空间中的不等式

Cauchy-Schwarz 不等式

Cauchy-Schwarz 不等式 设 `x_k, y_k` 是非零实数, `k = 1, 2, cdots, n`. 则 `|sum_(k=1)^n x_k y_k|` `le sqrt(sum_(k=1)^n x_k^2)sqrt(sum_(k=1)^n y_k^2)`, 等号成立当且仅当存在实数 `t`, 使得 `y_k = t x_k`, `k = 1, 2, cdots, n`.

设二次函数 `f(t) = sum_(k=1)^n (x_k t - y_k)^2` `= (sum_(k=1)^n x_k^2) t^2 - 2(sum_(k=1)^n x_k y_k) x` `+ sum_(k=1)^n y_k^2 ge 0`. 因此, 其判别式 `Delta/4 = (sum_(k=1)^n x_k y_k)^2 - (sum_(k=1)^n x_k^2)(sum_(k=1)^n y_k^2) le 0`, 此即要证的不等式. 其中 等号成立 `iff Delta = 0` `iff f` 存在惟一实根 `t` `iff EE t in RR`, `x_k t - y_k = 0`, `k = 1, 2, cdots, n`.

由 Lagrange 恒等式 `(sum_(i=1)^n x_i^2)(sum_(i=1)^n y_i^2)` `= (sum_(i=1)^n x_i y_i)^2 + sum_(1 le i lt j le n) (x_i y_j - x_j y_i)^2`. 立即得到 Cauchy 不等式.

    内积空间中的 Cauchy-Schwarz 不等式 设 `V` 是数域 `bbb F` 上一线性空间, `(*,*)` 是 `V` 上正定的对称双线性函数, 满足
  1. 正定性. `(AA x in V)` `(x, x) ge 0`, 等号成立当且仅当 `x = 0`;
  2. 共轭对称性. `(AA x, y in V)` `(x, y) = bar((y","x))`;
  3. 关于第一变元的线性性和第二变元的共轭线性性. `(AA x, y, z in V)` `(AA k, l in bbb F)` `(k x+l y, z) = k(x, z) + l(y, z)`,
    `(z, k x+l y) = bar k(z, x) + bar l(z, y)`.
    4. 现在引入 `||x||` `= sqrt((x","x))`, 则成立不等式 `|(x, y)| le ||x||*||y||`.

Carlson 不等式 设 `x_1, cdots, x_n` 为非负整数, 则 `sum_(j=1)^m (prod_(k=1)^n x_(j k))^(1/n)` `le prod_(k=1)^n (sum_(j=1)^m x_(j k))^(1/n)`. `n = 2` 时, 即为 Cauchy 不等式. [证明在这里]

三角不等式

设 `x in RR`, `M ge 0`, 则 `|x| le M iff -M le x le M`.

实数的三角不等式 设 `x, y in RR`, 则 `|x+y| le |x| + |y|`, 等号成立当且仅当 `x, y` 同号, 即 `x y ge 0`.

显然 `|x| le |x|`, `|y| le |y|`, 由引理, 这等价于 `-|x| le x le |x|`, `quad -|y| le y le |y|`. 两式相加, `-(|x|+|y|) le x+y le |x|+|y|`. 再由引理, 这等价于要证的不等式. 等号成立当且仅当 (`x = |x|` 且 `y = |y|`) 或 (`x = -|x|` 且 `y = -|y|`). 这等价于 `x y ge 0`.

设 `x, y in RR`, 则 `|{:|x| - |y|:}| le |x + y| le |x| + |y|`. 第一个等号成立当且仅当 `x y le 0`, 第二个等号成立当且仅当 `x y ge 0`.

由三角不等式得 `|x| = |(x+y)+(-y)| le |x+y| + |y|`, 即 `|x| - |y| le |x+y|`; 同理 `|y| - |x| le |x+y|`, 所以得到左边的不等式. 这个不等式的等号成立当且仅当 `(x+y)(-y) ge 0`, 或 `(y+x)(-x) ge 0`. 两种情形都推出 `x y le 0`. 反之若 `x y le 0`, 不妨设 `|x| ge |y|`, 则不等式左边等于 `|x|-|y|`, 而另一边等于 `|x+y| = |x|-|y|`, 所以两边相等.

Euclid 空间的三角不等式 设 `bm x = (x_1, x_2, cdots, x_n)`, `bm y = (y_1, y_2, cdots, y_n) in E^n`, 则 `|bm x + bm y| le |bm x| + |bm y|`, 即 `sqrt(sum_(k=1)^n (x_k+y_k)^2)` `le sqrt(sum_(k=1)^n x_k^2) + sqrt(sum_(k=1)^n y_k^2)`.

事实上, 这是 Minkowski 不等式取 `p = 2` 的情形. 当然也可以用 Cauchy 不等式证之: `sum_(k=1)^n (x_k+y_k)^2` `= sum_(k=1)^n x_k^2 + sum_(k=1)^n y_k^2 + 2 sum_(k=1)^n x_k y_k` `le sum_(k=1)^n x_k^2 + sum_(k=1)^n y_k^2` `+ 2 sqrt(sum_(k=1)^n x_k^2) sqrt(sum_(k=1)^n y_k^2)` `= (sqrt(sum_(k=1)^n x_k^2) + sqrt(sum_(k=1)^n y_k^2))^2`. 两边开方即得结果.

设 `bm a, bm b in RR^n`, `a, b` 是它们的模, 则 `|a^2-b^2| le |bm a+bm b| |bm a-bm b| le a^2+b^2`.

  1. 由 Cauchy 不等式 `|bm a * bm b| le |bm a| |bm b|` 得, `|a^2-b^2| = |(bm a+bm b) * (bm a-bm b)|` `le |bm a+bm b| |bm a - bm b|`.
  2. `|bm a+bm b|^2 |bm a-bm b|^2` `= (a^2+b^2 + 2 bm a * bm b)(a^2+b^2 - 2 bm a * bm b)` `= (a^2+b^2)^2 - 4(bm a*bm b)^2` `le (a^2+b^2)^2`.

[来自群友] 求 `sqrt(x+3) + sqrt(x+30) + sqrt(10-x)` 的最大值.

用 Cauchy 不等式, 选择系数 `a, b, c` 使得 `(sqrt(x+3) + sqrt(x+30) + sqrt(10-x))^2` `le (a(x+3)+b(x+30)+c(10-x)) (1/a+1/b+1/c)`, `a, b, c` 需要满足 `a + b = c` 使得右边不含 `x`, 且取等时有 `a^2 (x+3) = b^2 (x+30) = c^2 (10-x)`. 由以上三个方程解得 `x = 6`, 此时函数最大值为 `11`.

令导数为零得 `1/sqrt(x+3) + 1/sqrt(x+30) = 1/sqrt(10-x)`, 容易看出这就是上一个解法中的条件 `a + b = c`. 通过解同样的方程组, 仍然得到同样的结果.

Jensen 不等式

Jensen - Young - Hölder - Minkowski

[知乎, 崔尚斌《数学分析教程》上册]

Jensen 不等式 设 `f` 是区间 `I` 上的下凸函数, `x_k in I`, `w_k in (0, 1)`, `k = 1, 2, cdots, n`. 其中 `sum_(k=1)^n w_k = 1`. 则 `f(sum_(k=1)^n w_k x_k) le sum_(k=1)^n w_k f(x_k)`. 进一步, 若 `f` 在 `I` 上严格下凸, 则不等式中等号成立当且仅当 `x_1 = x_2 = cdots = x_n`. 另外, 若 `f` 在 `I` 上是上凸函数, 取 `g = -f` 知, 对 `f` 成立反向的不等号.

对 `n` 进行归纳. `n = 1` 时不等式是平凡的等式. 设不等式对 `n-1 ge 1` 成立, 则对正整数 `n`, 有 `f(sum_(k=1)^n w_k x_k)` `= f(sum_(k=1)^(n-1) w_k x_k + w_n x_n)` `= f((1-w_n) sum_(k=1)^(n-1) (w_k x_k)/(1-w_n) + w_n x_n)` (由函数下凸) `le (1-w_n) f(sum_(k=1)^(n-1) (w_k x_k)/(1-w_n)) + w_n f(x_n)` (由归纳假设) `le (1-w_n) sum_(k=1)^(n-1) (w_k f(x_k))/(1-w_n) + w_n f(x_n)` `= sum_(k=1)^n w_k f(x_k)`. 如果 `f` 是严格下凸函数且 `x_1, x_2, cdots, x_n` 不全相等, 那么当 `sum_(k=1)^(n-1) (w_k x_k)/(1-w_n) != x_n` 时, 上面推导的第一个不等式中的等号不成立. 而 `sum_(k=1)^(n-1) (w_k x_k)/(1-w_n) = x_n` 时, 则断言 `x_1, x_2, cdots, x_(n-1)` 不全相等 (否则设 `x_1 = x_2 = cdots = x_(n-1)`, 有 `x_n = sum_(k=1)^(n-1) (w_k x_k)/(1-w_n)` `= x_1 sum_(k=1)^(n-1) w_k/(1-w_n)` `= x_1 = x_2 = cdots = x_(n-1)`, 矛盾). 由归纳假设, 只要 `x_1, x_2, cdots x_(n-1)` 不全相等, 上面推导的第二个不等式的等号不成立. 从而上面的不等式是严格不等式.

