域

    设 `(bbb F";" +, *)` 为一环, 加法和乘法的单位元分别为 `0, 1`. 如果
  1. `bbb F` 非平凡, 即 `|bbb F| gt 1`;
  2. `(bbb F, +)`, `(bbb F^**, *)` 是 Abel 群, 其中 `bbb F^** = bbb F\\{0}`;
    3. 则称 `bbb F` 为一域 (field).

易知 `0 != 1`, 否则 `|bbb F| = 1`, `bbb F` 是平凡的.
域上可以进行四则运算: 令 `bbb F` 为一域, `a, b in bbb F`. 称 `a+b` 为 `a, b` 的和, `a-b := a + (-b)` 为 `a, b` 的差, `a * b` 为 `a, b` 的积, `b != 0` 时, `a//b := a b^-1` 为 `a, b` 的商.

`ZZ` 模素数 `p` 的剩余类环 `ZZ_p` 为一域. 这是因为 `AA a in ZZ_p^**`, 有 `(a, p) = 1`, 于是同余方程 `a x -= 1 (mod p)` 有唯一解, 即 `a` 存在逆元.

称 `bbb K sube bbb F` 为域 `bbb F` 的一个子域, 如果它关于 `bbb F` 的加法和乘法也成域, 记作 `bbb K le bbb F`. 没有真子域的域称为素域, 如 `QQ` 和 `ZZ_p` 都是素域. 后面将证明, 它们也是同构意义下仅有的两种素域.

子域的判定 域 `bbb K le bbb F` 当且仅当 `(bbb K, +)`, `(bbb K^**, *)` 分别为 `(bbb F, +)` 和 `(bbb F^**, *)` 的子群, 即 `(AA a, b in bbb K)` `a - b in bbb K`, `quad (AA a, b in bbb K^**)` `a b^-1 in bbb K^**`.

整环的分式域

设 `R` 为无零因子的交换环 (特别地, 整环), `bbb F` 为一域, 称 `bbb F` 为 `R` 的分式域, 如果 在同构意义下, `R` 为 `bbb F` 的子环, 且任意 `bbb F` 中的元素 `x` 可以写成 `R` 中两个元素的商, 即 `EE a in R`, `b in R\\{0}`, `quad x = a b^-1`. 称 `R` 为 `bbb F` 的整数环, 如果 `bbb F` 为 `R` 的分式域.

设 `R` 为无零因子的交换环, 则 `R` 的分式域存在且惟一.

    1. 这里给出分式域存在性的构造性证明, 可以参考由整数环构造有理数域的方法. 记 `R^** = R\\{0}`, `T = R xx R^**`.
    1. 定义 `T` 上的二元关系 `~`: `(a, b) ~ (c, d) iff a d = b c`. 可以验证 `~` 为 `T` 上一等价关系. 事实上自反性与对称性显然, 至于传递性, 设 `a d = b c`, `c f = d e`, 则 `a d f = b c f = b d e`, 由 `d != 0` 得 `a f = b e`.
    2. 作商集 `bbb F = T//~`, 记 `(a, b)` 所在的等价类 `bar ((a","b)) = a/b`, 则 `bbb F = {a/b | a in R, b in R^**}`. 在 `bbb F` 上定义二元合成 `+, *`: `a/b + c/d = (a d + b c)/(b d)`, `quad a/b * c/d = (a c)/(b d)`. 可以验证 `+, *` 是良定义的, 因此是二元运算. 又 `+, *` 都满足结合律与交换律, 且 `0 := 0/b` 为 `bbb F` 的零元, `-a/b := (-a)/b` 为 `a/b` 的负元, `1:= b/b` 为 `bbb F` 的幺元, `b/a` 为 `a/b != 0` 的逆元. 因此 `(bbb F, +, *)` 为一域.
    3. 显然 `R' = {a/1 | a in R}` 是 `bbb F` 的子环, 且 `AA a/b in bbb F`, `EE a/1, b/1 in R'`, `a/b = a/1 * (b/1)^-1`. 容易验证 `f: a in R to a/1 in R'` 为一同构映射, 从而 `R` 在同构意义下是 `bbb F` 的子环, 且 `bbb F` 中任意元素可以写为 `R` 中两个元素的商. 因此 `bbb F` 为 `R` 的分式域.
  2. 关于惟一性, 只需证分式域是包含 `R` 的最小域 (例如, 有理数域是包含整数环的最小域). 令 `bbb K` 为包含 `R` 的任一域, 则 `bbb F' = {a b^-1 | a, b in R, b != 0}` 是 `bbb K` 的子域. 事实上, `(AA a b^-1, c d^-1 in bbb F')` `a b^-1 - c d^-1 = (a d - c b)(b d)^-1 in bbb F'`,
    `(AA a b^-1, c d^-1 in bbb F'\\{0})` `(a b^-1)(c d^-1)^-1 = (a d)(b c)^-1 in bbb F'\\{0}`.     又容易验证 `f: a/b in bbb F to a b^-1 in bbb F'` 为一同构映射, 这就得到: 同构意义下 `R` 的分式域惟一.

`ZZ` 的分式域是 `QQ`. 令 `n in ZZ\\{0}`, 则 `n ZZ` 的分式域也是 `QQ`. `bbb F[x]` 的分式域是 `bbb F(x) = {(f(x))/(g(x)) | f(x), g(x) in bbb F[x], g(x) != 0}`.

