本章主题围绕常见的拓扑性质: 分离性、可数性、紧致性、度量化和连通性.

分离公理

分离公理都是关于两个点 (或闭集) 能否用邻域来分隔的性质, 是对拓扑空间的附加要求.

`T_0` 到 `T_2`

`T_0` 公理 (Kolmogorov) 任意两个不同点, 存在其中一点的邻域不含另一点.

满足 `T_0` 公理的拓扑空间称为 `T_0` 空间, 依此类推.

`T_1` 公理 (Fréchet) 任意两个不同点 `x, y`: `x` 有邻域不含 `y`, `y` 有邻域不含 `x`.

`T_2` 公理 (Hausdorff, 豪斯多夫) 任意两个不同点有不相交的邻域.

以上三条公理中的邻域换成开邻域也是等价的. `T_2` 公理是最重要、最常用的分离公理. 显然 `T_2 rArr T_1 rArr T_0`.

`(RR, T_f)` 是 `T_1` 空间, 但不是 `T_2` 的. 因为 `x != y` 时, `RR\\{y}` 就是 `x` 的不含 `y` 的邻域. 但 `x, y` 的邻域都是有限集的余集, 因此一定相交.

`X` 是 `T_1` 空间 `iff X` 的有限子集是闭集.

1. `rArr`. 只须证单点集是闭集. 取 `x, y in X`, `x != y`, 则 `y` 有邻域不含 `x`, 因此 `y !in bar X`. 由 `y` 的任意性知 `bar({x}) = {x}`, 即 `{x}` 为闭集.
2. `lArr`. 设 `x != y`. 因为 `{y}` 是闭集, 所以 `X\\{y}` 是 `x` 的不含 `y` 的开邻域; 同理 `X\\{x}` 是 `y` 的不含 `x` 的开邻域.

`T_1` 聚点聚无穷 设 `X` 为 `T_1` 空间, `A sube X`, `x` 是 `A` 的聚点, 则 `x` 的任一邻域与 `A` 的交集是无穷集.

反设 `x` 有邻域 `U` 使得 `U nn A` 有限, 不妨设 `U` 是开集. 记 `B = (U nn A) \\ {x}`, 它是有限集, 因此是闭集. 因此 `U\\B = U\\A uu {x}` 仍是 `x` 的开邻域, 它与 `A\\{x}` 的交为空. 这与 `x in A'` 矛盾.

`T_2` 空间序列极限的唯一性 Hausdorff 空间中, 一个序列不会收敛到两个以上的点.

设 `{x_n}` 收敛到 `x`. 又设 `y != x`, 要证 `x_n` 不会收敛到 `y`. 我们取 `x, y` 的不相交邻域 `U, V`. 因为 `x_n to x`, 所以 `{x_n}` 除有限项外全部含于 `U`, 这样 `V` 中只有 `{x_n}` 的至多有限项, 不可能有 `x_n to y`.

`T_3` 到 `T_6`

`T_3` 公理 闭集外的一点与该闭集有不相交的 (开) 邻域.

`T_4` 公理 任意两个不相交闭集有不相交的 (开) 邻域. (如果 `A sube U^@`, 就说 `U` 是集合 `A` 的邻域).

有些地方称 `T_3` 空间为正则空间 (regular), `T_4` 空间为正规空间 (normal). 这两个术语容易混淆, 我们避免使用.

`T_5` 公理 每个子空间都是 `T_4` 空间.
可以证明, 对 `i = 1, 2, 3`, `T_i` 公理具有遗传性, 即 `T_i` 空间的子空间也是 `T_i` 空间. 然而 `T_4` 不具有遗传性. 这就是定义 `T_5` 公理的动机.

`T_6` 公理 任意两个不相交闭集 `A, B`, 存在连续函数 `X to RR` 使得 `f^-1(0) = A`, `f^-1(1) = B`.

