椭圆函数

作换元 `t = pi/2 - x`, 显然有 `int_0^(pi/2) f(sin t) dt = int_0^(pi/2) f(cos x) dx`, 这一结论在下文直接应用, 不再说明.

第一类椭圆积分

[来自 知乎]

第一类椭圆积分 完全椭圆积分: `K(k) := int_0^(pi/2) ("d"theta)/sqrt(1-k^2 sin^2 theta)`, `quad "Re"(k) lt 1`. (Legendre 形式) 其中变元 `k` 称为模. 令 `t = sin theta` 得到: `K(k) = int_0^1 dt/(sqrt(1-t^2) sqrt(1-k^2 t^2))`. (Jacobi 形式) 利用下文的 Landen 变换得到: `K(z) = int_0^(pi/2) ("d"theta)/sqrt(1+z^2 +- 2z cos 2 theta)`. (第二形式) 不完全椭圆积分 (Legendre 积分): `F(k, varphi) := int_0^varphi ("d"theta)/sqrt(1-k^2 sin^2 theta)`.

Euler 变换 `K("i"x) = 1/sqrt(1+x^2) K(sqrt(x^2/(1+x^2)))`.

右边 `= 1/sqrt(1+x^2) int_0^(pi/2) ("d"theta)/sqrt(1-x^2/(1+x^2) cos^2 theta)` `= int_0^(pi/2) ("d"theta)/sqrt(1+x^2-x^2 cos^2 theta)` `= int_0^(pi/2) ("d"theta)/sqrt(1+x^2 sin^2 theta)` `=` 左边.

Landen 变换 取共轭模 `k' = sqrt(1-k^2)`. 令 `z = (1-k')/(1+k')`, 则 `K(z) = (1+k')/2 K(k)` `= 1/(1+z) K((2sqrt z)/(1+z))`.

令 `t = (1+k') (s sqrt(1-s^2))/sqrt(1-k^2 s^2)`, 求微分, `dt = (1+k')/sqrt(1-s^2) (1-2s^2 + k^2 s^4)/(1-k^2 s^2)^(3//2) "d"s`, 从 Jacobi 形式出发, 令 `z = (1-k')/(1+k')`,
由 `1-k^2 s^2 - (1+-k')^2 s^2 (1-s^2)` `= 1 - k^2 s^2 + (s^4 - s^2) (1 + {:k':}^2 +- 2 k')` `= 1 - 2(1+-k') s^2 + (1+-k')^2 s^4` `= [1 - (1+-k') s^2]^2`, 有 `sqrt(1-t^2) = (1 - (1+k') s^2)/sqrt(1-k^2 s^2)`, `quad sqrt(1-z^2 t^2) = (1 - (1-k') s^2)/sqrt(1-k^2 s^2)`. 当 `t = 0` 时, 相应的 `s = 0` 或 `1`; 当 `t = 1` 时, 解二次方程知, 相应的 `s = 1/sqrt(1+k')`. `K(z)` `= int_0^1 dt/(sqrt(1-t^2) sqrt(1-z^2 t^2))` `= (1+k') int_0^(1//sqrt(1+k')) ("d"s)/(sqrt(1-s^2) sqrt(1-k^2 s^2))` `= (1+k') int_(1//sqrt(1+k'))^1 ("d"s)/(sqrt(1-s^2) sqrt(1-k^2 s^2))` `= (1+k')/2 int_0^1 ("d"s)/(sqrt(1-s^2) sqrt(1-k^2 s^2))`.

Gauss 公式 定义 `M(a, b) := int_0^(pi/2)("d"theta)/sqrt(a^2 cos^2 theta+b^2 sin^2 theta)`, 则 `M((a+b)/2, sqrt(a b)) = 2/(a+b) K((a-b)/(a+b)) = M(a, b)`. 取 `a, b = 1 +- k`: `M(1, k') = M(1, sqrt(1-k^2)) = K(k) = M(1+k, 1-k)`.