域上的一元多项式环

关于一般域 `bbb F`, 由于 `bbb F` 为一交换幺环, 所以 `bbb F` 上存在一元多项式环 `bbb F[x]`. 数域上多项式的整除, 因式, 最大公因式, 不可约多项式, 互素, 因式分解以及根的相关概念和定理, 在 `bbb F[x]` 中都成立. 罗列部分如下:

余数定理 令 `bbb F` 为一域, `f(x) in bbb F[x]`, `a in bbb F`. 则 `x-a` 除 `f(x)` 的余式为一常数, 此常数等于 `f(a)`.

零点-因子定理 假设同上. 则 `a` 为 `f(x)` 的根当且仅当 `(x-a) | f(x)`.

次数公式 `del(f g) = del f del g`.

这是由域的无零因子决定的.

关于根的数目上限 令 `bbb F` 为一域. `f(x) in bbb F[x]\\{0}`, 则 `f(x)` 在 `bbb F` 中最多有 `n = del f(x)` 个根 (重根以重数计).

反设 `r_1, cdots, r_(n+1)` 都是 `f` 的根, 则 `(x-r_1)cdots(x-r_(n+1)) | f(x)`. 左侧为 `n+1` 次, 右侧为 `n` 次, 与次数公式矛盾.

域 `bbb F` 上任两个多项式的最大公因式不因域的扩大而改变.

设 `bbb F sube bbb K`. `f, g in bbb F[x]`, `d_(bbb F)`, `d_(bbb K)` 分别是它们在 `bbb F[x]`, `bbb K[x]` 中的最大公因式. 由辗转相除法, 存在 `a(x), b(x) in bbb K[x]` 使 `d_(bbb K)(x) = a(x) f(x) + b(x) g(x)`, 从而 `d_(bbb K) | d_(bbb F)`; 另一方面显然 `d_(bbb F)` 也是 `f, g` 在 `bbb K[x]` 上的公因式, 所以 `d_(bbb F) | d_(bbb K)`.

域的特征与素域

域的特征 定义为它的加法群的最大元素阶; 如果这个阶为无穷, 则称域的特征是零. 即 `"char"(bbb F) = { max_(a in bbb F) |a|, "如果这个最大阶存在"; 0, otherwise:}`. 域是无零因子的, 因此域的特征只能是零或素数, 如: 任意数域 (即 `CC` 的子域) 的特征为零, 数域上多项式环的分式域的特征为零, 有限域 `ZZ_p` 的特征为 `p`. 在特征为 `0` 的域中, 每个非零元的阶都为 `oo`; 在特征为 `p` 的域中, 每个非零元的阶都为 `p`.

设 `bbb P` 是域 `bbb F` 全体子域的交, 则 `bbb P` 是含于 `bbb F` 的惟一素域, 称为 `bbb F` 的素域.

由 `{0, 1} sube bbb P` 知 `bbb P` 非空, 又 `bbb P le bbb F`, 显然 `bbb P` 无真子域, 因此为一素域. 由 `bbb P` 的构作过程知, 它是惟一的.

令 `bbb F` 为一域, `bbb P` 是其素域. 则 `bbb P ~= { QQ, if "char"(bbb F) = 0; ZZ_p, if "char"(bbb F) = p:}` 从而, 两个域的特征相同当且仅当它们的素域同构.

记 `bbb F` 的幺元为 `1`. 考虑同态 `f: n in ZZ to n*1 in bbb F`. 若 `"char"(bbb F) = 0`, 则只有 `n = 0` 才能使 `n*1 = 0`, 即 `"Ker"f = {0}`. 由同态基本定理, `"Im"f ~= ZZ//"Ker"f = ZZ`, 从而 `"Im"f` 为一整环. 记 `"Im"f` 的分式域为 `bbb F_1`, 由于同构的整环有同构的分式域, 所以 `bbb F_1 ~= QQ`. 由域的封闭性知 `bbb F` 的任一子域都包含 `"Im"f`, 从而包含 `bbb F_1`, 于是 `bbb F_1` 为 `bbb F` 的素域.
若 `"char"(bbb F) = p` 为一素数, 则 `"Ker"f = (:p:)`, 类似有 `"Im"f` 的分式域同构于 `ZZ//(:p:) = ZZ_p` 的分式域. 但 `ZZ_p` 中任意非零元都可逆, 它的分式域仍是 `ZZ_p`, 即一素域.

域的同态与同构 若 `f: bbb F to bbb K` 关于 `bbb F` 的加法群和乘法群都为一同态, 则称 `f` 是 `bbb F` 到 `bbb K` 的同态. 域的同态只有零同态和单同态: 前者将 `bbb F` 的所有元素都映到零, 后者是 `bbb F` 到 `bbb K` 的嵌入.

视 `f` 为 `bbb F` 上的环同态, 考虑理想 `"Ker"f`, 由于域只有平凡的理想, 故 `"Ker"f = bbb F` 或 `"Ker"f = {0}`, 即 `f` 为零同态或单同态.

没有特殊说明时, 总假定域同态不是零同态. 这是因为我们希望域同态的像仍是一个域, 因此它至少有两个元素.

