折射定律 设一质点从点 `A(x_1, y_1)` 运动到点 `B(x_2, y_2)`, 其中 `y_2 lt 0 lt y_1`. 如果质点在上半平面和下半平面运动的速度分别为常数 `v_1`, `v_2`, 问它应沿什么路径运动才能使运动时间最短? 显然质点在上半平面和下半平面的路线都是直线, 故只需求出路线与 `x` 轴的交点 `P`. 设 `AP`, `BP` 与 `y` 轴的夹角分别为 `i_1`, `i_2`, 可以证明, 当 `(sin i_1)/(sin i_2) = v_1/v_2` 时, 质点运动时间最短. 这一规律称为折射定律. 由费马原理知, 光总是走花费时间最短的路线, 因此光的路径满足折射定律.

几何方法. 在 `x` 轴上任取一点 `P'`, 下证 `(AP)/v_1 + (BP)/v_2 le (AP')/v_1 + (BP')/v_2`. 过点 `P'` 分别作直线 `AP, BP` 的垂线, 垂足分别为 `C, D`. 于是 `PC = PP' sin /_ PP'C = PP' sin i_1`,
`PD = PP' sin /_ PP'D = PP' sin i_2`. 这推出 `(PC)/(PD) = (sin i_1)/(sin i_2) = v_1/v_2`, 即 `(PC)/v_1 = (PD)/v_2`. 于是 `(AP)/v_1 + (BP)/v_2` `= (AC-PC)/v_1 + (BD+PD)/v_2` `= (AC)/v_1 + (BD)/v_2` `le (AP')/v_1 + (BP')/v_2`.

微分方法. 设 `P(x, 0)`, 则时间 `t = sqrt((x-x_1)^2+y_1^2)/v_1 + sqrt((x-x_2)^2+y_2^2)/v_2`,
`dt/dx = 1/v_1 (x-x_1)/sqrt((x-x_1)^2+y_1^2) + 1/v_2 (x-x_2)/sqrt((x-x_2)^2+y_2^2)` `= (sin i_1)/v_1 - (sin i_2)/v_2`. 时间取极小值时有 `dt/dx = 0`, 即 `(sin i_1)/v_1 = (sin i_2)/v_2`.