[来自 证毕QED@bilibili]
音乐的和谐来自适宜的频率之比. 根据人们的经验, 两个音的频率比为有理数时, 它们是和谐的, 且分子分母越小, 和谐程度越高. 听觉上, 最和谐的几个音程是 纯一度 (1:1), 纯八度 (1:2), 纯五度 (2:3), 纯四度 (3:4), 大三度 (4:5), 小三度 (5:6).
由多个音组成的和弦, 其和谐度也可以由频率之比来度量, 比例关系越简单, 和弦越和谐. 例如频率比为毕达哥拉斯三角形 `3:4:5` 的三个音, 它们组成经典的大三和弦 (的第二转位).
Euler 使用的和谐度公式如下. 对于比例为 `f_1:cdots:f_k` 的和弦, 其中 `f_1, cdots, f_k` 是正整数, 且满足最大公约数 `gcd(f_1, cdots, f_k) = 1`. 取它们的最小公倍数 `n = lcm(f_1, cdots, f_k)`, 并求出 `n` 的素因子分解 `n = prod_p p^(v_p)`. 于是该和弦的不和谐度为 `D = 1 + sum_p v_p (p-1)`. `D` 越小, 和弦越和谐; `D` 越大, 和弦越不和谐, 给人的听觉感受越紧张.
音程的加减, 就是按频率之比进行乘除.
可以发现, 大三度 + 小三度 = 纯五度.
其它音程由最和谐的几个基本音程的加减来定义:
纯四度 + 大三度 = 大六度,
纯四度 + 小三度 = 小六度;
纯五度 + 大三度 = 大七度,
纯五度 + 小三度 = 小七度;
纯五度 - 纯四度 = 大二度,
纯四度 - 大三度 = 小二度;
大三度 + 大二度 = 增四度,
小三度 + 小三度 = 减五度.
如此就得到了纯律在一个八度内的音程及其不和谐度:
| 名称 | 纯一度 | 小二度 | 大二度 | 小三度 | 大三度 | 纯四度 | 增四度 | 减五度 | 纯五度 | 小六度 | 大六度 | 小七度 | 大七度 | 纯八度 |
| 比例 | 1:1 | 15:16 | 8:9 | 5:6 | 4:5 | 3:4 | 32:45 | 25:36 | 2:3 | 5:8 | 3:5 | 5:9 | 8:15 | 1:2 |
| 不和谐度 | 1 | 11 | 8 | 8 | 7 | 5 | 14 | 15 | 4 | 8 | 7 | 9 | 10 | 2 |
八度内的每个音, 与最低音 (基音) 的频率之比都介于 1 到 2 之间. Euler 生成音阶的方法是取一个奇数 `A`, 将它的每个因子 `d` 乘以 `2^-k`, 使得 `1 le d * 2^-k lt 2`, 其中 `k` 是一个合适的非负整数. 例如取 `A = 81`, 它的全部因子为 `1, 3, 9, 27, 81`. 标准化得到 `1, 3/2, 9/8, 27/16, 81/64`, 再按从小到大排序就得到某种五声音阶: `1, 9/8, 81/64, 3/2, 27/16`. 取 `A = 675`, 它恰有 12 个因子, 得到的音阶称为 Euler 全音-半音音阶, 见下表:
| 十二平均律 | `1` | `2^(1//12)` | `2^(2//12)` | `2^(3//12)` | `2^(4//12)` | `2^(5//12)` | `2^(6//12)` | `2^(7//12)` | `2^(8//12)` | `2^(9//12)` | `2^(10//12)` | `2^(11//12)` |
| 纯律 | `1` | `16/15` | `9/8` | `6/5` | `5/4` | `4/3` | `45/32` | `3/2` | `8/5` | `5/3` | `9/5` | `15/8` |
| Euler 音阶 (A=675) | `1` | `135/128` | `9/8` | `75/64` | `5/4` | `675/512` | `45/32` | `3/2` | `25/16` | `27/16` | `225/128` | `15/8` |
| Euler 音阶 (A=81) | `1` | `9/8` | `81/64` | `3/2` | `27/16` |
从基音出发, 每向右一格增加五度, 每向下一格增加大三度, 将 12 个音名列于下表: 这一表格事实上可以无限延伸, 横向的周期是 12, 纵向周期是 3.
| `F` | `C` | `G` | `D` |
| `A` | `E` | `B` | `F^♯` |
| `C^♯` | `G^♯` | `D^♯` | `A^♯` |
在这个图表中, 大三和弦的形状是一个向下的三角形, 而小三和弦是一个向上的三角形.
大三和弦: C G E 小三和弦: C A E