Frobenius 自同态 令域 `bbb F` 的特征为素数 `p`, 注意到 `p | (p;k)`, `k = 1, 2, cdots, p-1`, 对任意 `a, b in bbb F`, 由特征的定义有 `p a = 0`. 故 `(a+-b)^p = a^p +- b^p`. 因此 `varphi: a mapsto a^p` 是 `bbb F` 到自身的同态, 称为 Frobenius 自同态. 又, 对正整数 `n` 归纳可得 `(a+-b)^(p^n) = a^(p^n) +- b^(p^n)`. 由 Fermat 小定理知道, `varphi` 保持素域 `bbbF_p` 中的元素不动. 特别当 `bbb F` 为有限域, 单射 `varphi` 也为一满射, 称为 Frobenius 自同构.

`QQ` 和 `ZZ_p` 的自同构只有恒等自同构, 因此任意素域的自同构只有恒等自同构.

域的自同构把 0 映为 0, 1 映为 1. 从而, `n = n*1` 映为 `n`, `a//b = (a*1)//(b*1)` 映为 `a//b`. 因此 `QQ` 的自同构只有恒等自同构. `ZZ_p` 的原因类似.

一个非平凡的自同构 域 `GF(2^2) := bbb F_2[x] // (:x^2+x+1:)` 中的元素为 `0, 1, x, 1+x`, 它们是 `x` 的多项式, 系数只取 `0` 或 `1`, 且 `x^2 = 1 + x`. 这个域上有非平凡自同构 `varphi`, 其中 `varphi(x) = 1+x`, `varphi(1+x) = x`. 事实上, `GF(2^2)` 的加法表为
`+` `0` `1` `x` `1+x`
`0` `0` `1` `x` `1+x`
`1` `1` `0` `1+x` `x`
`x` `x` `1+x` `0` `1`
`1+x` `1+x` `x` `1` `0`
乘法表为
`*` `0` `1` `x` `1+x`
`0` `0` `0` `0` `0`
`1` `0` `1` `x` `1+x`
`x` `0` `x` `1+x` `1`
`1+x` `0` `1+x` `1` `x`
将两表中的 `x` 与 `1+x` 地位对调, 仍得到同样的加法/乘法表, 只不过行/列发生了置换.

扩域

域的扩张

如果域 `bbb F le bbb K`, 则称 `bbb K` 为 `bbb F` 的一个扩张或扩域, 记为 `bbb K // bbb F` (`bbb K` over `bbb F`). `bbb F` 称为 `bbb K` 的基域, 若 `bbb F le bbb L le bbb K`, 则 `bbb L` 称为 `bbb F` 和 `bbb K` 的中间域.

通过向域中添加新的元素可以实现域的扩张. 最简单的情形就是一次添加一个元素, 定义如下:

考虑扩域 `bbb K//bbb F`, 将 `bbb K` 的子集 `S` 添加 `bbb F` 中得到的域记为 `bbb F(S)`, 定义为 `bbb K` 中所有含 `bbb F uu S` 的子域的交: `bbb F(S) := (:bbb F uu S:)` `bbb F(S)` 是包含 `bbb F uu S` 的最小域.
当 `S` 为有限集 `{a_1, a_2, cdots, a_n}` 时, `bbb F(S)` 也记为 `bbb F(a_1, a_2, cdots, a_n)`; 特别 `bbb F({a}) = bbb F(a)`, 称为 `bbb F` 的一个单扩域.

获得的中间域与子集的添加次序无关: 令 `bbb K` 为 `bbb F` 的一个扩域, `S, T sube bbb K`, 则 `bbb F(S)(T) = bbb F(S uu T) = bbb F(T)(S)`.

由已知 `bbb F, S, T sube bbb F(S)(T)`, 因而 `bbb F, S uu T sube bbb F(S)(T)`. 由 `bbb F(S uu T)` 的最小性知 `bbb F(S uu T) sube bbb F(S)(T)`.
另一方面, `bbb F, S, T sube bbb F(S uu T)`, 因而 `bbb F(S), T sube F(S uu T)`. 由 `bbb F(S)(T)` 的最小性知 `bbb F(S)(T) sube bbb F(S uu T)`. 于是 `bbb F(S)(T) = bbb F(S uu T)`. 同理 `bbb F(T)(S) = bbb F(S uu T)`.

(超限归纳法) 域 `bbb F` 上的任一扩域都可以通过一系列单扩张获得.

有限与无限、代数与超越

有限与无限 视 `bbb K` 为 `bbb F` 上的线性空间 (加法是 `bbb K` 中的加法, 数乘是 `bbb F` 与 `bbb K` 中元素的乘法), 则称 `"dim"bbb K` 为 `bbb K` 在 `bbb F` 上的(扩张) 次数, 记为 `del(bbb K//bbb F)` 或 `[bbb K : bbb F]`. 按扩张次数, 扩域可以分为有限次和无限次两类.

代数与超越 设 `alpha in bbb K`, 若 `alpha` 是 `bbb F` 上某个多项式的根: `(EE f(x) in bbb F[x])` `quad f(alpha) = 0`, 则称 `alpha` 为 `bbb F` 上的代数元, `f` 为 `alpha` 的零化多项式. 若不存在这样的多项式, 则称 `alpha `为超越元. 若 `bbb K` 的每一元素都是 `bbb F` 上的代数元, 则称 `bbb K` 为 `bbb F` 的一个代数扩域, 否则为超越扩域. 特别当 `bbb K \\ bbb F` 的元素都为 `bbb F` 上的超越元时, 称 `bbb K` 为 `bbb F` 的纯超越扩域.

