例子

直线运动 作直线运动的质点, 其位置 `s`, 速度 `v`, 加速度 `a` 是时间 `t` 的函数, 其中 `v = ("d"s)/dt`, `quad a = ("d"v)/dt`. 当 `a` 是常数时, 称为匀变速直线运动. 在时间 `[0, t]` 上积分可得 `v = v_0 + a t`, `quad s = s_0 + v_0 t + 1/2 a t^2`. 上式消去 `t` 得到 `s - s_0 = t(v_0 + 1/2 a t)` `= (v-v_0)/a (v_0 + 1/2 (v-v_0))` `= ((v-v_0)(v+v_0)) / (2a)`, 即 `2a Delta s = v^2 - v_0^2`, 其中 `Delta s = s - s_0` 表示末位置与初位置的差, 称为位移.

曲线运动 作曲线运动的质点, 其位置 (又叫位矢) `bm r`, 速度 `bm v`, 加速度 `bm a` 是矢量 (在手写时通常写成 `vec r`, `vec v`, `vec a`), 它们满足 `bm v = ("d"bm r)/dt`, `quad bm a = ("d"bm v)/dt`. 速度的大小 `v = |bm v|` 称为速率, 满足 `v = ("d"s)/dt`, `"d"s` 为弧长微元.

    抛体运动 可以分解为水平方向的匀速运动和竖直方向的匀加速运动. 设 `t = 0` 时质点位于原点, 初速度大小为 `v_0`, 方向与 `x` 轴成 `alpha` 角, 则参数方程为 `dx/dt = v_0 cos alpha`, `quad dy/dt = v_0 sin alpha - g t`. 积分得到 `x = v_0 t cos alpha`, `quad y = v_0 t sin alpha - 1/2 g t^2`. 上式消去 `t` 得到轨迹方程 `y = x tan alpha - g/2 (x/(v_0 cos alpha))^2`, 这是抛物线方程.
  1. 观察方程知, 抛体运动还可以分解为沿初速度方向的直线运动 `y = x tan alpha` 和自由落体运动 `y = -1/2 g t^2` 之和.
  2. 在抛物线的顶点处有 `dy/dt = 0`, 即 `t = v_0 sin alpha // g`, 代入 `y(t)` 的表达式得 `y_(max) = (v_0^2 sin^2 alpha)/(2g)`, 因此 `alpha = 90^@` 时抛体运动具有最大射高.
  3. 另一方面, 在抛物线与 `x` 轴的交点处有 `y = 0`, 即 `t = 0` 或 `2v_0 sin alpha // g`. 后者代入 `x(t)` 的表达式得 `x_(max) = (v_0^2 sin 2 alpha) / g`, 因此 `alpha = 45^@` 时抛体运动具有最大射程. 此外若 `alpha_1 + alpha_2 = 90^@`, 由上式知道两个抛体运动具有相同射程.

匀速圆周运动 设 `t = 0` 时质点的相位为 `0`, 其角速度 `omega gt 0` 为常数, 圆周半径为 `R`, 则参数方程为 `x = R cos omega t`, `quad y = R sin omega t`. 求导得 `v_x = -omega R sin omega t`, `quad v_y = omega R cos omega t`,
`a_x = -omega^2 R cos omega t`, `quad a_y = -omega^2 R sin omega t`. 速度大小和加速度大小分别为 `v = sqrt(v_x^2 + v_y^2) = omega R`,
`a = sqrt(a_x^2 + a_y^2) = omega^2 R = v^2 / R`. 用向量内积容易验证 `bm v _|_ bm a`, 这不是巧合, 事实上, 曲线在取定弧长参数时, 切向量的导数总是与自身垂直 (见微分几何).

