线性空间与其子空间

线性空间

类比于平面仿射几何系统, 我们抽象出线性空间的概念:

令集合 `V != O/`, `bbb P` 为一数域 (如 `QQ`, `RR`, `CC`), "`+`" 为 `V` 上的一个二元运算, 称为加法, "`*`" 为 `bbb P xx V` 到 `V` 的一个二元合成, 称为数乘. 称代数系统 `(V";" +, *";" bbb P)` 为数域 `bbb P` 上的线性空间, 如果它满足下面 8 条基本性质:
1. 加法交换律. `(AA bm alpha, bm beta in V)` `bm alpha + bm beta = bm beta + bm alpha`;
2. 加法结合律. `(AA bm alpha, bm beta, bm gamma in V)` `(bm alpha + bm beta) + bm gamma = bm alpha + (bm beta + bm gamma)`;
3. (右) 零元存在. `(EE bm theta in V)` `(AA bm alpha in V)` `bm alpha + bm theta = bm alpha`;
4. (右) 负元存在. `(AA bm alpha in V)` `(EE bm alpha' in V)` `bm alpha + bm alpha' = bm theta`;
5. 数乘对 `V` 上加法的分配律. `(AA bm alpha, bm beta in V, AA k in bbb P)` `k * (bm alpha + bm beta) = k * bm alpha + k * bm beta`;
6. 数乘对 `bbb P` 上加法的分配律. `(AA bm alpha in V, AA k, l in bbb P)` `(k + l) * bm alpha = k * bm alpha + l * bm alpha`;
7. 数乘下数字的穿越. `(AA bm alpha in V, AA k, l in bbb P)` `(kl) * bm alpha = k * (l * bm alpha)`;
8. 设 `1` 是 `bbb P` 中的幺元, `(AA bm alpha in V)` `1 * bm alpha = bm alpha`.
不引起混淆的情况下, 把线性空间也简记简记为 `V`. 把线性空间中的元素称为向量, 数乘的乘号可以省略.

注意, "二元运算" 与 "二元合成" 隐含 `V` 对运算封闭, 即对任意 `bm alpha, bm beta in V` 和任意 `k in bbb P`, `bm alpha + bm beta in V`, `quad` `k bm alpha in V`. 这也等价于对任意 `bm alpha, bm beta in V` 和任意 `k, l in bbb P`, `k bm alpha + l bm beta in V`. `V != O/`, 以及 `V` 对加法和数乘封闭, 是构成线性空间的前提条件.

线性空间的基本性质 i - iv 指出 `(V, +)` 构成一个 Abel 群. 若把数域 `bbb P` 换成一般的环, 这里定义的就是抽象代数中的模.
数域是指特征为零的域. 代数学中的域有两种, 第一种特征为零, 含有无穷多元素; 第二种特征为素数, 只有有限个元素, 即有限域.

线性空间的简单性质
1. iii 中的 `bm theta` 是唯一的, 称为线性空间 `V` 中的零向量;
2. 设 `0` 是 `bbb P` 中的零元, `(AA bm alpha in V)` `0 bm alpha = bm theta`.
3. `(AA k in bbb P)` `k bm theta = bm theta`;
4. 对任意 `bm alpha in V`, iv 中的 `bm alpha'` 是唯一的, 称为 `bm alpha` 的负向量, 记为 `-bm alpha`; 因此, `-(-bm alpha) = bm alpha`;
5. `(AA bm alpha in V)` `(-1) bm alpha = -bm alpha`;
6. 消去律. `(AA bm alpha, beta, gamma in V)` `bm alpha + bm beta = bm alpha + bm gamma iff bm beta = bm gamma`.
7. `(AA bm alpha in V, AA k in bbb P)` `k bm alpha = bm theta rArr k = 0 or bm alpha = bm theta`;
后面我们把 `bm alpha + (-bm beta)` 简记为 `bm alpha - bm beta`.

