复变函数就是自变量为复数的函数. 在经典的复变函数理论中, 复可微函数即全纯函数占据核心地位.

复数

已知 `|z + 1/z| = 1`, 求 `min|z|`.

设 `z = r(cos theta + "i"sin theta)`, 于是 `z + 1/z = r(cos theta+"i"sin theta) + r^-1(cos theta-"i"sin theta)`. 由已知, `1^2 = |z + 1/z|^2 = (r+r^-1)^2 cos^2 theta + (r-r^-1)^2 sin^2 theta`, 即 `r^2 + 1/r^2 = 1 - 2 cos 2 theta`. 由函数 `f(x) = x + 1/x` 在 `(0,1)` 和 `(1, +oo)` 上的单调性知, `cos 2 theta = -1` 时, `r` 取得最小值 `sqrt((3-sqrt 5)/2) = (sqrt 5-1)/2`.

由 `|z + 1/z| = 1` 得 `|z| = |z^2 + 1| ge 1 - |z|^2`. 记 `|z| = r`, 有 `r^2 + r - 1 ge 0`. 解得 `r ge (sqrt 5-1)/2`. 其中等号成立当且仅当 `z^2 lt 0`, 即 `z` 是纯虚数. 容易验证 `z = (sqrt 5-1)/2 "i"` 即符合题意, 因此 `min|z| = (sqrt 5-1)/2`.

设复数 `a, b` 的模长小于 `1`, 证明 `|(a - b)/(1-bar a b)| lt 1`.

[来自 诗许] 利用等式 `|a|^2 = bar a a`, 即证 `(a - b)(bar a - bar b) lt (1-bar a b)(1 - a bar b)` 即证 `|a|^2 + |b|^2 lt 1 + |a| |b|^2` 即证 `(1-|a|^2)(1-|b|^2) gt 0`, 显然成立.

上例表明, 取定 `|a| lt 1` 时, 函数 `w = varphi_a(z) = (a - z)/(1 - bar a z)` 将单位圆盘 `B(0, 1)` 映到自身的子集中. 上式解得 `z = (a-w)/(1 - bar a w)`, 这说明 `varphi_a` 是自身的反函数. 既然可以反解出 `z`, 这说明 `varphi_a` 是单射; 另一方面, 对任意 `w in B(0, 1)`, 可以找到原像 `z in B(0, 1)`, 说明它是满射. 总之 `varphi_a` 是 `B(0, 1)` 到自身的双射. 特别地, `varphi_a(0) = a`, `varphi_a(a) = 0`. 又, `varphi_a` 将单位圆周映到单位圆周.
下文将提到, `D` 上全纯的双射称为 `D` 上的全纯自同构, 它们的集合记为 `"Aut"(D)`.

复平面上的点集拓扑

域的概念不同于代数学的域.

可求长曲线.

初等函数

指数函数

设 `z = x + "i"y`, 定义 `"exp"(z) = "e"^z = "e"^x(cos y + "i"sin y)`.

当 `y = 0` 时, `"e"^z = "e"^x`, 此定义与实变量的指数函数一致; 当 `x = 0` 时, 得到Euler 公式: `"e"^("i"y) = cos y + "i" sin y`. 应用 Euler 公式, 复数的三角表示 `r(cos theta + "i"sin theta)` 可以简单地写为 `r "e"^("i"theta)`. 此外, 由 `"e"^("i"y) = cos y + "i" sin y`,
`"e"^(-"i"y) = cos y - "i" sin y` 可得 `cos y = ("e"^("i"y)+"e"^(-"i"y))/2`, `quad sin y = ("e"^("i"y)-"e"^(-"i"y))/(2"i")`.

  1. `|"e"^z| = "e"^x gt 0`, 因此 `"e"^z != 0`;
  2. `"e"^z "e"^w = "e"^(z+w)`;
  3. `"e"^(z+2pi"i") = "e"^z`, 因此 `"e"^z` 是周期为 `2pi"i"` 的周期函数;

三角函数

设 `z in CC`, 从 Euler 公式得到启发, 定义 `cos z = ("e"^("i"z)+"e"^(-"i"z))/2`, `quad sin z = ("e"^("i"z)-"e"^(-"i"z))/(2"i")`.