    天体运动 [崔尚斌 数学分析教程 8.3.4 从开普勒定律推导万有引力定律]
    利用万有引力定律和牛顿三大定律, 推导天体运动的开普勒三大定律, 即
  1. 椭圆轨道;
  2. 单位时间内, 向径 `bm r` 扫过的面积为常数;
  3. 周期正比于 `a^(3/2)`, `a` 为半长轴;
  1. 受力分析. 记地球 `m` 相对于太阳 `M` 的位矢为 `bm r`, 考虑地球的受力, 利用万有引力定律和牛顿第二定律得到 `bm r` 满足的微分方程 `m ddot bm r = -G (mM)/r^3 bm r`, 即 `ddot bm r + mu/r^3 bm r = bb 0`, 其中 `mu = G M`.
  2. 角动量守恒. 在 两边叉乘 `bm r`, 得 `bm r xx ddot bm r = bb 0`. 积分得 `bm r xx dot bm r = bm h`, 积分常数 `bm h` 称为角动量, 它垂直于轨道平面.
  3. 拉普拉斯积分. 应用 矢量分析的结论, `dot hat bm r = (bm h xx bm r)/r^3`, 其中 `hat bm r = bm r/r`. 在 两边叉乘 `bm h`, `ddot bm r xx bm h + mu/r^3 bm r xx bm h = bb 0`, 积分得 `dot bm r xx bm h - mu hat bm r = bm f`, 积分常数 `bm f` 称为拉普拉斯矢量 (或龙格楞次矢量).
  4. 开普勒第一定律. 在拉普拉斯积分两边点乘 `bm r`, `r f cos theta` `= bm r * bm f` `= bm r * (dot bm r xx bm h) - mu (bm r * bm r)/r` `= (bm r xx dot bm r) * bm h - mu r` `= h^2 - mu r`, 整理得 `r = h^2/(mu + f cos theta)`, 这正是圆锥曲线的极坐标方程.
  5. 开普勒第二定律. 将 `dot bm r` 正交分解, 其中 `hat bm theta` 是与 `bm r, bm h` 都垂直的单位向量: `dot bm r = dot r hat bm r + r dot theta hat bm theta`. 两边叉乘 `bm r` 得 `bm h = r^2 dot theta (hat bm r xx hat bm theta)`, 即 `h = r^2 dot theta`. `dt` 时间内, `bm r` 扫过的扇形面积为 `"d"S = 1/2 r^2 "d" theta`, 于是 `("d"S)/dt = 1/2 r^2 ("d"theta)/dt = 1/2 r^2 dot theta = h/2`. 由于 `h` 是常数, 所以单位时间内 `bm r` 扫过的面积为常数.
  6. 开普勒第三定律. 利用椭圆的面积 `S = pi a b = h/2 T` 得到周期的公式 `T = (2 pi a b)/h`. 因为 `h^2` 正比于 `b^2/a`, 所以 `T` 正比于 `a^(3/2)`.

变分原理

每个力学系统可以用一个确定的 Lagrange 函数 `L(q, dot q, t)` 表征, 其中 `q` 为广义坐标, 可以是多维的.

Lagrange 函数具有可加性: 设力学系统由 A, B 两部分组成, Lagrange 函数分别为 `L_A`, `L_B`, 当两部分趋于无穷远, 之间的相互作用可以忽略时, 系统的 Lagrange 函数趋于它们的和: `lim L = L_A + L_B`.

最小作用量原理 (又名变分原理, Hamilton 原理) 给出了力学系统运动规律的最一般表述: 在任意时刻 `t_1, t_2`, 之间, 系统的运动总是使 Lagrange 函数的积分 (称为作用量) `S = int_(t_1)^(t_2) L(q, dot q, t) dt` 取得最小值.

Euler-Lagrange 方程 (第一形式) 设 `q(t) in C^1[a,b]`, `L(q, dot q, t) in C^2[a,b]`, 用 `C_0^1[a,b]` 表示在 `[a,b]` 上连续可微, 且满足齐次边界条件的全体函数: `C_0^1[a,b] = C^1[a, b] nn {f: f(a) = f(b) = 0}`. 则泛函 `S(q) = int_a^b L(q, dot q, t) dt` 取极值的充分条件是下式成立: `(del L)/(del q) = "d"/dt (del L)/(del dot q)`.