1. 若 `bm theta'` 也是 `V` 的零向量, 则由交换律 (i) 和零元的定义 (iii) 有 ` bm theta' = bm theta' + bm theta = bm theta + bm theta' = bm theta`.
2. 由 viii 和 vi 有 ` bm alpha + 0 bm alpha = 1 bm alpha + 0 bm alpha = (1 + 0) bm alpha = 1 bm alpha = bm alpha`. 由零元唯一性知 `0 bm alpha = bm theta`.
3. 任取 `bm alpha in V`, 由简单性质 2 和 vii , ` k bm theta = k (0 bm alpha) = (k*0) bm alpha = 0 bm alpha = bm theta`.
4. 设 `bm alpha''` 也是 `bm alpha` 的负向量, 则由交换律, 结合律和零元, 负元的定义有 ` bm alpha'' = bm alpha'' + bm theta = bm theta + bm alpha'' = bm alpha + bm alpha' + bm alpha'' = bm alpha' + bm alpha + bm alpha'' = bm alpha' + bm theta = bm alpha'`.
5. 由简单性质 2, ` bm alpha + (-1) bm alpha = 1 bm alpha + (-1) bm alpha = (1-1) bm alpha = 0 bm alpha = bm theta`. 由负元唯一性知 `(-1) bm alpha = -bm alpha`.
6. `lArr`: 两边同时加上 `bm alpha`; `rArr`: 两边同时加上 `-bm alpha`.
7. 设 `k != 0`, 则由简单性质 3, ` bm alpha = 1 bm alpha = (k^-1 k) bm alpha = k^-1 (k bm alpha) = k^-1 bm theta = bm theta`.

零元, 负元的唯一性和消去律都是群的性质, 我们只由 ii, iii, iv 就可以推出它们:
1. 右负元也是左负元: 对 `AA bm alpha in V`, 有 `bm alpha', (bm alpha')' in V`, 满足 ` bm alpha + bm alpha' = bm alpha' + (bm alpha')' = bm theta`. 于是 ` bm alpha' + bm alpha = bm alpha' + bm alpha + bm theta = bm alpha' + bm alpha + bm alpha' + (bm alpha')'` `= bm alpha' + bm theta + (bm alpha')' = bm alpha' + (bm alpha')' = bm theta`.
2. 右零元也是左零元: 对 `AA bm alpha in V` ` bm theta + bm alpha = bm alpha + bm alpha' + bm alpha = bm alpha + bm theta = bm alpha`.
因此当 `bm alpha, bm beta in V` 中有一个是零元, 或者有一个是另一个的负元时, `bm alpha + bm beta = bm beta + bm alpha`. 从而上述 的 1, 4, 6 的证明实际上不依赖于交换律.

线性空间定义中的 8 条基本性质不是相互独立的, 比如我们可以用 ii, iii, iv, v, vi, viii 来推出 i. 对任意 `bm gamma in V`, 由 vi 和 viii, ` 2 bm gamma = (1+1) bm gamma = 1 bm gamma + 1 bm gamma = bm gamma + bm gamma`. 于是对任意 `bm alpha, bm beta in V`, 由 ii, ` 2 (bm alpha + bm beta) = (bm alpha + bm beta) + (bm alpha + bm beta) = bm alpha + (bm beta + bm alpha) + bm beta`. 但由 v, ii 知 ` 2 (bm alpha + bm beta) = 2 bm alpha + 2 bm beta = (bm alpha + bm alpha) + (bm beta + bm beta) = bm alpha + (bm alpha + bm beta) + bm beta`. 由消去律 (从 知道, 消去律只依赖于 ii, iii, iv) 知 `bm beta + bm alpha = bm alpha + bm beta`.

线性空间定义中的 iii, iv 可由消去律代替.
1. 任取 `bm alpha in V`, 记 `0 bm alpha = bm theta`. 对任意 `bm beta in V`, 由于 ` bm beta = (1+0) bm beta = bm beta + 0 bm beta`, (4-1) ` bm theta + bm theta = 0 bm alpha + 0 bm alpha = (0+0) bm alpha = bm theta`, 两式相加得 ` bm beta + bm theta + bm theta = bm beta + 0 bm beta + bm theta`, 由消去律知 `bm theta = 0 bm beta`. 代入 (4-1) 即证得 iii.
2. 对任意 `bm beta in V`, 记 `-bm beta = (-1)bm beta`, 则 ` bm beta + (-bm beta) = bm beta + (-1)bm beta = 0 bm beta = bm theta`.
因此, 联系 至, 线性空间可以较弱地定义为: 满足 v - viii 的双消半群.

