[知乎@sumeragi693]

滤子和网是点列的抽象化概念, 常用于描述抽象拓扑空间中的收敛性. 本章属于点集拓扑的进阶内容, 初次接触拓扑学的读者了解定义即可. 笔者计划在下一章开始代数拓扑的笔记.

滤子

定义

    设 `X` 为非空集合, 子集族 `cc F sube 2^X` 满足以下 3 个条件时, 就称为 `X` 上的真滤子, 简称滤子:
  1. 含全集, 不含空集: `X in cc F`, `O/ !in cc F`;
  2. 有限交: `F_1, F_2 in cc F rArr F_1 nn F_2 in cc F`;
  3. 传递性: `F sube G sube X and F in cc F rArr G in cc F`.
    4. 可以将滤子与拓扑的定义进行比较. 由 1. 立即得知, `cc F != O/`, 且是 `2^X` 的真子集, 故得名真滤子. 由 2. 知道 `cc F` 中任意有限个集合的交都非空, 这称为滤子的有限交性质.
  1. Frechet 滤子 (或余有限滤子) 设 `X` 为无限集, 则 `cc F = { F sube X: F^c 为有限集 }` 是 `X` 的滤子.
  2. 邻域系滤子 设 `X` 为拓扑空间, `x in X`. 则 `x` 的全体邻域 `cc N_x` 是滤子.

滤子的生成

滤子的生成 设 `X` 是非空集合, `cc F` 是 `X` 的非空子集族, 且满足有限交性质. 记 `cc F_nn := { F: F 是 cc F 中集合的有限交 }`,
`(:cc F:) := { G sube X: EE F in cc F_nn, F sube G }`. 则 `(:cc F:)` 是滤子, 称为子集族 `cc F` 生成的滤子. 可以验证 `cc F sube (:cc F:)`.
特别当 `x` 是 `X` 中的一点, 则 `cc F = {{x}}` 具有有限交性质, 它的有限交集合 `cc F_nn = {{x}}`. 生成的滤子 `(:cc F:) = { G sube X: x in G }` 即为包含点 `x` 的所有集合. 称它为 `x` 生成的主滤子.

    设 `cc F, cc G` 为 `X` 上的滤子.
  1. 若 `cc F sube cc G`, 则称 `cc G` 为 `cc F` 的加细或细分;
  2. 若任意 `F in cc F`, `G in cc G` 都有 `F nn G != O/`, 则称 `cc F, cc G` 是并存的;

滤子 `cc F, cc G` 并存当且仅当它们具有共同的加细.

  1. `rArr`. 令 `cc H = cc F uu cc G`, 由 `cc F, cc G` 并存知道 `cc H` 仍满足有限交性质. 又由 `cc F sube cc H sube (:cc H:)`,
    `cc G sube cc H sube (:cc H:)`     知道, `(:cc H:)` 是 `cc F, cc G` 的共同加细.
  2. 设 `cc H` 是它们的共同加细, 则它满足有限交性质, 从而 `AA F in cc F sube cc H`, `AA G in cc G sube cc H`, `F nn G != O/`.

我们已经知道滤子 `cc F, cc G` 并存时, `(:cc F uu cc G:)` 是它们的共同加细. 事实上, `cc F ^^ cc G := { F nn G: F in cc F, G in cc G }` 也是一个共同加细, 而且是最小共同加细.

  1. 显然对任意 `F in cc F` 有 `F = F nn X in cc F ^^ cc G`; 对 `G in cc G` 同理. 所以 `cc F uu cc G sube cc F ^^ cc G`.
  2. 下证 `cc F ^^ cc G` 是滤子.
    1. `X in cc F, X in cc G rArr X in cc F ^^ cc G`.
    2. 由 `cc F, cc G` 并存知道 `O/ !in cc F ^^ cc G`.
    3. 任取 `F_1 nn G_1, F_2 nn G_2 in cc F ^^ cc G`, 由 `F_1 nn F_2 in cc F` 和 `G_1 nn G_2 in cc G` 知道四个集合的交 `in cc F ^^ cc G`.
    4. 若 `H` 满足 `F nn G sube H sube X`, 其中 `F in cc F`, `G in cc G`, 则由 `F sube H uu F` 和 `G sube H uu G` 知道 `H uu F in cc F`, `H uu G in cc G`, 因此 `H = (H uu F) nn (H uu G)` `in cc F ^^ cc G`.
  3. 假设 `cc H` 也是 `cc F, cc G` 的共同加细, 由于滤子定义的第 2 条, `cc H` 包含了所有形如 `F nn G` 的集合, `F in cc F`, `G in cc G`. 这证明了 `cc F ^^ cc G sube cc H`.

和子群的生成, 或者 `sigma` 代数的生成不同, `(:cc F:)` 未必是包含 `cc F` 的最小滤子. 例如 `(:cc F uu cc G:)` 和 `cc F ^^ cc G` 就是包含 `cc F uu cc G` 的两个滤子, 后者是最小滤子, 而前者未必.

滤子的限制与扩张

超滤子

滤子的像

滤子的应用

网