[来自尤承业《基础拓扑学讲义》]

拓扑空间

开集

拓扑公理 设 `X != O/`, 称 `X` 的子集族 `tau sube 2^X` 为 `X` 的一个拓扑, 如果它满足
1. `X, O/ in tau`;
2. `tau` 中任意多个集合的并仍在 `tau` 中;
3. `tau` 中任意有限个集合的交仍在 `tau` 中.
集合 `X` 连同其上的拓扑 `tau` 组成一个拓扑空间 `(X, tau)`, 不引起混淆的情况下, 简记为 `X`. `tau` 中的成员称为这个拓扑空间的开集. 因此, 给出集合的一个拓扑就是指定它的哪些子集是开集 (在满足拓扑公理的前提下).

应用归纳法知, 拓扑公理的 3. 等价于 `tau` 中任意两个集合的交仍在 `tau` 中.

任意个开集的交未必是开集, 这一事实叫做「不可开交」.

设 `X != O/`.

平凡拓扑 (trival topology)

`tau_t := {X, O/}` 是 `X` 上最小的拓扑, 它的开集只有全空间与空集;

离散拓扑 (discrete topology)

`tau_s := 2^X` 是 `X` 上最大的拓扑, `X` 的任一子集都是开集;

余有限拓扑 (cofinite topology)

`tau_f := {A^c: A sube X, |A| lt oo} uu {O/}`, `X` 为无穷集合;

余可数拓扑 (cocountable topology)

`tau_c := {A^c: A sube X, |A| = aleph_0} uu {O/}`, `X` 为不可数集合;

欧氏拓扑 (Euclidean topology)

`bbb E := (RR, tau_e)`, `tau_e := {U: U 是任意多开区间的并}`. `U` 可以是 0 个开区间的并, 因此 `O/ in tau_e`.

下限拓扑 (Sorgenfrey line)

`RR_l := (RR, tau_l)`, `tau_l := {U: U 是任意多个左闭右开区间 [a,b) 的并}`.

设 `tau_1, tau_2` 是 `X` 上的两个拓扑. 称 `tau_2` 比 `tau_1` 大或精细, 如果 `tau_1 sube tau_2`.
例如 `(RR, tau_f)` 小于 `(RR, tau_c)` 和 `bbb E`; `bbb E` 小于 `RR_l`, 而 `(RR, tau_c)` 和 `bbb E` 不能比较大小.

闭集

称拓扑空间 `X` 的子集 `A` 为闭集, 如果 `A^c` 是开集. `(X, tau)` 的全体闭集可以写作 `{A^c: A in tau}`.

1. 平凡拓扑空间中只有两个闭集: `X` 与 `O/`;
2. 离散拓扑空间中, 任何子集都是闭集;
3. 余有限拓扑空间 `(X, tau_f)` 中, 闭集是 `X` 或有限集;
4. 余可数拓扑空间 `(X, tau_c)` 中, 闭集是 `X` 或可数集.

由拓扑公理和 De Morgan 公式, 拓扑空间的闭集满足:
1. `X`, `O/` 都是闭集;
2. 任意多个闭集的交仍是闭集;
3. 有限个闭集的并仍是闭集.

度量拓扑

设 `X != O/`, 称映射 `d: X xx X to RR` 为 `X` 上的一个度量, 如果它对于 `AA x, y, z in X` 满足
1. 正定性. `d(x, y) { = 0, if x = y; gt 0, if x != y :}`;
2. 对称性. `d(x, y) = d(y, x)`;
3. 三角不等式. `d(x, z) le d(x, y) + d(y, z)`.
集合 `X` 连同其上的度量 `d` 组成一个度量空间 `(X, d)`, 有时也简记为 `X`.

在 `RR^n` 上规定度量 `d(x, y) = (sum_(i=1)^n (x_i - y_i)^2)^(1/2)`, 称 `bbb E^n = (RR^n, d)` 为 `n` 维欧氏空间.

度量空间 `(X, d)` 上以 `x_0` 为心, `epsi gt 0` 为半径的开球定义为 `B(x_0, epsi) := {x in X: d(x_0, x) lt epsi}`.

度量空间 `(X, d)` 的任意两个开球的交可以表为一族开球的并.

设 `U = B(x_1, epsi_1) nn B(x_2, epsi_2)`, 任取 `x in U`, 有 `d(x, x_i) lt epsi_i`, `i = 1, 2`. 取 `epsi_x = min{epsi_1 - d(x, x_1), epsi_2 - d(x, x_2)}`, 则对任意 `y in B(x, epsi_x)`, 有 `d(x, y) lt epsi_x le epsi_i - d(x, x_i)`, `i = 1, 2`. 于是 `d(x_i, y) le d(x_i, x) + d(x, y) lt epsi_i`, `i = 1, 2`, 即 `B(x, epsi_x) sube U`. 从而 `U = uuu_(x in U) B(x, epsi_x)`.