我们主要研究代数扩域.

有限次扩域都是代数扩域.

反设 `bbb F le bbb K` 为超越扩域, 则存在 `alpha in bbb K` 为 `bbb F` 上超越元, 因此对任意正整数 `n`, `1, alpha, alpha^2, cdots, alpha^n` 线性无关. 从而 `bbb K` 只能是无穷维的.

若一个复数是某个整系数多项式的根, 则称它是一个代数数, 否则是一个超越数. 全体代数数记为 `A_QQ`. 代数数和超越数分别是 `QQ` 上的代数元和超越元.

  1. `CC` 为 `RR` 的二次扩域;
  2. `RR` 和 `CC` 都是 `QQ` 的超越扩域;
  3. `A_QQ` 为 `QQ` 的无限次代数扩域;

单超越扩张 是指在域中添加一个超越元形成的扩张. 设 `alpha` 在 `bbb F` 上超越, 则有环同构: `bbb F[alpha] ~= bbb F[x]`. 因为同构的整环有同构的分式域, 所以单超越扩域 `bbb F(alpha)` 同构于 `bbb F[x]` 的分式域 `bbb F(x)`: `bbb F(alpha) ~= bbb F(x)`.

类似有单代数扩张, 我们在下节讨论.

单代数扩域

最小多项式 考虑扩域 `bbb K//bbb F`. `alpha in bbb K` 是 `bbb F` 上的代数元, 在 `alpha` 的所有首一的零化多项式中, 次数最低的那个称为它的最小多项式, 不可约的称为它的既约多项式.

最小多项式存在且惟一: 因为 `alpha` 为代数元, 所以存在它的零化多项式; 再由次数最小可知它是惟一的.

最小多项式就是既约多项式.

  1. 设 `alpha` 是域 `bbb F` 的代数元, `p(x)` 是最小多项式. 反设 `p(x)` 在 `bbb F` 上可约, 则存在次数大于零的 `f, g in bbb F[x]`, 使得 `p(x) = f(x) g(x)`. 由 `f(alpha) g(alpha) = p(alpha) = 0`, 且 `bbb F(alpha)` 无零因子 (因为它是域) 知 `f(alpha) = 0` 或 `g(alpha) = 0`. 与 `p(x)` 的最小性矛盾.
  2. 设 `p(x), q(x)` 都是 `alpha` 的零化多项式, 又记 `d(x) = (p(x), q(x))`, 则存在 `s, t in bbb F[x]` 使得 `d(x) = s(x) p(x) + t(x) q(x)`. 因此 `d(alpha) = 0`, 即 `d(x)` 也是零化多项式.
    若 `p(x)` 在 `bbb F` 上不可约, 下证 `p(x) = d(x)`. 事实上只需证 `p(x) | d(x)`. 由带余除法 `d(x) = a(x) p(x) + r(x)`, `quad del r lt del p` 知, `r` 为零化多项式, 因而只能 `r = 0`, 从而 `p(x) | d(x)`. 因此 `p(x) = d(x) | q(x)`. 由 `q(x)` 的任意性知 `p(x)` 是最小多项式.
  1. 由定理证明过程知, `alpha` 在 `bbb F` 上的最小多项式是其全体零化多项式的公因子;
  2. 若 `bbb F le bbb K`, `alpha` 在 `bbb F` 和 `bbb K` 上的最小多项式分别为 `p(x)`, `q(x)`, 则由 `bbb F` 上的零化多项式也是 `bbb K` 上的零化多项式, 推出 `q(x) | p(x)`. 因此随着域的扩大, 最小多项式的次数相应减小.

单代数扩张 令 `alpha` 为域 `bbb F` 的代数元, `p(x)` 是最小多项式, 则 `bbb F(alpha) = bbb F[alpha] ~= bbb F[x] // (: p(x) :)`.

作环的代入同态: `varphi: bbb F[x] to bbb F[alpha]`
`f(x) mapsto f(alpha)`. 可以验证 `varphi` 为一满同态. 由同态基本定理, `bbb F[alpha] ~= bbb F[x] // "Ker"varphi`. `"Ker"varphi` 即为 `alpha` 的全体零化多项式, 它由最小多项式生成, 于是 `"Ker"varphi = (: p(x) :)`.
由 `bbb F[x]` 为主理想整环 (PID) 和 `p(x)` 在 `bbb F` 上不可约得到, `(:p(x):)` 是 `bbb F[x]` 的极大理想, 故 `bbb F[x] // (: p(x) :)` 为一域. 从而, `bbb F[alpha]` 也是域.

  1. `(: p(x) :)` 是最小多项式生成的理想, 它表示 `bbb F` 上以 `p(x)` 为因子的全体多项式, 亦即全体零化多项式.
  2. 单代数扩张的良好性质在于, 添加 `alpha` 得到的环 `bbb F[alpha]` 已经是域; 换言之, 域 `bbb F(alpha)` 中的元素都具有 `f(alpha)` 的形式, 其中 `f in bbb F[x]`.

单代数扩域 `bbb F(alpha)` 的次数等于 `alpha` 的最小多项式 `p(x)` 的次数: `[bbb F(alpha): bbb F] = del p(x)`. 故单代数扩域是有限次扩域, 从而是代数扩域.

