X` 中包含 `x` 的所有集合, 称为 `x` 生成的主滤子, 简记为 `(:x:)`.

    设 `cc F, cc G` 为 `X` 上的滤子.
  1. 若 `cc F sube cc G`, 则称 `cc G` 为 `cc F` 的加细或细分;
  2. 若任意 `F in cc F`, `G in cc G` 都有 `F nn G != O/`, 则称 `cc F, cc G` 是并存的;

滤子 `cc F, cc G` 并存当且仅当它们具有共同的加细.

  1. `rArr`. 令 `cc H = cc F uu cc G`, 由 `cc F, cc G` 并存知道 `cc H` 仍满足有限交性质. 又由 `cc F sube cc H sube (:cc H:)`,
    `cc G sube cc H sube (:cc H:)`     知道, `(:cc H:)` 是 `cc F, cc G` 的共同加细.
  2. 设 `cc H` 是它们的共同加细, 则它满足有限交性质, 从而 `AA F in cc F sube cc H`, `AA G in cc G sube cc H`, `F nn G != O/`.

我们已经知道滤子 `cc F, cc G` 并存时, `(:cc F uu cc G:)` 是它们的共同加细. 事实上, `cc F ^^ cc G := { F nn G: F in cc F, G in cc G }` 也是一个共同加细, 而且是最小共同加细.

  1. 显然对任意 `F in cc F` 有 `F = F nn X in cc F ^^ cc G`; 对 `G in cc G` 同理. 所以 `cc F uu cc G sube cc F ^^ cc G`.
  2. 下证 `cc F ^^ cc G` 是滤子.
    1. `X in cc F, X in cc G rArr X in cc F ^^ cc G`.
    2. 由 `cc F, cc G` 并存知道 `O/ !in cc F ^^ cc G`.
    3. 任取 `F_1 nn G_1, F_2 nn G_2 in cc F ^^ cc G`, 由 `F_1 nn F_2 in cc F` 和 `G_1 nn G_2 in cc G` 知道四个集合的交 `in cc F ^^ cc G`.
    4. 若 `H` 满足 `F nn G sube H sube X`, 其中 `F in cc F`, `G in cc G`, 则由 `F sube H uu F` 和 `G sube H uu G` 知道 `H uu F in cc F`, `H uu G in cc G`, 因此 `H = (H uu F) nn (H uu G)` `in cc F ^^ cc G`.
  3. 假设 `cc H` 也是 `cc F, cc G` 的共同加细, 由于滤子定义的第 2 条, `cc H` 包含了所有形如 `F nn G` 的集合, `F in cc F`, `G in cc G`. 这证明了 `cc F ^^ cc G sube cc H`.

和子群的生成, 或者 `sigma` 代数的生成不同, `(:cc F:)` 未必是包含 `cc F` 的最小滤子. 例如 `(:cc F uu cc G:)` 和 `cc F ^^ cc G` 就是包含 `cc F uu cc G` 的两个滤子, 后者是最小滤子, 而前者未必.

超滤子

称 `X` 上的极大滤子 `cc F` 是超滤子. 不存在超滤子的严格加细, 换言之, 若存在滤子 `cc G supe cc F`, 则 `cc G = cc F`.

设 `cc F` 是 `X` 上的超滤子, `G sube X` 且 `G !in cc F`, 则 `cc F` 与 `cc G = (:{G}:)` 不能并存. 换言之存在 `F in cc F` 使得 `F nn G = O/`.

假如 `cc F` 和 `cc G` 并存, 它们的共同加细 `(:cc F uu cc G:)` 将会是 `cc F` 的严格加细 (因为 `G !in cc F`), 从而与 `cc F` 是超滤子矛盾. 因此它们不能并存.
但 `cc G` 就是 `X` 中包含 `G` 的所有集合, `cc F` 与 `cc G` 不能并存意味着存在 `F in cc F` 和 `H supe G in cc G` 使得 `F nn H = O/`, 也即 `F nn G = O/`.