  1. `"e"^("i"z)` 和 `"e"^(-"i"z)` 都以 `2pi` 为周期, 所以 `sin z`, `cos z` 也以 `2pi` 为周期.
  2. `sin z` 是奇函数, `cos z` 是偶函数.
  3. 常见的三角恒等式在复数范围内仍成立: `sin(z+w) = sin z cos w + cos z sin w`,
    `cos(z+w) = cos z cos w - sin z sin w`,
    `sin^2 z + cos^2 z = 1`, `quad sin 2z = 2 sin z cos z`, `quad cos z = sin(pi/2 - z)`,     等等.
  4. `sin z` 的零点是 `z = k pi`, `k in ZZ`; `cos z` 的零点是 `z = (k+1/2)pi`, `k in ZZ`. 这些零点都是实数.
  5. 定义 `cosh z = ("e"^z+"e"^-z)/2`, `quad sinh z = ("e"^z-"e"^-z)/2`. 容易看出 `cosh("i"z) = cos z`, `quad sinh("i"z) = sin z`,
    `cos("i"z) = cosh z`, `quad sin("i"z) = -sinh z`.     注意 `sinh`, `cosh` 是无界函数, 因此与实变量的正, 余弦函数不同, `sin z`, `cos z` 是无界函数.

对数函数

设 `z in CC`, 称满足方程 `"e"^w = z` 的 `w in CC` 为 `z` 的对数, 记为 `"Log"z `.

`"Log" z = log|z| + "i" "Arg"z`.它是一个多值函数, 其多值性由辐角 `"Arg"z` 的多值性产生.

设 `z = r"e"^("i"theta)`, `w = u + "i"v`, 若 `"e"^w = z`, 我们有 `"e"^(u+"i"v) = r"e"^("i"theta)`, 即 `"e"^u = r`, `quad v = theta + 2 k pi`, `quad k in ZZ`. 于是 `"Log"z = log|z| + "i" "Arg" z`.

对数函数的单值全纯分支 如果 `D` 是不含原点和无穷远点的单连通域, 则存在 `D` 上的一列单值全纯函数 `{varphi_k}`, 满足 `exp(varphi_k(z)) = z`, `quad (varphi_k(z))' = 1/z`, `quad k = 0, +-1, +-2, cdots`. 每个 `varphi_k` 都称为 `"Log"z` 在 `D` 上的一个单值全纯分支.

幂函数

设 `z in CC`, `mu = a + "i"b`, 定义 `z^mu = "e"^(mu"Log"z)`.

分式线性变换*

全体复数 `CC` 连同无穷远点 `oo` 一起组成复球面 `CC^**`. [参见 圆]

    复变函数 `f(z) = (a z+b)/(c z+d)` 称为一个分式线性变换 (或 Möbius 变换), `bm A = [a, b; c, d]` 称为它的矩阵. 对于任意非零常数 `k`, `k bm A` 也是 `f` 的矩阵. 我们将 `bm A` 和 `k bm A` 视为相等的. 下面我们总假定
  1. `|bm A| = a d - b c != 0`, 从而 `f` 是可逆的.
  2. 若分母 `c z + d = 0`, 规定 `f(z) = oo`.
  3. 若 `z = oo`, 规定 `f(z) = a/c`; 特别当 `c = 0` 时, `f(oo) = oo`.
    [参见 矩阵李群]
  1. 复数域上全体二阶可逆矩阵称为 (2 阶) 一般线性群 `M = GL_2(CC)`. 全体数量矩阵 `k bm I in M` 记为 `Z(M)`, 称为 `M` 的中心; 这是因为 `M` 中与任意矩阵乘法可交换的必为数量矩阵. 考虑分式线性变换时, 我们将 `bm A` 和 `k bm A` 等同, 因此分式线性变换是商群 `PGL_2(CC) = M // Z(M)` 中的元素, 这个群称为射影一般线性群.
  2. `GL_2(CC)` 中行列式等于 `1` 的矩阵全体组成子群 `SL_2(CC)`, 称为特殊线性群. `SL_2(CC)` 商掉其中心得到射影特殊线性群 `PSL_2(CC)`. 特别素域 `bbb F_p` 上的 `n` 阶射影特殊线性群 `PSL_n(bbb F_p)` 简记为 `PSL(n, p)`.
    分式线性变换的分解 设 `c != 0`, 分式线性变换 `f(z) = (a z + b)/(c z + d)` 可以分解为:
  1. 平移: `z mapsto z + d//c`;
  2. 倒数: `z mapsto 1//z`;
  3. 伸缩与旋转: `z mapsto (b c - a d) z//c^2`;
  4. 平移: `z mapsto z + a//c`.
    5. 若 `c = 0`, 由假设 `a d - b c != 0` 知 `a != 0`, `d != 0`. 此时 `f` 形如 `A z + B`, 是一次多项式.