`T_1` 公理成立时, 单点集是闭集, 因此 `T_4 rArr T_3 rArr T_2`. 但 `T_1` 不成立时, 上式存在反例, 如拓扑空间 `(RR, tau)`, 其中 `tau = {(-oo, a)| -oo le a le +oo}`. 该空间是 `T_4` 的, 但不满足 `T_1`, `T_2` 公理 (`T_3` 仍成立).

1. `T_4` 成立: 注意到 `(RR, tau)` 的任何两个非空闭集都相交. 这就是说, 若 `A, B` 是两个不相交闭集, 则必有其一是空集, 设 `B = O/`, 于是 `RR` 和 `O/` 分别是 `A, B` 的不相交邻域.

1. `T_3` 公理 `iff` 任取点 `x` 和它的开邻域 `W`, 存在 `x` 的开邻域 `U` 使得 `bar U sube W`.
2. `T_4` 公理 `iff` 任取闭集 `A` 和它的开邻域 `W`, 存在 `A` 的开邻域 `U` 使得 `bar U sube W`.

两个命题的证明相同, 下面只证 2.
1. `lArr`: 设 `A, B` 是不相交的闭集, 则 `B^c` 是 `A` 的开邻域. 由条件, 存在 `A` 的开邻域 `U` 使得 `bar U sube B^c`. 我们再找一个 `B` 的开邻域 `V` 使得 `U nn V = O/`. 事实上, 取 `V = (bar U)^c`, 则 `V` 是开集, `B sube V` 且 `U nn V = O/`.
2. `rArr`: 记 `B = W^c`, 则 `A, B` 是不相交的闭集. 由 `T_4` 公理, `A, B` 存在不相交开邻域 `U, V`. 即 `U sube V^c`. 则 `U` 满足 `bar U sube bar(V^c) = V^c sube B^c = W`.

喜报:

度量空间具有最好的分离性 度量空间 `X` 满足 `T_1` ~ `T_4` 公理.

只需证 `T_1` 和 `T_4` 成立.
1. `T_1`: 任取 `x in X`, 下证 `bar({x}) = {x}`. `AA y in X`, 若 `y` 的任意邻域交 `{x}` 非空, 则 `x in y` 的任意邻域, 这推出 `d(x, y) = 0`, 即 `x = y`.
2. `T_4`: 设 `A, B` 是不相交闭集, 不妨设它们非空. 下面我们构造 `X` 上的连续函数使得 `f(A) = 0`, `f(B) = 1` (参见下文的 Urysohn 引理). 任取 `x in X`, 因为度量空间的闭集外一点到该闭集有正的距离, 有 `d(x, A) + d(x, B) gt 0` . 规定 `X` 上连续函数 `f(x) = (d(x, A))/(d(x, A) + d(x, B))`, 则 `f(x) { = 0, if x in A; = 1, if x in B; in (0, 1), otherwise :}` 任取实数 `t in (0, 1)`, 则 `f^-1((-oo, t))` 和 `f^-1((t, +oo))` 是 `A, B` 的不相交邻域.

可数公理

定义

邻域基 设 `x in X`, 把 `x` 的所有邻域的集合称为 `x` 的邻域系 `cc N(x)`. `cc N(x)` 的子集 (即 `x` 的一族邻域) `cc U` 称为 `x` 的一个邻域基, 如果 `x` 的每个邻域至少包含 `cc U` 的一个成员.

1. `cc N(x)` 本身是 `x` 的邻域基.
2. `x` 的所有开邻域构成 `x` 的一个邻域基.
3. 对于度量空间, `B(x, 1//n)`, `n = 1, 2, cdots` 和 `B(x, q)`, `q in QQ` 都是 `x` 的邻域基.
4. 若 `cc B` 是拓扑空间 `X` 的拓扑基, 则 `cc U = {B in cc B | x in B}` 是 `x` 的邻域基.
5. 若 `cc U` 是 `x` 的邻域基, `cc V` 是 `x` 的一族邻域, 且任意 `U in cc U`, 存在 `V in cc V` 使得 `x in V sube U`. 那么 `cc V` 也是 `x` 的邻域基.