任取 `f(alpha) in bbb F(alpha) = bbb F[alpha]`, 由带余除法 `f(x) = p(x) q(x) + r(x)`, `quad del r lt del p := n`. 从而 `f(alpha)` `= p(alpha) q(alpha) + r(alpha)` `= r(alpha)`. 这说明 `f(alpha)` 可以表示为 `1, alpha, cdots, alpha^(n-1)` 的线性组合; 另一方面, 由 `p(x)` 的最小性知 `1, alpha, cdots, alpha^(n-1)` 线性无关, 故单代数扩域 `bbb F(alpha)` 的维数等于 `n`.

有限次扩域 ——即，有限生成的代数扩域

次数公式 令域 `bbb F le bbb L le bbb K`, 则 `[bbb K: bbb F] = [bbb K: bbb L] [bbb L: bbb F]`. 上式对无穷次也成立.

  1. 视 `bbb K` 为 `bbb L` 上线性空间, `bbb L` 为 `bbb F` 上线性空间, 基底分别为 `alpha_1, alpha_2, cdots, alpha_n` 和 `beta_1, beta_2, cdots, beta_m`. 下证 `alpha_i beta_j`, `quad i = 1, 2, cdots, n`, `j = 1, 2, cdots, m` 构成 `bbb K` 作为 `bbb F` 上线性空间的基底. `AA alpha in K`, 有 `alpha = sum_(i=1)^n l_i alpha_i` `= sum_(i=1)^n alpha_i sum_(j=1)^m f_(i j) beta_j` `= sum_(i=1)^n sum_(j=1)^m f_(i j) alpha_i beta_j`. 其中 `l_i in bbb L`, `f_(i j) in bbb F`. 再说明它们线性无关. 设 `sum_(i=1)^n sum_(j=1)^m f_(i j) alpha_i beta_j = 0`, 则由 `{alpha_i}_(i=1)^n` 构成 `bbb K` 在 `bbb L` 上的基底知 `sum_(j=1)^m f_(i j) beta_j = 0`, `quad i = 1, 2, cdots, n`. 又 `{beta_j}_(j=1)^m` 构成 `bbb L` 在 `bbb F` 上的基底, 故 `f_(i j) = 0`, `quad i = 1, 2, cdots, n`, `j = 1, 2, cdots, m`.
  2. 再说明 `[bbb K: bbb L]`, `[bbb L: bbb F]` 有一个等于 `oo` 时, `[bbb K: bbb F]` 也等于 `oo`. 反设 `[bbb K: bbb F] lt oo`, 基底为 `alpha_1, alpha_2, cdots, alpha_n`. 这时 `bbb L` 是 `bbb K` 在 `bbb F` 上的线性子空间, 因此是有限维的, 即 `[bbb L: bbb F] lt oo`. 又 `AA alpha in bbb K`, `alpha = sum_(i=1)^n f_i alpha_i`, `quad f_i in bbb F sube bbb L`. 因此 `bbb K` 中的向量能被 `bbb L` 中有限个向量线性表出, 从而 `[bbb K: bbb L] lt oo`.

有限次扩域的传递性 有限次扩域的有限次扩域还是有限次扩域.

若 `[bbb K: bbb F]` 为素数, 则 `bbb F` 与 `bbb K` 无真中间域. (逆命题是否成立?)

`bbb F` 上代数元的和, 差, 积, 商 (除数不为零) 仍为 `bbb F` 上代数元.

设 `alpha, beta` 在 `bbb F` 上代数, 则 `bbb F le bbb F(alpha) le bbb F(alpha, beta) // bbb F` 为有限次扩张, 从而是代数扩张.

有限次扩域本质是有限生成的代数扩域 `bbb K//bbb F` 是有限次扩域当且仅当存在从 `bbb F` 到 `bbb K` 的一个单代数扩域的有限升链: `bbb F = bbb F_0 le bbb F_1 le bbb F_2 le cdots le bbb F_l = bbb K`, 其中 `bbb F_i` 是 `bbb F_(i-1)` 的单代数扩域, `i = 1, 2, cdots, l`.

  1. 充分性: 由次数公式, `[bbb K: bbb F] = [bbb F_l: bbb F_(l-1)] cdots [bbb F_1: bbb F_0] lt oo`.
  2. 必要性: 将 `bbb K` 在 `bbb F` 上的基底 `alpha_1, alpha_2, cdots, alpha_n` (有限次扩域必为代数扩域, 因此它们都是代数元) 逐个添加进来, 得到 `bbb K = bbb F(alpha_1)(alpha_2)cdots(alpha_n)`.
  1. 设 `bbb K` 为 `bbb F` 的有限次扩域, 基底为 `alpha_1, alpha_2, cdots, alpha_n`, 则 `bbb K = bbb F(alpha_1, alpha_2, cdots, alpha_n)`.
  2. `[bbb K: bbb F] = 1 iff bbb K = bbb F`.

代数扩域的传递性 若 `bbb K // bbb L`, `bbb L // bbb F` 均为代数扩域, 则 `bbb K // bbb F` 也是代数扩域.