任意度量空间上都可以诱导出一个拓扑 `tau_d = {uuu_(alpha in I) O_alpha: O_alpha "是开球"}`, 称为度量拓扑. 特别把欧氏空间 `E^n` 的度量拓扑称为欧氏拓扑.

显然 `tau_d` 满足拓扑公理的 1 和 2 (注意 `I` 可以是空集). 下证它满足 3. 设 `U = uuu_alpha B(x_alpha, epsi_alpha), V = uuu_beta B(x_beta, epsi_beta) in tau_d`, 则 ` U nn V = (uuu_alpha B(x_alpha, epsi_alpha)) nn (uuu_beta B(x_beta, epsi_beta))` `= uuu_(alpha, beta) (B(x_alpha, epsi_alpha) nn B(x_beta, epsi_beta))`. 再由引理知 `U nn V in tau_d`.

度量空间中,
1. 闭集外一点到闭集有正的距离.
2. 开集内一点存在以该点为心的开球含于开集内.

度量空间中, 点到集合的距离定义为 `d(x, A) := inf_(y in A) d(x, y)`.
1. 假设 `A` 是闭集, `d(x, A) = 0`, 则对任意 `epsi gt 0` 存在 `y in A` 使得 `d(x, y) lt epsi`, 即 `x` 都任意小邻域都含有 `A` 中的点, `x in bar A = A`.
2. 假设 `B` 是开集, `x in B`, 则 `B^c` 是闭集, `x` 是闭集外一点. 设 `d(x, B^c) = delta gt 0`, 则 `B(x, delta) nn B^c = O/`, 即 `B(x, delta) sube B`.

子空间拓扑

设 `A` 是拓扑空间 `(X, tau)` 的非空子集. 容易验证 `tau_A := { U nn A: U in tau }` 是 `A` 上的一个拓扑, 称为 `tau` 导出的 `A` 上的子空间拓扑, `(A, tau_A)` 称为 `(X, tau)` 的子空间.

1. 设 `A` 是拓扑空间 `(X, tau)` 的非空子集, `B` 是 `A` 的非空子集, 于是 `B` 有两个途径得到子空间拓扑: 一是直接作为 `X` 的子空间, 二是作为 `(A, tau_A)` 的子空间. 两个拓扑事实上是一样的. 记 `(tau_A)_B` 是 `tau_A` 导出的 `B` 上的拓扑, 则 `(tau_A)_B = { V nn B: V in tau_A }` `= { (U nn A) nn B: U in tau }` `= { (U nn B): U in tau } = tau_B`.
2. 对于度量空间 `(X, d)` 的非空子集 `A`, 也有两种途径得到拓扑: 一是直接作为 `(X, tau_d)` 的子空间, 二是由 `d` 在 `A` 上的限制得到 `A` 上的度量 `d_A`, 再决定 `A` 的度量拓扑 `tau_(d_A)`. 这两个拓扑也是相同的.

开集及依赖开集定义的其他概念都是相对概念, 需要指出所在的空间. 对于子空间 `A` 的子集 `U`, 笼统地说 `U` 是不是开集意义就不明确了, 必须说明在 `A` 中看还是在全空间中看. 如 `bm E^1` 是 `bm E^2` 的子空间, 开区间 `(0, 1)` 在 `bm E^1` 中是开集, 但在 `bm E^2` 中不是.

设 `X` 是拓扑空间, `B sube A sube X`, 则 `B` 是 `A` 的开集 `iff EE X` 中开集 `U`, `B = U nn A`;
`B` 是 `A` 的闭集 `iff EE X` 中闭集 `C`, `B = C nn A`.

结论一由子空间拓扑的定义可得. 利用结论一, `B` 是 `A` 的闭集 `iff A\\B` 是 `A` 的开集 `iff EE X` 中开集 `U`, `A\\B = U nn A`. 令 `C = U^c`, 等号两边同时取 `A` 中的补集, 于是上式 `iff EE X` 中闭集 `C`, `B = C nn A`.

设 `X` 是拓扑空间, 则
1. 若 `B sube A sube X`, `B` 是 `X` 的开 (闭) 集, 则 `B` 也是 `A` 的开 (闭) 集;
2. 传递性. 若 `A` 是 `X` 的开 (闭) 集, `B` 是 `A` 的开 (闭) 集, 则 `B` 也是 `X` 的开 (闭) 集.

利用,
1. 当 `B` 是 `X` 的开 (闭) 集时, `B = B nn A` 也是 `A` 的开 (闭) 集.
2. 由 `B` 是 `A` 的开 (闭) 集, 存在 `X` 的开 (闭) 集 `U`, 使得 `B = U nn A`. 又由 `A` 是 `X` 的开 (闭) 集知, `B` 是 `X` 的开 (闭) 集.