Young 不等式 设 `x, y gt 0`, `p, q gt 1`, 且 `1/p + 1/q = 1`, 则 `x y le x^p/p + y^q/q`. 等号成立当且仅当 `x^p = y^q`.

由于 `f(x) = ln x` 是严格上凸函数, 所以对 `x^p, y^q gt 0` 有 `1/p ln x^p + 1/q ln y^q le ln (x^p/p + y^q/q)`. 其中等号成立当且仅当 `x^p = y^q`. 取指数即得结论.

设 `p, q gt 1`, 则 `1/p + 1/q = 1 iff p + q = p q iff (p-1)(q-1) = 1`.

Young 不等式的几何解释: 令 `y = x^(p-1)`, 则 `x = y^(q-1)`, 即 `y = x^(p-1)` 和 `x = y^(q-1)` 表示同一条曲线. 由积分的几何意义, 矩形的面积小于等于两个曲边三角形的面积之和, 即 `a b le int_0^a x^(p-1) dx + int_0^b y^(q-1) dy` `= a^p/p + b^q/q`.

Hölder 不等式 (Hardy 不等式) 设 `x_k, y_k gt 0`, `k = 1, 2, cdots, n`. `p, q gt 1` 且 `1/p+1/q = 1`. 则 `sum_(k=1)^n x_k y_k le (sum_(k=1)^n x_k^p)^(1/p) (sum_(k=1)^n y_k^q)^(1/q)`, 等号成立当且仅当所有 `x_k^p/y_k^q` 都相等 (都等于 `(sum x_k^p)/(sum y_k^q)`). 分别以 `x_k, y_k` 替换 `x_k^p`, `y_k^q`, 得到另一形式: `sum_(k=1)^n x_k^(1/p) y_k^(1/q) le (sum_(k=1)^n x_k)^(1/p) (sum_(k=1)^n y_k)^(1/q)`, 等号成立当且仅当所有 `x_k/y_k` 都相等 (都等于 `(sum x_k)/(sum y_k)`). 特别取 `p = q = 2` 时, 得到 Cauchy 不等式.

记 `sum_(k=1)^n x_k^p = A`, `sum_(k=1)^n y_k^q = B`. 使用 Young 不等式, 对 `k = 1, 2, cdots, n` 有 `(x_k^p/A)^(1/p) (y_k^q/B)^(1/q)` `le 1/p x_k^p/A + 1/q y_k^q/B`. 关于 `k` 求和, `1/(A^(1/p) B^(1/q)) sum_(k=1)^n x_k y_k le 1/p + 1/q = 1`. 所以原不等式成立. 由 Young 不等式的取等条件容易推出 Hölder 不等式的取等条件.

Minkowski 不等式 设 `x_k, y_k gt 0`, `k = 1, 2, cdots, n`. 又设 `p ge 1`, 则 `(sum_(k=1)^n (x_k+y_k)^p)^(1/p) le (sum_(k=1)^n x_k^p)^(1/p) + (sum_(k=1)^n y_k^p)^(1/p)`. Minkowski 不等式适合用作一些度量空间的三角不等式.

`p = 1` 的情形是平凡的. 下面设 `p gt 1`, 取实数 `q` 使得 `1/p + 1/q = 1`. 由 Hölder 不等式有 `sum_(k=1)^n x_k (x_k+y_k)^(p//q) le (sum_(k=1)^n x_k^p)^(1/p) (sum_(k=1)^n (x_k+y_k)^p)^(1/q)`,
`sum_(k=1)^n y_k (x_k+y_k)^(p//q) le (sum_(k=1)^n y_k^p)^(1/p) (sum_(k=1)^n (x_k+y_k)^p)^(1/q)`. 两式相加, 注意 `p/q + 1 = p/q + p/p = p`, `sum_(k=1)^n (x_k+y_k)^p` `le [(sum_(k=1)^n x_k^p)^(1/p) + (sum_(k=1)^n y_k^p)^(1/p)]` `(sum_(k=1)^n (x_k+y_k)^p)^(1/q)`. 两边同乘以 `(sum_(k=1)^n (x_k+y_k)^p)^(-1/q)` 即得结果.

求 `y = sqrt(x^2+1) + sqrt((2-x)^2 + 4)` 的最小值. 类似地, `sqrt(x^2-2x+2) + sqrt(x^2-8x+20) ge 3 sqrt2`.

利用 Minkowski 不等式, `y ge sqrt((x+2-x)^2 + (1+2)^2) = sqrt 13`. 当然也可以用 Cauchy 不等式. 毕竟 Minkowski 不等式是 Hölder 不等式的推论.

`y` 等于点 `(x, 0)` 到 `A(0, 1)` 与 `B(2, 2)` 的距离之和. 为求最小值, 作 `(0, 1)` 关于 `x` 轴的对称点 `A'(0, -1)`, 则 `y ge |A'B| = sqrt 13`.

求 `y = x + sqrt(3x^2 - 18x + 36)` 的最小值.

原式化为关于 `x` 的一元二次方程 `3x^2 - 18x + 36 = (y-x)^2`, 令 `Delta = 0` 解得 `y = 3 +- sqrt 6`. 考虑到 `y` 的表达式的根号前的符号为正, 所以取 `3 + sqrt 6` 为 `y` 的最小值.

虽然我们是用 Young 不等式导出了本节后面的几个不等式, 但实际上, 包括 Young 不等式在内, 它们都能用 Jensen 不等式直接导出. 例如, 取 `f(x) = x^(1/p)`, 其中 `p gt 1`, 则 `f''(x) lt 0`. 应用 Jensen 不等式得到凸性不等式 `sum_(k=1)^n t_k x_k^(1/p) le (sum_(k=1)^n t_k x_k)^(1/p)`, 其中 `x_k gt 0`, `t_k in (0,1)`, `sum_(k=1)^n t_k = 1`. 再取 `t_k = y_k^q/(sum_(k=1)^n y_k^q)`, `quad x_k = x_k^p/y_k^q`, `quad k = 1, 2, cdots, n`, 利用 `1/p + 1/q = 1` 适当变形即得 Hölder 不等式.

权方和不等式

权方和不等式 设 `x_k, y_k gt 0`, `k = 1, 2, cdots, n`, `alpha gt 0`, 则 `(sum_(k=1)^n x_k)^(alpha+1)/(sum_(k=1)^n y_k)^alpha le sum_(k=1)^n x_k^(alpha+1)/y_k^alpha`, 等号成立当且仅当所有 `x_k/y_k` 都相等 (都等于 `(sum x_k)/(sum y_k)`).
权方和不等式等价于 Hölder 不等式, 是求解分式条件极值的利器, 其特征是分子幂次比分母高一次. 其中 `alpha = 1` 的情形 (等价于 Cauchy 不等式) 最为常用.

在 Hölder 不等式 (第二形式) 中取 `1/p = 1/(alpha+1)`, `1/q = alpha/(alpha+1)`, `x_k = x_k^(alpha+1)/y_k^alpha`, `quad y_k = y_k`, `quad k = 1, 2, cdots, n` 即可, 取等条件由 Hölder 不等式的推出.

设 `beta - alpha gt 1`, 其它假设同上, 则 `(sum x_k)^beta/(sum y_k)^alpha lt sum x^beta/y^alpha`.

记 `epsi = beta - alpha - 1 gt 0`, 由权方和不等式, `(sum x_k)^beta/(sum y_k)^alpha` `= (sum x_k)^beta/(sum y_k)^(beta-1-epsi)` `le (sum y_k)^-epsi sum x_k^beta/y_k^(beta-1)` `lt (sum y_k)^-epsi sum x_k^beta/y_k^(beta-1) ((sum y_k)/y_k)^epsi` `= sum x_k^beta/y_k^alpha`.

`3(a^3+b^3+c^3)^2 ge (a^2+b^2+c^2)^3`.