任取 `alpha in bbb K`, 设它在 `bbb L` 上的最小多项式为 `f`, 将 `f` 的系数 `a_0, a_1, cdots, a_n` 添加到 `bbb F` 中, 得到 `bbb L_1 = bbb F(a_0, a_1, cdots, a_n)`, 则 `alpha` 在 `bbb L_1` 上的最小多项式仍为 `f`, `bbb L_1(alpha) // bbb L_1` 为有限次扩张. 但 `a_0, a_1, cdots, a_n in bbb L`, 因而这些系数均为 `bbb F` 上代数元, 从而 `bbb L_1 // bbb F` 也是有限次扩张. 综上 `bbb L_1(alpha) // bbb F` 是有限次扩张, 故 `alpha` 为 `bbb F` 上代数元, 由 `alpha` 的任意性, 结论得证.

设 `u` 为域 `bbb F` 上超越元, 则 `bbb F(u)` 是纯超越扩域, 且对任意 `alpha in bbb F(u)\\bbb F`, `bbb F(u)//bbb F(alpha)` 是代数扩张.

`bbb F(u)` 同构于分式域 `bbb F(x)`. 取 `alpha = f(u)//g(u) in bbb F(u)\\bbb F`, 则 `f(u) - g(u) alpha = 0`, 表明 `u` 在 `bbb F(alpha)` 上代数. 反设 `alpha` 在 `bbb F` 上代数, 则由代数扩张的传递性, `bbb F le bbb F(alpha) le bbb F(u)` 是代数扩张, 矛盾; 因此 `alpha` 在 `bbb F` 上超越.

什么时候有限次扩域可以由单代数扩域一步生成呢, 下面的定理告诉我们:

Artin 本原元定理* 设 `bbb F` 为无限域, `bbb K` 是其有限次扩张, 则 `bbb K` 为 `bbb F` 的单代数扩张当且仅当两个域之间只有有限个不同的中间域.

  1. 充分性: 取 `u in bbb K`, 使得 `bbb F(u)` 是所有单代数扩张所得的中间域里面次数最大的, 下证 `bbb F(u) = bbb K`. 反设结论不成立, 则存在 `bm v in bbb K\\bbb F(u)`. 由已知, 形如 `bbb F(u + a v)`, `quad a in bbb F` 的中间域只有有限个. 而 `bbb F` 为无限域, 由鸽巢原理, 存在 `a, b in bbb F`, 满足 `bbb F(u + a v) = bbb F(u + b v)`, `quad a != b`. 故 `v = ((u+a v) - (u+b v))/(a-b) in bbb F(u + a v)`,
    `u = (u+a v) - a v in bbb F(u + a v)`.     因为 `v !in bbb F(u)`, 有 `bbb F(u) lt bbb F(u + a v)`, 从而 `del(bbb F(u), bbb F) lt del(bbb F(u+a v), bbb F)`, 与 `u` 的取法矛盾.
  2. 必要性: 令 `bbb K = bbb F(u)`, `bbb F le bbb L le bbb K`, `u` 在 `bbb F`, `bbb L` 上的最小多项式分别为 `p(x), q(x)`, 则 `q(x) | p(x)`. 将 `q(x) = x^n + q_(n-1) x^(n-1) + cdots + q_1 x + q_0` 的全体系数添加到 `bbb F` 上, 记生成的域为 `bbb L'`: `bbb L' = bbb F(q_0, q_1, cdots, q_(n-1))`, 显然 `bbb L' le bbb L`, 下证 `bbb L' = bbb L`. 注意到 `u` 在 `bbb L'` 上的最小多项式仍为 `q(x)`, 有 `del(bbb K, bbb L') = del q(x) = del(bbb K, bbb L)`. 借助维数公式, `del(bbb L', bbb F) = del(bbb L, bbb F)`. 因为具有包含关系且维数相同的线性空间是相等的, 所以 `bbb L' = bbb L`.
    我们已经证明, `bbb F` 和 `bbb K` 的任一中间域和 `p(x)` 的因式一一对应, 但 `p(x)` 只有有限个因式, 故中间域也是有限个.
    小结
  1. 有限次扩张是代数扩张; 有限步的单代数扩张是有限次扩张.
  2. 有限次扩张、代数扩张均可传递.
  3. 代数元的四则运算结果仍为代数元.

代数闭域与代数闭包

    若 `bbb L` 不存在比自身更大的代数扩域, 换言之它的任意扩域都是超越扩域, 则称 `bbb L` 是代数闭域. 代数闭域的特价表述:
  1. 任意 `bbb L` 以外的元素在 `bbb L` 上超越; 换言之若 `alpha` 在 `bbb L` 上代数, 则 `alpha in bbb L`.
  2. `bbb L` 上任意次数大于零的多项式在 `bbb L` 中有根. 由代数学基本定理知道 `CC` 是代数闭域.

代数闭域一定是无限域.

反设 `bbb L` 为有限域, 元素为 `a_1, cdots, a_n`, 则多项式 `prod (x-a_i) - 1` 在 `bbb L` 上没有根, 否则得到 `0=1` 的矛盾.

考虑扩域 `bbb K//bbb F`. 将 `bbb K` 中所有 `bbb F` 上代数元添加到 `bbb F` 中所得的域 `bbb F^"alg"` 称为 `bbb F` 在 `bbb K` 中的代数闭包. `bbb F^"alg"//bbb F` 为代数扩张. 任取 `u in bbb K\\bbb F_"alg"`, 则 `u` 在 `bbb F_"alg"` 上是超越元, (否则与代数扩张的传递性矛盾), 即 `bbb K//bbb F_"alg"` 为纯超越扩张. 这证明了代数闭包必为代数闭域. 一般地, 若不限定范围, 使用超限归纳法将 `bbb F` 上所有代数元加到 `bbb F` 中, 得到一个很大的域, 也称为 `bbb F` 的代数闭包.