线性子空间

令 `(V";" +, *";" bbb P)` 为一线性空间, `O/ != V_1 sube V`. 若 `(V_1";" +, *";" bbb P)` 也为一线性空间, 则称 `V_1` 为 `V` 的线性子空间, 简称子空间, 记为 `V_1 le V`. 进一步, 若 `V_1 != V`, 称 `V_1` 为 `V` 的真子空间, 记为 `V_1 lt V`.
显然对于任意数域 `bbb P` 上的任意线性空间 `V`, `V` 自身和平凡线性空间 `{bm theta}` 都是 `V` 的子空间, 称为 `V` 的平凡子空间.

令 `V` 为一线性空间, 则 `V` 的非空子集 `V_1` 为 `V` 的子空间当且仅当 `V_1` 对 `V` 上的加法与数乘封闭. 从而我们在验证线性子空间时, 不需要烦琐地逐一验证 8 条性质.

必要性显然, 今证充分性, 这只需再证明 `V_1` 满足 的 8 条性质. 由于 `V_1 sube V`, i, ii 及 v - viii 显然成立. 接下来证明 iii, iv 成立. 任取 `bm alpha in V_1`, 则由的 2 及 `V_1` 对数乘的封闭性, `bm theta = 0 bm alpha in V_1`, 故 iii 成立. 同理, 对任意 `bm alpha in V_1`, `-bm alpha = (-1) bm alpha in V_1`, 故 iv 成立.

子空间的关系 "`le`" 具有传递性. 如果 `V` 为 `bbb P` 上一线性空间, `V_1 le V`, `V_2 le V_1`, 则 `V_2 le V`. 另外, 若 `V_3 le V`, `V_3 sube V_1`, 则 `V_3 le V_1`. 又显然 "`le`" 满足自反性和反对称性, 故为一偏序.

令 `V` 为 `bbb P` 上一线性空间, `V_1, V_2 le V`. 则
1. `V_1 nn V_2 le V`, 称 `V_1 nn V_2` 为 `V_1` 与 `V_2` 的交. 显然它是 `V` 的含于 `V_1` 也含于 `V_2` 的最大子空间.
2. `V_1` 中元素与 `V_2` 中元素所有可能的和 `{bm alpha_1 + bm alpha_2: bm alpha_1 in V_1, bm alpha_2 in V_2} le V`, 称为 `V_1` 与 `V_2` 的和, 记为 `V_1 + V_2`. 显然这是 `V` 的含 `V_1` 也含 `V_2` 的最小子空间.
3. `V_1 uu V_2 le V` 当且仅当 `V_1 sube V_2` 或 `V_2 sube V_1`.

1. 因为 `bm theta in V_1 nn V_2`, 所以 `V_1 nn V_2 != O/`; 再设 `bm alpha, bm beta in V_1 nn V_2`, `k, l in bbb P`, 则由于 `V_1, V_2 le V`, `k bm alpha + l bm beta` 必同时含于 `V_1, V_2`, 即 `k bm alpha + l bm beta in V_1 nn V_2`.
2. 显然 `V_1 + V_2` 非空; 再设 `bm alpha_1 + bm alpha_2,bm beta_1 + bm beta_2 in V_1 + V_2`, `k, l in bbb P`, 其中 `bm alpha_1, bm beta_1 in V_1`, `bm alpha_2, bm beta_2 in V_2`. 则 ` k (bm alpha_1 + bm alpha_2) + l (bm beta_1 + bm beta_2) = (k bm alpha_1 + l bm beta_1) + (k bm alpha_2 + l bm beta_2) in V_1 + V_2`. 故 `V_1 + V_2 le V`. 现在设 `V' le V`, `V_1, V_2 sube V'`, 则对 `AA bm alpha_1 in V_1`, `AA bm alpha_2 in V_2`, 由 `V'` 的封闭性有 `bm alpha_1 + bm alpha_2 in V'`, 即 `V_1 + V_2 sube V'`.
3. `lArr` 显然, 下证 `rArr`. 设 `V_1 sube V_2` 不成立, 则 `EE bm alpha in V_1`, `bm alpha !in V_2`. 对 `AA bm beta in V_2`, 由 `V_1 uu V_2 le V` 知 `bm alpha + bm beta in V_1 uu V_2`. 若 `bm alpha + bm beta in V_2`, 则 `bm alpha = bm alpha + bm beta - bm beta in V_2`, 矛盾, 故 `bm alpha + bm beta in V_1`. 于是 `bm beta = bm alpha + bm beta - bm alpha in V_1`, 得 `V_2 sube V_1`.