    本例可以用权方和不等式, 也可以用 Cauchy 不等式.
  1. 设 `a, b, x, y gt 0`, `x^2 + y^2 = k`, 求 `a x + b y` 的最大值;
  2. [权方和不等式的应用] 设 `a, b, c, d, x, y gt 0`, 求 `min{a x^2 + b y^2 | c x + d y = k}`.
  1. 利用权方和不等式 (`alpha = 1`), `(a x + b y)^2/(a^2 + b^2)` `le (a x)^2/a^2 + (b y)^2/b^2` `= k`, 故 `a x + b y le sqrt(k(a^2 + b^2))`, 等号成立当且仅当 `x/a = y/b`.
  2. 利用权方和不等式 (`alpha = 1`), `a x^2 + b y^2` `= (c x)^2/(c^2//a) + (d y)^2/(d^2//b)` `ge (c x + d y)^2/(c^2//a + d^2//b)` `= k^2/(c^2//a + d^2//b)`, 等号成立当且仅当 `a/c x = b/d y = k/(c^2//a + d^2//b)`.
  1. 利用 Cauchy 不等式, `(a x + b y)^2 le (a^2 + b^2)(x^2 + y^2) = k(a^2+b^2)`, 故 `a x + b y le sqrt(k(a^2+b^2))`, 等号成立当且仅当 `x/a = y/b`.
  2. 利用 Cauchy 不等式, `(c/(sqrt a) sqrt a x + d/(sqrt b) sqrt b y)^2` `le (c^2/a + d^2/b)(a x^2 + b y^2)`, 故 `(a x^2 + b y^2) ge k^2/(c^2//a + d^2//b)`, 等号成立当且仅当 `c/(a x) = d/(b y)`.

设 `x in [0, pi//2]`, 求 `1/(sin x) + 8/(cos x)` 的最小值.

利用权方和不等式 (`alpha = 1`), 原式等于 `1^2/(sin x) + 4^2/(2 cos x)` `ge (1+4)^2/(sin x + 2 cos x)` `= 5^2/(sqrt 5 sin(x+varphi))` `ge 5 sqrt 5`.

用 Cauchy 不等式的做法, 可能不太直观: `(1 + 4)^2` `= (1/sqrt(sin x) sqrt(sin x) + 4/sqrt(2 cos x) sqrt(2 cos x))^2` `le (1^2/(sin x) + 4^2/(2 cos x))(sin x + 2 cos x)`, 因此 `1/(sin x) + 8/(cos x) ge 5^2/(sin x + 2 cos x)`. 后面的处理是一样的.

[权方和不等式的应用] 设 `a, b, c gt 0`, `a b c = 1`, 求 `1/(a^3(b+c)) + 1/(b^3(c+a)) + 1/(c^3(a+b))` 的最小值.

利用权方和不等式, 原式等于 `a^-2/(a(b+c)) + b^-2/(b(c+a)) + c^-2/(c(a+b))` `ge (a^-1+b^-1+c^-1)^2/(2(a b+b c+c a))` `= 1/2 (a b+b c+c a)/(a b c)^2` `= 1/2 (a b+b c+c a)` `ge 3/2 root 3 (a b b c c a)` `= 3/2`, 等号成立当且仅当 `a = b = c = 1`.

设 `a, b, c gt 0`, `a b + b c + c a = 1`, 求 `a^3/(b+c) + b^3/(c+a) + c^3/(a+b)` 的最小值.

由权方和不等式, 原式等于 `a^4/(a(b+c)) + b^4/(b(c+a)) + c^4/(c(a+b))` `ge (a^2+b^2+c^2)^2/(2(a b+b c+c a))` `ge (a b+b c+c a)/2 = 1/2`.

[群友 我是蒟蒻的泰博定理] 设正数 `a, b, c, d` 之和为 `2`, 证明: `(a+c)^2/(a d+b c) + (b+d)^2/(a c+b d) + 4 ge 4((a+b+1)/(c+d+1) + (c+d+1)/(a+b+1))`.

[群友 我是无敌的白金之星] 先用权方和不等式将左边缩小为 `(a+c+b+d)^2/(a d+b c+a c+b d) + 4` `= 4(1/((a+b)(c+d)) + 1)`, 设 `x = a+b`, `y = c+d`, 于是 `x+y = 2`. 下证 `1/(x y) + 1 ge (x+1)/(y+1) + (y+1)/(x+1)`. 将它通分称项, 化为关于 `x y` 的二次式: `(1 + x y)(1+x)(1+y) - x y((x+1)^2+(y+1)^2)` `= (1 + x y)(x y + x+y+1) - x y ((x+y)^2-2x y + 2x + 2 y + 2)` `= (1 + x y)(3 + x y) - 2 x y (5 - x y)` `= 3(1-x y)^2 ge 0`, 证毕.

[群友 我是摸鱼的鱼] 设 `x, y gt 0`, 求 `min(x^2/(8y) + (y+1)^2/x)`.

`x^2/(8y) + (2y+2)^2/(4 x)` `ge (x + 2 y + 2)^2/(8 y + 4 x)` `= (t+2)^2/(4 t)` `= t/4 + 1 + 1/t` `ge 2`, 等号成立当且仅当 `x/(8y) = (y+1)/(2x)` 且 `x+2y = 2`.

设 `x, y gt 0`, 求 `min(2/(x+2) + 1/(y+3))`.

先用权方和, 再用 Cauchy: `4/(2x+4) + 1/(y+3)` `ge (2+1)^2/(2x+y+7)` `ge 9/(sqrt(5(x^2+y^2))+7) = 3/4`, 等号成立当且仅当 `2/(2x+1) = 1/(y+3)` 且 `2/x = y`.

均值不等式

一个配方不等式 设 `x, y in RR`, 则 `(x-y)^2 ge 0` `rArr 2 x y le x^2 + y^2`. 显见等号成立当且仅当 `x = y`.

在引理的不等式两边同时加上 `x^2+y^2` 得 `(x+y)^2 le 2(x^2+y^2)`. 可以用 `x^2, y^2` 分别代替原不等式的 `x, y`, 得到 `2 x^2 y^2 le x^4 + y^4`, `(x^2+y^2)^2 le 2(x^4 + y^4)`, 等等. 如果用 `sqrt x, sqrt y` 分别代替引理中不等式的 `x, y`, 就得到:

二元均值不等式 设 `x, y gt 0`, 则 `sqrt(x y) le (x+y)/2`, 等号成立当且仅当 `x = y`.

均值不等式 (AM-GM) 设 `x_1, x_2, cdots, x_n gt 0`, 则 `root n (prod_(k=1)^n x_k) le 1/n sum_(k=1)^n x_k`, 等号成立当且仅当 `x_1 = x_2 = cdots = x_n`. 均值不等式指出, 算术平均大于几何平均, 即 AM ≥ GM.

利用 Jensen 不等式的简单证明. 取 `f(x) = ln x`, 它是区间 `(0, +oo)` 上的上凸函数. 取 `t_k = 1/n`, 于是对任意 `x_1, x_2, cdots, x_n gt 0`, `1/n sum_(k=1)^n ln x_k le ln(1/n sum_(k=1)^n x_k)`, 等号成立当且仅当 `x_1 = x_2 = cdots = x_n`. 两端取指数, 得到 `root n(prod_(k=1)^n x_k) le 1/n sum_(k=1)^n x_k`.

先证结论对所有 2 的正整数幂成立. 这是因为 `n=2` 的情形已证, 而 `x_1+x_2+cdots+x_n ge n root n (x_1 x_2 cdots x_n)`
`rArr x_1 + x_2 + cdots + x_(2n)` `ge n (root n (x_1 cdots x_n) + root n (x_(n+1) cdots x_(2n)))` `ge 2n root(2n) (x_1 x_2 cdots x_(2n))`. 再来说明不等式对 `n` 成立可推出对 `n-1` 成立. 记 `x_1 + x_2 + cdots + x_(n-1) = s`, 再取 `x_n = s/(n-1)`, 由归纳假设, `s + s/(n-1)` `= x_1 + cdots + x_n` `ge n root n(x_1 cdots x_n)` `= n root n((x_1 cdots x_(n-1) s)/(n-1))` 两边取 `n` 次方, 整理得到 `s ge (n-1) root (n-1) (x_1 cdots x_(n-1))`. 现在由 Cauchy 归纳法, 结论成立. 奇怪的归纳法增加了!

对 `n` 进行归纳证明. `n = 1` 时不等式是平凡的等式. 假设不等式对 `n ge 1` 成立, 则对正整数 `n+1`, 记 `A_n = 1/n sum_(k=1)^n x_k`, 有 `A_(n+1)` `= 1/2 ((n+1)/n A_(n+1) + (n-1)/n A_(n+1))` `= 1/2 (1/n sum_(k=1)^(n+1) x_k + (n-1)/n A_(n+1))` `= 1/2 (1/n sum_(k=1)^n x_k + 1/n x_(n+1) + (n-1)/n A_(n+1))` (归纳假设) `ge 1/2 (root n(prod_(k=1)^n x_k) + root n(x_(n+1) * A_(n+1)^(n-1)))` (二元均值不等式) `ge root (2n)(prod_(k=1)^(n+1) x_k * A_(n+1)^(n-1))`. 整理得到 `A_(n+1) ge root(n+1)(prod_(k=1)^(n+1) x_k)`. 因此不等式对任意正整数 `n` 成立.
再看取等条件. 这个条件的充分性显然, 下证必要性. `n = 2` 时, 二元均值不等式的取等条件是 `x_1 = x_2`. 现在设取等条件对 `n` 元均值不等式成立, 则当 `n+1` 元均值不等式取得等号时, 上述推导过程的两个不等式中的等号都应当成立, 即 `prod_(k=1)^n x_k = x_(n+1) A_(n+1)^(n-1)`, 且 `x_1 = x_2 = cdots = x_n`. 记 `x_k^(1//(n-1)) = a_k`, 有 `x_1^n = x_(n+1) ((n x_1 + x_(n+1))/(n+1))^(n-1)`,
`(n+1) a_1^n = a_(n+1) (n x_1 + x_(n+1))`,
`n a_1^(n-1) (a_1 - a_(n+1)) + a_1^n - a_(n+1)^n = 0`,
`(a_1-a_(n+1))` `(n a_1^(n-1) + sum_(k=0)^(n-1) a_1^k a_(n+1)^(n-k)) = 0`. 这推出 `a_1 = a_(n+1)`, 从而 `x_1 = x_2 = cdots = x_n = x_(n+1)`, 证毕.