`S(q)` 在 `q = q^**` 时取极值当且仅当对任意 `eta(t) in C_0^1[a,b]`, 函数 `varphi(epsi) = S(q^** + epsi eta)` 在 `epsi = 0` 处取极值, 这时有 `varphi'(0) = 0`. 积分与求导换序, 再应用分部积分, 注意 `eta` 满足齐次边界条件, 有 `0 = int_a^b "d"/("d"epsi) L(q^**+epsi eta, dot q^** + epsi dot eta, t) dt` `= int_a^b ((del L)/(del q) eta + (del L)/(del dot q) dot eta) dt` `= int_a^b [(del L)/(del q)-"d"/dt (del L)/(del dot q)] eta dt`. 由函数 `eta` 的任意性, 按变分引理有 `(del L)/(del q) - "d"/dt (del L)/(del dot q) = 0` 几乎处处成立. 当 `L` 二阶连续可微时, 上式左边连续, "几乎处处为零" 可以加强为 "处处为零".

在定理的证明中, 函数 `eta` 称为 `q` 的变分, 通常记作 `delta q`. 变分可以表示函数的微小扰动, 由于 `delta q` 满足边界条件, 所以函数与变分的叠加 `q + delta` 仍属于 `C_0^1[a, b]`. 因此, 最小作用量原理可以写成 `delta S = int_a^b ((del L)/(del q) delta q + (del L)/(del dot q) delta dot q) dt = 0`. 其中, 一阶变分记号 `delta` 遵循类似微分的链式法则, 且 `delta dot q = "d"/dt delta q`.

Euler-Lagrange 方程 (第二形式) `"d"/dt(L - dot q(del L)/(del dot q))` `= (del L)/(del t)`. 特别当 `L` 不显含 `t` 时, `(del L)/(del t) = 0`, 得 `L - dot q (del L)/(del dot q) = c`.

直接计算, 左边等于 `(del L)/(del t) + dot q (del L)/(del q) + ddot q (del L)/(del dot q)` `- ddot q (del L)/(del dot q) - dot q "d"/dt (del L)/(del dot q)`, 由 Euler-Lagrange 方程第一形式知, 上式等于 `(del L)/(del t)`.

最速降线 设竖直平面内的两点 `O, A` 不在同一竖直线上, 且 `O` 位置较高. 求 `O, A` 之间的曲线轨道, 使得从 `O` 点由静止释放的小球沿该轨道运动时, 到达 `A` 点所用时间最少.

建立平面直角坐标系, `x` 轴沿水平方向, `y` 轴竖直向下. 由动能定理求得瞬时速率 `v = sqrt(2 g y)`, 由 `v = ("d"s)/dt = sqrt(1+{:y':}^2) dx/dt` 得 `dt = sqrt((1+{:y':}^2)/(2g y)) dx`. 令 `L(x, y, y') = sqrt((1+{:y':}^2)/(2g y))`, 因为 `L` 不显含 `x`, 由 Euler-Lagrange 方程的第二形式, `sqrt((1+{:y':}^2)/(2g y)) - ({:y':}^2)/sqrt((2g y)(1+{:y':}^2))` `= 1/sqrt(2g y) 1/sqrt(1+{:y':}^2) = c`. 记 `r = 1/(4c^2 g)`, 化简得 `y' = sqrt((2r)/y - 1)`, 即 `dx/dy = sqrt(y/(2r-y))`. 令 `y = r(1-cos theta)` 并积分得 `x = int sqrt((1-cos theta)/(1+cos theta)) r sin theta "d"theta` `= r int sqrt((1-cos theta)/(1+cos theta)) sqrt(1-cos^2 theta) "d"theta` `= r int (1-cos theta) "d"theta` `= r(theta - sin theta) + c_1` 由曲线过原点知 `c_1 = 0`. 从而曲线的参数方程为 `{x = r(theta - sin theta); y = r(1-cos theta):}` 这是摆线的方程.