分裂域——即，有限次正规扩域

正规扩域 记 `f(x) in bbb F[x] \\ bbb F` 在复数域上的全部根为 `S_(f(x))`. 如果关于任意不可约多项式 `p(x) in bbb F[x]`, `p(x)` 的全部根要么全在 `bbb K` 中, 要么全不在 `bbb K` 中: `S_(p(x)) sube bbb K` or `S_(p(x)) nn bbb K = O/`, 则称 `bbb K` 为 `bbb F` 的一个正规扩域.

    令 `f(x)` 是域 `bbb F` 上的 `n ge 1` 次多项式, 记它的全部 `n` 个根组成的集合为 `S`, 则称 `bbb F(S)` 为 `bbb F` 的分裂域或根域.

`f` 在它的分裂域 `bbb K` 上能被完全因式分解: `f(x) = a(x-k_1)cdots(x-k_n)`, `quad k_1, cdots, k_n in bbb K`, 而且 `bbb K` 是满足上式的最小域.

有限域

有限域又称 Galois 域, 是指阶 (即元素个数) 有限的域. 有限域的特征不能为无穷, 因此其特征为一素数 `p`, 其素域同构于 `ZZ_p`.

有限域的阶形如 `p^n`, `p` 为素数, `n` 为正整数. `p^n` 阶有限域记为 `GF(p^n)`.

令 `bbb F` 是特征为 `p` 的有限域, 视 `bbb F` 为 `bbb Z_p` 上的线性空间 (加法是 `bbb F` 上的加法, 数乘是 `bbb Z_p` 中元素与 `bbb F` 中元素的乘法), 基底为 `x_1, cdots, x_n`. 则 `bbb F = {sum a_k x_k: a_k in ZZ_p, k = 1, 2, cdots, n}`. `n` 个系数中, 每个都有 `p` 种取法, 于是 `|bbb F| = p^n`.

`p` 阶有限域就是 `ZZ_p`. 一般地, `p^n` 阶有限域同构于 `bbb ZZ_p[x] // (: m(x) :)`, `quad m` 为 `n` 次不可约多项式. 即 `GF(p^n)` 的元素是 `ZZ_p` 上次数小于 `n` 的多项式, 且多项式运算是模 `m(x)` 的.

所谓 `bbb F_p` 上的不可约多项式, 只要满足系数在 `0` 到 `p-1` 之间, 且 `0` 到 `p-1` 都不是它的根即可. 比如 `x^n + x + 1` 在 `bbb F_2` 上不可约 (代入 `x = 0, 1` 都不能使它为 `0`). 一般地, `bbb F_2` 上的多项式只要满足非零项个数为奇数, 就是不可约的.

我们可以用 `p` 进制数表示有限域的元素: `sum_(k=1)^(n-1) a_k x^k` 简写为 `a_(n-1) cdots a_0`. 比如 `p = 2` 时, `x^2 + x` 用二进制数写为 110. 在二进制的情况下, 取模的运算相当于异或, 如 1000 ^ 1011 = 011.

`GF(2^2)` 的全体元素是 `0`, `1`, `x`, `x+1`, 用二进制可以写为 00, 01, 10, 11. 使用不可约多项式 `m(x) = x^2+x+1 =` 111, 我们有 `x + (x+1) = 2x+1 = 1`,
`x * (x+1) = x^2 + x = -1 = 1`. 写成二进制就是 10 + 11 = 01,
10 * 11 = 110 ^ 111 = 01. 完整乘法表见,

有限域的乘法群是循环群 `GF(p^n)` 中存在一个生成元 (或本原元、原根) `g`, 它生成域中所有非零元素, 即 `GF(p^n) = {0, g, g^2, cdots, g^(p^n-1) = 1}`.

令 `G` 为 `GF(p^n)` 的乘法群, 由 Abel 群何时为循环群? 这个定理, 只需证对任意正整数 `m`, `x^m = 1` 在 `G` 中最多有 `m` 个解. 由于 `GF(p^n)` 是域, `m` 次方程在域中的解不超过 `m` 个, 证毕.

考虑 `GF(2^3)`, 取不可约多项式 `x^3 + x + 1 =` 1011, 则 `x =` 010 是乘法群的一个生成元:
`x^1` `x` 010
`x^2` `x^2` 100
`x^3` `x+1` 011
`x^4` `x^2+x` 110
`x^5` `x^2+x+1` 111
`x^6` `x^2+1` 101
`x^7` `1` 001

例子

`sqrt 2 + sqrt 3` 的最小多项式是 `(x-sqrt2-sqrt3)(x+sqrt2+sqrt3)(x^2-5x+2sqrt6)`. `sqrt 2 + root 3 3` 是 `x^6 - 6x^4 - 6x^3 + 12x^2 - 36x + 1` 的根.

分母有理化 记 `x = sqrt 2`, `y = root 3 3`, 则 `1/(x+y) = (x-y)(x^2-x y+y^2)(x^2+x y+y^2)//(x^6-y^6)`.

