形式幂级数

全体形式幂级数记为 `CC[[x]]`, 其中的元素形如 `sum_(n ge 0) a_n x^n`; 全体形式 Laurent 级数记为 `CC((x))`, 其中元素形如 `sum_(n ge -N) a_n x^n`. `CC[[x]]` 和 `CC((x))` 分别构成环和域. 在研究形式级数的时候, 我们只进行形式的计算, 不关心它们的收敛性.
若 `f` 是形式级数, 我们用 `[x^n] f(x)` 表示它的 `n` 次项系数. 特别当 `f` 是形式幂级数时, 有 `[x^n] f(x) = 1/n! {:("d"^n f)/dx^n|_(x=0)`.

1. 设 `f(x)` 是形式 Laurent 级数, 则 `[x^-1] f'(x) = 0`.
2. 设 `f(x)` 是形式幂级数, `f(0) = 0`, `f'(0) != 0`, 则对任意整数 `n`, `[x^-1] f(x)^n f'(x) = { 1, if n = -1; 0, otherwise :}`

1. 这是因为 `(x^n)' = n x^(n-1)`.
2. 若 `n != -1`, `f(x)^n f'(x) = 1/(n+1) (f(x)^(n+1))'`, 由 1 知道它的 `-1` 次项系数等于 `0`. 若 `n = -1`, 记 `f(x) = sum_(k ge 1) a_k x^k`, 有 `(f'(x))/(f(x))` `= (a_1 + 2 a_2 x + cdots)/(a_1 x + a_2 x^2 + cdots)` `= (a_1 + 2 a_2 x + cdots)/(a_1 x) 1/(1 + g(x))` `= (x^-1 + 2 a_2//a_1 + cdots) (1 - g(x) + g(x)^2 - cdots)`. 其中 `g(x) = (a_2 x^2 + cdots)//a_1 x`. 容易看出上式的最低次项, 即 `-1` 次项系数为 `1`.

Lagrange 反演公式 设 `f(x), g(x)` 是形式幂级数, `f(0) = 0`, `f'(0) != 0`, `g(0) = 0`, `g'(0) != 0`. 若 `f, g` 互逆, 即 `g(f(x)) = f(g(x)) = x`, 则 `[x^n] g(x) = [x^-1] 1//f(x)^n = [x^(n-1)] (x//f(x))^n`.

设 `g(x) = sum_(k ge 1) b_k x^k`, 由 `g(f(x)) = x` 知道 `sum_(k ge 1) b_k f(x)^k = x`. 两边求导, 再同除以 `f(x)^n` 得 `sum_(k ge 1) k b_k f(x)^(k-1-n) f'(x) = f(x)^-n`. 两边取 `-1` 次项系数, 由引理 `[x^-1] f(x)^(k-1-n) f'(x) = 1` 当且仅当 `k = n`, 因而 `n b_n = [x^-1] f(x)^-n`. 证毕.