    超滤子的等价条件 设 `cc F` 是 `X` 上的滤子, 以下各款等价:
  1. `cc F` 是超滤子;
  2. `(AA G, H sube X)` `G uu H in cc F` `rArr G in cc F or H in cc F`;
  3. `(AA A sube X)` `A in cc F or A^c in cc F`.
  1. `rArr` 2. 反设 `G, H` 都不属于 `cc F`, 则由引理知, 即存在 `U, V in cc F` 使得 `U nn G = V nn H = O/`. 于是 `F nn U nn V` `= (G uu H) nn U nn V` `= (G nn U nn V) uu (H nn U nn V)` `= O/`, 这与 `F, U, V in cc F` 矛盾.
  2. `rArr` 3. 对 `G = A`, `H = A^c` 应用 2. 的结论即可.
  3. `rArr` 1. 设 `cc G` 是 `cc F` 的加细, `AA G in cc G`, `G` 和 `G^c` 不能同时属于 `cc G`, 否则它们的交集 `O/ in cc G`. 于是 `G^c !in cc G`, 又 `cc F sube cc G`, 有 `G^c !in cc F`. 于是必有 `G in cc F`, 这证明了 `cc G = cc F`.

主滤子 `(:x:)` 是超滤子, 因为对 `AA A sube X`, 要么 `x in A`, 要么 `x in A^c`. 不是主滤子的超滤子称为非主超滤子或自由超滤子.

超滤子的像也是超滤子.

提示: 利用超滤子等价条件 3, 以及集合等式 `f^-1(G) uu f^-1(H) = f^-1(G uu H)`.

超滤子的存在性定理 `X` 上的任意滤子 `cc F` 都不能无限加细, 换言之存在一个超滤子 `cc U supe cc F`.

    `cc F` 的全体加细滤子按包含关系构成偏序 `(Phi, sube)`. 如果该偏序存在极大元, 就是我们要找的超滤子. 根据 Zorn 引理, 只需证它的每一链 `{cc F_lambda}` 有上界. 事实上取 `Psi = uuu_lambda cc F_lambda`, 作为集合, `Psi` 已然包含了每个 `cc F_lambda`, 下面只需验证 `Psi in Phi`, 即它是 `cc F` 的加细滤子:
  1. `X in Psi`, `O/ !in Psi`: 显然.
  2. 有限交: 任取 `A, B in Psi`, 其中 `A in cc F_1`, `B in cc F_2`. 由于 `{cc F_lambda}` 是链, `cc F_1` 与 `cc F_2` 有包含关系, 设 `cc F_1 sube cc F_2`. 于是 `A, B in cc F_2`, 因此 `A nn B in cc F_2 sube Psi`.
  3. 传递性: 设 `F in Psi`, 其中 `F in cc F_1`. 若 `G supe F`, 则 `G in cc F_1 sube Psi`.
  4. 最后, 因为每个 `cc F_lambda` 都是 `cc F` 的加细, 所以 `Psi` 也是 `cc F` 的加细.

超滤子的存在性定理依赖 Zorn 引理, 并未给出具体的构造方法. 对于具体的 `cc F` (例如 Frechet 滤子), 找到一个包含它的超滤子往往是困难的.

拓扑空间上的滤子

我们应用滤子研究拓扑空间. 先用滤子的语言描述常见的拓扑概念, 让我们从闭包开始.

    滤子的极限点与聚点 设 `cc F` 是拓扑空间 `X` 上的滤子, `cc N_x` 是点 `x in X` 的邻域系滤子.
  1. 若 `cc N_x sube cc F` (即 `cc F` 是邻域系 `cc N_x` 的加细), 则称 `cc F` 收敛于 `x`, `x` 是 `cc F` 的极限点, 记为 `cc F to x`.
  2. 若 `cc N_x` 与 `cc F` 并存 (即它们有公共加细), 则称 `x` 是 `cc F` 的聚点.

极限点与聚点的关系 极限点必为聚点. 反之如果将滤子加细, 可以使聚点变为极限点. 具体而言, 设 `cc F` 是拓扑空间 `X` 上的滤子, `x in X`, 则 `x` 是 `cc F` 的聚点 `iff cc N_x` 与 `cc F` 有公共加细 `cc G` `iff EE cc G supe cc F`, 使 `x` 是 `cc G` 的极限点.