首先 `a^2 cos^2 theta + b^2 sin^2 theta` `= a^2 - (a^2-b^2) sin^2 theta`, 故 `((a+b)/2)^2 cos^2 theta + a b sin^2 theta` `= ((a+b)/2)^2 - ((a-b)/2)^2 sin^2 theta`. 于是 `M((a+b)/2, sqrt(a b))` `= int_0^(pi/2) ("d"theta) / sqrt(((a+b)/2)^2 - ((a-b)/2)^2 sin^2 theta)` `= 2/(a+b) K((a-b)/(a+b))`. 这就证明了第一个等号. 接下来利用 `K(z)` 的第二形式, `2/(a+b) K((a-b)/(a+b))` `= 1/(a+b) int_0^pi [1 + ((a-b)/(a+b))^2 - 2(a-b)/(a+b) cos theta]^(-1/2) "d"theta` `= int_0^pi [(a+b)^2 + (a-b)^2 - 2(a-b)(a+b) cos theta]^(-1/2) "d"theta` `= int_0^pi [a^2(1-cos theta) + b^2(1+cos theta)]^(-1/2) ("d"theta)/sqrt 2` `= int_0^pi (a^2 sin^2{:theta/2:} + b^2 cos^2{:theta/2:})^(-1/2) ("d"theta)/2` `= M(a, b)`. 这就证明了第二个等号.

[来自 菲赫金哥尔茨 第二卷第 315 目] 令 `sin theta = (2 a sin varphi)/((a+b) + (a-b)sin^2 varphi)`, 注意到 `varphi` 从 `0` 到 `pi//2` 时, `theta` 也在同一区间变化. `cos^2 theta = 1 - sin^2 theta`
`= 1/()^2 [(a+b)^2 + (a-b)^2 sin^4 varphi + 2(a^2-b^2)sin^2 varphi - 4 a^2 sin^2 varphi]`
`= 1/()^2 [(a+b)^2 (cos^2 varphi + sin^2 varphi):}`
`quad + {:(a-b)^2 sin^2 varphi (1 - cos^2 varphi) - 2(a^2+b^2) sin^2 varphi]`
`= (cos^2 varphi)/()^2 [(a+b)^2 - (a-b)^2 sin^2 varphi]`, 我们得到 `cos theta = sqrt((a+b)^2 - (a-b)^2 sin^2 varphi)/((a+b) + (a-b) sin^2 varphi) cos varphi`. 另一方面, `a^2 cos^2 theta + b^2 sin^2 theta`
`= a^2/()^2 (((a+b)^2 - (a-b)^2 sin^2 varphi) cos^2 varphi + 4 b^2 sin^2 varphi)`
`= a^2/()^2 ((a+b)^2 (1-sin^2 varphi) - (a-b)^2 sin^2 varphi (1-sin^2 varphi) 1 + 4 b^2 sin^2 varphi)`
`= a^2/()^2 ((a+b)^2 - 2 (a^2-b^2) sin^2 varphi + (a-b)^2 sin^4 varphi)`
 被积函数的分母可以有理化: `sqrt(a^2 cos^2 theta + b^2 sin^2 theta)` `= a ((a+b) - (a-b) sin^2 varphi)/((a+b) + (a-b) sin^2 varphi`. 最后由 微分得 `cos theta "d"theta` `= 2a cos varphi ((a+b) - (a-b) sin^2 varphi)/((a+b) + (a-b) sin^2 varphi)^2 "d"varphi`, 于是 `("d"theta)/sqrt(a^2 cos^2 theta + b^2 sin^2 theta)` `= (2 "d"varphi)/sqrt((a+b)^2 - (a-b)^2 sin^2 varphi)` `= ("d"varphi)/sqrt(((a+b)/2)^2 - ((a-b)/2)^2 sin^2 varphi)` `= ("d"varphi)/sqrt(((a+b)/2)^2 cos^2 varphi + a b sin^2 varphi)`. 即 `M(a, b) = M((a+b)/2, sqrt(a b))`.