`u, v` 是整数, `sqrt(u +- sqrt v) in QQ(sqrt 1, sqrt 2, sqrt 3 cdots)`, 那么 `u^2 - v` 是平方数吗?

从单位正方形到全体有理点. 已知平面上单位正方形的四个顶点 `(0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1)`, 仅用一把无刻度直尺, 就能作出平面上任意有理点.

尺规可作的正多边形

先给出 `cos{:(2pi)/5:}` 的另一种求法.

`sum_(1 le k le n) cos{:(2 k pi)/(2n+1):} = -1/2`.

利用恒等式 `sum_(1 le k le 2n+1) "e"^(2k pi "i"//(2n+1)) = 0`, 因为 `2n+1` 为奇数, 所以除了 1 以外的其余 `2n` 个单位根成对共轭, 取实部即得结论.

求 `cos{:(2pi)/5:}`.

记 `theta = (2pi)/5`. 在引理中取 `n = 2` 有 `cos theta + cos 2theta = -1/2`,
`cos theta cos 2theta` `= 1/2 (cos theta + cos 3theta)` `= 1/2 (cos theta + cos 2theta)` `= -1/4`, 解得 `cos theta = (sqrt5-1)/4`.

求 `cos{:(2pi)/17:}`.

[来自 百度百科] 由引理 `sum_(k=1)^8 cos k theta = -1/2`, `quad theta = (2pi)/17`. 令 `x = cos theta + cos 2theta + cos 4theta + cos 8theta`,
`y = cos 3theta + cos 6theta + cos 12theta + cos 24theta`
`= cos 3theta + cos 6theta + cos 5theta + cos 7theta`, 则 `x + y = -1/2`, `quad x y = -1` [注]. 因此 `x, y = (-1+-sqrt 17)/4`. 继续分离 `x, y` 的项, 设 `x_1 = cos theta + cos 4theta`, `quad x_2 = cos 2theta + cos 8theta`,
`y_1 = cos 3theta + cos 5theta`, `quad y_2 = cos 6theta + cos 7theta`, 于是 `x_1 + x_2 = x`, `quad x_1 x_2 = -1/4`, [注]
`y_1 + y_2 = y`, `quad y_1 y_2 = -1/4`. [注] 解得 `x_(1,2) = (sqrt 17-1 +- sqrt(34-2 sqrt 17))//8`,
`y_(1,2) = (-sqrt 17-1 +- sqrt(34+2 sqrt 17))//8`. 最终, 由 `cos theta + cos 4theta = x_1`, `quad cos theta cos 4theta = y_1//2` 得到 `cos theta` 的值.
注 简记 `c_n = cos n theta`, 利用积化和差暴力展开: `x_1 x_2 = (c_1 + c_4)(c_2 + c_8)` `= 1/2(c_1 + c_3 + c_7 + c_9 + c_2 + c_6 + c_4 + c_12)`, 利用共轭关系, 上式即 `1/2 sum_(n=1)^8 c_n = -1/4`. 同理 `y_1 y_2 = -1/4`, `x y = -1`.

Fermat 素数是指形如 `2^(2^n) + 1` 的素数. 对于素数 `p`, 正 `p` 边形尺规可作, 换言之 `cos(2pi//p)` 可以通过 `QQ` 上一系列的二次扩域得到, 当且仅当 `p` 是 Fermat 素数.

    先证必要性.
  1. [参见分圆多项式] 设 `p` 为奇素数, 则 `f(x) = 1 + cdots + x^(p-1)` 在 `QQ` 上不可约 (换元 `y = x - 1` 然后用 Eisenstein 判别法). 因此, 若记 `zeta_p = "e"^(2pi"i"//p)`, 则 `QQ(zeta_p)` 是 `QQ` 的 `p-1` 次扩域, `f(x)` 为它的最小多项式.
  2. 记 `c = cos(2pi//p)`, 由于 `c = (zeta_p + zeta_p^-1)//2`, 所以 `QQ sub QQ(c) sub QQ(zeta_p)`. 我们断言 `QQ(zeta_p)` 是 `QQ(c)` 的二次扩域. 这是因为, 一方面 `QQ(c)` 中全为实数, 而 `QQ(zeta_p)` 中不全为实数, 所以扩张次数大于 1, 另一方面, 由于 `zeta_p` 是 `x^2 - 2 c x + 1` 的根, 所以扩张次数至多为 2. 那么, 由次数公式知道, `QQ(c)` 就是 `QQ` 的 `(p-1)//2` 次扩域.
  3. 若正 `p` 边形尺规可作, 则 `QQ(c)` 在 `QQ` 上的扩张次数是 2 的幂, 这推出 `p = 2^r + 1`, `r` 为正整数. 下证 `r` 是 2 的幂. 事实上, 若 `r = a b`, `a ge 3` 为奇数, 则 `p = (2^(a b)+1) = (2^b+1)(2^((a-1)b) - 2^((a-2)b) + cdots + 1)`, 与 `p` 是素数相矛盾. 综上 `p` 是 Fermat 素数.

历史上 Fermat 曾猜想形如 `2^(2^n)+1` 的整数都是素数; 这对于 `n = 0, cdots, 4` 均成立: 3, 5, 17, 257, 65537 都是素数. 然而 `n = 5` 时, Euler 指出 `2^32+1 = 641 * 6700417`.