闭包的刻画 设 `A` 是拓扑空间 `X` 的非空子集, 则 `x in bar A` `iff x` 是 `A` 上某个滤子的极限点.

    只需证 `x in bar A` `iff x` 是 `X` 上某个滤子 `cc F` 的极限点, 且 `A in cc F`. 此时 `cc F` 在 `A` 上的限制就是我们要找的滤子: `cc F|_A = {U nn A: U in cc N_x}`.
  1. `rArr`: 因为 `x in bar A`, `A` 与 `x` 的任意邻域 `U in cc N_x` 都有交点. 考虑 `X` 上的滤子 `cc F = cc N_x ^^ (:{A}:)` `= {U nn B: U in cc N_x, A sube B sube X}`. 取 `U = X`, `B = A` 可知 `A in cc F`. 又取 `B = X` 可知 `cc N_x sube cc F`, 故 `x` 是 `cc F` 的极限点.
  2. `lArr`: 由 `A in cc F` 知道, `A` 与 `cc F` 中的任意集合都有交点, 但 `cc F to x`, 所以 `cc N_x sube cc F`, 推出 `A` 与 `x` 的每个邻域都有交点, 即 `x in bar A`.

对于一般的拓扑空间, `bar A` 中的点未必是 `A` 中点列的极限点, 但一定是某个滤子极限. 滤子的引入克服了点列的这个缺陷: 将点列对应到滤子, 子列对应到滤子的加细. 某种程度上, 我们拥有了滤子版本的“聚点原理”.

闭包与聚点 `X` 上滤子 `cc F` 的全体聚点是 `nnn_(F in cc F) bar F`.

`AA x in X`, `x` 是 `cc F` 的聚点
`iff cc N_x` 与 `cc F` 并存
`iff AA F in cc F`, `F` 和 `x` 的每个邻域都有交点
`iff AA F in cc F`, `x in bar F`
`iff x in nnn_(F in cc F) bar F`.

连续性的刻画 设 `X, Y` 是拓扑空间, 则 `f: X to Y` 在 `x in X` 连续, 当且仅当对任意 `X` 上的滤子 `cc F`, `cc F to x rArr f(cc F) to f(x)`.

回忆 `f(cc F)` 的定义 `f(cc F) := {V sube Y: f^-1(V) in cc F}`. 记 `y = f(x) in Y`, 则 `f` 在 `x in X` 连续 `iff AA V in cc N_y`, `f^-1(V) in cc N_x` `iff cc N_y sube f(cc N_x)`. 我们只需证下面两条等价:
  1. `cc N_y sube f(cc N_x)`;
  2. 对任意滤子 `cc F supe cc N_x` 都有 `cc N_y sube f(cc F)`.
事实上,
  1. `rArr` 2: `cc N_y sube f(cc N_x) sube f(cc F)`;
  2. `rArr` 1: 取 `cc F = cc N_x` 显然成立.

如果 `X` 是第一可数的 (具有可数邻域基), 也可以用点列刻画映射的连续性. 我们再次看到滤子是点列的推广.

滤子极限的唯一性 `X` 为 Hausdorff 空间当且仅当任意收敛的滤子极限唯一.

  1. 设 `X` 是 Hausdorff 空间, 且 `cc F to x`, `cc F to y`, 下证 `x = y`. 如若不然, `x, y` 有不相交的邻域 `U, V in cc F`, 这与滤子的有限交性质矛盾.
  2. 现在设 `X` 上任意收敛的滤子极限唯一. 任取 `x != y` 两点, 如果它们的任意邻域都相交, 则 `cc N_x, cc N_y` 并存, 从而有公共加细 `cc F`, 且 `cc F to x`, `cc F to y`. 这是不可能的.

Hausdorff 空间中收敛点列的极限唯一, 但反之由收敛点列的极限唯一, 不足以推出空间是 Hausdorff 的 (需要附加第一可数的条件). 在滤子极限中, 结论可以改进为充要条件.

拓扑空间 `X` 是紧的, 当且仅当对每个具备有限交性质的闭集族 `{A_lambda}`, 都成立 `nnn_lambda A_lambda != O/`. 所谓有限交性质是指任意有限个 `A_lambda` 的交都不空. 此引理是紧集套定理的推广版本.