一些拓扑概念

邻域与内点

设 `X` 为拓扑空间, `A sube X`, `x in A`. 如果存在开集 `U` 满足 `x in U sube A`, 则称 `x` 是 `A` 的一个内点, `A` 是 `x` 的一个邻域 (neighborhood). 特别地, 若 `A` 本身是开集, 则称 `A` 是 `x` 的开邻域. 由定义知道, `A` 是 `x` 的邻域当且仅当它含着 `x` 的一个开邻域. `A` 的全体内点的集合称为 `A` 的内部, 记为 `A^@` 或 `overset @ A` 或 `"int" A`.

1. `A sube B rArr A^@ sube B^@`;
2. `A^@` 是 `A` 中所有开集的并, 因此是 `A` 中最大的开集;
3. `A` 是开集 `iff A^@ = A`;
4. `(A nn B)^@ = A^@ nn B^@` (可推广到有限个);
5. `(A uu B)^@ supe A^@ uu B^@`.

1. `x in A^@` `iff EE U in tau, x in U sube A` `rArr EE U in tau, x in U sube B` `iff x in B^@`.
2. 设 `{U_alpha: alpha in I}` 是 `A` 中的所有开集构成的子集族, 则 `x in A^@` `iff EE U in tau, x in U sube A` `iff EE alpha in I, x in U_alpha` `iff x in uuu_(alpha in I) U_alpha`.
3. `A in tau iff A = uuu_(alpha in I) U_alpha = A^@`.
4. `(A nn B) sube A rArr (A nn B)^@ sube A^@`, 同理 `(A nn B)^@ sube B^@`, 得到 `(A nn B)^@ sube A^@ nn B^@`. 另一方面, 由 3. 有 `A nn B supe A^@ nn B^@` `rArr (A nn B)^@ supe (A^@ nn B^@)^@` `= A^@ nn B^@`.
5. 因为 `A^@ uu B^@` 是包含在 `A uu B` 中的开集, 由 2. 有 `(A uu B)^@ supe A^@ uu B^@`. 等号不成立的一个例子是 `bm E^1` 中, `A = (0, 1]`, `B = (1, 2)`; 此时 `(A uu B)^@ = (0, 2)`, `A^@ uu B^@ = (0, 1) uu (1, 2)`.

导集与闭包

设 `X` 为拓扑空间, `A sube X`, `x in X`.
1. 闭包 `bar A` 定义为: `x in bar A iff x` 的任意 (开) 邻域与 `A` 有交点.
2. 导集 `A'` 定义为: `x in A' iff x` 的任意 (开) 邻域与 `A\\{x}` 有交点. `A'` 中的点称为 `A` 的聚点或极限点.
我们有 `bar A = A uu A'`.

拓扑空间中的聚点近旁未必聚集了 `A` 的无穷多个点. 设 `X = {a, b, c}`, `tau = {X, O/, {a}}`, `A = {a}`, 则 `b, c` 都是 `A` 的聚点, 因为 `b, c` 的邻域都只有 `X`, 而 `a in X`; `a` 不是 `A` 的聚点, 因为 `A\\{a} = O/`.

`A` 是拓扑空间 `X` 的子集, 则 `(bar A)^c = (A^c)^@`, `quad` `(A^@)^c = bar(A^c)`.

`x in (bar A)^c` `iff x` 有邻域与 `A` 不相交 `iff x` 有邻域含于 `A^c` `iff x in (A^c)^@`. 第一式得证; 以 `A^c` 替换第一式的 `A`, 再于等号两边取补集得第二式.

1. `A sube B rArr bar A sube bar B`;
2. `bar A` 是所有包含 `A` 的闭集的交, 因此是包含 `A` 的最小闭集;
3. `A` 是闭集 `iff bar A = A`;
4. `bar(A uu B) = bar A uu bar B` (可推广到有限个);
5. `bar(A nn B) sube bar A nn bar B`.

用的结果:
1. `A sube B` `iff B^c sube A^c` `rArr (B^c)^@ sube (A^c)^@` `iff (bar B)^c sube (bar A)^c` `iff bar A sube bar B`.
2. (`U_alpha` 定义同) `(A^c)^@ = uuu_(alpha in I) U_alpha`, `bar A = ((A^c)^@)^c = nnn_(alpha in I) U_alpha^c`.
3. `A` 是闭集 `iff A^c` 是开集 `iff (A^c)^@ = A^c` `iff bar A = A`.
4. `(bar(A uu B))^c` `= ((A uu B)^c)^@` `= (A^c nn B^c)^@` `= (A^c)^@ nn (B^c)^@` `= (bar A)^c nn (bar B)^c` `= (bar A uu bar B)^c`.
5. `"右"^c = (A^c)^@ uu (B^c)^@` `sube (A^c uu B^c)^@` `= ((A nn B)^c)^@` `= "左"^c`.

