Lorentz 变换 用四维坐标 `p = (t, x, y, z)` 描述一个时空点, 或称为一个事件. 同一事件在不同的惯性系 `K, K'` 中具有不同坐标: `p, p'`. 这两个坐标通过变换相联系. 下面记 `p = (t, x, y, z)`, `p' = (t', x', y', z')`, `K'` 相对于 `K` 的速度为常量 `bm v = (v, 0, 0)`, 则牛顿力学使用的伽利略变换如下: `{ t' = t; x' = x - v t; y' = y; z' = z; :}` 伽利略变换是简单的平移变换. 相对论使用的 Lorentz 变换如下: `{ t' = gamma (t - v x // c^2); x' = gamma (x - v t); y' = y; z' = z; :}` 其中 `gamma = 1/sqrt(1 - v^2//c^2)`, `c` 为真空中光速. Lorentz 变换是一个线性变换.
当 `v//c to 0` 时有 `gamma to 1`, 这就是说, 宏观低速下 Lorentz 变换与伽利略变换效果相同, 符合我们的生活实际.
Lorentz 逆变换 将 Lorentz 变换写成矩阵: `[t'; x'] = gamma [1, -v//c^2; -v, 1] [t; x]`. 于是 `[t; x] = gamma [1, v//c^2; v, 1] [t'; x']`. 可见 Lorentz 逆变换无非是将 `v` 换成 `-v`.
速度的 Lorentz 变换 物体在惯性系 `K` 和 `K'` 中的速度分别记为 `bm u` 和 `bm u'`, 则它们之间满足分式线性变换 `u_x' = (u_x - v)/(1 - v u_x//c^2)`, `quad u_y' = u_y/(gamma(1 - v u_x//c^2))`, `quad u_z' = u_z/(gamma(1 - v u_z//c^2))`. 要求该变换的逆, 只需将 `v` 换为 `-v`. 特别当 `u_x = c`, `u_y = u_z = 0` 时, 计算得 `u_x' = (c-v)/(1 - v//c) = c`, `quad u_y' = u_z' = 0`. 此即 "光速不变".
`u_x' = (dx')/(dt')` `= gamma(u_x - v) // (dt')/dt` `= (u_x - v)/(1 - v u_x//c^2)`. `u_y'` 和 `u_z'` 的计算类似.
下文将使用自然单位制. 该单位制下有 `c = 1`, 从而 Lorentz 变换写为 `t' = gamma(t - v x)`, `quad x = gamma(x - v t)`, `quad gamma = 1/sqrt(1-v^2)`. 这使得相对论的公式书写更易.
度规 记 `bm x = (x, y, z)`. 在 Euclid 空间中, 线元 `"d"l^2 = "d"bm x^2 + dt^2` 与直角坐标系的选取无关, 即 `"d"l^2` 是一个几何不变量. 定义时空间隔 `"d"s^2 = "d"bm x^2 - dt^2`. 可以证明 `"d"s^2` 是 Lorentz 变换下的几何不变量.
`(dx')^2 - (dt')^2` `= gamma^2[(dx - v dt)^2 - (dt - v dx)^2]` `= gamma^2(dx^2 - dt^2)(1 - v^2)` `= dx^2 - dt^2`.
`"d"l^2` 是 Euclid 空间的度规, 由它决定了欧氏几何; `"d"s^2` 是 Minkowski 空间的度规, 由它决定了闵氏几何. 一般地, 一种度规就决定一种几何.
常见的线元表达式
Euclid 空间中, 极坐标系 `{r, varphi}` 和球坐标系 `{r, theta, varphi}`
下的线元表达式为
`"d"l^2 = "d"r^2 + r^2 "d"varphi^2`,
`"d"l^2 = "d"r^2 + r^2("d"theta^2 + sin^2 theta "d"varphi^2)`.
特别取 `r = 1`, 得到球面几何的线元表达式
`"d"s^2 = "d"theta^2 + sin^2 theta "d"varphi^2`.
Minkowski 空间中, 可取 `x = psi cosh eta`, `t = psi sinh eta`,
则线元的表达式为
`"d"s^2 = "d"psi^2 - psi^2 "d"eta^2`.