子空间的直和, 生成子空间

令 `V` 为 `bbb P` 上一线性空间, `V_1, V_2 le V`. 若 `V_1 + V_2` 中每一向量写为 `V_1` 和 `V_2` 中向量之和的方法唯一, 则称 `V_1 + V_2` 为 `V_1` 与 `V_2` 的直和, 记为 `V_1 o+ V_2`.
换言之, `V_1 + V_2` 为直和当且仅当映射 `V_1 xx V_2 to V_1 + V_2`: `(bm alpha, bm beta) to bm alpha + bm beta` 为单射; 而此映射总是满射, 故 `V_1 + V_2` 为直和也当且仅当此映射是双射.

假设如上述定义, 以下各款等价:
1. `V_1 + V_2` 是直和;
2. 存在向量 `bm alpha in V_1 + V_2`, 使得 `bm alpha` 写为 `V_1` 和 `V_2` 中向量之和的方法唯一;
3. 零向量 `bm theta` 写为 `V_1` 和 `V_2` 中向量之和的方法唯一, 即 `bm theta = bm theta + bm theta`;
4. `V_1 nn V_2 = {bm theta}`.

1. `rArr` 2. 显然.
2. `rArr` 3. 联系定理3-2 的证明, 令 `bm alpha = bm alpha_1 + bm alpha_2`, `bm alpha_1 in V_1`, `bm alpha_2 in V_2`. 若 `bm theta = bm beta_1 + bm beta_2`, `bm beta_1 in V_1`, `bm beta_2 in V_2`, 则 ` bm alpha = bm alpha + bm theta = (bm alpha_1 + bm beta_1) + (bm alpha_2 + bm beta_2)`. 由 `bm alpha` 被表为 `V_1` 中向量与 `V_2` 中向量之和方式的唯一性, 必有 `bm beta_1 = bm beta_2 = bm theta`.
3. `rArr` 4. 设 `bm alpha in V_1 nn V_2`, 则 `bm theta = bm alpha - bm alpha`, 其中 `bm alpha in V_1`, `-bm alpha in V_2`. 由 `bm theta` 写为 `V_1` 和 `V_2` 中向量之和的方法唯一, 有 `bm alpha = -bm alpha = bm theta`.
4. `rArr` 1. 任取 `bm alpha in V_1 + V_2`, 设 `bm alpha = bm alpha_1 + bm alpha_2 = bm beta_1 + bm beta_2`, 其中 `bm alpha_1,bm beta_1 in V_1`,`bm alpha_2,bm beta_2 in V_2`. 则 ` bm gamma = bm alpha_1 - bm beta_1 = bm beta_2 - bm alpha_2 in V_1 nn V_2`. 由 4 知 `bm gamma = bm theta`. 故 `bm alpha_1 = bm beta_1`, `bm alpha_2 = bm beta_2`, 即 `V_1 + V_2` 是直和.

子空间的和与直和可以推广到 `n` 个子空间的情形. 需要特别注意, 的 4 应该推广为 `V_i nn sum_(j=1,j!=i)^n V_j = {bm theta}`, `quad i = 1, 2, cdots, n`. 或者 `V_i nn sum_(j=1)^(i-1) V_j = {bm theta}`, `quad i = 2, 3, cdots, n`.

令 `V` 为 `bbb P` 上一线性空间, 若 `bm alpha_1, bm alpha_2, cdots, bm alpha_n in V`, 则它们的全体线性组合 `{sum_(i=1)^n k_i bm alpha_i: k_i in bbb P, i = 1, 2, cdots, n} le V`, 显然它是 `V` 的含 `bm alpha_1, bm alpha_2, cdots, bm alpha_n` 的最小子空间, 称为由 `bm alpha_1, bm alpha_2, cdots, bm alpha_n` 生成的子空间或张成的子空间, 记为 `G[bm alpha_1, bm alpha_2, cdots, bm alpha_n]` 或 `"span"[bm alpha_1, bm alpha_2, cdots, bm alpha_n]`. 容易说明 ` G[bm alpha_1, bm alpha_2, cdots, bm alpha_n] = sum_(i=1)^n G[bm alpha_i]`. (4-2)

子空间的直和与向量的线性无关性是很类似的概念. 若将线性相关 (无关) 的概念从 `bbb P^n` 上推广到一般线性空间 `V`, 注意的 3, 我们有

令 `V` 为 `bbb P` 上一线性空间, `n` 个非零向量 `bm alpha_1, bm alpha_2, cdots, bm alpha_n in V` 线性无关当且仅当 是直和.