稠密与可分

1. 称拓扑空间 `X` 的子集 `A` 是稠密 (dense)的, 如果 `bar A = X`;
2. 称 `X` 是可分 (separable)的, 如果它存在可数的稠密子集.

“可分”这个术语并不形象, 或许应该称为“可数稠密”, 并且称它为 `C_(1.5)` 公理?

`A` 在 `X` 中稠密 `iff` `X` 中的任意非空开集 `U` 与 `A` 有交点.

1. `(RR, tau_f)` 的非空开集是有限集的余集, 因此它的任一无穷子集都是稠密的. `QQ` 是一个可数的稠密子集. 从而 `(RR, tau_f)` 可分.
2. `(RR, tau_c)` 的任一可数集是闭集, 其闭包不可能是 `RR`, 从而不稠密. 因此 `(RR, tau_c)` 不可分.

1. `n` 维欧氏空间 `E^n` 是可分度量空间, `(q_1, cdots, q_n)`, `q_i in QQ` 是它的可数稠密子集.
2. Hilbert 空间 `E^omega` 空间可以看作无穷维的欧氏空间. 它定义为所有平方收敛的实数列构成的线性空间, 内积为 `({x_n}, {y_n}) := sum x_n y_n`. 可以验证 `{{q_n} in E^omega: q_n in QQ, 且只有有限个不为零 }` 是一个可数稠密子集, 因此 `E^omega` 是可分度量空间.

序列收敛性

设 `x` 是拓扑空间 `X` 中的一点, `{x_n}` 是 `X` 中的点列. 若对 `x` 的任意 (开) 邻域 `U`, 存在正整数 `N`, 使 `n gt N` 时, 都有 `x_n in U` (换言之, `{x_n}` 只有有限项不在 `U` 中, 我们也说 `{x_n}` 几乎在 `U` 中), 则称 `{x_n}` 收敛到 `x`, 记为 `x_n to x`.

若 `{x_n}` 两两不同, 且收敛到 `x`. 将 `{x_n}` 视为集合, 则 `x` 是 `{x_n}` 的聚点.

拓扑空间中的收敛序列失去了一些重要的分析性质.
1. 序列可以收敛到多个点. `(RR, tau_f)` 中, 令 `{x_n}` 的项两两不同, 则对任意 `x in RR`, 其邻域 `U` 的余集是有限集, 从而 `{x_n}` 只有有限项不在 `U` 中. 这推出 `x_n to x`. Hausdorff 空间中可以保证序列极限的唯一性, 见第二章.
2. 聚点原理一般不成立. 数学分析中, 当 `x` 是 `A` 的聚点时, `A` 中有序列收敛到 `x`. 但在 `(RR, tau_c)` 中可以证明 (反证法), 收敛点列中, `{x_n}` 的尾部都是同一点, 换言之不等于 `x` 的项只有有限个: `x_n to x` `iff EE N, AA n gt N, x_n = x`. 设 `A` 是一个不可数真子集, 则包含 `A` 的闭集只有 `RR`, 这推出 `bar A = RR`. 取 `x in A^c`, 则 `x` 是 `A` 的聚点, 但 `A` 中不存在序列收敛到 `x`. 要使聚点原理成立, 满足 `C_1` 公理是一个充分条件, 见第二章第一节.

连续映射与同胚映射

连续映射的定义

设 `X, Y` 是两个拓扑空间, 称映射 `f: X to Y` 在 `x in X` 处连续, 如果以下任一条成立:
1. `V` 是 `f(x)` 在 `Y` 中的 (开) 邻域 `rArr f^-1(V)` 是 `x` 在 `X` 中的邻域.
2. `f(x) in V^@ rArr x in f^-1(V)^@`.
3. 对 `f(x)` 的每个开邻域 `V`, 必存在 `x` 的开邻域 `U`, 使 `U sube f^-1(V)`, 即 `f(U) sube V`.

定义中的第一个"邻域"换成"开邻域"也是对的, 因为任一 `f(x)` 的邻域 `V` 总是包含一个开邻域 `V'`, 而 `V' sube V rArr f^-1(V') sube f^-1(V)`.

设 `f: X to Y`, `A sube X`. 则 `f` 在 `A` 上的限制定义为: `f_A = f | A: A to Y`,
`x = f(x)`. `A` 到 `X` 的包含映射定义为: `i_A: A to X`,
`i_A(a) = a`.

1. 对任意 `V sube Y`, `f_A^-1(V) = A nn f^-1(V)`.
2. `f_A = f @ i_A`.

设 `A` 是拓扑空间 `X` 的子集, `x in A`, `f: X to Y`. 记 `f_A = f | A: A to Y` 是 `f` 在 `A` 上的限制, 则
1. `f` 在 `x` 连续 `rArr f_A` 在 `x` 连续;
2. `A` 是 `x` 的邻域时, 1. 是充要的.