(Gauss, 1799) 设数列 `{a_n}`, `{b_n}` 满足: `0 lt b_0 lt a_0`, 且 `a_(n+1) = (a_n + b_n)/2`, `quad b_(n+1) = sqrt(a_n b_n)`, `quad n ge 0`, 则两数列收敛到同一极限. 此极限称为 `a_0` 与 `b_0` 的算术几何平均值 `"agm"(a_0, b_0)`, 我们有 `"agm"(a_0, b_0) M(a_0, b_0) = pi/2`. 从而得到高效求 `K(k)` 的公式 `K(k) = pi/2 1/("agm"(1, sqrt(1-k^2)))`.

  1. 先证极限存在. 由均值不等式, `b_n lt sqrt(a_n b_n) lt (a_n+b_n)/2 lt a_n`, 故 `{[b_n, a_n]}` 形成一组闭区间套, 且 `|a_(n+1) - b_(n+1)| lt 1/2|a_n - b_n|`. 因此闭区间套的长度趋于零. 由闭区间套定理知, 两数列的极限为 `A = nnn_n [b_n, a_n]`.
  2. 注意椭圆积分 `M(a, b)` 的值在此数列的迭代下保持不变, 有 `M(a_0, b_0) = M(a_1, b_1) = cdots = M(A, A) = pi/(2 A)`.

`K(k) = (1 + k_1) K(k_1)`, 其中 `k_1 = (1-k')/(1+k')`, `k' = sqrt(1-k^2)`. 反复应用此公式得 `K(k) = pi/2 prod_(n ge 1) (1+k_n)`.

  1. 由 Gauss 公式, `K(k) = M(1, k')` `= M((1+k')/2, sqrt(k'))` `= int_0^(pi/2) ("d"theta)/sqrt(((1+k')/2)^2 cos^2 theta + k' sin^2 theta)` `= int_0^(pi/2) ("d"theta)/sqrt(((1+k')/2)^2 - ((1-k')/2)^2 sin^2 theta)` `= 1/(1+k') int_0^(pi/2) ("d"theta)/sqrt(1 - k_1^2 sin^2 theta)` `= (1+k_1) K(k_1)`.
  2. 反复应用上式得到 `K(k) = prod_(j=1)^n (1+k_j) K(k_n)`, 其中 `k_n = (1 - k_(n-1)')/(1 + k_(n-1)')`. 因此 `0 lt k_n lt 1`, `k_n lt k_(n-1)^2`. 这推出 `k_n to 0`, `n to oo`. 进而 `0 lt K(k_n) - pi/2` `= int_0^(pi/2) (1 - sqrt(1 - k_n^2 sin^2 theta))/sqrt(1 - k_n^2 sin^2 theta) "d"theta` `lt pi/2 (1 - sqrt(1-k_n^2))/sqrt(1-k_n^2) to 0`.

Gauss 常数 `G = "agm"(1, sqrt 2)^-1 = (Gamma^2(1/4))/(2pi)^(3/2)`.

`pi/2 G` `= pi/2 "agm"(1, sqrt 2)^-1` `= K("i")` `= int_0^1 dt/(sqrt(1-t^2) sqrt(1+t^2))` `= 1/4 B(1/4, 1/2)` `= (sqrt pi Gamma(1/4)^2 sin{:pi/4:})/(4 pi)`.

一道经典例题: `K(z)` 与单摆周期.

第二类椭圆积分

第二类椭圆积分 `E(z) = int_0^(pi/2) sqrt(1-z^2 sin^2 theta) "d"theta` `= int_0^1 sqrt((1-z^2 t^2)/(1-t^2)) dt`.

Euler 变换 `E("i"x) = sqrt(1+x^2) E(sqrt(x^2/(1+x^2)))`.

椭圆的周长 记椭圆的离心率为 `k = sqrt(a^2-b^2) // a`, 则椭圆周长 `L = 4 int_0^(pi/2) sqrt(a^2 cos^2 theta + b^2 sin^2 theta) "d"theta` `= 4 a int_0^(pi/2) sqrt (1 - k^2 sin^2 theta) "d"theta` `= 4 a E(k)`.

求 `int_0^1 sqrt((1+x^2)/(1-x^2)) dx`.