    注意到 `nnn_lambda A_lambda = O/` `iff X = uuu_lambda A_lambda^c`. 现在证明原命题.
  1. `rArr`: 设 `X` 紧, 如果 `nnn_lambda A_lambda = O/`, 则 `{A_lambda^c}` 构成 `X` 的开覆盖. 由紧性, 存在有限子覆盖 `{A_i^c}_(i=1)^n`. 这等价于 `nnn_(i=1)^n A_i = O/`, 与 `{A_lambda}` 的有限交性质矛盾.
  2. `lArr`: 设 `{U_lambda}` 是 `X` 的开覆盖, 则 `{U_lambda^c}` 是一族闭子集, 满足 `nnn_lambda U_lambda^c = O/`. 根据已知条件, 闭集族 `{U_lambda^c}` 不具备有限交性质, 存在有限个集合的交为空: `nnn_(i=1)^n U_i^c = O/`, 即 `X` 被有限个开集 `{U_i}_(i=1)^n` 覆盖.
    紧性的刻画 在拓扑空间 `X` 中, 以下命题等价:
  1. `X` 为紧空间;
  2. `X` 上任意滤子存在聚点, 换言之存在收敛的加细滤子;
  3. `X` 上任意超滤子收敛.
  1. `iff` 2. 任取滤子 `cc F`, 由滤子的有限交性质知道, 闭集族 `bar(cc F) := {bar F: F in cc F}` 也具备有限交性质. 根据引理, 存在 `x in nnn bar(cc F)`, 即 `x` 是 `cc F` 的聚点.
    反之要证 `X` 紧, 任取一个具备有限交性质的闭集族 `cc F`, 它生成的滤子 `cc G` 有聚点 `x`, 即 `x in nnn bar(cc G)`, 即 `x` 是所有 `bar G` 的公共点. 但 `cc F sube cc G`, `x` 也是所有 `bar F = F in cc F` 的公共点. 由引理知 `X` 紧.
  2. `iff` 3. 由 2. 知超滤子 `cc U` 也存在收敛的加细, 但 `cc U` 的加细只能是自身, 故 `cc U` 收敛.
    反之若任意超滤子收敛, 则每个滤子 `cc F` 可被加细为超滤子, 即 `cc F` 存在收敛的加细.

初拓扑 (特别是积拓扑) 中的滤子 设 `X` 为非空集合, 上面装备了由映射族 `f_lambda: X to X_lambda`, `lambda in Lambda` 诱导的初拓扑. 在 `X` 上, 滤子收敛当且仅当它的每个分量对应收敛, 即 `F to x` `iff (AA lambda in Lambda)` `f_lambda(cc F) to f_lambda(x)`.

  1. `rArr`: 由 `f_lambda` 连续可知.
  2. `lArr`: 任取 `x` 的邻域 `V sube X`, 由初拓扑的基知道, `x` 属于有限个 `f^-1_i(U_i)` 的交集, 其中 `U_i in X_1` 是 `x_i := f_i(x)` 的开邻域: `x in nnn_(i=1)^n f^-1_i(U_i) sube V`. 由已知 `f_i(cc F) to f_i(x)`, 故 `U_i in f_i(cc F)`, 即 `f_i^-1(U_i) in cc F`. 于是 `nnn_(i=1)^n f_i^-1(U_i) in cc F` `rArr V in cc F`. 由 `V` 的任意性知 `cc F to x`.

用一个例子展示滤子的威力:

用滤子证明 Tychonoff 定理: 任意多个紧空间的乘积仍是紧空间.

要证 `X = prod_lambda X_lambda` 紧, 只需证它上面的任意超滤子 `cc F` 收敛. 根据前一定理, 这当且仅当每个分量 `j_lambda(cc F)` 收敛, 其中 `j_lambda: X to X_lambda` 是投影映射. 但超滤子的像 `j_lambda(cc F)` 是超滤子, 由于 `X_lambda` 紧, `j_lambda(cc F)` 就是收敛的.

网

定义

网也是点列概念的推广, 某种程度上, 网的术语与点列的术语更加近似, 而且子列其实是子网的一个特例.

