圆的切线

过不在圆上的一点 `P`, 只用直尺作出 `P` 关于圆的极线. 如果 `P` 在圆外, 连接 `P` 到极线与圆的交点就得到两切线.

过 `P` 作圆的两割线, 交圆于 `A, B, C, D` 四点. 这四点确定一个完全四边形, 其中一组对边交于 `P`. 设另外两组对边交于 `E, F`, 则 `EF` 就是极线.

[来自群友 幂零群、太阳花] [圆规x2, 直尺x1] 过圆上一点 `P` 作切线.

在圆 `O` 上任取一点 `A`, 使得 `O, A, P` 不共线. 作圆 `AP`, 交圆 `O` 于 `P, B`; 作圆 `PB`, 交圆 `A` 于 `B, C`.
1. 下证 `CP` 就是圆 `O` 的切线. 这只需说明 `/_ CPO = 90^@`: 连接 `PA, PB`, `/_ CPO` 被分为三个角. 我们证明这三个角之和等于 `90^@`.
   1. `triangle PAB S= triangle PAC (SSS)`, 所以 `PA` 平分 `/_BPC`. 设 `/_ BPC = 2alpha`.
   2. `AB = AP` 所以 `/_ ABP = /_ APB = alpha`.
   3. 作圆 `O` 的直径 `PD`. `ABDP` 四点共圆, 所以 `/_ ADP = /_ ABP = alpha`. 由于 `DP` 是直径, 所以 `/_ ADP + /_APD = 90^@`. 于是 `/_ CPO` `= /_APC + /_APD` `= alpha + /_ APD` `= /_ ADP + /_ APD` `= 90^@`.
   
2. 进一步设圆 `A` 交直线 `OP` 于 `P, E`, 圆 `P` 交圆 `O` 于 `B, F`. 下证 `C, A, E, F` 四点共线.
   1. 由 1. 知 `/_ CPE = 90^@` 所以 `CE` 是圆 `A` 直径, 这说明 `C, A, E` 共线.
   2. 又 `triangle BPO S= triangle FPO (SSS)`, 所以 `/_ BAF = /_ BPF = 2 /_ BPO`. 又在圆 `A` 中 `/_ BAC = 2/_ BPC`, 所以 `/_ BAF + /_ BAC` `= 2 (/_BPO + /_BPC)` `= 2 /_ CPO = 180^@`. 即 `C, A, F` 共线.
   

阿氏圆与反演

定义

Apollonius 圆 (阿氏圆) 平面上到两定点距离之比为常数 `k` (`k gt 0`, `k != 1`) 的点的轨迹为圆.

设这两个定点为 `A, B`, 线段 `AB` 长为 `l`. 若平面上一点 `R` 满足 `RA = k RB`, 则在直线 `AB` 上可取一点 `O`, 使得 `triangle ORA S~ triangle OBR`. 由相似关系得 `OA * OB = OR^2`. 又 `OA = (OA)/(OR) * (OR)/(OB) * OB = k^2 OB`,
`OA = OB +- l` (`k gt 1` 时取 `+`, `0 lt k lt 1` 时取 `-`), 由此解得的 `OA, OB, OR` 均可用常数 `k, l` 表示, 即 `O` 点的位置与 `OR` 的长度均为定值, 因此 `R` 的轨迹为一圆.

反演变换 设圆 `O` 的半径为 `r`. 观察上图, `A, B` 两点位于 `O` 出发的同一条射线上, 且 `OA * OB = r^2`, 我们称 `A, B` 关于圆 `O` 互为反演, `O` 为反演中心, `r` 为反演半径, 圆 `O` 称为反演的参考圆. 显然, 一个点作两次反演后的像是其自身. 反演变换的全体不动点就是参考圆上的点.

古堡朝圣 [来自 西安交大2024强基第一问] 已知 `A(2, 0)`, `B(0, 2//sqrt 3)`, `P` 是单位圆上一动点, 求 `min(PA + 2PB)`.

反演点的作法 设点 `P` 不在圆 `O` 上. 作 `NS _|_ OP` 于 `O`, 想像 `N` 是北极, `S` 是南极, `OP` 是赤道. 现在连接 `NP` 交圆 `O` 于 `A`, 连接 `SA` 交赤道 `OP` 于 `Q`, 则 `P, Q` 关于圆 `O` 互为反演.

由三角形 `QOS` 和 `NOP` 相似立即得到结论.

在 Geogebra 中可以用命令 Reflect about circle 来作反演.

