微元法 又称为牛顿几何法, 它在数学家眼中有失严谨, 但因其充满几何直观, 至今仍在物理学中使用. 作为例子, 我们来求 `sin theta`, `cos theta` 的导数.
直线运动 作直线运动的质点, 其位置 `s`, 速度 `v`, 加速度 `a` 是时间 `t` 的函数, 其中 `v = ("d"s)/dt`, `quad a = ("d"v)/dt`. 当 `a` 是常数时, 称为匀变速直线运动. 在时间 `[0, t]` 上积分可得 `v = v_0 + a t`, `quad s = s_0 + v_0 t + 1/2 a t^2`. 上式消去 `t` 得到 `s - s_0 = t(v_0 + 1/2 a t)` `= (v-v_0)/a (v_0 + 1/2 (v-v_0))` `= ((v-v_0)(v+v_0)) / (2a)`, 即 `2a Delta s = v^2 - v_0^2`, 其中 `Delta s = s - s_0` 表示末位置与初位置的差, 称为位移.
曲线运动 作曲线运动的质点, 其位置 (又叫位矢) `bm r`, 速度 `bm v`, 加速度 `bm a` 是矢量 (在手写时通常写成 `vec r`, `vec v`, `vec a`), 它们满足 `bm v = ("d"bm r)/dt`, `quad bm a = ("d"bm v)/dt`. 速度的大小 `v = |bm v|` 称为速率, 满足 `v = ("d"s)/dt`, `"d"s` 为弧长微元.
匀速圆周运动
设 `t = 0` 时质点的相位为 `0`,
其角速度 `omega gt 0` 为常数, 圆周半径为 `R`, 则参数方程为
`x = R cos omega t`, `quad y = R sin omega t`.
求导得
`v_x = -omega R sin omega t`, `quad v_y = omega R cos omega
t`,
`a_x = -omega^2 R cos omega t`, `quad a_y = -omega^2 R sin omega
t`.
速度大小和加速度大小分别为
`v = sqrt(v_x^2 + v_y^2) = omega R`,
`a = sqrt(a_x^2 + a_y^2) = omega^2 R = v^2 / R`.
用向量内积容易验证 `bm v _|_ bm a`, 这不是巧合,
事实上, 曲线在取定弧长参数时, 切向量的导数总是与自身垂直 (见微分几何).
每个力学系统可以用一个确定的 Lagrange 函数 `L(q, dot q, t)` 表征, 其中 `q` 为广义坐标, 可以是多维的.
Lagrange 函数具有可加性: 设力学系统由 A, B 两部分组成, Lagrange 函数分别为 `L_A`, `L_B`, 当两部分趋于无穷远, 之间的相互作用可以忽略时, 系统的 Lagrange 函数趋于它们的和: `lim L = L_A + L_B`.
最小作用量原理 (又名变分原理, Hamilton 原理) 给出了力学系统运动规律的最一般表述: 在任意时刻 `t_1, t_2`, 之间, 系统的运动总是使 Lagrange 函数的积分 (称为作用量) `S = int_(t_1)^(t_2) L(q, dot q, t) dt` 取得最小值.
Euler-Lagrange 方程 (第一形式) 设 `q(t) in C^1[a,b]`, `L(q, dot q, t) in C^2[a,b]`, 用 `C_0^1[a,b]` 表示在 `[a,b]` 上连续可微, 且满足齐次边界条件的全体函数: `C_0^1[a,b] = C^1[a, b] nn {f: f(a) = f(b) = 0}`. 则泛函 `S(q) = int_a^b L(q, dot q, t) dt` 取极值的充分条件是下式成立: `(del L)/(del q) = "d"/dt (del L)/(del dot q)`.