原式等于 `int_0^1 (1+x^2)/sqrt(1-x^4) dx` `= int_0^1 1/sqrt(1-x^4) dx + int_0^1 x^2/sqrt(1-x^4) dx` `= I_1 + I_2`. 令 `t = x^4`, `dt = 4x^3 dx`, `dx = dt/(4 t^(3//4))`, `I_1 = 1/4 int_0^1 t^(-3//4)(1-t)^(-1//2) dt = 1/4 B(1/4, 1/2)`. 类似 `I_2 = 1/4 B(3/4, 1/2)`.
另一方面, 令 `x = sin theta`, 原式等于 `int_0^(pi/2) sqrt(1+sin^2 theta) "d"theta` `= E("i") = sqrt 2 E(1/sqrt 2)`.

`E` 和 `K` 的导数 [来自 菲赫金哥尔茨 第二册511目] `("d"E)/("d"k) = (E-K)/k`, `quad ("d"K)/("d"k) = (E//{:k':}^2 - K)/k`. 其中共轭模 `k'` 满足 `k^2 + {:k':}^2 = 1`. 进一步可得 `E` 满足的微分方程 `("d"^2 E)/{:"d"k:}^2 + 1/k ("d"E)/("d"k) + E/{:k':}^2 = 0`.

直接计算: `("d"E)/("d"k) = "d"/("d"k) int_0^(pi/2) sqrt(1-k^2 sin^2 t) dt` `= int_0^(pi/2) (-k sin^2 t)/sqrt(1-k^2 sin^2 t) dt` `= (E-K)/k`. `K` 的导数则不太简单: 先验证等式 `"d"/dt (sin t cos t)/sqrt(1-k^2 sin^2 t)` `= 1/k^2 [(1-k^2 sin^2 t)^(1/2) - (1-k^2)/k^2 (1-k^2 sin^2 t)^(-3/2)]`, 于是 `int_0^(pi/2) (1-k^2 sin^2 t)^(-3/2) dt` `= E//{:k':}^2`. 从而 `("d"K)/("d"k) = "d"/("d"k) int_0^(pi/2) dt/sqrt(1-k^2 sin^2 t)` `= int_0^(pi/2) k sin^2 t (1-k^2 sin^2 t)^(-3/2) dt` `= 1/k int_0^(pi/2) [(1-k^2 sin^2 t)^(-3/2) - (1-k^2 sin^2 t)^(-1/2)] dt` `= (E//{:k':}^2 - K)/k`.

Legendre 关系式 [菲赫金哥尔茨 第二册 511 目 12)] `E K' + E' K - K K' = pi/2`. 其中 `K = K(k)`, `K' = K(k')`, `E = E(k)`, `E' = E(k')`.

由 `("d"k')/("d"k) = "d"/("d"k) sqrt(1-k^2) = -k/sqrt(1-k^2) = -k/k'`, 将 `("d"E)/("d"k) = (E-K)/k`, `("d"K)/("d"k) = (E//{:k':}^2-K)/k`, `("d"E')/("d"k) = (-k/k')(E'-K')/k'`, `("d"K')/("d"k) = (-k/k')(E'//k^2 - K')/k'` 代入整理得 `"d"/("d"k) (E K' + E' K - K K') = 0`. 即 `E K' + E' K - K K'` 等于一个常数 `c`. 现在令 `k to 0`, `k' to 1` 求极限, 来求出 `c`. 事实上 `lim_(k to 0) E' K = 1 * pi/2 = pi/2`, 又 `|K'(E - K)|` `= |int_0^(pi/2) dt/sqrt(1-{:k':}^2 sin^2 t)| |int_0^(pi/2) (1/sqrt(1-k^2 sin^2 t) - sqrt(1-k^2 sin^2 t)) dt|` `le pi/(2 k) * |int_0^(pi/2) (k^2 sin^2 t dt)/sqrt(1-k^2 sin^2 t)|` `le pi/(2 k) * pi/2 * k^2/(k') to 0`, 所以极限为 `pi/2`.

    `|z| lt 1` 时, 椭圆积分展开为幂级数:
  1. `K(z) = pi/2 sum_(n ge 0) [((2n-1)!!)/((2n)!!) z^n]^2`;
  2. `E(z) = -pi/2 sum_(n ge 0) 1/(2n-1) [((2n-1)!!)/((2n)!!) z^n]^2`.