`C_1` 公理 任意 `x in X` 具有可数的邻域基.

`C_2` 公理 具有可数的拓扑基.

1. 满足 `C_1`, `C_2` 公理的拓扑空间分别称为第一可数和第二可数的.
2. 由 的 3. 知道, 度量空间是 `C_1` 的. 由 4. 知道 `C_2` 空间必然是 `C_1` 的 (请考驾照的读者注意).
3. `C_2` 公理是一个很强的条件, 以至某些度量空间也不是 `C_2` 的. 如 `RR` 上的离散度量空间, 它的任一拓扑基必包含每个单点集 `{x}`, 从而不可数.

第一可数

如果 `x` 点存在可数邻域基, 则该点处存在一列递减的邻域基 `V_1 supe V_2 cdots`.

设 `{U_n}` 是 `x` 点的邻域基. 作 `V_n := nnn_(k=1)^n U_k`, 则任意 `U_n` 中都包含 `V_n`, 所以 `{V_n}` 即为所求的递减邻域基.

`C_1` 空间中聚点原理成立 设 `X` 第一可数, `A sube X`, `x in bar A`, 则存在 `A` 中点列趋于 `x`.

由引理知存在 `x` 处的递减邻域基 `{U_n}`. 因为 `x in bar A`, 所以对任意 `U_n`, 都存在 `x_n in A nn U_n`. 由选择公理选出点列 `{x_n}`, 下证 `x_n to x`.
事实上, 对 `x` 的任意邻域 `U`, 存在 `N` 使得 `x_N in U_N sube U`. 又 `{U_n}` 递减, 对任意 `n ge N` 都有 `x_n in U_N sube U`. 这说明 `x_n to x`.

`C_1` 空间上的 Heine 定理 设 `X` 第一可数, `x in X`. 则 `f: X to Y` 在 `x` 处连续, 当且仅当对任意 `x_n to x` 都有 `f(x_n) to f(x)`,

`rArr` 在一般的拓扑空间中成立, 留作习题; 下证 `lArr`.
任取 `f(x)` 的邻域 `V`, 下证原像 `f^-1(V)` 是 `x` 的邻域. 如若不然, 则 `x` 不是 `f^-1(V)` 的内点, `x in (f^-1(V)^@)^c = bar(f^-1(V)^c)`. 由聚点原理, 存在 `f^-1(V)^c` 中点列 `x_n to x`, 因此 `f(x_n) to f(x)`. 但 `x_n in f^-1(V)^c`, 所以 `f(x_n) !in V`, 这与 `f(x_n) to f(x)` 矛盾.

若 `X` 是 `C_1` 空间, 且任意点列的极限具有唯一性, 则 `X` 是 Hausdorff 空间.

设 `x, y in X`, `x != y`. 取 `x, y` 处的递减邻域基 `{U_n}` 和 `{V_n}` 如果 `X` 不是 Hausdorff 空间, 则任意 `n`, `U_n nn V_n != O/`. 由选择公理可以确定点列 `{x_n}`, 使得 `x_n in U_n nn V_n`. 可以证明这个点列同时趋于 `x` 和 `y`, 从而矛盾.

第二可数

`C_2` 空间是可分空间.

取 `X` 的可数拓扑基 `cc B`, 对每个非空的 `B in cc B`, 取出一点 `a in B`. 由选择公理得到 `A := {a in B: B in cc B}`, 此即 `X` 的可数稠密子集. 其稠密性是因为任意开集 `U` 都含有某个 `B in cc B` 从而含有 `A` 中的点.

可分度量空间是 `C_2` 空间.