事实上, 将第三章各定义中的 `bbb P^n` 换成一般线性空间 `V`, 则 极大线性无关组, 向量组的秩, 等价向量组等概念以及相关结论都可以推广到线性空间中. 这里不再赘述.

线性空间的维数与基底

维数与基底

令 `V` 为 `bbb P` 上一线性空间, 如果存在无关向量组 `S = {bm epsi_1, bm epsi_2, cdots, bm epsi_n}`, 使得 `V = G[S]` (换言之, `S` 是 `V` 的一个极大无关组), 则由于任意极大无关组含向量个数相等, 可以定义这个数字为 `V` 的维数, 即 `"dim"V = n`. 称有序向量组 `(bm epsi_1, bm epsi_2, cdots, bm epsi_n)` 为 `V` 的一组基底或基. 由 `S` 是 `V` 的极大无关组知, 对任意 `bm alpha in V`, 存在唯一的 `x_i in bbb P`, `i = 1, 2, cdots, n` 使得 `bm alpha = sum_(i=1)^n x_i bm epsi_i`. 称 `(x_1, x_2, cdots, x_n) in bbb P^n` 为 `bm alpha` 在该基底下的坐标.
规定平凡线性空间 `{bm theta}` 的维数为 `0`, 它的基底为空的有序组 `()`. 此外, 若线性空间 `V` 不能由有限集生成, 即不存在有限集 `S` 使得 `V = G[S]`, 则称 `V` 是无穷维的. 无穷维线性空间已经超出本文的范围, 将在泛函分析中进一步讨论.

基可以是无序的, 但为了使坐标有序, 这里要求基是一有序组.

完全类似于向量组的扩充定理, 可以证明: 有限维线性空间 `V` 中任一无关向量组可以扩充为 `V` 的一个基底.

令 `V_1, V_2` 是线性空间 `V` 的有限维子空间. 取 `V_1 nn V_2` 的一个基 `(bm alpha_1, cdots, bm alpha_l)`, 分别扩充为 `V_1` 的基 `"I" = (bm alpha_1, cdots, bm alpha_l, bm beta_1, cdots, bm beta_m)` 和 `V_2` 的基 `"II" = (bm alpha_1, cdots, bm alpha_l, bm gamma_1, cdots, bm gamma_n)`, 则 `"III" = (bm alpha_1, cdots, bm alpha_l, bm beta_1, cdots, bm beta_m, bm gamma_1, cdots, bm gamma_n)` 为 `V_1 + V_2` 的一个基.

由 `V_1 = G["I"]`, `V_2 = G["II"]` 有 `V_1 + V_2 = G["III"]`. 下证这一向量组线性无关. 设 `sum_(i=1)^l p_i bm alpha_i + sum_(i=1)^m q_i bm beta_i + sum_(i=1)^n r_i bm gamma_i = bm theta`, 记 `bm alpha := sum_(i=1)^l p_i bm alpha_i + sum_(i=1)^m q_i bm beta_i` `= -sum_(i=1)^n r_i bm gamma_i`, 上式左边 `in V_1`, 右边 `in V_2`, 故 `bm alpha in V_1 nn V_2`. 设 `bm alpha = sum_(i=1)^l x_i bm alpha_i`, 联系上式有 `sum_(i=1)^l x_i bm alpha_i + sum_(i=1)^n r_i bm gamma_i = bm theta`. 于是由 `"II"` 是 `V_2` 的基, 从而线性无关有 `x_1 = cdots = x_l = r_1 = cdots = r_n = 0`, 这指出 `bm alpha = bm theta`. 再由 `"I"` 是 `V_1` 的基, 有 `p_1 = cdots = p_l = q_1 = cdots = q_m = 0`. 从而 `"III"` 是线性无关的, 综上得到 `"III"` 是 `V_1 + V_2` 的基.

维数公式 令 `V_1, V_2` 是线性空间 `V` 的有限维子空间, 则 `"dim"(V_1 + V_2) + "dim"(V_1 nn V_2) = "dim"V_1 + "dim"V_2`.