只证第一式. 利用幂级数 `1/sqrt(1-z) = sum_(n ge 0) ((2n-1)!!)/((2n)!!) z^n`, `quad |z| lt 1` 和积分 `int_0^(pi/2) sin^(2n) theta "d"theta = pi/2 ((2n-1)!!)/((2n)!!)` 对 `K(z)` 逐项积分即可.

第三类椭圆积分 `int dz/((1+h z^2) sqrt((1-z^2)(1-k^2 z^2)))` `= int ("d"varphi)/((1 + h sin^2 varphi)sqrt(1 - k^2 sin^2 varphi))`.

Jacobi 椭圆函数

考虑 `u(varphi) = F(k, varphi)` `= int_0^varphi ("d"theta)/sqrt(1-k^2 sin^2 theta)` 的反演. 其中 `0 lt k lt 1` 为常数. 由于被积函数恒为正, `u(varphi)` 是从 `RR` 到 `RR` 的单射, 将它的反函数记为 `varphi = "am" u`, 称为振幅 (amplitude) 函数. `sin "am" u := "sn" u` 称为辐角正弦或椭圆正弦. 这些名称来自单摆 (数学摆) 的振幅公式 `sin {:theta/2:} = sin{:theta_0/2:} "sn" sqrt(g/l) t`, 其中 `theta` 为 `t` 时刻与竖直方向的夹角, `theta_0` 为初始角, `l` 为摆长, `g` 为重力加速度.

超几何函数

超几何函数 (超几何级数) 定义为 `{::}_2 F_1(a,b";"c";"z)` `= sum_(n ge 0) (a^(bar n) b^(bar n))/c^(bar n) z^n/n!` `= 1 + (a b)/c z + (a(a+1)b(b+1))/(c(c+1)) z^2/(2!) + cdots`. 它可以用来表示许多初等/非初等的函数. 观察得到: 超几何函数中, `a, b` 的地位对称; 当 `a` 或 `b` 为 `0` 时, 函数值为 `1`; 当 `a` 或 `b` 为负整数时, 级数只有有限项.

  1. `arctan z` `= sum_(n ge 0) z^(2n+1)/(2n+1)` `= z {::}_2 F_1(1,1/2";"3/2";"-z^2)`;
  2. [来自 某用户的壹零叁] `int sin^(2n+1)x dx` `= -int (1 - cos^2 x)^n "d"cos x` `= sum_(k=0)^n (n;k) (-1)^(k+1) (cos^(2k+1) x)/(2k+1)` `= -cos x * {::}_2 F_1(-n, 1/2";"3/2";"cos^2 x)`.

Bessel 函数

第一类 Bessel 函数 将 `exp(z/2(zeta-1/zeta))` 在 `CC\\{0}` 中展开为 Laurent 级数 `sum_(n=-oo)^oo J_n(z) zeta^n`, `J_n(z)` 称为 (第一类) Bessel 函数. `n` 为整数时, `J_(+-n)(z)` 之间有简单的关系: `J_(-n)(z) = (-1)^n J_n(z)`. 可以证明 `J_n(z) = 1/pi int_0^pi cos(n theta - z sin theta) "d"theta` `= sum_(k ge 0) (-1)^k/(k!(n+k)!) (z/2)^(n+2k)`, Bessel 函数的参数 `n` 也可以取非整数值, 例如 `J_(-1//2) (z) = sqrt(2/(pi z)) cos z`,
`J_(1//2) (z) = sqrt(2/(pi z)) sin z`. 这两个式子揭示了 Bessel 函数与 `1//sqrt x` 速率衰减的三角函数形似.