取 `X` 的可数稠密子集 `A`, 对任意 `a in A` 作一族开球 `B(a, 1//n)`, `n = 1, 2, cdots`. 下证 `cc B := {B(a, 1//n): a in A, n in NN}` 是拓扑基. 对任意开集 `U`, 要证 `U` 可以由 `cc B` 中的开球取并得到, 只需证任意 `x in U`, 存在 `B in cc B` 使得 `x in B sube U`.
事实上, 由度量空间的性质, 存在开球 `B(x, epsi) sube U`. 取 `n` 充分大使得 `1//n le epsi//2`, 由于 `A` 稠密, 存在 `a in A nn B(x, 1//n)`. 则对任意 `y in B(a, 1//n)`, `d(x, y)` `le d(x, a) + d(a, y)` `lt 1//n + 1//n` `le epsi`. 这推出 `y in B(x, epsi) sube U`. 于是 `x in B(a, 1//n) sube U`.

`C_2` 空间的任一拓扑基都有一个可数子集构成一个拓扑基.

`C_1` 空间的任一邻域基是否都有一个可数子集构成邻域基呢?

紧致性

本节将看到数学分析中的许多熟悉结论在拓扑空间中的推广. 数学分析中, 实数集 `RR` 作为拓扑空间具有许多优良性质, 然而, 在拓扑空间中这些性质的成立是有条件的.

定义

紧致性 (紧性, compactness) 设 `A` 是拓扑空间 `X` 的子集. `A` (在 `X` 中) 的一个开覆盖是指一族开集 `{O_lambda}`, 满足 `A sube uuu_(lambda in Lambda) O_lambda`. 如果 `A` 的任意一个开覆盖 `{O_lambda}` 都存在有限子覆盖, 即 存在 `O_1, cdots O_n in {O_lambda}` 使得 `A sube uuu_(k=1)^n O_k`, 则称 `A` 在 `X` 中是紧致 (紧, compact) 的, `A` 是 `X` 中的紧集. 特别当 `X` 自身紧的时候, 称它为紧致拓扑空间.

注意开集的有限交仍是开集, 这就是有限覆盖中 "有限" 的用武之地.

紧集的闭子集是紧的.

假设 `A` 紧, `B` 是闭集且 `B sube A`. 若 `B` 为空集, 显然它是紧的.
下设 `B != O/`, 对 `B` 的任意开覆盖 `cc O`, 向其中加入一个开集 `B^c`, 就得到 `A` 的开覆盖, 后者存在有限子覆盖 `{O_k}_(k=1)^n`.
由于 `B != O/`, 这个有限子覆盖中至少含有一个不同于 `B^c` 的开集, 从中排除掉开集 `B^c`, 所得的开集族仍然是不空的, 于是得到 `cc O` 的有限子覆盖.

闭集套定理 设 `{K_n}` 为 `X` 中的一列非空闭集, 且 `K_1` 紧致, 且满足 `K_1 supe K_2 supe cdots`. 则 `nnn_(n ge 1) K_n != O/`.

反设它们的交集为空, 则 `{K_n^c}_(n ge 2)` 构成 `K_1` 的开覆盖. 由 `K_1` 的紧性, 它们当中的有限个已经把 `K_1` 盖住. 设其中下标最大的一个是 `K_n^c`. 由嵌套关系知 `K_n^c` 是这有限个开集中最大的一个, 所以 `K_1 sube K_n^c`, 即 `K_1 nn K_n = O/`. 这与已知条件 `K_1`, `K_n` 均不空矛盾.

Hausdorff 空间中紧集必为闭集.

设 `X` 是 Hausdorff 空间, `A` 是其中的紧集. 下证 `A^c` 是开集, 为此任取 `y in A^c`, 我们来证明存在 `y` 的邻域 `V` 使得 `y in V sube A^c`. 对任意 `x in A`, 由 `T_2` 公理知存在 `x`, `y` 的不相交邻域 `U_x`, `V_x`. 于是 `{U_x: x in A}` 构成 `A` 的开覆盖, 由 `A` 的紧性知道存在有限子覆盖 `A sube uuu_(k=1)^n U_k`. 考虑对应的集合 `V_k`, 令 `V := nnn_(k=1)^n V_k`. 因为 `AA k, U_k nn V_k = O/`, 所以 `V nn (uuu_(k=1)^n U_k)` `= uuu_(k=1)^n (U_k nn V)` `= O/`, 从而 `V nn A = O/`. 这就是说 `y in V sube A^c`.