`S(q)` 在 `q = q^**` 时取极值当且仅当对任意 `eta(t) in C_0^1[a,b]`, 函数 `varphi(epsi) = S(q^** + epsi eta)` 在 `epsi = 0` 处取极值, 这时有 `varphi'(0) = 0`. 积分与求导换序, 再应用分部积分, 注意 `eta` 满足齐次边界条件, 有 `0 = int_a^b "d"/("d"epsi) L(q^**+epsi eta, dot q^** + epsi dot eta, t) dt` `= int_a^b ((del L)/(del q) eta + (del L)/(del dot q) dot eta) dt` `= int_a^b ((del L)/(del q)-"d"/dt (del L)/(del dot q)) eta dt`. 由函数 `eta` 的任意性, 按变分引理有 `(del L)/(del q) - "d"/dt (del L)/(del dot q) = 0` 几乎处处成立. 当 `L` 二阶连续可微时, 上式左边连续, "几乎处处为零" 可以加强为 "处处为零".
在定理的证明中, 函数 `eta` 称为 `q` 的变分, 通常记作 `delta q`. 变分可以表示函数的微小扰动, 由于 `delta q` 满足边界条件, 所以函数与变分的叠加 `q + delta` 仍属于 `C_0^1[a, b]`. 因此, 最小作用量原理可以写成 `delta S = int_a^b ((del L)/(del q) delta q + (del L)/(del dot q) delta dot q) dt = 0`. 其中, 一阶变分记号 `delta` 遵循类似微分的链式法则, 且 `delta dot q = "d"/dt delta q`.
Euler-Lagrange 方程 (第二形式) `"d"/dt(L - dot q(del L)/(del dot q))` `= (del L)/(del t)`. 特别当 `L` 不显含 `t` 时, `(del L)/(del t) = 0`, 得 `L - dot q (del L)/(del dot q) = c`.
直接计算, 左边等于 `(del L)/(del t) + dot q (del L)/(del q) + ddot q (del L)/(del dot q)` `- ddot q (del L)/(del dot q) - dot q "d"/dt (del L)/(del dot q)`, 由 Euler-Lagrange 方程第一形式知, 上式等于 `(del L)/(del t)`.
最速降线 设竖直平面内的两点 `O, A` 不在同一竖直线上, 且 `O` 位置较高. 求 `O, A` 之间的曲线轨道, 使得从 `O` 点由静止释放的小球沿该轨道运动时, 到达 `A` 点所用时间最少.
建立平面直角坐标系, `x` 轴沿水平方向, `y` 轴竖直向下. 由动能定理求得瞬时速率 `v = sqrt(2 g y)`, 由 `v = ("d"s)/dt = sqrt(1+{:y':}^2) dx/dt` 得 `dt = sqrt((1+{:y':}^2)/(2g y)) dx`. 要使下落时间 `t = int dt` 最小, 可令 `L(y, y', x) = sqrt((1+{:y':}^2)/(2g y))`, 因为 `L` 不显含 `x`, 由 Euler-Lagrange 方程的第二形式, `sqrt((1+{:y':}^2)/(2g y)) - ({:y':}^2)/sqrt((2g y)(1+{:y':}^2))` `= 1/sqrt(2g y) 1/sqrt(1+{:y':}^2) = c`. 记 `r = 1/(4c^2 g)`, 化简得 `y' = sqrt((2r)/y - 1)`, 即 `dx/dy = sqrt(y/(2r-y))`. 令 `y = r(1-cos theta)` 并积分得 `x = int sqrt((1-cos theta)/(1+cos theta)) r sin theta "d"theta` `= r int sqrt((1-cos theta)/(1+cos theta)) sqrt(1-cos^2 theta) "d"theta` `= r int (1-cos theta) "d"theta` `= r(theta - sin theta) + c_1` 由曲线过原点知 `c_1 = 0`. 从而曲线的参数方程为 `{x = r(theta - sin theta); y = r(1-cos theta):}` 这是摆线的方程.