设 `x_1, x_2, cdots, x_n gt 0`, 则 `(1/n sum_(k=1)^n x_k^-1)^-1` `le exp(1/n sum_(k=1)^n ln x_k)` `le 1/n sum_(k=1)^n x_k` `le (1/n sum_(k=1)^n x_k^2)^(1/2)`, 所有等号成立当且仅当 `x_1 = x_2 = cdots = x_n`.

  1. 对 `x_k^-1`, `k = 1, 2, cdots, n` 应用均值不等式, `root n(prod_(k=1)^n x_k^-1) le 1/n sum_(k=1)^n x_k^-1`, 两边取倒数即得第一个不等式.
  2. 由 Cauchy 不等式, `(sum_(k=1)^n 1 x_k)^2 le (sum_(k=1)^n 1^2)(sum_(k=1)^n x_k^2)`, 两边同除以 `n^2` 再开平方即得到第三个不等式.
    3. 容易知道, 这些不等式取等号的充要条件都是 `x_1 = x_2 = cdots = x_n`.

我们把 `(1/n sum_(k=1)^n x_k^-1)^-1` 称为这 `n` 个数的调和平均数, `exp(1/n sum_(k=1)^n ln x_k)` `= root n(prod_(k=1)^n x_k)` 称为它们的几何平均数, `1/n sum_(k=1)^n x_k` 称为它们的算术平均数. 下图展示了二元均值不等式:

设 `a, b gt 0`. 证明: 数列 `x_n = root(n)((a^n+b^n)/2)` 单调递增.

(zmx可以从这道题的证明中凭吊高中时代的遗迹) 只需证对任意正整数 `n`, ` root(n)((a^n+b^n)/2) le root(n+1)(( a^(n+1) + b^(n+1) )/2)`. 即证 `(a^n+b^n)^(n+1) le 2( a^(n+1)+b^(n+1) )^n`. 当 `n=1` 时, 上述不等式即 `(a+b)^2 le 2(a^2+b^2)`, 显然成立. 假设当 `n=k` 时不等式成立, 即 `(a^k+b^k)^(k+1) / ( a^(k+1)+b^(k+1) )^k le 2`. 则 `n=k+1` 时, 断言 ` ( a^(k+1)+b^(k+1) )^(k+2) / ( a^(k+2)+b^(k+2) )^(k+1) le (a^k+b^k)^(k+1) / ( a^(k+1)+b^(k+1) )^k` 成立, 这只要证 ` ( a^(k+1)+b^(k+1) )^(2(k+1)) le [ (a^k+b^k) ( a^(k+2) + b^(k+2) ) ] ^ (k+1)`, 即证 ` ( a^(k+1)+b^(k+1) )^2 le (a^k+b^k)( a^(k+2)+b^(k+2) )`, 即证 `2(ab)^(k+1) le (ab)^k (a^2+b^2)`. 即证 `2ab le a^2+b^2`. 这显然成立. 所以 成立, 从而 `n=k+1` 时不等式成立. 再由数学归纳法知原命题成立.

    幂平均值不等式 设 `x_1, x_2, cdots, x_n gt 0`, `alpha in RR uu {+oo, -oo}`, 则函数 `(1/n sum_(k=1)^n x_k^alpha)^(1/alpha)` 关于参数 `alpha` 单调递增. 其中 `alpha = 0, +oo, -oo` 的情形考虑极限: `lim_(alpha to 0) (1/n sum_(k=1)^n x_k^alpha)^(1/alpha)` `= exp(1/n sum_(k=1)^n ln x_k)` `= root n(prod_(k=1)^n x_k)`,
    `lim_(alpha to +oo) (1/n sum_(k=1)^n x_k^alpha)^(1/alpha)` `= max_k x_k`, `lim_(alpha to -oo) (1/n sum_(k=1)^n x_k^alpha)^(1/alpha)` `= min_k x_k`.
    用 Hölder 不等式来证明, 使用 Jensen 不等式的证法留给读者.
  1. 先设 `0 lt alpha lt beta`. 取 `p = beta/alpha gt 1`, 又取实数 `q` 使得 `1/p + 1/q = 1`. 记 `y_k = x_k^alpha`, 则 由 Hölder 不等式有 `sum_(k=1)^n y_k * 1 le (sum_(k=1)^n y_k^p)^(1/p) (sum_(k=1)^n 1^q)^(1/q)`,
    `(1/n)^(1/q) sum_(k=1)^n y_k le (sum_(k=1)^n y_k^p)^(1/p)`,
    `1/n sum_(k=1)^n y_k le (1/n sum_(k=1)^n y_k^p)^(1/p)`,
    `1/n sum_(k=1)^n x_k^alpha le (1/n sum_(k=1)^n x_k^beta)^(alpha/beta)`,     即得到要证的不等式 `(1/n sum_(k=1)^n x_k^alpha)^(1/alpha)` `le (1/n sum_(k=1)^n x_k^beta)^(1/beta)`.
  2. 再设 `alpha lt beta lt 0`. 对 `0 lt -beta lt -alpha` 和实数 `x_1^-1, x_2^-1, cdots, x_n^-1` 应用不等式得, `(1/n sum_(k=1)^n x_k^alpha)^(-1/alpha) ge (1/n sum_(k=1)^n x_k^beta)^(-1/beta)`. 两边取倒数即得到要证的不等式.
  3. 最后, 由连续性得到 `alpha` 等于 `0`, `+oo` 或 `-oo` 的情形.

此定理是均值不等式的推广. `x_1, x_2, cdots, x_n` 的函数 `(1/n sum_(k=1)^n x_k^alpha)^(1/alpha)` 在参数 `alpha` 取 `-oo`, `-1`, `0`, `1`, `+oo` 时, 分别取得最小值, 调和平均, 几何平均, 算术平均和最大值.