1. 设 `V` 是 `f_A(x) = f(x)` 在 `Y` 上的邻域. 从而 `f^-1(V)` 是 `x` 在 `X` 的邻域, 即 `x in (f^-1(V))^@`. 但 `f_A^-1(V) = A nn f^-1(V)` `supe A nn (f^-1(V))^@`, 上式右端是 `A` 中含 `x` 的开集, 从而 `f_A^-1(V)` 是 `x` 在 `X` 的邻域. 这说明 `f_A` 在 `x` 连续.
2. 设 `V` 是 `f(x)` 的邻域, `f_A` 在 `x` 连续, 则存在 `A` 中开集 `U_A`, 使 `x in U_A sube f_A^-1(V) = A nn f^-1(V)`. 设 `U_A = U nn A`, 其中 `U` 是 `X` 的开集. 则 `U nn A^@` 也是 `X` 的开集, 且 `x in U nn A^@ sube U_A sube f^-1(V)`. 因此 `f` 在 `x` 连续.

的 2. 表明, 映射在一点的连续性只与它在该点附近 (即邻域内) 的情形有关. 因此和分析学中一样, 连续性是一种局部性概念.

如果映射 `f: X to Y` 在任一点 `x in X` 都连续, 则说 `f` 是连续映射.

设 `f: X to Y` 是映射, 则以下各款等价:
1. `f` 是连续映射;
2. `Y` 的任一开集在 `f` 下的原像是 `X` 的开集;
3. `Y` 的任一闭集在 `f` 下的原像是 `X` 的闭集.

1. `iff` 2. 若 `f` 是连续映射, 设 `V` 是 `Y` 的开集，`U = f^-1(V)`. 任取 `x in U`, 则 `f(x) in V = V^@`. 但 `f` 在 `x` 连续, 有 `x in U^@`. 由 `x` 的任意性知 `U = U^@`, 即 `U` 是开集. 反之, 若 `Y` 的任一开集在 `f` 下的原像是 `X` 的开集, 则任取 `x in X`, 对于 `Y` 中 `f(x)` 的任一开邻域 `V`, `f^-1(V)` 是包含 `x` 的开集, 即 `f` 在 `x` 连续.
2. `iff` 3. `F` 是 `Y` 的闭集 `iff F^c` 是 `Y` 的开集 `rArr f^-1(F^c)` 是 `X` 的开集 `iff f^-1(F) = (f^-1(F^c))^c` 是 `X` 的闭集. 反向的结论类似可证.

拓扑空间中一般不能用序列收敛来刻画连续性. 事实上, 如果 `f: X to Y` 在 `x in X` 处连续, 则当 `x_n to x` 时, 必有 `f(x_n) to f(x)`. 然而逆命题不成立. 例如设 `f` 为单射, `X` 是具有余可数拓扑的不可数空间, `Y` 是离散拓扑空间. 于是当 `x_n to x` 时, 对充分大的 `n`, 有 `x_n = x`, 从而 `f(x_n) to f(x)`. 但 `f` 在 `x` 并不连续, 如 `{f(x)}` 是 `f(x)` 的邻域, 但 (`f` 是单射) 其原像为 `{x}`, 并不是 `x` 的邻域.

连续映射的性质

连续映射的例子
1. 恒同映射 `"id": X to X`,
   `"id"(x) = x`.
2. 包含映射 设 `A` 是 `X` 的子空间, 定义 `i: A to X`,
   `i(a) = a`. `U` 是 `X` 的开集时, `i^-1(U) = A nn U` 是 `A` 的开集.
3. 常值映射 `f: X to Y`,
   `f(x) = y_0`. 设 `V` 是 `Y` 的开集, 则 `f^-1(V) = { X, if y_0 in V; O/, if "else"; :}` 是开集.
一般地, 如果 `X` 是离散拓扑空间, 或 `Y` 是平凡拓扑空间, 则 `f: X to Y` 一定是连续的.

复合映射的连续性. 设 `X, Y, Z` 都是拓扑空间, `f: X to Y` 在 `x` 处连续, `g: Y to Z` 在 `f(x)` 处连续, 则复合映射 `g @ f: X to Z` 在 `x` 处连续.

对于 `g(f(x))` 的任一邻域 `W`, 由 `g` 在 `f(x)` 处连续知 `g^-1(W)` 是 `f(x)` 的邻域; 又由于 `f` 在 `x` 处连续, `f^-1(g^-1(W)) = (g @ f)^-1(W)` 是 `x` 的邻域, 结论得证.

两个连续映射的复合也是连续映射.

利用, 可以给出中 1 的另一个证明: `f_A = f @ i`, 由 `f` 和 `i` 的连续性得到 `f_A` 连续.