度量空间中的紧集

本节的主要目标是证明度量空间中, 紧性的几个等价命题, 即 紧 `iff` 列紧 `iff` 极限点紧.

设 `A` 是拓扑空间 `X` 的子集,
1. 如果 `A` 中的任意点列 `{x_n}` 都存在子列收敛于 `A` 中一点, 则称 `A` 是列紧的.
2. 如果 `A` 中任意无限子集在 `A` 中有极限点 (即聚点), 则称 `A` 是极限点紧的.

紧 `rArr` 列紧

在度量空间中, `{x_n}` 有子列收敛于 `x`, 当且仅当对 `x` 的任意 (开) 邻域 `U`, `{x_n}` 有无穷多项含于 `U`.

度量空间中, 紧 `rArr` 列紧.

设 `A` 是紧集, `{x_n}` 是 `A` 中的任意点列. 反设结论不成立, 则对任意 `x in A`, `{x_n}` 都没有子列收敛于 `x`, 由引理知存在 `x` 的开邻域 `U_x`, 使得 `{x_n}` 只有有限项在 `U` 中. 于是 `{U_x: x in A}` 构成 `A` 的开覆盖, 由于 `A` 的紧性, 存在有限子覆盖 `A sube uuu_(k=1)^n U_k`. 由假设, `{x_n}` 只有有限项包含于上式右边, 与 `{x_n} sube A` 矛盾.

对度量空间中的无限集, 列紧 `iff` 极限点紧.

1. `rArr`: 设 `A` 是列紧的无限集. 取两两不同的点列 `{x_n} sube A`, 则它有子列收敛到 `x in A`. 容易验证 `x` 是 `A` 的极限点.
2. `lArr`: 设 `A` 极限点紧. 对 `A` 中任意点列 `{x_n}`, 若它有无穷多项相同, 则它已然有子列收敛到 `A` 中. 否则, 把点列中相同的点都去掉, 得到两两不同的子列 `{y_n} sube A`. 由假设知集合 `{y_n}` 有极限点 `x in A`. 对 `x` 的任意邻域 `U` 我们可以证明 `{y_n}` 有无穷多项含于 `U`, 从而由引理知 `{y_n}` 有子列收敛于 `x in A`.
   事实上, 若 `{y_n}` 只有有限项含于 `U`, 设这些项到 `x` 最近的距离为 `delta`, 从而 `B(x, delta) nn {y_n} = O/`, 与极限点的定义矛盾.

列紧 `rArr` 紧

列紧到紧的证明不太容易, 需要用到两个经典引理.

Lebesgue 数 设 `A` 是度量空间中的列紧集, 则对 `A` 的任意开覆盖 `cc O`, 存在实数 `delta gt 0`, 使得 `A` 中每个点的 `delta` 邻域都被 `cc O` 中的某个开集盖住. 换言之, `AA x in A`, `EE O_x in cc O`, `B(x, delta) sube O_x`. `delta` 由 `A` 和 `cc O` 共同决定, 称为开覆盖 `cc O` 的 Lebesgue 数.