摆线的几条性质
摆线一拱下的面积等于 3 倍圆面积:
`S = int_(theta=0)^(2pi) y dx`
`= int_0^(2pi) r(1-cos theta) (r(theta-sin theta))' "d"theta`
`= r^2 int_0^(2pi) (1-2cos theta + cos^2 theta) "d"theta`
`= r^2 (2pi + 0 + pi)`
`= 3 pi r^2`.
摆线一拱的弧长等于 8 倍半径, 与 `pi` 无关:
`"d"s`
`= sqrt(dx^2 + dy^2)`
`= sqrt(r^2(1-cos theta)^2+r^2 sin^2 theta) "d"theta`
`= r sqrt(2 - 2 cos theta) "d" theta`
`= 2 r sin {:theta/2:} "d" theta`,
`L = int_(theta=0)^(2pi) "d"s`
`= 4 r int_0^pi sin u "d"u`
`= 8 r`.
物体从任一起始位置以初速度 0 沿摆线下落,
到达最低点用时相等 (摆线的等时性):
`T = int_(theta=theta_0)^pi ("d"s)/v`
`= int_(theta_0)^pi (2r sin{:theta/2:} "d"theta)
/sqrt(2 g r(cos theta_0-cos theta))`
`= 2 sqrt(r/g) int_(theta_0)^pi (-"d"
cos{:theta/2:})/sqrt(cos^2{:theta_0/2:} - cos^2{:theta/2:})`
`= pi sqrt(r/g)`.
单摆的周期
单摆运动的轨迹是圆弧 `(r cos theta, r sin theta)`, 因此
`"d"s = sqrt(dx^2 + dy^2) = r`,
`v = sqrt(2 g Delta y) = sqrt(2 g r(cos theta - cos theta_0))`,
`T = 4 int_(theta=0)^(theta_0) ("d"s)/v`
`= 4 sqrt(r/(2g)) int_0^(theta_0) ("d"theta)/sqrt(cos theta-cos
theta_0)`
`= 2 sqrt(r/g) int_0^(theta_0) ("d"theta)/sqrt(sin^2(theta_0//2)
- sin^2(theta//2))`.
这并非初等积分, 我们令 `sin xi = sin(theta//2) / sin(theta_0//2)`,
于是 `cos xi "d"xi = cos(theta//2)/sin(theta_0//2) ("d"theta)/2`,
`int_0^(theta_0) ("d"theta)/sqrt(sin^2(theta_0//2)
- sin^2(theta//2))`
`= int_0^(theta_0) ("d"theta)/(sin(theta_0//2) cos xi)`
`= 2 int_0^(pi/2) ("d"xi)/cos(theta//2)`
`= 2 int_0^(pi/2) ("d"xi)/sqrt(1-sin^2(theta//2))`
`= 2 int_0^(pi/2) ("d"xi)/sqrt(1-sin^2(theta_0//2) sin^2 xi)`
`= 2 K(sin {:theta_0/2:})`,
其中
`K(z) = int_0^(pi/2) ("d"xi)/sqrt(1-z^2 sin^2 xi)`
是第一类完全椭圆积分. 当摆幅足够小时, `sin theta_0 ~~ theta_0`,
利用展式 `K(z) = pi/2(1 + z^2/4 + cdots)` 得
`T ~~ 2 pi sqrt(r/g) (1 + theta_0^2/16 + cdots)`.
由此看出, 单摆周期与起始位置 `theta_0` 有关, 它只有近似的等时性,
而摆线才具有严格的等时性.
积分展开式的首项可以这样得到: 由 `cos theta ~~ 1 - theta^2/2`, `(cos theta - cos theta_0)^(-1//2)` `~~ sqrt(2/(theta_0^2 - theta^2))`, 代入积分得 `T/4 ~~ sqrt(r/g) int_0^(theta_0) ("d"theta)/sqrt(theta_0^2-theta^2)` `= sqrt(r/g) pi/2`, 因此 `T ~~ 2pi sqrt(r/g)`.