性质

反演变换的相似比 定量地说, 如果参考圆半径为 `R`, 圆 `c` 的圆心到反演中心 `O` 的距离为 `d`, 半径为 `r`. 那么圆 `c` 到 `O` 的最近点和最远点 (距离 `d +- r`) 应该分别被映到像 `c'` 到 `O` 的最远点和最近点 (距离 `R^2/(d +- r)`). 因此, 两圆的直径之比是 `k = |(R^2//(d-r) - R^2//(d+r))/(2r)|` `= R^2/|d^2-r^2|`. 令 `r to 0`, 则 `k to R^2//d^2`.

反演变换是反向保角的 两条曲线的夹角 (交点处切线的夹角) 在反演变换后保持不变, 但角的定向发生改变 (顺时针变为逆时针).

这不是一个严格证明, 但可以让你说服自己:
1. 首先指出反演变换把圆的内部映为像圆的内部, 外部映为像圆的外部. 假如 `a, b` 两圆相交, 那么它们的像仍相交, 假如它们不相交, 它们的像也不相交. 余下的情况就是: 反演变换把相切的圆仍映为相切的圆.
2. 设平面上有一条短线段 `l`, 作许多小圆, 使得 `l` 沿小圆的直径将它们串起来. 因此 `l` 的长度等于这些小圆的直径之和. 现在对这个糖葫芦作反演变换, 得到一串弯曲的糖葫芦. 它的长度 `l'` 仍近似等于小圆的像的直径之和. 假设 `d` 是 `l` 到反演中心的距离, 由上一条性质知道: `l'//l ~~ R^2//d^2`. 即短线段的长度被反演变换等比例地缩放, 缩放因子与 `l` 的方向无关.
3. 我们立即得到: 当三角形的半径趋于零时, 它与它的反演像是最终相似的. 这就是说反演变换保持角度不变. 从几何直观容易看出, 反演使角度的定向改变, 因此反演变换是反向保角的.

正交圆的反演像是自身 广义圆在反演变换下的像是自身当且仅当它是参考圆, 或与参考圆正交 (夹角为直角). 一个特殊的正交情形是, 广义圆是通过反演中心的直线.

1. `rArr`: 因为参考圆上的点都是不动点, 所以参考圆的反演像是自身. 下设变换前的广义圆 `C` 与参考圆 `O` 不重合. 若圆 `C` 完全位于圆 `O` 外部, 则它的像完全位于圆 `O` 内部, 反之亦然. 但圆 `C` 的像是自身, 因此圆 `C` 与圆 `O` 必有交点. 假设两圆的夹角不是直角, 则反演后角的定向改变, 圆 `C` 不可能保持不动; 因此两圆夹角必为直角.
2. `lArr`: 反之若广义圆 `C` 与参考圆正交, 则由保角性, 反演像仍与参考圆正交, 且两个交点在反演下不动. 由于过两个交点与参考圆正交的广义圆是唯一的 (在两个交点处作参考圆的切线, 切线交点即为所求的圆心), 所以圆 `C` 保持不动.

既然将直线视为特殊的圆, 我们也可以定义关于直线的反演. 为了找到点 `P` 关于直线 `l` 的反演像, 过点 `P` 作两个圆与直线 `l` 正交 (只需圆心在 `l` 上, 作出的圆就会与 `l` 正交), 则 `P` 的像必为这两个圆的另一个交点, 即点 `P` 关于直线 `l` 的对称点.

过不在圆 `O` 上的一点 `A` 可作无数个圆与圆 `O` 正交.

[来自 言、我是阳光开朗的小白] 在圆 `O` 上任取一点 `B` 作为交点. 作圆 `O` 在 `B` 处的切线 `l`, 由正交性, 所求的圆心必定在直线 `l` 上. 但这个圆又过 `A, B` 两点, 所以它的圆心还在 `AB` 中垂线上. 取两直线交点即为所求圆心.

反演变换保持反演关系 设点 `A, B` 关于圆 `C` 互为反演, 现在将 `A, B`, 圆 `C` 一起关于另一个圆 `O` 反演, 则反演像 `A', B'` 关于圆 `C'` 仍互为反演.

过 `A` 可以作无数个圆与圆 `C` 正交, 由于正交圆的反演像是自身, 所以这些圆都通过点 `B`. 任取其中两个圆 `D, E`, 由保角性, 它们关于圆 `O` 反演后的像 `D', E'` 仍与 `C'` 正交. 而 `A', B'` 是这两个圆的交点, 因此关于圆 `C'` 互为反演.