有向集 设 `(Lambda, le)` 是非空预序集 (即偏序集去掉反对称性), 若对 `AA a, b in Lambda`, `EE c in Lambda` 使得 `a le c and b le c`, 则称 `(Lambda, le)` 为有向集. 这里的 `c` 可以看作 `a, b` 的共同“后继”.

  1. 非空全序集是有向集. 对于常见的全序集, 如 `NN`, 我们规定它的方向 `le` 就是通常的大小关系.
  2. 拓扑空间中, 考虑点 `x` 的邻域系 `cc N_x`, 规定它的方向为 `A le B iff A supe B`, 称为集合的反包含关系. 一般地, 称子集族 `cc B` 是有向集族, 如果它按反包含关系是有向的, 即对任意两个集合 `A, B`, 都有第三个集合含于 `A nn B`.
    网和子网
  1. 集合 `X` 上的网定义为一个映射 `f: Lambda to X`, 其中 `Lambda` 为有向集. 我们常把 `f(lambda)` 记作 `x_lambda in X`, 而把 `f` 记作 `(x_lambda)_(lambda in Lambda)`. 特别取 `Lambda = NN` 时, `(x_lambda)` 是一个点列.
  2. 考虑两个有向集间的映射 `varphi: M to Lambda`, 我们称 `varphi` 趋于无穷, 若它满足: 对 `AA lambda in Lambda`, `EE m_0 in M` 使得 `varphi(m) ge lambda`, `quad AA m ge m_0`. 现在设 `f: Lambda to X` 是网. 若 `varphi` 趋于无穷, 则称复合映射 `f @ varphi: M to X` 是 `f` 的子网. 依定义 `f` 是自己的子网. 如果记 `f = (x_lambda)`, 则子网可以记为 `(x_(varphi(lambda)))`.

点列的子网不一定是子列: 一方面, 子列的下标要求严格递增, 而子网没有此要求. 考虑 `{x_n} = n`, 则 `(1, 1, 2, 2, 3, 3, ...)` 是子网, 但不是子列. 另一方面, 子网的指标集 (定义域) 允许是不可数集, 例如取 `varphi: RR^+ to ZZ^+`, `varphi(x) = ceil(x)`. 则 `f @ varphi` 是子网, 它不可能是子列.

最终于, 频繁于 设 `(x_lambda)_(lambda in Lambda)` 是 `X` 上的网, `A sube X`.
称 `(x_lambda)` 最终于 `A` (或几乎包含于 `A`), 如果 `EE lambda_0 in Lambda`, `AA lambda ge lambda_0`, `x_lambda in A`. 称 `(x_lambda)` 频繁于 `A` (或无限包含于 `A`), 如果 `AA lambda_0 in Lambda`, `EE lambda ge lambda_0`, `x_lambda in A`. 显然“最终于”蕴含“频繁于”.

若 `(x_lambda)` 最终于 `A`, 则它的子网也最终于 `A`; 若 `(x_lambda)` 的子网最终于 `A`, 则 `(x_lambda)` 频繁于 `A`.

设 `(x_lambda)` 是 `X` 上的网, `cc B` 是 `X` 中的有向集族 (按反包含关系). 则存在一个子网 `(x_(varphi(lambda)))` 满足 `AA B in cc B`, `(x_lambda)` 频繁于 `B rArr (x_(varphi(lambda)))` 最终于 `B`.

  1. 令 `f = (x_lambda)`, `M := {(lambda, B) in Lambda xx cc B: f(lambda) in B}`, 又令 `varphi: M to Lambda`, `varphi(lambda, B) = lambda` 是投影映射, 下证 `(x_(varphi(lambda)))` 是所求的子网. 首先只要存在 `B in cc B` 使得 `(x_lambda)` 频繁于 `B`, 就有许多 `lambda` 满足 `f(lambda) in B`, 故 `M` 非空. 定义 `M` 上的二元关系为 `(lambda_1, B_1) le (lambda_2, B_2)` `iff lambda_1 le lambda_2 and B_1 supe B_2`, 则 `M` 是有向集.
  2. 证明 `f @ varphi` 是子网: 设 `(x_lambda)` 频繁于 `B_1`, 则 `AA lambda_0 in Lambda`, `EE lambda_1 ge lambda_0` 使得 `f(lambda_1) in B_1`, 即 `m_1 := (lambda_1, B_1) in M`. 又 `AA m ge m_1`, `varphi(m) = lambda ge lambda_1 ge lambda_0`. 这证明了 `varphi` 趋于无穷, 故 `f @ varphi` 是子网.
  3. 同时, `m_1` 满足 `AA m = (lambda, B) ge m_1`, `f @ varphi(m) = f(lambda) in B sube B_1` 这证明了子网 `f @ varphi` 最终于 `B_1`.