    二元均值不等式应用
  1. 已知 `x, y gt 0`, `x + y = 1`, 求 `min(3/x + 4/y)`;
  2. 已知 `x, y gt 0`, `x + x y + 2y = 30`, 求 `min 1/(x y)`;
  3. 已知 `x^2 + y^2 = 1`, 求 `max(x+1)(y+2)`;
  4. 已知 `x gt -1`, 求 `min(x^2+7x+10)/(x+1)`;
  5. 已知 `x in (0, 1/2)`, 求 `min(2/x + 9/(1-2x))`;
  6. 已知 `x^2 - 4 x y - 5 y^2 = 5`, 求 `min(x^2+2y^2)`;
  1. 乘上去. `3/x + 4/y = (3/x + 4/y)(x+y)` `= 3 + 4 + 3 y/x + 4 x/y` `ge 7 + 2 sqrt(3 y/x * 4 x/y)` `= 7 + 4 sqrt 3`, 等号成立当且仅当 `3 y/x = 4 x/y`. 联系 `x+y = 1` 可得 `x = 2 sqrt 3 - 3`, `y = 4 - 2 sqrt 3`.
  2. 解关于 `x y` 的不等式. `30 = x + 2y + x y ge 2 sqrt(2x y) + x y`, 解得 `sqrt(x y) in [-5sqrt2, 3sqrt2]`, 因此 `x y le (3sqrt2)^2 = 18`, 即 `1/(x y) ge 1/18`. 等号成立当且仅当 `x = 2 y`. 联系 `x + x y + 2y = 30` 可得 `x = 6`, `y = 3`.
  4. 令 `y = x+1`, 则 `y gt 0`, `(x^2+7x+10)/(x+1)` `= ((y-1)^2 + 7(y-1) + 10)/y` `= y + 4/y + 5` `ge 2 sqrt (y * 4/y) + 5 = 9`, 等号成立当且仅当 `y = 4/y`, 即 `x = 1`.
  5. 两个分母都是正数, 因此使用 "乘上去" 的技巧. `2/x + 9/(1-2x)` `= (2/x + 9/(1-2x)) [(2x) + (1-2x)]`. 后面的处理是容易的.
  6. 通过因式分解, 条件化为 `(x-5y)(x+y) = 5`. 令 `m = x-5y`, `n = x+y`, 可解出 `x, y`, 进而 `x^2 + 2 y^2 = (m^2 + 9 n^2 + 2 m n)/12` `ge (2 * 3 m n + 2 m n)/12` `= 10/3`.
    三元均值不等式应用
  1. 已知 `x gt 0`, 求 `min(3x + 1/(2x^2))`;
  2. 已知 `x in (0,2)`, 求 `max x^2(2-x)`;
  3. 已知实数 `x, y` 满足 `x y gt 0`, `x^2 y = 2`, 求 `min(x y + x^2)`;
  1. 使用三元均值不等式, 需要拆成三项, 其中两项必须相等, 否则不满足不等式的取等条件. `3x + 1/(2x^2)` `= 3/2 x + 3/2 x + 1/(2x^2)` `ge 3 root 3 (3/2 x * 3/2 x * 1/(2x^2))` `= 3/2 root 3 9`, 等号成立当且仅当 `3/2 x = 1/(2x^2)`, 解得 `x = 1/(root 3 3)`.
  2. `(x^2 (2-x))/4` `le ((x/2 + x/2 + 2-x)/3)^3 = 8/27`, 因此原式 `le 32/27`, 等号成立当且仅当 `x/2 = 2-x`, 即 `x = 4/3`.
  3. `x y + x^2 = (x y)/2 + (x y)/2 + x^2`. 后面是处理是容易的.
    均值不等式 (配系数) 以下各字母代表实数,
  1. 设 `a, b gt 0`, 求 `min(1/a + a/b^2 + b)`;
  2. 已知 `x^2 + 2 x y = 1`, 求 `min(x^2 + y^2)`;
  3. 已知 `x, y gt 0`, `x y^2(x+y) = 4`, 求 `min(2x+y)`;
  4. 已知 `x^2 - 4 x y - 5 y^2 = 5`, 求 `min(x^2+2y^2)`.
  1. 使用四元均值不等式, `1/a + a/b^2 + b/2 + b/2` `ge 4 root 4 (1/4) = 2 sqrt 2`. 等号成立当且仅当 `a = b = sqrt 2`.
  2. 将 `y = 1/2(1/x - x)` 代入得 `x^2 + y^2` `= 5/4 x^2 + 1/(4 x^2) - 1/2` `ge 2 sqrt(5/4 1/4) - 1/2` `= (sqrt 5-1)/2`. 另一种解法是设 `x^2 + y^2` `= a x^2 + b x^2 + y^2` `ge a x^2 + 2 sqrt b x y`. 比较系数得 `a + b = 1`, `quad a = sqrt b`, 解得 `a = (sqrt 5-1)/2`.
  3. 设 `2x+y = a x + b y + b y + c(x+y)` `ge 4 root 4(a c b^2 x y^2 (x+y))` `= 4 root 4(4a c b^2)`, 比较系数得 `a + c = 2`, `quad 2b+c = 1`. 又注意取等条件为 `a x = b y = c (x+y) = k`, 即 `1/a + 1/b = 1/c`, 解得 `a = 1 + sqrt2/2`, `quad b = sqrt2/4`, `quad c = 1 - sqrt2/2`. 于是原式的最小值为 `2sqrt2`.
  4. 本题可以化为二元乘积 `a b`. 事实上, 由题意 `(x-5y)(x+y) = 5`, 可设 `a = x-5y`, `b = x+y`, 则 `x = (5b+a)/6`, `y = (b-a)/6`, `a b = 5`. 有 `x^2 + 2 y^2` `= (5b+a)^2/36 + (b-a)^2/18` `= 1/12 a^2 + 3/4 b^2 + 1/6 a b` `ge 1/4 * 2 a b + 1/6 a b` `= 10/3`. 另一种解法, 待定系数 `x^2 + 2 y^2` `= a (x^2 - 5 y^2) + b x^2 + c y^2` `ge a (x^2 - 5 y^2) - 2 x y sqrt(b c)` 若使上式右边等于 `a(x^2 - 4x y - 5y^2) = 5a`, 系数应满足 `a + b = 1`, `c - 5 a = 2`, `2 sqrt(b c) = 4 a` 我们取 `a` 的正根 `2/3`, 于是原式的最小值为 `10/3`.

三元不等式

两个记号

轮换求和记号 `sum_"cyc" f(a, b, c) := f(a, b, c) + f(b, c, a) + f(c, a, b)`. 不引起混淆的情况下, `sum_"cyc"` 可简记为 `sum`.

    `p q r` 记号 设 `a, b, c ge 0`, `S_2 = a^2 + b^2 + c^2`, `quad p = a + b + c`, `quad q = a b+b c+c a`, `quad r = a b c `,
    `S_3 = a^3 + b^3 + c^3`, `quad q_3 = sum_"cyc" a^2(b+c)` `= (a^2 b + b^2 c + c^2 a) + (a b^2 + b c^2 + c a^2)`.     则成立等式 `S_2 = p^2 - 2q`, `quad S_3 = p^3 - 3p q + 3 r`, `quad q_3 = p q - 3r`, `quad a^-1 + b^-1 + c^-1 = q//r`, 以及以下的三元不等式:
  1. `3 S_2 ge p^2 ge 3 q ge 9 r^(2/3)`;
  2. `S_3 ge q_3 - 3r ge 3r`;
  3. `p q ge 9 r ge 4 p q - p^3`;
    各等式直接计算验证即可 (`S_2`, `S_3` 可用牛顿公式计算). 下证不等式.
    1. `S_2 = a^2 + b^2 + c^2` `= 1/2(a^2 + b^2 + b^2 + c^2 + c^2 + a^2)` `ge a b+b c+c a = q`.
    2. 在 `S_2 ge q` 两边同时加上 `2q`, 注意到 `p^2 = S_2 + 2 q`, 得到 `p^2 ge 3 q`.
    3. 在 `S_2 ge q` 左边加上 `2 S_2`, 右边加上 `S_2 + q` 得 `3 S_2 ge p^2`; 或者, 由 Cauchy 不等式, `(1^2+1^2+1^2)(a^2+b^2+c^2)` `ge (a*1+b*1+c*1)^2`.
    4. `q = a b + b c + c a` `ge 3 root 3(a b b c c a)` `= 3 (a b c)^(2/3) = 3 r^(2/3)`.
    1. `q_3 = (a^2 b + b^2 c + c^2 a) + (a b^2 + b c^2 + c a^2)` `ge 3 root 3(a^2 b b^2 c c^2 a) + 3 root 3(a b^2 b c^2 c a^2)` `= 6 a b c = 6r`.
    2. `S_3 ge q_3 - 3 r` 的证明见下一节的.
    1. `p q ge 9 r` 和 `q_3 ge 6r` 等价; 也可由 Cauchy 不等式得到 `p q//r = (a+b+c) (a^-1 + b^-1 + c^-1) ge 9`.
    2. `9r ge 4p q - p^3` 和 `S_3 ge q_3 - 3r` 等价.

排序不等式

排序不等式 假设有实数 `x_1 le x_2 le cdots le x_n` 和 `y_1 le y_2 le cdots le y_n`, `sigma(1), sigma(2), cdots, sigma(n)` 是 `1` 到 `n` 的任一排列, 则 `sum_(k=1)^n x_k y_(n+1-k)` `le sum_(k=1)^n x_k y_(sigma(k))` `le sum_(k=1)^n x_k y_k`, 即反序和 `le` 乱序和 `le` 顺序和. 等号成立当且仅当所有 `x_k` 都相等, 或所有 `y_k` 都相等.

记 `z_k = y_(sigma(k))`, 考虑数组 `{z_k}` 的排序过程. 若 `i lt j` 且 `z_i gt z_j`, 则交换两个数的位置. 交换前后求和的变化为 `(x_i z_j - x_j z_i) - (x_i z_i + x_j z_j)` `= (x_j-x_i)(z_i-z_j) ge 0`. 反复进行上述的交换, 和式的值单调增加, 直到数组变得完全有序, 即得到最大值.
显然当所有 `x_k` 都相等, 或所有 `y_k` 都相等时, 等号成立. 反之, 若 `x_k` 不全相等, `y_k` 也不全相等, 必有 `x_1 lt x_n`, `quad y_1 lt y_n` 假如将顺序和 `sum x_k y_k` 中 `y_1` 与 `y_n` 对调, 和式的变化为 `(x_1 y_n + x_n y_1) - (x_1 y_1 + x_n y_n)` `= -(x_1-x_n)(y_1-y_n) lt 0`, 即和式严格减小. 因此等号不成立.

Chebyshev 不等式 设 `x_1 le x_2 le cdots le x_n`, `y_1 le y_2 le cdots le y_n`, 则 `n sum x_k y_k ge (sum x_k)(sum y_k)`, 等号成立当且仅当所有 `x_k` 都相等, 或所有 `y_k` 都相等.