摆线的几条性质 摆线一拱下的面积等于 3 倍圆面积: `S = int_(theta=0)^(2pi) y dx` `= int_0^(2pi) r(1-cos theta) (r(theta-sin theta))' "d"theta` `= r^2 int_0^(2pi) (1-2cos theta + cos^2 theta) "d"theta` `= r^2 (2pi + 0 + pi)` `= 3 pi r^2`. 摆线一拱的弧长等于 8 倍半径, 与 `pi` 无关: `"d"s` `= sqrt(dx^2 + dy^2)` `= sqrt(r^2(1-cos theta)^2+r^2 sin^2 theta) "d"theta` `= r sqrt(2 - 2 cos theta) "d" theta` `= 2 r sin {:theta/2:} "d" theta`,
`L = int_(theta=0)^(2pi) "d"s` `= 4 r int_0^pi sin u "d"u` `= 8 r`. 物体从任一起始位置以初速度 0 沿摆线下落, 到达最低点用时相等 (摆线的等时性): `T = int_(theta=theta_0)^pi ("d"s)/v` `= int_(theta_0)^pi (2r sin{:theta/2:} "d"theta) /sqrt(2 g r(cos theta_0-cos theta))` `= 2 sqrt(r/g) int_(theta_0)^pi (-"d" cos{:theta/2:})/sqrt(cos^2{:theta_0/2:} - cos^2{:theta/2:})` `= pi sqrt(r/g)`.

单摆的周期

单摆运动的轨迹是圆弧 `(r cos theta, r sin theta)`, 因此 `"d"s = sqrt(dx^2 + dy^2) = r`,
`v = sqrt(2 g Delta y) = sqrt(2 g r(cos theta - cos theta_0))`,
`T = 4 int_(theta=0)^(theta_0) ("d"s)/v` `= 4 sqrt(r/(2g)) int_0^(theta_0) ("d"theta)/sqrt(cos theta-cos theta_0)` `= 2 sqrt(r/g) int_0^(theta_0) ("d"theta)/sqrt(sin^2(theta_0//2) - sin^2(theta//2))`. 这并非初等积分, 我们令 `sin xi = sin(theta//2) / sin(theta_0//2)`, 于是 `cos xi "d"xi = cos(theta//2)/sin(theta_0//2) ("d"theta)/2`, `int_0^(theta_0) ("d"theta)/sqrt(sin^2(theta_0//2) - sin^2(theta//2))` `= int_0^(theta_0) ("d"theta)/(sin(theta_0//2) cos xi)` `= 2 int_0^(pi/2) ("d"xi)/cos(theta//2)` `= 2 int_0^(pi/2) ("d"xi)/sqrt(1-sin^2(theta//2))` `= 2 int_0^(pi/2) ("d"xi)/sqrt(1-sin^2(theta_0//2) sin^2 xi)` `= 2 K(sin {:theta_0/2:})`, 其中 `K(z) = int_0^(pi/2) ("d"xi)/sqrt(1-z^2 sin^2 xi)` 是第一类完全椭圆积分. 当摆幅足够小时, `sin theta_0 ~~ theta_0`, 利用展式 `K(z) = pi/2(1 + z^2/4 + cdots)` 得 `T ~~ 2 pi sqrt(r/g) (1 + theta_0^2/16 + cdots)`. 由此看出, 单摆周期与起始位置 `theta_0` 有关, 它只有近似的等时性, 而摆线才具有严格的等时性.

积分展开式的首项可以这样得到: 由 `cos theta ~~ 1 - theta^2/2`, `(cos theta - cos theta_0)^(-1//2)` `~~ sqrt(2/(theta_0^2 - theta^2))`, 代入积分得 `T/4 ~~ sqrt(r/g) int_0^(theta_0) ("d"theta)/sqrt(theta_0^2-theta^2)` `= sqrt(r/g) pi/2`, 因此 `T ~~ 2pi sqrt(r/g)`.