称拓扑空间 `X` 的子集族 `cc C sube 2^X` 是 `X` 的一个覆盖, 如果 `uuu_(C in cc C) C = X`; 换言之, `AA x in X`, `EE C in cc C` 使 `x in C`. `cc C` 中成员都是开 (闭) 集时, 称之为开 (闭) 覆盖; `cc C` 为有限集时, 称为有限覆盖.

粘接引理 设 `{A_1, A_2, cdots, A_n}` 是 `X` 的一个有限闭覆盖, 如果 `f: X to Y` 在每个 `A_i` 上的限制 `f_(A_i)` 都连续, 则 `f` 是连续映射.

只需验证 `Y` 的每个闭集 `F` 的原像是 `X` 的闭集: `f^-1(F) = uuu_(i=1)^n (f^-1(F) nn A_i)` `= uuu_(i=1)^n f_(A_i)^-1(F)`. 由 `f_(A_i)` 的连续性, 每个 `f_(A_i)^-1(F)` 是 `A_i` 的闭集. 而 `A_i` 为 `X` 的闭集, 所以由闭集的传递性, `f_(A_i)^-1(F)` 也是 `X` 的闭集. 最后, `f^-1(F)` 作为有限个闭集的并也是闭集.

粘接引理是判断映射连续性的一种有效方法, 也是分片构造连续映射的依据.

同胚映射

称 `f: X to Y` 是同胚映射或拓扑变换, 如果 `f` 是双射, 且 `f, f^-1` 均连续. 当存在 `X` 到 `Y` 之间的同胚映射时, 就称 `X` 与 `Y` 同胚, 记作 `X cong Y`.

在全体拓扑空间集合内, 同胚是一等价关系, 其自反性, 对称性与传递性分别基于以下事实:
1. 恒同映射是同胚映射;
2. `f` 是同胚映射 `rArr f^-1` 是同胚映射;
3. 两个同胚映射的复合也是同胚映射.

称 `f: X to Y` 是嵌入映射, 如果 `f: X to f(X)` 是同胚映射. 例如, 包含映射 `i: A to X` 是嵌入映射. 如果存在 `X to Y` 的嵌入映射, 换言之 `X` 同胚于 `Y` 的某个子集, 就说 `X` 可以嵌入到 `Y`.

拓扑空间在同胚映射下保持不变的概念称为拓扑概念, 在同胚映射下保持不变的性质叫拓扑性质. 例如, 开集, 闭集, 邻域, 内点, 聚点, 闭包等等皆为拓扑概念. 用开集或其派生概念刻画的性质都是拓扑性质, 如可分性. `(RR, tau_f)` 可分, 而 `(RR, tau_c)` 不可分, 故它们不同胚.

开映射与闭映射

如果 `f: X to Y` 把 `X` 的开集映为 `Y` 的开集, 就称 `f` 为开映射. 类似定义闭映射. 同胚映射既是开映射, 又是闭映射.

当 `f` 是双射时, `f` 是开映射 `iff f` 是闭映射 `iff f^-1` 连续.

此时若 `f` 是连续的, 则它就是同胚.

乘积空间与拓扑基

设 `cc B sube 2^X` 是 `X` 的子集族, 规定新子集族 `(: cc B :) := {U sube X: U` 是 `cc B` 中若干成员的并`}` `= {U sube X: AA x in U, EE B in cc B, x in B sube U}`. 称为 `cc B` 生成的子集族. 显然 `cc B sube (: cc B :)`, `O/ in (: cc B :)`.

设 `X_1, X_2` 是两个集合, 规定 `X_1 xx X_2` 到 `X_i` 的投射 (`i = 1, 2`): `j_i: X_1 xx X_2 to X_i`,
`j_i(x_1, x_2) = x_i`.

投射是指一个“自然而然”的满射, 可以类比群论中 `G to G//N` 的自然同态.

由笛卡尔积的定义容易验证如下性质. 这些性质在 Euclid 空间 `bm E^2 = bm E^1 xx bm E^1` 中是直观的:
1. `A_i sube X_i` (`i = 1, 2`) `rArr A_1 xx A_2 sube X_1 xx X_2`;
2. `A_i, B_i sube X_i` (`i = 1, 2`) `rArr` `(A_1 xx A_2) nn (B_1 xx B_2) = (A_1 nn B_1) xx (A_2 nn B_2)`. 而对于并运算, 类似等式不成立.

乘积空间

设 `(X_1, tau_1)`, `(X_2, tau_2)` 是两个拓扑空间, 定义 `X_1 xx X_2` 上的拓扑 `tau`, 满足
1. `tau` 使得投射 `j_1, j_2` 都连续;
2. `tau` 是使 1. 成立的最小拓扑.
称为 `X_1 xx X_2` 上的乘积拓扑. 称 `(X_1 xx X_2, tau)` 为 `(X_1, tau_1)` 和 `(X_2, tau_2)` 的乘积空间, 简记为 `X_1 xx X_2`.