反设结论不成立, 则存在一个 `A` 的开覆盖 `cc O`, 它没有 Lebesgue 数. 取数列 `delta_n := 1//n`, 由选择公理, 存在相应的 `x_n in A`, 满足 `AA O_lambda in cc O`, `B(x_n, delta_n) ⊈ O_lambda`. 因为 `A` 列紧, 设 `{x_n}` 有子列 `{x_(n_k)}` 收敛于点 `x in A`. 设 `x` 被 `cc O` 中的一个开集 `O_x` 覆盖. 于是存在开球 `B(x, epsi) sube O_x`. 由子列收敛性, 存在 `K in NN`, 对任意 `k gt K` 有 `x_(n_k) in B(x, epsi//2)`. 我们不妨把 `K` 取得更大一点, 使 `delta_(n_k) = 1//n_k lt epsi//2`, 从而 `B(x_(n_k), delta_(n_k))` `sube B(x_(n_k), epsi//2)` `sube B(x, epsi)` `sube O_x`. 与假设 `B(x_(n_k), delta_(n_k)) ⊈ O_x` 矛盾.

记 `cc O` 的 Lebesgue 数为 `L(cc O)`. 则 `L(cc O) = min_(x in X) Sup_(U in cc O) d(x, U^c)`.

有限 `epsi`-网 设 `A` 是度量空间的列紧集, 则对任意实数 `epsi gt 0`, 存在有限个开球 `{B(x_k, epsi)}_(k=1)^n` 将 `A` 覆盖, 称为 `A` 的一个有限 `epsi`-网.

反设对于某个 `epsi gt 0`, 不存在 `A` 的有限 `epsi`-网. 显然 `A` 非空, 取 `x_1 in A`. 由于不存在 `A` 的有限 `epsi`-网, 又可取 `x_2 in A - B(x_1, epsi)`... 如此得到点列 `{x_n}`. 由于 `{x_n}` 的项两两距离大于 `epsi`, 不可能存在收敛子列, 与 `A` 的列紧性矛盾.

度量空间中, 列紧 `rArr` 紧.

设 `A` 是列紧集, 对 `A` 的任意开覆盖 `cc O`, 设 `delta` 是它的 Lebesgue 数. 于是 `A` 存在有限 `delta`-网, 即存在有限个开球使得 `A sube uuu_(k=1)^n B(x_k, delta)`. 由 Lebesgue 数定义, 这些开球都被 `cc O` 中的某个开集盖住, 记作 `B(x_k, delta) sube O_k`. 从而 `{O_k}_(k=1)^n` 是 `cc O` 的有限子覆盖.

紧 `rArr` 有界闭

度量空间中, `A` 紧 `rArr A` 是有界闭集.

1. 有界性: 即证存在一个开球 `B` 使得 `A sube B`. 用开球族 `{B(x, 1): x in A}` 覆盖 `A`, 于是存在有限子覆盖. 由于任意两个开球的并是有界的, 由归纳法可知这个有限子覆盖也是有界的.
2. 闭集: 这是由于度量空间是 Hausdorff 空间.

度量空间中有界闭集不一定紧. 无限集上的离散度量空间就是一例: 整个空间是有界闭的, 每个单点集 `{x}` 构成开覆盖, 但没有有限子覆盖. 更多反例 ›

`n` 维欧氏空间 `bbb E^n` 中, `A` 紧 `iff A` 是有界闭集.

紧 `iff` 任意连续函数有界

度量空间中, `A` 紧致当且仅当任意 `A to RR` 的连续函数有界.

1. `rArr`: 这是因为紧集在连续函数下的像也是紧的, 而 `RR` 是度量空间意味这个像也是有界的. 此方向的命题在 `A` 是一般拓扑空间的情况下也成立.
2. `lArr`: ??

Lindelöf 空间*

紧致性虽然是很好的拓扑性质, 但它太强了, 欧氏空间 `bbb E^n` 都不是紧致的. 下面的定义是紧致性的一些弱化版本.

俗称“拎豆腐”.

1. 若 `X` 的任意开覆盖都有可数子覆盖, 则称它为 Lindelöf 空间. 这个定义就是把紧致性的“有限”换成“可数”.
2. 若 `X` 的任意可数开覆盖都存在有限子覆盖, 则称它是可数紧致的.
3. 若 `X` 的任意子空间都是 Lindelöf 的, 则称它是强 Lindelöf 空间.
4. 局部紧 任意一点存在紧致的邻域.
5. 仿紧 每个开覆盖都有局部有限的开加细.