令 `V_1, V_2` 是线性空间 `V` 的有限维子空间, 则以下各款等价:
1. `V_1 + V_2` 是直和;
2. `"dim"V_1 + "dim"V_2 = "dim"(V_1+V_2)`;
3. 若 `(bm alpha_1, cdots, bm alpha_m)`, `(bm beta_1, cdots, bm beta_n)` 分别是 `V_1, V_2` 的基, 则 `(bm alpha_1, cdots, bm alpha_m, bm beta_1, cdots, bm beta_n)` 是 `V_1 + V_2` 的基.

从线性空间的观点来看线性方程组理论. 设 `bm A in bbb P^(m xx n)`, `bm X in bbb P^(n xx 1)`. 设齐次线性方程组 `bm (A X) = bb 0` 的解集为 `S_0`. 记 `r = r_(bm A)`, 由第三章知, `S_0` 中任意两个解的线性组合仍在 `S_0` 中, 因此 `S_0 le bbb P^n`, 称为方程组 `bm (A X) = bb 0` 的解空间. 此外, `S_0` 中存在 `n-r` 个向量组成的极大线性无关组 (基础解系), 这个无关组就构成解空间 `S_0` 的一个基底, 因此 `"dim"S_0 = n-r`.

* 定义 `RR^n` 到 `RR` 的映射如下: `f(X) = sum_(i=1)^r |x_i| - sum_(i=r+1)^(r+s) |x_i|`, `AA X = (x_1, x_2, cdots, x_n)^T in RR^n`, 其中 `r ge s ge 0`, `r+s le n`. 证明:
1. 存在 `RR^n` 的一个 `n-r` 维子空间 `W`, 使得 `f(X) = 0`, `AA X in W`;
2. 若 `W_1, W_2` 是 `RR^n` 的两个 `n-r` 维子空间, 且满足 `f(X) = 0`, `AA X in W_1 uu W_2`, 则一定有 `"dim" (W_1 nn W_2) ge n - (r + s)`.

1. 易知 `f` 是线性的. (?) 用 `epsi_i` 表示 `RR^n` 中第 `i` 个分量为 `1`, 其余分量为 `0` 的向量. 可以验证下面 `n-r` 个向量满足 `f(X) = 0`, 且线性无关: `epsi_1 + epsi_(r+1), epsi_2 + epsi_(r+2), cdots, epsi_s + epsi_(r+s), epsi_(r+s+1), cdots, epsi_n`. 将 `W` 取为由这些向量生成的子空间即可.
2. 记 `V_1 = G[epsi_1, cdots, epsi_(r+s)]`,
   `V_2 = G[epsi_(r+s+1), cdots, epsi_n]`. 只需证任意满足 `f(X) = 0`, `AA X in W` 的 `n-r` 维子空间 `W` 一定包含了子空间 `V_2`. 首先易知 `V_1 nn V_2 = {bm theta}`, 故 `W nn V_1 nn V_2 = {bm theta}`, 从而 `W` 有直和分解 `W = W nn V_1 + W nn V_2`. 得到 `"dim" W = "dim"(W nn V_1) + "dim"(W nn V_2)`. 下证 `"dim"(W nn V_1) le s`. 事实上, 取 `W nn V_1` 的基 `bm alpha_1, cdots, bm alpha_m`, 令 `bm A = [bm I_r,bm O; bm O,bm O]_(n xx n)`, 若存在 `k_i in RR`, `i = 1, 2, cdots, m` 使得 `sum_(i=1)^m k_i (bm I - bm A) bm alpha_i = bm theta`, 注意到 `bm alpha_1, cdots, bm alpha_m in W` 有 `f( sum_(i=1)^m k_i bm alpha_i ) = 0`, 于是 ` f( sum_(i=1)^m k_i bm A bm alpha_i )` `= f( sum_(i=1)^m k_i bm alpha_i - sum_(i=1)^m k_i (bm I-bm A) bm alpha_i ) = 0`, 由 `f` 定义推出 `sum_(i=1)^m k_i bm A bm alpha_i = bm theta`, 于是 ` sum_(i=1)^m k_i bm alpha_i` `= sum_(i=1)^m k_i bm A bm alpha_i + sum_(i=1)^m k_i (bm I-bm A) bm alpha_i = bm theta`. 由 `bm alpha_1, cdots, bm alpha_m` 线性无关知 `k_1 = cdots = k_m = 0`, 从而 `{(bm I - bm A) bm alpha_i}_(i=1)^m` 也线性无关. 注意到该向量组中向量的 `1~r`, `r+s+1~n` 分量全部为零, 这推出 `"dim"(W nn V_1) = m le s`. 于是 ` "dim"(W nn V_2) = "dim" W - "dim"(W nn V_1) ge n - r - s = "dim"V_2`. 这推出 `W nn V_2 = V_2`, 即 `V_2 sube W`.