不等式左边是 `n` 倍的顺序和. 右边是下面的所有元素之和: `{: x_1 y_1, x_1 y_2, cdots, x_1 y_n; x_2 y_1, x_2 y_2, cdots, x_2 y_n; vdots, vdots, , vdots; x_n y_1, x_n y_2, cdots, x_n y_n; :}` 这事实上是一个顺序和加上 `n-1` 个乱序和: `{: x_1 y_1, x_1 y_2, cdots, x_1 y_n, , , ; , x_2 y_2, x_2 y_3, cdots, x_2 y_1, , ; , , ddots, ddots, , ddots, ; , , , x_n y_n, x_n y_1, cdots, x_n y_(n-1); :}`

用下面的恒等式直接证明: `0 le sum_(i lt j) (x_i-x_j)(y_i-y_j)` `= 1/2 sum_(i,j) (x_i-x_j)(y_i-y_j)` `= 1/2 (n sum_i x_i y_i + n sum_j x_j y_j - sum_(i,j) x_i y_j - sum_(i,j) x_j y_i)` `= n sum_i x_i y_i - sum_(i,j) x_i y_j`.

    排序不等式特别适合于对称不变的 (`S_n`) 不等式. 由于 `a, b, c` 的地位是对称的, 不妨设 `a le b le c`:
  1. `a^2+b^2+c^2 ge a b+b c+c a`;
  2. `(a b)^2 + (b c)^2 + (c a)^2` `ge (a b)(a c)+(b c)(a b)+(c a)(b c)` `= (a + b + c)a b c`;
    3. 以下几条假定 `a, b, c` 非负.
  3. `2 sum a^3 ge sum a^2(b+c)`; 这是因为由非负假定 `a^2 le b^2 le c^2`, 进而 `a^3+b^3+c^3 ge a^2 b + b^2 c + c^2 a`; 类似得到另一半不等式, 两式相加即得结论.
  4. `sum a^3 + 3 sum a^2(b+c) ge 21 a b c`;

Schur 不等式

Schur 不等式 设 `a, b, c ge 0`, `t in RR`, 则 `sum_"cyc" a^t(a-b)(a-c) ge 0`, 等号成立当且仅当 `a = b = c`, 或其中两数相等且另一数为零. 特别当 `t` 为非负偶数时, 不等式对任意实数 `a, b, c` 成立.

由于 `a, b, c` 可以轮换, 不妨设 `b` 的大小在 `a` 和 `c` 中间. 有两种情形, 先看 `a ge b ge c`. 当 `t gt 0` 时 `a^t ge b^t`, `t lt 0` 时 `c^t ge b^t`, 总之有 `a^t-b^t+c^t ge 0`. 上式在 `a le b le c` 时也成立, 于是 `{: , sum_"cyc" a^t(a-b)(a-c); =, a^t(a-b)(a-b+b-c) + b^t(b-c)(b-a) + c^t(c-b+b-a)(c-b); =, a^t(a-b)^2 + c^t(b-c)^2 + (a^t-b^t+c^t)(a-b)(b-c); ge, 0. :}` 分析上式最后一个不等号左边三项, 得到原式等于零当且仅当 `(a = 0 or a = b)` `and (c = 0 or b = c)` `and (a = b or b = c)`. 从而得到: 等号成立当且仅当 `a = b = c`, 或其中两数相等且另一数为零. 另外容易看到 `t` 是非负偶数时, 不等式也成立.

    Schur 不等式最常用的是 `t = 1` 的情形, 此时有
  1. `S_3 - q_3 + 3r = p^3 - 4 p q + 9 r ge 0`;
  2. `prod_"cyc" (a+b-c) le a b c`;
  1. 由 Schur 不等式, `0 le sum a(a-b)(a-c)` `= sum a^3 - sum a^2(b+c) + sum a b c` `= S_3 - q_3 + 3r`, 再利用等式, 将 `S_3` 和 `q_3` 用 `p, q, r` 来表示即可.
  2. 即证 `(p-2a)(p-2b)(p-2c) le r`. 展开左边得 `p^3 - 2(a + b + c) p^2 + 4(a b+b c+c a)p - 8 a b c` `= -p^3 + 4 p q - 8 r le r`.
  1. 三角形 ABC 中, `sum_"cyc" cos A le 3//2`;
  2. 三角形的外接圆半径为 `R`, 内接圆半径为 `r`, 则 `R ge 2r`.
  1. `sum cos A = sum (b^2+c^2-a^2)/(2b c)` `= (sum a(b^2+c^2) - sum a^3)/(2a b c)` `= (sum a^2(b+c) - sum a^3)/(2a b c)`. 在 Schur 不等式中取 `t = 1` 有 `sum a^3 - sum a^2(b+c) ge sum a b c = 3 a b c`, 代入上式即得证.
  2. ??
    SOS-Schur 方法
  1. 将表达式配凑成 `L(b-c)^2 + M(c-a)^2 + N(a-b)^2`, 若 `L, M, N ge 0`, 则整个表达式非负.
  2. 将轮换表达式配凑成 `M(a-b)^2 + N(c-a)(c-b)`, 若 `M, N ge 0`, 由于 `a, b, c` 轮换, 可以假定 `c` 最大 (或最小), 从而表达式非负.

`uvw` 方法

[参见 brilliant.org]
    基本定理 设 `a, b, c ge 0`, `3u = a + b + c`,
    `3v^2 = a b+b c+c a`,
    `w^3 = a b c`,     则 `u ge v ge w`, 其中
  1. 第一个等号成立当且仅当 `a = b = c`;
  2. 第二个等号成立当且仅当 `a b = b c = c a`, 即 `a = b = c`, 或它们中至少有两个为 `0`.
    3. 特别当 `a = b = c` 时, `a, b, c, u, v, w` 六个数均相等.

已知 `a, b, c gt 0`, `1/a + 1/b + 1/c = 1`, 求 `min(a-1)(b-1)(c-1)`.

由已知 `a b+b c+c a = a b c`, 所以 `w^3 = 3 v^2 ge 3 w^2`, 得 `w ge 3`, 从而 `u ge w ge 3`. 所以 `(a-1)(b-1)(c-1)` `= w^3 - 3v^2 + 3u - 1` `= 3u-1 ge 8`. 当 `a = b = c = 3` 时, 等号成立.

三次多项式 `f(x)` 有三个实根 `a, b, c` 的充要条件是 `Delta = [(a-b)(b-c)(c-a)]^2 ge 0`.

可行条件 设 `u, v, w in RR`, 则存在 `a, b, c in RR` 满足 的充要条件是 `T(u, v, w) := -4 u^3 w^3 + 3 u^2 v^4 + 6 u v^2 w^3 - 4 v^6 - w^6` `ge 0`. 存在 `a, b, c ge 0` 满足 的充要条件是 `T ge 0` 且 `u, v^2, w^3 ge 0`.

设 `u, v, w ge 0`. 如果存在 `a, b, c ge 0` 满足 , 则称三元组 `(u, v, w)` 是可行的.

Tejs 定理 轮换且变元非负的三元函数 `f(a, b, c)` 取得最值的必要条件是 `a = b = c` 或其中一个变元为零.

已知 `a, b, c gt 0`, 则 `(a+b+c)^2 le 3(a^2 + b^2 + c^2)`.

这个不等式可以直接用 Cauchy 不等式得到. 现在用二元均值不等式证明之. 原式成立当且仅当 `a^2 + b^2 + c^2 + 2(a b + b c + c a) le 3(a^2 + b^2 + c^2)`, 即证 `a b + b c + c a le a^2 + b^2 + c^2`. 上式由 `2 a b le a^2+b^2`, `2 b c le b^2 + c^2` 和 `2 c a le c^2 + a^2` 相加得到. 等号成立当且仅当 `a = b = c`.

已知 `a, b, c gt 0` 且 `a b c = 1`, 则 `sqrt a + sqrt b + sqrt c le a b + b c + c a`.

即证 `1/sqrt(b c) + 1/sqrt(c a) + 1/sqrt(a b) le 1/a + 1/b + 1/c`, 上式由 `1/sqrt(b c) le 1/2(1/b + 1/c)`, `quad 1/sqrt(c a) le 1/2(1/c + 1/a)` `quad 1/sqrt(a b) le 1/2(1/a + 1/b)` 相加得到. 等号成立当且仅当 `a = b = c = 1/3`.

已知 `a, b, c gt 0` 且 `a + b + c = 4 - sqrt(a b c)`, 则 `sqrt((b c)/a) + sqrt((c a)/b) + sqrt((a b)/c) ge a + b + c`.

正数 `a, b, c` 满足 `a^2 + b^2 + c^2 = 1`, 证明 `a + b + c + 1/(a b c) ge 4 sqrt 3`.

用 Tejs 定理检验: `a = b = c = 1/sqrt 3` 时左边恰好等于 `4 sqrt 3`, 而 `c to 0` 时左边趋于正无穷大, 因而左边的最小值确实是 `4 sqrt 3`. 下面来证明它. 由均值不等式, `a+b+c = (a^2+b^2+c^2)(a + b + c) ge 9 a b c`, 于是 `"LHS" ge 9 a b c + (a^2+b^2+c^2)/(a b c)` `= 9 a b c + a/(b c) + b/(c a) + c/(a b)` `ge 4 root 4 (9 a b c * a/(b c) * b/(c a) * c/(a b))` `= 4 sqrt 3`.