复球面

球极投影 从反演点的作法受到启发, 考虑如下的球极投影映射: 取半径为 1, 球心在原点的单位球面, 记北极为 `N`, 南极为 `S`. 令 `xOy` 平面与赤道平面重合, `z` 轴指向北极建立空间直角坐标系. 对于球面上的任一点 `A(x, y, z)`, 作直线 `NA` 与赤道平面交于一点 `P(u, v)`. `P` 的位置也可以用复数 `u + "i"v` 来表示. 可以看到, 除北极 `N` 以外, 这建立了球面上的点到复平面上的点之间的一一对应. 假如我们规定北极与无穷远点 `oo` 相对应, 就得到扩充复平面 `CC uu {oo}` 的概念. 它与单位球面 (称为复球面) 建立了一一对应.

球极投影的坐标表示. 由三角形相似 `u = x/(1-z)`, `quad v = y/(1-z)`. 与 `x^2+y^2+z^2=1` 联立解得 `x = (2u)/(u^2 + v^2 + 1)`, `quad y = (2v)/(u^2 + v^2 + 1)`, `quad z = (u^2 + v^2 - 1)/(u^2 + v^2 + 1)`.

我们看到复球面上, 南半球的点落在复平面的单位圆内, 而北半球的点落在单位圆外. 事实上它们有一个非常简洁的对应关系:

复平面上两点 `P, Q` 关于单位圆互为反演, 当且仅当它们在复球面上的像 `hat P, hat Q` 关于赤道平面对称.

请看, 复球面上的点 `A = hat P`. 如果作出它关于赤道平面的对称点 `B`, 则 `N, Q, B` 三点共线, 这证明了 `B = hat Q`.

现在我们可以对广义圆的概念作出解释了, 下面的命题指出, 广义圆无非就是复球面上的圆.

1. 球极投影映射将复球面上的圆 `c` 映为复平面上的广义圆: 如果圆 `c` 经过北极, 它的像是直线; 否则像是圆.
2. 反之任给复平面上的广义圆, 它可以视为复球面上的某个圆在球极投影下的像.

圆 `c` 可以看作空间中一个平面 `alpha` 与复球面的交.
1. 如果圆 `c` 经过北极, 则 `alpha` 也经过北极, 可以把 `alpha` 看作从北极发出的一束直线扫出的平面. 根据球极投影的定义, `alpha` 与赤道平面的交线就是圆 `c` 在球极投影下的像.
   反之, 任给复平面上的一条直线, 它与北极确定一个平面 `alpha`, 从而确定复球面上的圆 `c`.
2. 如果圆 `c` 不经过北极, 写出 `alpha` 的方程 `alpha: l x + m y + n z = k`. 代入球极投影的坐标表示, 得到 `c` 在复平面上的像的方程: `2 l u + 2 m v + n(u^2+v^2-1) = k(u^2+v^2+1)`. (`ast`) 由于 `c` 不经过北极, 把 `(0, 0, 1)` 代入 `alpha` 的方程得到 `n != k`. 又由于 `alpha` 到原点的距离小于 `1`, 我们有 `l^2+m^2+n^2 gt k^2`. 于是 (`ast`) 式表示复平面上的一个圆: 圆心: `(l/(k-n), m/(k-n))`,
   半径: `r = sqrt(l^2+m^2+n^2-k^2) // |k-n|`.
3. 反之, 任给复平面上的一个圆 `d`, 圆心位于 `(l, m)`, 半径为 `r`. 取实数 `n` 满足 `2n+1 = l^2+m^2-r^2`, 于是 `r = sqrt(l^2+m^2+n^2 - (n+1)^2)`. 作平面 `alpha: l x + m y + n z = n + 1`, 由于 `l^2+m^2+n^2 gt (n+1)^2`, 它交复球面于圆 `c`, 则圆 `c` 在球极投影下的像就是圆 `d`.

分式线性变换

[参见 复数与复变函数]

1. 设复变函数 `f(z)` 表示点 `z` 关于单位圆的反演变换. 则 `f(z) = 1//bar z`.
2. 又设 `g(z)` 表示点 `z` 关于圆心在 `s`, 半径为 `t` 的圆的反演变换. 则 `g(z) = t^2 // (bar z - bar s) + s`.

1. 只需注意到点 `r "e"^("i"theta)` 变映为 `1/(r "e"^(-"i"theta)` `= 1/r "e"^("i"theta)`.
2. 将圆心移到原点, 反演后再移回来.

在复平面上, 分式线性变换 (Möbius map) 是指: `f(z) = (a z+b)/(c z+d)`, `quad a, b, c, d in CC`, `quad a d - b c != 0`. 容易看出反演变换相当于共轭变换 `z mapsto bar z` 与分式线性变换的复合. 由复变函数的知识, 分式线性变换是保角的 (保持角度的大小和定向不变), 而共轭变换是反向保角的, 所以反演变换是反向保角的.