Hadamard 不等式 (曲边梯形不等式) 设 `f` 是 `[a, b]` 上可积的下凸函数, 则 `f((a+b)/2) le 1/(b-a) int_a^b f(x) dx le (f(a)+f(b))/2`. 当 `f` 严格凸且 `a lt b` 时, 不等号严格成立. 这个不等式的几何意义是, `f` 的图像在 `[a,b]` 上围成的曲边梯形面积 大于它在 `x = (a+b)/2` 处的内切梯形面积, 但小于它的外接梯形面积.
记 `I = 1/(b-a) int_a^b f(x) dx`, 令 `x = a + t(b-a) = (1-t)a + t b`, 则 `I = int_0^1 f[(1-t)a+t b] dt` `le int_0^1 [(1-t) f(a) + t f(b)] dt` `= (f(a)+f(b))/2`. 另一方面, 令 `x = a+b-s`, `(b-a) I = int_a^b f(a+b-s) "d"s` `= 1/2 int_a^b [f(x) + f(a+b-x)] dx` `ge int_a^b f((x+a+b-x)/2) dx` `= (b-a)f((a+b)/2)`.
对数均值不等式 (ALG 不等式, 奥利给不等式)
设 `a, b` 是不相等的正数, 则
`sqrt(a b) lt (a-b)/(ln a - ln b) lt (a+b)/2`,
即 `A gt L gt G`. 这一不等式刻画了 `ln {:a/b:}` 的上下界.
积分学的证明. 在 `[u,v]` 上对 `f(x) = "e"^x` 应用 Hadamard 不等式, 得到对数均值不等式的指数形式: `"e"^((u+v)/2) lt ("e"^v-"e"^u)/(v-u) lt ("e"^u+"e"^v)/2`, 令 `"e"^u = a`, `"e"^v = b` 即得证.
又一积分学的证明.
分别在 `[a, b]` 和 `[a, sqrt(a b)]` 上对 `f(x) = 1/x`
应用 Hadamard 不等式, 有
`2/(a+b) lt (ln b - ln a)/(b-a)`,
`(ln sqrt(a b) - ln a)/(sqrt(a b) - a) lt (a^-1 + (a b)^(-1/2))/2`.
整理即得结论.
(比值法) 微分学的证明. 先证明 `b = 1` 的情形:
`sqrt x lt (x-1)/(ln x) lt (x+1)/2`,
即证
`sqrt x - 1/sqrt x lt ln x lt 2(x-1)/(x+1)`, `quad 0 lt x lt 1`,
`2(x-1)/(x+1) lt ln x lt sqrt x - 1/sqrt x`, `quad x gt 1`.
换言之, `ln x` 的值介于 `sqrt x - 1/sqrt x` 和 `2(x-1)/(x+1)` 之间,
且三者的函数图像在 `x=1` 时相交. 设
`f(x) = sqrt x - 1/sqrt x - ln x`,
`quad g(x) = 2 (x-1)/(x+1) - ln x`.
计算知 `f(1) = g(1) = 0`, 且在 `(0, +oo)` 上
`f'(x) gt 0`, `g'(x) lt 0`.
于是 成立.
取 `x = a/b`, 再在不等号两边同乘 `b` 即得证.
[来自 我是完全的無法理解] `sum_(k=1)^n 1/(n+k) gt ln 2 - 1/(4n)`.
由于左边 `xx 2 = sum_(k=1)^n(1/(n+k) + 1/(n+k-1)) - 1/(2n)`, 只需证 `sum_(k=1)^n (1/(n+k) + 1/(n+k-1)) gt 2 ln 2`. 这只需由对数均值不等式 `1/2(1/(n+k) + 1/(n+k-1)) gt ln(n+k) - ln(n+k-1)` 求和即得.
Bernoulli 不等式
设实数 `x gt -1`, `a ge 0`, 则
`(1+x)^a ge 1 + a x`, `quad a ge 1`,
`(1+x)^a le 1 + a x`, `quad 0 le a le 1`.
等号成立当且仅当 `a = 0, 1` (曲线与直线重合) 或
`x = 0` (曲线与直线相切).
在 `0` 到 `x` 的区间上 Taylor 展开 `(1+x)^a = 1 + a x + (a(a-1))/2 xi^2` 即得结论.
Bernoulli 不等式是很基础的不等式, 这里就 `a` 等于正整数 `n` 的情形给出归纳法证明: `n = 1` 时 `(1+x)^1 = 1 + 1*x` 成立. 假设结论对正整数 `n-1` 成立, 则 `(1+x)^n` `ge (1+x) (1 + (n-1) x)` `= 1 + n x + (n-1)x^2` `ge 1 + n x`. 等号成立当且仅当 `n = 1` 或 `x = 0`.