`c != 0` 时 `(a z + b)/(c z + d)` `= (a(c z + d) - (a d - b c))/(c(c z + d))` `= a/c - (a d - b c)/(c^2(z + d//c))`.

分式线性变换与矩阵 设 `bm A, bm B` 分别为 `f, g` 的矩阵, 容易验证 `f @ g` 的矩阵即为 `bm(A B)`. 又, `f^-1` 的矩阵即为 `bm A^-1 = [-d, b; c, -a]` (等价意义上), 即 `y = (a x + b)/(c x + d)` `rArr x = (-d y + b)/(c y - a)`.

    分式线性变换的不动点
  1. `c = 0` 时, `f` 形如 `A z + B`, `A != 0`. 显然 `oo` 是 `f` 的一个不动点. 若 `A != 1`, 则 `B/(1-A)` 是它的另一个不动点; 若 `A = 1`, 则 `oo` 是 `f` 唯一的不动点.
  2. `c != 0` 时, 令 `z = (a z + b)/(c z + d)` 得 `c z^2 + (d-a) z - b = 0`. 解之可得一或两个不动点.

`f(z) = 1/(1-z)` 满足 `f^3(z) = z`, 从矩阵的角度看, `[0, 1; -1, 1]^3 = [-1, ; , -1]`.

[来自 我是萌萌的澄] 设 `f: x mapsto (1+x)/x`, `g: x mapsto (1-x)/x`, 若 `x` 为非零有理数, 证明: 对任意有理数 `y`, 存在一系列 `f, g` 的复合将 `x` 映为 `y`.

    [来自 我是从北京东京到南京的向量加法]
  1. 先证: 对任意既约分数 `p_0/q_0 = p/q`, `p, q != 0`,, 存在一系列 `f, g` 的复合将它映为 `+-1`. 事实上, 在 `f, g` 的作用下, `p/q` 分别映为 `(q+p)/p, (q-p)/p`. 若 `|p| != |q|`, 则两个数都是既约分数, 且至少有一个数满足分子分母的绝对值之和小于 `|p| + |q|`. 记这个数为 `p_1/q_1`. 若 `|p_1| != |q_1|`, 又可作同样处理, 得到一系列既约分数 `p_0/q_0, p_1/q_1, cdots`, 其分子分母绝对值之和单调递减, 这是不可能的. 因此必存在某个 `n` 使得 `|p_n| = |q_n|`, 即我们将 `p/q` 映为 `+-1`.
  2. 由于 `(f@g@f)(x) = (g@f@g)(x) = -x`, 联系 1. 得到: 任意非零有理数都可以映为 `1`. 以上两式结合得 `(f@g@f@g@f@g)(x) (g@f@g@f@g@f)(x) = x`, 因此 `f^-1`, `g^-1` 也被找到. 现在对于任意非零有理数 `x, y`, 存在 `f, g` 复合成的映射 `varphi`, `eta` 使得 `varphi(x) = 1 = eta(y)`, 即 `(eta^-1 @ varphi) x = y`.
  3. 最后显然 `g(1) = 0`, 因此 `0` 也是可以达到的.