令 `cc B = {U_1 xx U_2: U_i in tau_i, i = 1, 2}`, 则它生成的子集族 `(: cc B :)` 就是 `X_1 xx X_2` 上的乘积拓扑. 例如, `bm E^2` 中的开集可以表示为若干开矩体的并.

1. 设 `tau` 是 `X_1 xx X_2` 上的拓扑, 使得 `j_1, j_2` 连续. 下证 `(:cc B:) sube tau`. 任取 `U_i in tau_i`, `i = 1, 2`, 由于 `j_i` 连续, `j_i^-1(U_i) in tau` (开集的原像也是开集). 而 ` U_1 xx U_2` `= (U_1 nn X_1) xx (U_2 nn X_2)` `= (U_1 xx X_2) nn (X_1 xx U_2)` `= j_1^-1(U_1) nn j_2^-1(U_2)` `in tau`. 这说明 `cc B sube tau`; 由 `tau` 满足拓扑公理 2 知 `(:cc B:) sube tau`.
2. 验证 `(:cc B:)` 是 `X_1 xx X_2` 上的拓扑. 显然, 它满足拓扑公理 1 和 2, 下证它满足拓扑公理 3. 设 `U, V in (:cc B:)`, 要证 `U nn V in (:cc B:)`. 任取 `(x_1, x_2) in U nn V`, 这蕴含 `(x_1, x_2) in U`, 从而存在 `U_i in tau_i`, `i = 1, 2`, 使 `(x_1, x_2) in U_1 xx U_2 sube U`; 同理存在 `V_i in tau_i`, `i = 1, 2`, 使 `(x_1, x_2) in V_1 xx V_2 sube V`. 于是 `(x_1, x_2) in (U_1 xx U_2) nn (V_1 xx V_2) sube U nn V`, 而 ` (U_1 xx U_2) nn (V_1 xx V_2)` `= (U_1 nn V_1) xx (U_2 nn V_2) in cc B`, 这推出 `U nn V in (:cc B:)`.

投射 `j_i`, `i = 1, 2` 是开映射, 即把 `X_1 xx X_2` 中的开集映到 `X_i` 中的开集.

类似地, `n` 个拓扑空间 `(X_i, tau_i)`, `i = 1, 2, cdots, n` 的乘积拓扑定义可以由 `cc B = {prod_(i=1)^n U_i: U_i in tau_i, i = 1, cdots, n}` 生成.

拓扑空间的乘积运算具有结合律, 即 `X_1 xx X_2 xx X_3 = (X_1 xx X_2) xx X_3 = X_1 xx (X_2 xx X_3)`.

任意多个拓扑空间的乘积*

两个集合 `X, Y` 的无交并定义为 `X ⊔ Y := {(x, 1): x in X} uu {(y, 2): y in Y}`. 即, 给两个集合的元素贴上不同标签, 处理后的集合 `X'` 与 `Y'` 是无交的. 这一定义可以推广到集合族的无交并.

任意多个集合 `{X_lambda}_(lambda in Lambda)` 的乘积定义为指标集到集族无交并的一族映射 `f: Lambda to ⨆_(lambda in Lambda) X_lambda`: `prod_(lambda in Lambda) X_lambda :=` `{f: Lambda to ⨆_(lambda in Lambda) X_lambda: AA lambda in Lambda, f(lambda) in X_lambda}`.

无穷乘积空间上的拓扑, 常见有两种, 它们的拓扑基分别是 `cc B_1 := {prod_(lambda in Lambda) U_lambda: U_lambda in tau_lambda}`,
`cc B_2 := {prod_(lambda in Lambda) U_lambda: U_lambda in tau_lambda, 且只有有限个 lambda 使得 U_lambda != X_lambda}`. 后一种称为 Tychonoff 拓扑, 性质更好, 应用更广.

乘积空间的性质

设 `Y` 是任一拓扑空间, `f: Y to X_1 xx X_2` 是一映射. 称 `f_i = j_i @ f: Y to X_i`, `i = 1, 2` 为 `f` 的两个分量 (映射). `f` 与它的两个分量相互决定.

假设如上. 则 `f` 连续 `iff f` 的分量都连续.

1. `rArr`. 因为 `j_i` 连续, 所以当 `f` 连续时, 复合映射 `f_i = j_i @ f` 也连续, `i = 1, 2`;
2. `lArr`. 设 `U_i in tau_i`, `i = 1, 2`, 则 `f_i^-1(U_i)` 是 `Y` 的开集. 但 `f(y) in U_1 xx U_2 iff f_i(y) in U_i (i = 1, 2)`, 因此 `f^-1(U_1 xx U_2) = f_1^-1(U_1) nn f_2^-1(U_2)` 是 `Y` 的开集. 对于 `X_1 xx X_2` 中一般的开集 `W`, 有 `W = uuu_(alpha in I) U_1^alpha xx U_2^alpha`, `U_i^alpha in tau_i`, `AA alpha in I`. 于是 `f^-1(W) = uuu_(alpha in I) f^-1(U_1^alpha xx U_2^alpha)` 也是 `Y` 的开集. 因此 `f` 连续.