设 `a, b gt 0`, `r gt 1`, 证明 `(a+b)^r gt a^r + b^r`.
(比值法) 设 `x = a/b`, 只需证 `x gt 0` 时 `(1+x)^r - x^r gt 1`. 设 `f(x) = (1+x)^r - x^r`, 则 `f(0) = 1`, 且 `x gt 0` 时 `f'(x) = r(1+x)^(r-1) - r x^(r-1) gt 0`, 因此不等式成立.
指对数函数的一阶估计
在 `0` 到 `x` 的区间上 Taylor 展开,
`"e"^x = 1 + x + xi^2/2 ge 1 + x`,
`ln(1+x) = x - eta^2/2 le x`.
注意, 要证的不等式中含有分式时, 一般要将其线性化为整式, 再求导证明. 如 `"e"^x le 1//(1-x)` 直接求导只会越求越繁.
`2x "e"^(x-1) ge (x^2+1)(ln x+1)`.
`"e"^x gt ln x + 2x + 1/sqrt 2`.
??
极值点偏移 设函数 `f` 有两个零点 `a lt b`, 且在开区间 `(a, b)` 上有唯一的极值点 `x_0`. 考虑区间中点 `(a+b)//2`, 若 `x_0` 位于中点左侧 (右侧), 则称 `f` 在 `(a, b)` 上极值点左偏 (右偏).
为研究极值点偏移, 构造奇函数 `F(x) = f(x_0 + x) - f(x_0 - x)`, 其中 `F(0) = 0`. 如果 `f` 关于 `x_0` 对称, 则 `F` 应该恒等于零. 若 `F` 单调 (如单增), 则对任意 `x gt 0` 有 `F(x) ge 0`. 特别地 `F(x_0-a) ge 0`, 即 `f(2x_0-a) = f(2x_0-a) - f(a) ge 0 = f(b)` 由极值点 `x_0` 的唯一性知道, `f` 在 `[x_0, b]` 上单调. 进一步假定存在充分大的数 `M`, 使得 `f` 在 `[x_0, M]` 上单调 (如单增), 则上式推出 `2 x_0 - a ge b`, 即 `x_0 ge (a+b)//2`, 因此极值点右偏.
若 `f(x) = "e"^x - a x` 有两个不同的零点 `x_1`, `x_2`, 则 `x_1 x_2 lt 1`, `quad 2 lt x_1 + x_2 lt 2 ln a`.
使用对数均值不等式. 由题意 `"e"^(x_1) = a x_1`, `quad "e"^(x_2) = a x_2`, 取对数得 `x_1 = ln a + ln x_1`, `quad x_2 = ln a + ln x_2`. 因此 `x_1 - x_2 = ln x_1 - ln x_2`. 由对数均值不等式有 `sqrt(x_1 x_2) lt 1 lt (x_1+x_2)/2`, 从而得 `x_1 x_2 lt 1`, `x_1 + x_2 gt 2`. 再由 得到 `x_1 + x_2 = 2 ln a + ln x_1 x_2 lt 2 ln a`.
可以构造对称函数证明 `x_1 + x_2 gt 2`.
不妨设 `x_1 lt x_2`,
由题意知 `f` 在 `[x_1, x_2]` 上有唯一极值点 `x_0`.
令 `F(x) = f(x_0 + x) - f(x_0 - x)`, 有
`F'(x) = "e"^(x_0+x) + "e"^(x_0-x) - 2 a`
`= 2 ("e"^(x_0) cosh x - a)`
`= ge 2("e"^(x_0) - a)`.
由于直线 `y = a x` 和曲线 `y = "e"^x` 相交,
其斜率应大于曲线在切点的导数, 即 `a gt "e"^(x_0)`, 从而 `F'(x) lt 0`,
`F` 单调减. 又显然 `f` 在 `(-oo, x_0)` 和 `(x_0, oo)` 上分别单调,
因此 `F` 和 `f` 的单调性都已得到满足.
由 `F` 的单调性, `f(2x_0 - x_1) lt f(x_2)`; 再由 `f` 的单调性,
`x_1 + x_2 gt 2 x_0`.
由 `y = a x` 和 `y = "e"^x` 在 `x_0` 处相切得
`a = "e"^(x_0)`, `quad "e"^(x_0) - a x_0 = 0`,
解得 `x_0 = 1`.
若 `f(x) = ln x + 2/x - a` 有两个不同的零点 `x_1, x_2`, 则 `x_1 + x_2 gt 4`, `quad x_1 x_2 gt 4`.