如果题目的数字改成 `a^2+b^2+c^2=3`, 证明 `a+b+c+1/(a b c) ge 4`, 则直接用均值不等式即可. 可见只要换一换数字, 难度就完全不同.

对正数 `a, b, c` 有 `(a+b+c)/root 3 (a b c)` `le a/b+b/c+c/a` `le (a+b+c)/(3a b c)(a^2+b^2+c^2)`. 进而 `2(1+(a+b+c)/root 3 (a b c)) le (1+a/b)(1+b/c)(1+c/a)`.

利用均值不等式得 `a/b + a/b + b/c ge 3 a/root 3 (a b c)`, 上式轮换求和得到 `3(a/b + b/c + c/a) ge 3 (a+b+c)/root 3 (a b c)`. 另一方面, `a/b + a/b + b/c` `= a/(a b c)(b^2+2a c)` `le a/(a b c)(a^2+b^2+c^2)`, 轮换求和得 `3(a/b+b/c+c/a) le (a+b+c)/(a b c) (a^2+b^2+c^2)`. 最后直接展开得 `(1+a/b)(1+b/c)(1+c/a)` `= 2 + a/b + b/c + c/a + a/c + c/b + b/a` `= ge 2(1+(a+b+c)/root 3 (a b c))`.

`a/b + b/c + c/a le (a+b+c)^3/(8(a b c+x y z))`, 其中 `a = x+y, b = y+z, c = z+x`, `x, y, z gt 0`.

[来自 我是脑子卡壳且啥都不会的废物] 利用恒等式 `(x+y)(y+z)(z+x) + x y z = (x+y+z)(x y+y z+z x)`, 原不等式化为 `sum_"cyc" (x+y)/(y+z) le (x+y+z)^3/((x+y+z)(x y+y z+z x))` 即证 `(x y+y z+z x) sum_"cyc"(x+y)/(y+z) le (x+y+z)^2`. 左边等于 `sum_"cyc" (x(x+y) + (y z)/(y+z) (x+y) )` `= x^2+y^2+z^2 + x y + y z + z x + sum_"cyc" (y z)/(y+z) (x+y)` 只需证 `sum_"cyc" (y z)/(y+z) (x+y) le x y+y z+z x`. 设 `x gt y gt z`, 则 `x + y gt x + z gt y + z`, `quad (x^-1+y^-1)^-1 gt (x^-1+z^-1)^-1 gt (y^-1+z^-1)^-1`. 由排序不等式得 `sum_"cyc" (y z)/(y+z) (x+y)` `le sum_"cyc" (y z)/(y+z) (y+z)` `= sum_"cyc" y z`.

设正数 `a, b, c` 满足 `a^2 + b^2 + c^2 = 3`, 则 `a/b+b/c+c/a + abc ge 4`.

先证 `sum a/b ge sqrt(3(a^2+b^2+c^2))/root 3 (a b c)`. 只需利用由均值不等式, `(sum a/b)^2` `= sum a^2/b^2 + sum a/c + sum a/c` `ge 3 sum root 3(a^2/b^2 a/c a/c`) `= 3 sum a^2/(a b c)^(2//3)`. 于是 `sum a/b + a b c` `ge 3/root 3(a b c) + a b c` `= 1/root 3(a b c) + 1/root 3(a b c) + 1/root 3(a b c) + a b c` `ge 4`. 等号在 `a = b = c = 1` 时成立.

[来自 诗许] 对正数 `a, b, c` 和正整数 `n` 有 `sum_"cyc" c/(a+b)^n ge (3/2)^n 1/(a+b+c)^(n-1)`. 特别 `n=1` 时右边化为 `3/2`.

  1. `n = 1` 时, 利用 `sum_"cyc" (a+b) = 2(a+b+c)` 和 Cauchy 不等式有 `sum_"cyc" c/(a+b)` `= sum_"cyc"(a+b+c)/(a+b) - 3` `= 1/2 sum_"cyc" (a+b) sum_"cyc" 1/(a+b) - 3` `ge 1/2 (1+1+1)^2 - 3 = 3/2`.
  2. 一般情形, 由 Hölder 不等式有 `(sum_"cyc" c)^((n-1)/n) (sum_"cyc" c/(a+b)^n)^(1/n)` `ge sum_"cyc" c/(a+b) ge 3/2` 整理即得结论.

[来自 不等式的秘密] `n=1` 情形的另一证法, 由均值不等式, `sum_"cyc" a/(b+c) + sum_"cyc" b/(b+c) ge 3`,
`sum_"cyc" a/(b+c) + sum_"cyc" c/(b+c) ge 3`,
`sum_"cyc" b/(b+c) + sum_"cyc" c/(b+c) = 3`. 前两式相加减去第三式即得结论.

zeta 函数与 eta 函数部分和的估计

本节通过几个例子给出 `sum_(k=1)^n 1/k^s` 和 `sum_(k=1)^n (-1)^(k-1)/k^s` 的估计.

`s = 2`. 由 `1/k - 1/(k+1)` `= 1/(k(k+1))` `lt 1/k^2` `lt 1/(k(k-1))` `= 1/(k-1) - 1/k`, `quad k ge 2` 可得 `3/2 - 1/(n+1) lt sum_(k=1)^n 1/k^2 lt 2 - 1/n`, `quad n ge 2`. 一般地, 可以用不等式 `1/(a^2 k^2 + b k + c) lt (或 gt) 1/(a k+u) - 1/(a k+v)` 得到通项的估计. 为了使不等式右端在求和时各项可以抵消, 要求 `u-v` 是 `a` 的整数倍. 比如 `1/k^2 lt 1/(k^2 - 1)` 或 `1/k^2 lt 1/(k^2 - 1/4)`.

由 `1/k^2 gt 1/k - 1/(k+1)` 求和得 `sum_(k=1)^n 1/k^2 gt sum_(k=1)^n 1/(k(k+1)) = 1 - 1/(n+1)`. 然而这个结果没有什么用, 因为仅从第 1 项就可以看出它大于 1. 但我们可以从第 2 项开始放缩, 得到 `sum_(k=1)^n 1/k^2 gt 1 + sum_(k=2)^n 1/(k(k+1)) = 3/2 - 1/(n+1)`, `quad n ge 2`. 这是一个更好的下界. 现在估计它的上界, 有 `sum_(k=1)^n 1/k^2 lt 2 - 1/n`, `quad n ge 2`. 若 `n ge 3`, 从第 3 项开始放缩, 上界可降低到 `7/4 - 1/n`. 若从第 4 项开始放缩, 可进一步降低至 `61/36 - 1/n`. 事实上, Basel 问题告诉我们, `sum_(k=1)^oo 1/k^2 = pi^2/6 = 1.644934...`

`s = 1/2`. 由 `1/(sqrt k + sqrt(k+1)) lt 1/(2 sqrt k) lt 1/(sqrt k + sqrt(k-1))`,
`1/(2 sqrt k) lt 1/(sqrt(k-1/2) + sqrt(k+1/2))` 求和得到 `2(sqrt(n+1)-1) lt sum_(k=1)^n 1/sqrt k lt 2 sqrt n`,
`sum_(k=1)^n 1/sqrt k lt sqrt 2 (sqrt(2n+1) - 1)`.

`n` 是正整数, 证明: `sum_(k=1)^n 1/sqrt k lt sqrt n(1+sqrt(n/(n+1)))`. 这个上界只比 `2 sqrt n` 稍好一点, 但比 `sqrt 2(sqrt(2n+1) - 1)` 差.

记不等式右边为 `a_n`, 则 `a_n = sqrt n + sqrt(n+1) - 1/sqrt(n+1)`. 作差分 `Delta a_n = a_n - a_(n-1)` `= 1/sqrt n - 1/sqrt(n+1) + sqrt(n+1) - sqrt(n-1)`. 因为 `a_0 = 0`, 要证 `sum 1/sqrt n lt a_n`, 只需证 `1/sqrt n lt Delta a_n`, 即证 `1/sqrt n lt 1/sqrt n - 1/sqrt(n+1) + sqrt(n+1) - sqrt(n-1)`, 即证 `1/sqrt(n+1) lt sqrt(n+1) - sqrt(n-1)` `= 2/(sqrt(n+1) + sqrt(n-1))`. 上式是成立的, 因此原不等式成立.

`s = -1/2`. `sum_(k=1)^n sqrt k gt 2/3 n sqrt(n+1)`, 进而 `1/n sum_(k=1)^n sqrt(k/n) gt 1/(n+1) sum_(k=1)^(n+1) sqrt(k/(n+1))`.