1. `RR_l` 是强 Lindelöf 的, 但不是紧致的.

`C_2 rArr "Lindelöf"`.

Tychonoff 定理 `"Lindelöf" and T_3 rArr T_4`.

Lindelöf 定理 `C_2 and T_3 rArr T_4`.

度量化

本节讨论在什么条件下可以在拓扑空间中规定度量, 使它成为度量空间. 我们将遇到一些深刻的定理.

Urysohn 引理 (`T_4` 公理的等价条件) `X` 满足 `T_4` 公理, 当且仅当任意两个不相交闭集 `A, B` 被连续函数隔离, 即存在连续函数 `f: X to RR` 使得 `f(A) = 0`, `f(B) = 1`.

Tietze 扩张定理 (`T_4` 公理的又一等价条件) `X` 满足 `T_4` 公理, 当且仅当任一闭子集 `F` 上的连续函数可以连续地扩张到 `X` 上.

又名铁子扩张定理.

Urysohn 度量化定理 `C_2 and T_3 and T_1 rArr` 可度量化.

注: Lindelöf 定理表明 `C_2 and T_3 rArr T_4`, 又 `T_4 and T_1 rArr T_2`, `C_2 rArr C_1`, 因此事实上题设条件满足 `T_1 ~ T_4`, `C_1, C_2` 六个公理.

连通性

连通

道路连通

拓扑性质小结

拓扑空间的例子

遗传性与可乘性

[参考 ZCC@知乎]

1. 若一个拓扑性质在子空间中仍成立, 则称它具有遗传性; 把子空间换成开子空间、闭子空间, 就得到开遗传、闭遗传的定义.
2. 若一个拓扑性质在两个空间中成立, 推出它在乘积空间中也成立, 则称它具有 (有限) 可乘性; 把两个空间换成可数个空间或任意多个空间, 就得到可数可乘和任意可乘的定义.
3. 若一个拓扑性质在连续映射 (或开映射、闭映射、商映射) 的像当中得到保持, 我们就在下表的“映射”一行写上相应的映射类型.
4. 若一个拓扑性质在加细后的拓扑空间中保持, 我们就在下表的“加细”一行打勾 (若 `tau_1 sube tau_2`, 称 `tau_2` 是 `tau_1` 的加细).

1. `X xx Y` 是 `(T_1 and T_4)` 的当且仅当 `X` 和 `Y` 都是 `(T_1 and T_4)` 的.
2. 反例: `RR_l` 是 Lindelöf 空间, 但 `RR_l^2` 不是. 不过我们有: Lindelöf 空间 `xx` 紧致空间 `=` Lindelöf 空间.
3. 任意个紧致空间的乘积也是紧致的, 这个结论也叫做 Tychonoff 定理. 事实上任意多个拓扑空间的乘积拓扑称为 Tychonoff 拓扑.

拓扑公理的关系

分离公理
1. `T_2 rArr T_1 rArr T_0`.
2. `T_1` 成立时, `T_4 rArr T_3 rArr T_2`.
3. 度量空间满足全部 `T_0` 到 `T_6` 公理.

可数公理
1. `C_2 rArr C_1 and "Lindelöf" and 可分`.
2. 度量空间 `rArr C_1`
3. 度量空间中, `"Lindelöf" iff 可分 iff C_2`.

`C_2` 与 `T_3` 是好朋友
1. 紧致 `and T_2 rArr T_3 and T_4`.
2. Tychonoff 定理: `"Lindelöf" and T_3 rArr T_4`.
3. Lindelöf 定理: `C_2 and T_3 rArr T_4`.
4. Urysohn 度量化定理: `C_2 and T_3 and T_1 rArr` 可度量化.