由题意 `ln x_1 = a - 2/x_1`, `quad ln x_2 = a - 2/x_2`, 因此 `ln x_1^-1 = 2 x_1^-1 - a`, `quad ln x_2^-1 = 2 x_2^-1 - a`. 应用对数均值不等式, `2/(x_1+x_2) lt sqrt(x_1^-1 x_2^-1)` `lt (x_1^-1 - x_2^-1)/(ln x_1^-1 - ln x_2^-1) = 1/2`, 即 `x_1 + x_2 gt 4`, `x_1 x_2 gt 4`.
这是一类在数理方程中常用的积分不等式 [参见 Gronwall 不等式], 其形式非常灵活多变, 我们只介绍最基本的情形.
Gronwall 引理 设函数 `f, p in C[a, b]`, 函数 `y` 满足微分不等式 `y'(t) le f(t) + p(t) y(t)`, `quad AA t in [a, b]`, 则 `y(t) le y(a) P(t) + int_a^t f(s) P(t) // P(s) "d"s`. 其中 `P(t) = exp(int_a^t p(u) "d"u)`, 因此 `P(t) // P(s) = exp(int_s^t p(u) "d"u)`.
在微分不等式两边同乘积分因子 `Phi(t) = 1/(P(t)) = exp(-int_a^t p(u) "d"u)` 得 `"d"/dt (y(t) Phi(t)) le f(t) Phi(t)`. 上式两边在 `[a, t]` 上积分得 `y(t) Phi(t) - y(a) le int_a^t f(s) Phi(s) "d"s`, 整理即得结论.
(Gronwall 不等式, 1919) 设 `f, g, p in C[a, b]`, `p(t) ge 0`, 且 `f(t) le g(t) + int_a^t p(s) f(s) "d"s`, `quad AA t in [a,b]`, 则 `f(t) le g(t) + int_a^t p(s) g(s) P(t) // P(s) "d"s`, 其中 `P(t) = exp(int_a^t p(u) "d"u)`, `P(t) // P(s) = exp(int_s^t p(u) "d"u)`. 若 `g` 连续可微, 上式分部积分可得 `f(t) le g(a) P(t) + int_a^t g'(s) P(t) // P(s) "d"s`. 若 `g` 是常数, 结论简化为 `f(t) le g * P(t)`.
记 `y(t) = int_a^t p(s) f(s) "d"s`, 由已知 `f(t) le g(t) + y(t)`, 于是由 `p` 非负有 `y'(t) = p(t) f(t) le p(t) g(t) + p(t) y(t)`. 由引理, `y(t) le int_a^t p(s) g(s) P(t)//P(s) "d"s`. 再由 `f(t) le g(t) + y(t)` 即得结论.
Jensen 不等式的积分形式
设 `x(t)` 在 `[a, b]` 上可积, 值域含于区间 `I`;
`f` 是区间 `I` 上连续的下凸函数;
`w(t)` 在 `[a, b]` 上可积, `w(t) gt 0`, 且 `int_a^b w(t) dt = 1`, 则
`f(int_a^b w(t) x(t) dt)`
`le int_a^b w(t) f(x(t)) dt`.
特别取 `w(t) -= 1/(b-a)` 得,
`f(1/(b-a) int_a^b x(t) dt)`
`le 1/(b-a) int_a^b f(x(t)) dt`.
取 `g = -f` 知, 对上凸函数成立反向的不等号.
[欧阳资考. 2011. 利用凸函数证明积分不等式. 高等教育, 第 107 期]
易知不等式中出现的积分都有意义. 将 `[a, b]` `n` 等分, 记 `h = (b-a)//n`, `t_k = a+k h`, `x_k = x(t_k)`, `w_k = w(t_k)`, `y_k = w_k/(sum_(k=1)^n w_k)`, `k = 1, 2, cdots, n`. 因为 `f` 为上凸函数, 由 Jensen 不等式, `f(sum_(k=1)^n x_k y_k)` `le sum_(k=1)^n f(x_k) y_k`, 即 `f((sum_(k=1)^n w_k x_k h)/(sum_(k=1)^n w_k h))` `le (sum_(k=1)^n w_k f(x_k) h)/(sum_(k=1)^n w_k h)`. 令 `n to oo`, 注意 `f` 的连续性, 极限符号可转移到 `f` 的括号内. 从而由定积分的定义即得结果.
假设定理中的 `x(t)` 在 `[a,b]` 上单调增, 于是 `f @ x` 仍是 `[a,b]` 上的下凸函数, 类比 Hadamard 不等式的证明方法可以得到, `1/(b-a) int_a^b f(x(t)) dt le (f(x(a)) + f(x(b)))/2`.