坐标变换

令 `"I" = (bm xi_1, bm xi_2, cdots, bm xi_n)`, `"II" = (bm eta_1, bm eta_2, cdots, bm eta_n)` 是有限维线性空间 `V` 的两个基底, 其中 `bm eta_j = sum_(i=1)^n a_(i j) bm xi_i`, `quad j = 1, 2, cdots, n`. 记 `bm A = (a_(i j))_(n xx n)` `= (bm A_1, bm A_2, cdots, bm A_n)`, 上式形式地记为 `(bm eta_1, bm eta_2, cdots, bm eta_n)` `= (bm xi_1, bm xi_2, cdots, bm xi_n) bm A`, 其中 `bm eta_j = (bm xi_1, bm xi_2, cdots, bm xi_n) bm A_j`, `quad j = 1, 2, cdots, n`. 矩阵 `bm A` 称为基底 `"I"` 到 `"II"` 的过渡矩阵.

设 `V` 为有限维线性空间, `"I" = (bm xi_1, bm xi_2, cdots, bm xi_n)` 是一个基, 若方阵 `bm A` 和向量组 `"II" = (bm eta_1, bm eta_2, cdots, bm eta_n)` 满足 `(bm eta_1, bm eta_2, cdots, bm eta_n)` `= (bm xi_1, bm xi_2, cdots, bm xi_n) bm A`, 则 `"II"` 是 `V` 的基当且仅当 `bm A` 可逆. 从而, 基底间的过渡矩阵都可逆.

"`rArr`": 反设 `bm A` 不可逆, 即 `r_(bm A) lt n`, 则 `bm A` 的某一列可以被其他列线性表出, 不妨设这一列是 `bm A_n`: `bm A_n = sum_(j=1)^(n-1) k_j bm A_j`. 从而 `bm eta_n = (bm xi_1, cdots, bm xi_n) bm A_n` `= (bm xi_1, cdots, bm xi_n) sum_(j=1)^(n-1) k_j bm A_j` `= sum_(j=1)^(n-1) k_j (bm xi_1, cdots, bm xi_n) bm A_j` `= sum_(j=1)^(n-1) k_j bm eta_j`. 从而 `bm eta_1, cdots, bm eta_n` 线性相关, 矛盾.
"`lArr`": 向量组右乘一可逆矩阵, 相当于作有限次关于向量的初等变换, 因此秩不变, 向量组 `"II"` 仍线性无关. 但 `"II"` 中有 `n` 个向量, 说明它已经极大, 因此是 `V` 的基.

坐标变换公式 设 `V` 为有限维线性空间, `"I" = (bm xi_1, bm xi_2, cdots, bm xi_n)`, `"II" = (bm eta_1, bm eta_2, cdots, bm eta_n)` 是它的两个基, 则 `(bm eta_1, bm eta_2, cdots, bm eta_n) = (bm xi_1, bm xi_2, cdots, bm xi_n) bm A` 当且仅当对任意 `bm alpha in V`, 其在 `"I", "II"` 下的坐标 `bm X, bm Y in bbb P^(n xx 1)` 满足 `bm X = bm (A Y)`, 即 `bm Y = bm (A^-1 X)`.

"`rArr`": 由已知 `(bm xi_1, bm xi_2, cdots, bm xi_n) bm X` `= (bm eta_1, bm eta_2, cdots, bm eta_n) bm Y` `= (bm xi_1, bm xi_2, cdots, bm xi_n) bm (A Y)`. 由同一基底下坐标的唯一性得 `bm X = bm (A Y)`.
"`lArr`": 取 `bm alpha = bm eta_j`, 则 `bm Y = bm epsi_j` (单位列向量), `bm X = bm (A epsi)_j = bm A_j` (`bm A` 的第 `j` 列). 从而 `bm alpha = bm eta_j = (bm xi_1, bm xi_2, cdots, bm xi_n) bm A_j`, `quad j = 1, 2, cdots, n`. 即得所要证的结果.