超网

超网 设 `(x_lambda)` 是 `X` 上的网, 若对 `AA A sube X`, `(x_lambda)` 要么最终于 `A`, 要么最终于 `A^c`, 则称它是一个超网. 若网的某个子网是超网, 则称它是一个超子网.

超网的子网是超网.

超网在任意映射下的像是超网.

网对应的滤子 称网 `(x_lambda)` 和滤子 `cc F` 对应, 如果 `(x_lambda)` 频繁于 `cc F` 的每个成员.

超子网的存在性 任意网都存在一个超子网.

拓扑空间中的网

    网的极限点与聚点 设 `(x_lambda)` 是拓扑空间 `X` 中的网, `x in X`.
  1. 如果 `(x_lambda)` 最终于 `x` 的每个邻域, 则称 `(x_lambda)` 收敛于 `x`, `x` 是 `(x_lambda)` 的极限点, 记为 `x_lambda to x`.
  2. 如果 `(x_lambda)` 频繁于 `x` 的每个邻域, 则称 `x` 是 `(x_lambda)` 的聚点.
    3. 特别当 `lambda = NN` 时, 上述定义与点列的极限点、聚点概念一致.

极限点与聚点的关系 显然极限点一定是聚点. 事实上, `x` 是网 `(x_lambda)` 的聚点
`iff (x_lambda)` 频繁于 `x` 的每个邻域
`iff (x_lambda)` 的某个子网最终于 `x` 的每个邻域
`iff x` 是 `(x_lambda)` 的某个子网的极限点. 特别, 超网的聚点与极限点等价. 这是因为 `x` 是超网 `(x_lambda)` 的聚点 `iff (x_lambda)` 频繁于 `x` 的每个邻域 `U`, 而 `(x_lambda)` 不可能最终于 `U^c`, 从而只能最终于 `U`.

闭包的刻画 `X` 是拓扑空间, `A sube X`, 则 `x in bar A` `iff x` 是 `A` 上的某个网的极限点.

连续性的刻画 设 `X, Y` 是拓扑空间, 则 `f: X to Y` 在 `x in X` 连续, 当且仅当对任意 `X` 上的网 `(x_lambda)`, `x_lambda to x rArr f(x_lambda) to f(x)`.

网极限的唯一性 `X` 为 Hausdorff 空间当且仅当任意收敛的网极限唯一.

    紧性的刻画 在拓扑空间 `X` 中, 以下命题等价:
  1. `X` 为紧空间;
  2. `X` 上任意网存在聚点, 即任意网存在收敛的子网;
  3. `X` 上任意超网收敛.

初拓扑中的网 设 `X` 为非空集合, 上面装备了由映射族 `f_lambda: X to X_lambda`, `lambda in Lambda` 诱导的初拓扑. 在 `X` 上, 网收敛当且仅当它的每个分量对应收敛, 即 `x_gamma to x` `iff (AA lambda in Lambda)` `f_lambda(x_gamma) to f_lambda(x)`.

再放送:

用网证明 Tychonoff 定理: 任意多个紧空间的乘积仍是紧空间.

要证 `X = prod_lambda X_lambda` 紧, 只需证它上面的任意超网 `(x_gamma)` 收敛, 这当且仅当每个分量 `j_lambda(x_gamma)` 收敛, 其中 `j_lambda: X to X_lambda` 是投影映射. 但超网的像 `j_lambda(x_gamma)` 仍是超网, 由于 `X_lambda` 紧, `j_lambda(x_gamma)` 就是收敛的.