`bm p` 方可积 设 `p ge 1`, 函数 `f` 在定义域 `[a,b]` 上只有有限个瑕点, 且 `f` 在任意不含这些瑕点的闭子区间上都 Riemann 可积. 如果 `|f(x)|^p` 在 `[a,b]` 上广义 Riemann 可积, 即瑕积分 `int_a^b |f(x)|^p dx lt oo`, 则称 `f` 在 `[a,b]` 上 `bm p` 方可积. 特别当 `p = 1` 时, 称 `f` 在 `[a,b]` 上绝对可积, `p = 2` 时, 称 `f` 在 `[a,b]` 上平方可积.
`p` 方可积函数的任意线性组合也 `p` 方可积.
设 `f,g` 在 `[a,b]` 上 `p` 方可积, 显然对任意常数 `c`, 函数 `c f` 也在 `[a,b]` 上 `p` 方可积. 下证函数 `f+-g` 在 `[a,b]` 上 `p` 方可积. 只需注意对 `AA x in [a,b]` 有 `|f(x) +- g(x)|^p` `le (|f(x)|+|g(x)|)^p` `le (2 max{|f(x)|, |g(x)|})^p` `= 2^p max{|f(x)|^p, |g(x)|^p}` `le 2^p (|f(x)|^p + |g(x)|^p)`, 据此立得结论.
设 `1 le p lt q`, 若函数 `f` 在 `[a,b]` 上 `q` 方可积, 则它也在 `[a,b]` 上 `p` 方可积.
Hölder 不等式 设 `p, q gt 1` 且 `1/p+1/q = 1`. 如果 `f` 在 `[a,b]` 上 `p` 方可积, `g` 在 `[a,b]` 上 `q` 方可积, 则乘积 `f g` 在 `[a,b]` 上绝对可积, 且 `int_a^b |f(x)g(x)| dx` `le (int_a^b |f(x)|^p dx)^(1/p) (int_a^b |g(x)|^q dx)^(1/q)`. 特别取 `p = q = 2`, 得到 Cauchy 不等式 `int_a^b |f(x) g(x)| dx` `le sqrt(int_a^b |f(x)|^2 dx) sqrt(int_a^b |g(x)|^2 dx)`.
记 `int_a^b |f(x)|^p dx = A`, `int_a^b |g(x)|^q dx = B`. 使用 Young 不等式, 对 `AA x in [a,b]` 有 `(|f(x)|^p/A)^(1/p) (|g(x)|^q/B)^(1/q)` `le 1/p |f(x)|^p/A + 1/q |g(x)|^q/B`. 因为不等式右端函数在 `[a,b]` 上广义可积, 所以左端也可以. 积分得 `1/(A^(1/p) B^(1/q)) int_a^b |f(x) g(x)| dx` `le 1/p + 1/q = 1`. 所以原不等式成立.
`f` 是 `[a, b]` 上的非负可积函数, 证明: `(int_a^b f(x) sin lambda x dx)^2` `+ (int_a^b f(x) cos lambda x dx)^2` `le (int_a^b f(x) dx)^2`.
应用 Cauchy 不等式, `(int_a^b f(x) dx)^2 - (int_a^b f(x) cos lambda x dx)^2` `= int_a^b f(x) (1 + cos lambda x) dx int_a^b f(x) (1 - cos lambda x) dx` `ge (int_a^b f(x) sqrt((1+cos lambda x)(1-cos lambda x)) dx)^2` `ge (int_a^b f(x) sin lambda x dx)^2`.
设 `f in C[0, 1]`, 且 `AA x in [0, 1]`, `int_x^1 f(t) dt ge (1-x^2)/2`. 证明: `int_0^1 f(x)^2 dx ge 1/3`.
[来自群友 千帆过尽，匆忘初心] 设 `f` 在 `[0, 1]` 上有二阶连续导数, 且 `f(0) = f(1) = f'(0) = 0`, `f'(1) = 1`. 证明: `int_0^1 f''(x)^2 dx ge 4`.
失败的尝试. 直接使用 Cauchy 不等式只能得到一个松的下界: `int_0^1 f''(x)^2 dx` `ge (int_0^1 f''(x) dx)^2/(int_0^1 1^2 dx)` `= (f'(1) - f'(0))^2 = 1`.
下面两个不等式可以仿照上一章对应不等式来证明.
Minkowski 不等式 设 `p ge 1`, `f, g` 都在 `[a,b]` 上 `p` 方可积, 则 `(int_a^b |f(x) +- g(x)|^p dx)^(1/p)` `le (int_a^b |f(x)|^p dx)^(1/p) + (int_a^b |g(x)|^p dx)^(1/p)`.
幂平均值不等式 设 `f` 在 `[a,b]` 上 `p` 方可积, `p ge 1`, 则函数 `(1/(b-a)int_a^b|f(x)|^alpha dx)^(1/alpha)` 关于参数 `alpha` 单调递增.