分离公理

分离公理都是关于两个点 (或闭集) 能否用邻域来分隔的性质, 是对拓扑空间的附加要求.

`T_1` 公理 任何两个不同点 `x, y`: `x` 有邻域不含 `y`, `y` 有邻域不含 `x`.

`T_2` 公理 任何两个不同点有不相交的 (开) 邻域.

满足 `T_1` 公理和 `T_2` 公理的拓扑空间分别称为 `T_1` 空间和 `T_2` 空间, 依此类推. 显然 `T_2 rArr T_1`. `T_2` 公理是最重要的分离公理. `T_2` 空间又称为 Hausdorff (豪斯多夫) 空间.

`(RR, T_f)` 是 `T_1` 空间, 但不是 `T_2` 的. 因为 `x != y` 时, `RR\\{y}` 就是 `x` 的不含 `y` 的邻域. 但 `x, y` 的邻域都是有限集的余集, 因此一定相交.

`X` 是 `T_1` 空间 `iff X` 的有限子集是闭集.

1. `rArr`. 只须证单点集是闭集. 取 `x, y in X`, `x != y`, 则 `y` 有邻域不含 `x`, 因此 `y !in bar X`. 由 `y` 的任意性知 `bar({x}) = {x}`, 即 `{x}` 为闭集.
2. `lArr`. 设 `x != y`. 因为 `{y}` 是闭集, 所以 `X\\{y}` 是 `x` 的不含 `y` 的开邻域; 同理 `X\\{x}` 是 `y` 的不含 `x` 的开邻域.

`T_1` 聚点聚无穷 设 `X` 为 `T_1` 空间, `A sube X`, `x` 是 `A` 的聚点, 则 `x` 的任一邻域与 `A` 的交集是无穷集.

反设 `x` 有邻域 `U` 使得 `U nn A` 有限, 不妨设 `U` 是开集. 记 `B = (U nn A) \\ {x}`, 它是有限集, 因此是闭集. 因此 `U\\B` 仍是 `x` 的开邻域, 它与 `A\\{x}` 的交为空. 这与 `x in A'` 矛盾.

`T_2` 空间序列极限的唯一性 Hausdorff 空间中, 一个序列不会收敛到两个以上的点.

设 `{x_n}` 收敛到 `x`. 又设 `y != x`, 要证 `x_n` 不会收敛到 `y`. 我们取 `x, y` 的不相交邻域 `U, V`. 因为 `x_n to x`, 所以 `{x_n}` 除有限项外全部含于 `U`, 这样 `V` 中只有 `{x_n}` 的至多有限项, 不可能有 `x_n to y`.

`T_3` 公理 闭集外的一点与该闭集有不相交的 (开) 邻域.

`T_4` 公理 任意两个不相交闭集有不相交的 (开) 邻域. (如果 `A sube U^@`, 就说 `U` 是集合 `A` 的邻域).

`T_1` 公理成立时, 单点集是闭集, 因此 `T_4 rArr T_3 rArr T_2`. 但 `T_1` 不成立时, 上式存在反例, 如拓扑空间 `(RR, tau)`, 其中 `tau = {(-oo, a)| -oo le a le +oo}`. 该空间是 `T_4` 的, 但不满足 `T_1` ~ `T_3` 公理.

1. `T_4` 成立: 注意到 `(RR, tau)` 的任何两个非空闭集都相交. 这就是说, 若 `A, B` 是两个不相交闭集, 则必有其一是空集, 设 `B = O/`, 于是 `RR` 和 `O/` 分别是 `A, B` 的不相交邻域.

1. `T_3` 公理 `iff` 任取点 `x` 和它的开邻域 `W`, 存在 `x` 的开邻域 `U` 使得 `bar U sube W`.
2. `T_4` 公理 `iff` 任取闭集 `A` 和它的开邻域 `W`, 存在 `A` 的开邻域 `U` 使得 `bar U sube W`.

两个命题的证明相同, 下面只证 2.
1. `lArr`: 设 `A, B` 是不相交的闭集, 则 `B^c` 是 `A` 的开邻域. 由条件, 存在 `A` 的开邻域 `U` 使得 `bar U sube B^c`. 我们再找一个 `B` 的开邻域 `V` 使得 `U nn V = O/`. 事实上, 取 `V = (bar U)^c`, 则 `V` 是开集, `B sube V` 且 `U nn V = O/`.
2. `rArr`: 记 `B = W^c`, 则 `A, B` 是不相交的闭集. 由 `T_4` 公理, `A, B` 存在不相交开邻域 `U, V`. 即 `U sube V^c`. 则 `U` 满足 `bar U sube bar(V^c) = V^c sube B^c = W`.

喜报:

度量空间 `X` 满足 `T_1` ~ `T_4` 公理.

只需证 `T_1` 和 `T_4` 成立.
1. `T_1`: 任取 `x in X`, 下证 `bar({x}) = {x}`. `AA y in X`, 若 `y` 的任意邻域交 `{x}` 非空, 则 `x in y` 的任意邻域, 这推出 `d(x, y) = 0`, 即 `x = y`.
2. `T_4`: 设 `A, B` 是不相交闭集, 不妨设它们非空. 任取 `x in X`, 则 `d(x, A) + d(x, B) gt 0` (因为度量空间的闭集外一点到该闭集有正的距离??). 规定 `X` 上连续函数 `f(x) = (d(x, A))/(d(x, A) + d(x, B))`, 则 `f(x) { = 0, if x in A; = 1, if x in B; in (0, 1), otherwise :}` 任取实数 `t in (0, 1)`, 则 `f^-1((-oo, t))` 和 `f^-1((t, +oo))` 是 `A, B` 的不相交邻域.

可数公理

邻域基 设 `x in X`, 把 `x` 的所有邻域的集合称为 `x` 的邻域系 `cc N(x)`. `cc N(x)` 的子集 (即 `x` 的一族邻域) `cc U` 称为 `x` 的一个邻域基, 如果 `x` 的每个邻域至少包含 `cc U` 的一个成员.

1. `cc N(x)` 本身是 `x` 的邻域基.
2. `x` 的所有开邻域构成 `x` 的一个邻域基.
3. 若 `cc B` 是拓扑空间 `X` 的拓扑基, 则 `cc U = {B in cc B | x in B}` 是 `x` 的邻域基.