`s = -1/2`. 差分, 即证 `sqrt n gt 2/3 (n sqrt(n+1) - (n-1) sqrt n)`,
`1/3 sqrt n gt 2/3 n(sqrt(n+1) - sqrt n)`,
`(sqrt(n+1) + sqrt n) sqrt n gt 2 n`, 显然成立. 现在记 `S_n = sum_(k=1)^n sqrt k`, 下证 `(n+1)^(3/2) S_n gt n^(3/2) S_(n+1)`. 即证 `((1+1/n)^(2/3)-1) S_n gt sqrt(n+1)`. 由 Bernoulli 不等式, 即证 `3/(2n) S_n gt sqrt(n+1)`, 这是上面已证的不等式.

[来自 马上开学的菜狗] 求 `S = -1 + sqrt 2 - sqrt 3 + sqrt 4 - cdots - sqrt 99 + sqrt 100` 的整数部分.

首先给出通项 `sqrt(n+1) - sqrt n = 1/(sqrt n + sqrt(n+1))` 的估计: `1/2 (sqrt(n+2) - sqrt n)` `= 1/(sqrt(n+2) + sqrt n)` `lt 1/(sqrt n + sqrt(n+1))` `lt 1/(sqrt(n-1) + sqrt(n+1))` `= 1/2(sqrt(n+1) - sqrt(n-1))`. 于是 `S = 1/(sqrt 1 + sqrt 2) + 1/(sqrt 3 + sqrt 4) + cdots + 1/(sqrt 99 + sqrt 100)` `lt 1/2(sqrt 2 - 0 + sqrt 4 - sqrt 2 + cdots + sqrt 100 - sqrt 98)` `= 1/2 sqrt 100 = 5`. 同理 `S gt 1/2(sqrt 101 - 1) ~~ 4.52`. 因此 `S` 的整数部分为 4.

`s = 1`. 由 `ln{:(k+1)/k:} lt 1/k lt ln{:k/(k-1):}`, `quad k ge 2`,
`2/(2k+1) lt 1/(sqrt(k(k+1)))` (均值不等式) 得到 `ln(n+1) lt sum_(k=1)^n 1/k lt 1 + ln n`.

`n ge 2` 时 `sum_(k=1)^(2n) (-1)^(k-1)/k lt 1/sqrt 2`.

杂例

设 `a, b gt 0`, 比较 `a^b` 和 `b^a` 的大小.

两边取对数, 问题化为比较 `(ln a)/a` 和 `(ln b)/b` 的大小. 我们来求函数 `f(x) = (ln x)/x` 的单调区间. 因为 `f'(x) = (1-ln x)/x^2` 在 `x="e"` 处等于零, 在 `(0, "e")` 上大于零, `("e", +oo)` 上小于零, 所以 `x = "e"` 是 `f` 的唯一极大值点. 根据这些信息, 在 `a, b` 同大于 `"e"` 或同小于 `"e"` 时就容易判断 `a^b` 和 `b^a` 的大小. 如 `ln "e"//"e" gt ln pi // pi`, 因此 `"e"^pi gt pi^"e"`.

[来自群友 西伯利亚的猫猫] 设 `a gt b gt 1`, 证明: `a^(b^a) gt b^(a^b)`.

[来自 Mathis Wang@知乎] 即证 `b^a ln a gt a^b ln b`. 令 `t = ln a / ln b gt 1`, 于是 `a = b^t`, 不等式化为 `t * b^(b^t) gt b^(t b)`, 即证 `t * b^(b^t - t b) gt 1`. 假设 `b^t ge t b`, 上式显然成立; 现在假设 `b^t lt t b`, 即 `t * b^(1-t) gt 1`. 由 Bernoulli 不等式有 `b^t` `= (1 + (b - 1))^t` `gt 1 + t(b-1)`. 于是 `t * b^(b^t - t b)` `gt t * b^(1 + t(b-1) - t b)` `= t * b^(1 - t)` `gt 1`.

`a gt 0`, `n` 为正整数, 证明: `(1+a^n)^(1/n)` 关于 `n` 单调减.

只需证 `(1+a^n)^(n+1) gt (1+a^(n+1))^n` 若 `0 lt a lt 1`, 有 `a^n gt a^(n+1)`, 不等式显然成立. 下设 `a ge 1`, 我们证 `(1+a^n)^(n+1)/(1+a^(n+1))^n ge (1+a^n)/a^n gt 1`. 即证 `(1+a^n)/(1+a^(n+1)) ge 1/a`, 即证 `a + a^(n+1) ge 1 + a^(n+1)`, 显然成立.

定角构圆问题 `triangle ABC` 中 `/_ A = 120^@`, `BC = 4`, 求 `max(2AB + 3AC)`.

设 `x = AB, y = AC`, 由余弦定理 `a^2 = x^2 + y^2 - 2 x y cos A`, 原问题化为条件极值问题 `max{2x+3y | x^2+y^2+x y = 16}`. 待定系数配方, `x^2+y^2+x y` `=a(2x+3y)^2 + b(x-c y)^2` `= 3/28(2x+3y)^2+4/7(x-y/4)^2` `ge 3/28(2x+3y)^2`, 因此 `2x+3y le 8 sqrt(7/3)`.

[来自 我是没学过数学的cxz] 设 `x = AB, y = AC`, 由正弦定理 `x/(sin C) = y/(sin B) = a/(sin A)`, 令 `m, n` 为常数, 于是 `m x + n y` `= a/(sin A) (m sin C + n sin B)` `= a/(sin A) (m sin C + n sin A cos C + n sin C cos A)` `= a/(sin A)[(m + n cos A) sin C + n sin A cos C]`. 记 `k_1, k_2, k_3` 分别为 `a/(sin A)`, `m + n cos A`, `n sin A`, 由辅助角公式, `m x + n y le k_1 sqrt(k_2^2 + k_3^2)`. 代入题目数值, 得到同样的结果 `8 sqrt(7/3)`.

[来自 我是函数的单调性] 延长 `CA` 到 `D` 使得 `(AD)/(AB) = 2/3`, 在 `triangle BAD` 中由正弦定理 `(sin D)/(sin(D + pi/3)) = 3/2`, 解得 `tan D = 3sqrt3`, 因此 `cos D = 1/sqrt(1+tan^2D) = 1/sqrt(28)`, `sin D = sqrt(27/28)`. 由于 `/_D` 和 `BC` 的长均为定值, `D` 的轨迹为一圆, 特别当 `CD` 为圆的直径时, 不等式 `2AB + 3AC = 3(AC + 2/3 AB) = 3 CD` `le 3 (BC)/(sin D)` `= 8 sqrt(7/3)`. 取得最大值.

已知 `4x^2 + y^2 + x y = 1`, 求 `2x+y` 的范围.

由均值不等式, `1 = (2x+y)^2 - 3 x y` `ge (2x+y)^2 - 3/2 ((2x+y)/2)^2`, 所以 `|2x+y| le sqrt(8/5)`.

`2x+y` 取得最值当且仅当直线和椭圆相切, 即直线斜率为 `-2`. 求导得 `|2x+y| le sqrt(8/5)`.

配方 `1 = 4x^2 + y^2 + x y` `= a(2x+y)^2 + b(x-c y)^2`. 解得 `a = 5/8`, 于是 `|2x+y| le sqrt(8/5)`.

化为定角构圆问题: 三角形三边长为 `2x, y, 1`, 其中 `1` 所对的角满足 `cos theta = -1/4`, 故 `max(2x+y) = 1//sin{:theta/2:} = sqrt(8/5)`.

三角形的三边长分别为 `a, b, c`, 边 `c` 上的中线长为 `1`, 且 `/_ C = 45^@`. 求 `max(a+b)`.

由中线长公式和余弦定理: `c^2 = 2(a^2+b^2)-4`, `quad c^2 = a^2+b^2-2a b cos 45^@`. 于是 `a^2+b^2 = 4 - sqrt 2 a b`,
`(a+b)^2 = 4 - (2-sqrt 2)a b` `le 4 + (2-sqrt2)((a+b)/2)^2`. 解得 `a+b le 2 sqrt(4-2sqrt2)`, 等号成立当且仅当 `a = b`.

设 `a, b gt 0`, 实数 `x` 满足 `sqrt(x^2-sqrt2 a x + a^2) + sqrt(x^2-sqrt 2 b x + b^2) le sqrt(a^2+b^2)`, 求 `x` 的值.

不等式左边应用余弦定理, 右边应用勾股定理, 采用几何意义解决问题. 作一直角三角形 `ABC`, 两斜边 `BC, AC` 分别为 `a, b`, 又作直角 `C` 的平分线 `CP = x`. 题目条件即化为 `PA + PB le AB`. 这推出 `P` 位于线段 `AB` 上, `x` 即为角平分线长.

对任意正整数 `n`, `1/(2sqrt n) lt ((2n-1)!!)/((2n)!!) lt 1/sqrt(2n+1)`. 这个式子是 `1/sqrt(1-z)` 的幂级数的通项, 是函数 `sin^(2n) x` 在 `[0, pi//2]` 上的平均值. 它还出现在第一类椭圆积分的幂级数中.

提示: 用归纳法和均值不等式.