此定理可推广到任意多个拓扑空间的乘积 (无穷情形用乘积拓扑). 还可证明, `X_1 xx X_2` 上使定理成立的拓扑只有乘积拓扑.

`AA b in X_2`, 映射 `j_b: X_1 to X_1 xx X_2`, `x |-> (x, b)` 是嵌入映射.

验证 `i_b: X_1 to j_b(X_1) = X_1 xx {b}` 是同胚. 显然它是双射. `i_b^-1` 是 `j_1` 在 `X_1 xx {b}` 上的限制, 因此是连续的. `i_b` 的两个分量分别是恒同映射 `"id": X_1 to X_1` 和 `X_1` 到 `X_2` 的常值映射, 都是连续的. 因此 `i_b` 连续.

拓扑基

回顾度量拓扑与乘积拓扑的定义, 它们都是用一个特定的子集族生成的. 在度量拓扑中, 这个子集族的成员是球形邻域; 在乘积拓扑中, 它们是 `X_1` 与 `X_2` 中开集的笛卡尔积 (开矩体). 从上述方法中抽象出拓扑基的概念.

1. 集合的拓扑基 称集合 `X` 的子集族 `cc B` 为集合 `X` 的拓扑基, 如果 `(:cc B:)` 是 `X` 的一个拓扑;
2. 拓扑空间的拓扑基 称拓扑空间 `(X, tau)` 的子集族 `cc B` 为这个拓扑空间的拓扑基, 如果 `(:cc B:) = tau`.
总之, 拓扑基中若干集合的并构成了 `X` 上的拓扑. 若两个拓扑基生成相同的拓扑, 则称它们等价.

`cc B` 是集合 `X` 的拓扑基的充要条件是:
1. `uuu_(B in cc B) B = X`;
2. `B_1, B_2 in cc B rArr B_1 nn B_2 in (:cc B:)`.

条件 2 显然是为了使拓扑公理 3 得到满足. 我们联系度量拓扑的证明. 必要性显然, 下证充分性, 即验证 `cc B` 满足拓扑公理. 由 `(:cc B:)` 的定义知它满足拓扑公理 2, 且 `O/ in (:cc B:)`. 条件 1 说明 `X in (:cc B:)`, 因此 `(:cc B:)` 也满足拓扑公理 1. 设 `U, V in (:cc B:)`, 记 `U = uuu_alpha B_alpha`, `V = uuu_beta C_beta`, 其中 `B_alpha, C_beta in cc B`, `AA alpha, beta`. 由条件 2 得 `B_alpha nn C_beta in (:cc B:)`, `AA alpha, beta`. 于是 `U nn V = uuu_(alpha, beta) (B_alpha nn C_beta) in (:cc B:)`. 从而拓扑公理 3 成立.

`cc B` 是拓扑空间 `(X, tau)` 的拓扑基的充要条件是:
1. `cc B sube tau`, 即 `cc B` 的每个成员都是开集;
2. `tau sube (:cc B:)`, 即每个开集都能表为 `cc B` 中若干成员的并.

必要性显然. 由拓扑公理 2 和条件 1 推出 `(:cc B:) sube tau`, 再结合 2 有 `tau = (:cc B:)`, 充分性得证.

子空间的拓扑基 若 `cc B` 是 `(X, tau)` 的拓扑基, `A sube X`, 容易验证 `A` 的子集族 `cc B_A := {A nn B: B in cc B}` 是 `(A, tau_A)` 的拓扑基.

事实上, `cc B_A` 的每个成员都是 `A` 的开集; 设 `V` 是 `A` 的开集, 则存在 `U in tau`, 使 `V = A nn U`. 设 `U = uuu_alpha B_alpha`, `B_alpha in cc B`, 则 `V = uuu_alpha (A nn B_alpha) in (:cc B_A:)`.

设 `X` 是拓扑空间, `cc B` 是其拓扑基, `A sube X`, 则 `x in A^@` `iff EE B in cc B`, `x in B sube A`.

回顾邻域与内点的定义可知, 此定理把前述定义中的开集换成了拓扑基中的特定开集. 于是, 许多由邻域定义的概念可由拓扑基刻画, 如 `x` 是 `A` 的聚点 `iff cc B` 中每个包含 `x` 的成员与 `A\\{x}` 有交点;
`x in bar A` `iff cc B` 中每个包含 `x` 的成员与 `A` 有交点;
`f: Y to X` 连续 `iff AA B in cc B`, `f^-1(B)` 是 `Y` 的开集. 当 `cc B` 中成员的形式比较 "规范" 时 (如度量空间的球形邻域或乘积空间中的开矩体), 以上的等价条件尤为方便.