  1. `n` 为整数时, 令 `xi = -1//zeta`, 考虑 `exp(z/2(xi - 1/xi))` 的 Laurent 级数 `sum_(n = -oo)^oo J_n(z) xi^n` `= sum_(n = -oo)^oo J_n(z) (-zeta)^-n` `= sum_(n = -oo)^oo J_(-n)(z) (-zeta)^n`. 但 `xi - 1//xi = zeta - 1//zeta`, 所以上式其实就是 `exp(z/2(zeta - 1/zeta))` 的 Laurent 级数.
  2. 积分表达式. 使用定义计算 Laurent 级数的系数, 在单位圆上积分: `J_n(z) = 1/(2pi"i") int_C f(zeta)/zeta^(n+1) "d"zeta` `= 1/(2pi"i") int_0^(2pi) "e"^(("e"^("i"theta) - "e"^(-"i"theta))z//2)/"e"^((n+1)"i"theta) "i" "e"^("i"theta) "d"theta` `= 1/(2pi) int_0^(2pi) "e"^("i"(z sin theta - n theta)) "d"theta`. 区间再现, 得 `1/(2pi) int_0^pi "e"^("i"(z sin theta - n theta)) + "e"^("i"(z sin(2pi-theta) - n(2pi-theta))) "d"theta` `= 1/pi int_0^pi cos(z sin theta - n theta) "d"theta`.
  3. 级数表达式. 另一方面, 利用指数函数的幂级数展开, 令 `n = t - k` 得 `exp((z zeta)/2) exp(-z/(2zeta))` `= sum_(t ge 0) ((z zeta)/2)^t/(t!) sum_(k ge 0) (-z/(2zeta))^k/(k!)` `= sum_(n=-oo)^oo zeta^n sum_(k ge 0) (-1)^k/(k!(n+k)!) (z/2)^(n+2k)`.
  4. 将 `J_(1//2)(z)` 与 `sin z` 的级数比较, 只需证 `(sqrt pi)/(k!(k+1//2)!) 1/2^(2k+1) = 1/(2k+1)!`. 利用 `(-1//2)! = Gamma(1//2) = sqrt pi` 得到 `2^k k! = (2k)!!`, `quad 2^(k+1) (k+1//2)! = (2k+1)!! sqrt pi`. 故等式成立. `J_(-1//2)(z)` 的情形类似.

Bessel 方程 代入级数验证可知, `J_n(x)` 是下面方程的解: `x^2 y'' + x y' + (x^2-n^2) y = 0`. 我们可以把 `n` 换成 `-n` 而不改变方程, 因此 `J_(-n)(x)` 也是一个解. Bessel 方程是二阶常微分方程, 它存在一对线性无关解. 特别当 `n = +-1//2` 时, 我们已经找到这一对线性无关解 `J_(+-1//2)(x)`. 一般地, 当 `n` 不是整数时 `J_(+-n)(x)` 即为方程的一对线性无关解. 然而当 `n` 是整数时, 有 `J_(-n)(x) = (-1)^n J_n(x)`, 两者线性相关, 我们还需找到方程的另一个解.

Bessel 方程的另一个解称为 Neumann-Weber 函数 (第二类 Bessel 函数): `Y_n(x) := (J_n(x) cos (n pi) - J_(-n)(x))/sin(n pi)`. `n` 为整数时, 上式右端取极限. `Y_n(x)` 与 `J_n(x)` 线性无关.
Bessel 方程的复数形式解称为 Hankel 函数 (第三类 Bessel 函数): `H_n^((1, 2))(x) := J_n(x) +- "i" Y_n(x)`.

  1. `sum_(n=-oo)^oo J_n(x)` `= sum_(n=-oo)^oo J_(2n)(x)` `= sum_(n=-oo)^oo J_n(x)^2 = 1`;
  2. `"e"^("i" x cos theta) = sum_(n=-oo)^oo "i"^n J_n(x) "e"^("i"n theta)`;
  3. `J_n(x+y) = sum_(k=-oo)^oo J_k(x) J_(n-k)(y)`.
  4. `int_0^oo J_n(x) dx = 1`;
  5. `J_n(x) = 1/(pi "i"^n) int_0^pi "e"^("i" x cos theta) cos(n theta) "d"theta`;
  6. `"d"/dx (x^n J_n(x)) = x^n J_(n-1)(x)`;
  7. `J_n(x) = "i"^n T_n("i" "d"/dx) J_0(x)`, `T_n` 是 Chebyshev 多项式.